八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教案

第十一章全等三角形

11.1全等三角形

教學(xué)目標(biāo)：通過實(shí)例表述全等圖形的概念和特征，并能找出全等圖形；能敘述全等三角

形的定義及其相關(guān)概念，并能找出兩個(gè)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角；總結(jié)出全等三角形的

性質(zhì)，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理和計(jì)算，解決一些實(shí)際問題。

教學(xué)重、難點(diǎn):重點(diǎn)：全等三角形的概念、性質(zhì)。

難點(diǎn)：對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角的確定。

教學(xué)過程

(-)導(dǎo)入:我們身邊經(jīng)?？吹健耙荒Ｒ粯印钡膱D形，比如同一版面的記念郵票，同一

版面的人民幣、用兩張紙疊在一起剪出的兩張窗花等，請(qǐng)大家舉出這類圖形的例子。

(二)新課

問題1:幾何中，我們把上述所例舉的“一模一樣”的圖形叫做“全等形”，以下是描

述全等形的三種不同的說法，你認(rèn)為哪種說法是恰當(dāng)?shù)模?/p>

(1)形狀相同的兩個(gè)圖形叫全等形。

(2)大小相等的兩個(gè)圖形叫全等形。

(3)能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫全等形。

總結(jié)概念：全等形(congruentfigures)：能夠完全重合的兩個(gè)圖形。

能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。

做一做:請(qǐng)你用兩張半透明的薄紙分別描出下中的兩個(gè)三角形.然后把它們疊放在一起,

觀察這兩個(gè)圖形是否完全重合.(提高學(xué)生的動(dòng)手能力和觀察能力)

結(jié)論：△ABC和△DEF完全重合，因此它們是全等的.

全等的符號(hào)：會(huì)，讀作：全等于

△ABC與ADEF全等，記作△ABCgDEF,讀作：“三角形ABC全等于三角形DEF”

思考1、在圖11.1—1中，把AABC沿直線BC平移，得到△DEF。

2、在圖11.1—2中，把△ABC沿直線BC翻折180°,得到△DBC。

3、在圖11.1—3中，把△ABC旋轉(zhuǎn)180°,得到AAED。

各圖中的兩個(gè)三角形全等嗎？

可以做兩個(gè)三角形，根據(jù)題目中的要求，進(jìn)行實(shí)際操作，通過討論，總結(jié)出結(jié)論：一個(gè)

圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，即平移、翻折、旋

轉(zhuǎn)前后的圖形全等。

把兩個(gè)全等的三角形重合到一起。重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)。重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊。重

合的角叫做對(duì)應(yīng)角。例如，圖11.1—1中的AABC和ADEF全等，記作△ABCgZXDEF,其中

點(diǎn)A和點(diǎn)D,點(diǎn)B和點(diǎn)E,點(diǎn)C和點(diǎn)F是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，AB和DE,BC和EF,AC和DF是對(duì)應(yīng)邊,

NA和ND,NB和NE,NC和NF是對(duì)應(yīng)角。

思考：圖11.1—1中，△ABCgZXDEF,對(duì)應(yīng)邊有什么關(guān)系？對(duì)應(yīng)角呢？

小組討論，得出全等三角形有這樣的性質(zhì)：

全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；

全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。

（三）練習(xí)：課本4頁(yè)的練習(xí)1、2。

（四）作業(yè)：課本習(xí)題11.1的1、2、3、4

（四）小結(jié)：

1L2三角形全等的條件

教學(xué)目標(biāo)：能敘述三角形全等的條件，體會(huì)三角形的穩(wěn)定性；能靈活地運(yùn)用三角形全等

的條件，進(jìn)行有條理的思考和簡(jiǎn)單的推理，并能利用三角形的全等解決實(shí)際問題；提高動(dòng)手

能力。

教學(xué)重、難點(diǎn)：重點(diǎn)：三角形全等的條件。

難點(diǎn)：利用三角形全等的條件解題。

課時(shí)安排：4課時(shí)

第一課時(shí)

一、復(fù)習(xí)提問

1.怎樣的兩個(gè)三角形是全等三角形？2.全等三角形的性質(zhì)？

二、新課

（一）SSS定理的得出

給出任意兩個(gè)三角形，有些是全等的，有些不是全等的，我們知道如果AABC與Z\A‘B'

C'滿足三條邊對(duì)應(yīng)相等，三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，即AB=A'B',BC=B'C',CA=CZA',ZA=

NA',NB二NB',ZC=ZCZ這六個(gè)條件，就能保證AABC絲Z\A'B'C'。問同學(xué)們能不

能找到一種方法，用較少的條件來(lái)判定兩個(gè)三角形全等呢？下面就一起來(lái)找找這些條件。

（板書課題：三角形全等的條件）。

探究：1先任意畫出一個(gè)△ABC。再畫一個(gè)AA'B'C'使AABC與AA'B'C'滿足上述

六個(gè)條件中的一個(gè)或兩個(gè)。你畫出的AA'B'C’與AABC一定全等嗎？

小組討論下面問題

1.在兩個(gè)三角形中，有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，或一條邊對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)三角形是否一定全

等？有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，或兩條邊對(duì)應(yīng)相等，或一個(gè)角和一條邊分別對(duì)應(yīng)相等，情況怎樣？

有三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的情況呢？

2.用來(lái)判斷兩個(gè)三角形全等的條件，只有以下三種情況才有可能：三條邊對(duì)應(yīng)相等，或

兩條邊和一個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等，或兩個(gè)角和一條邊分別對(duì)應(yīng)相等.你認(rèn)為這種說法對(duì)嗎？

通過畫圖可以發(fā)現(xiàn)，滿足上述六個(gè)條件中的一個(gè)或兩個(gè)，AABC與B'C'不一定

全等。滿足上述六個(gè)條件中的三個(gè)，能保證4ABC與AA，B，C'全等嗎？我們分情況進(jìn)行

討論。

探究2：分小組活動(dòng)：

1.用一根長(zhǎng)13cm的細(xì)鐵絲，折成一個(gè)邊長(zhǎng)分別是3cm,4cm,6cm的三角形.把

你做的三角形和同學(xué)做的三角形進(jìn)行比較，它們能重合嗎？

2.用同一根細(xì)鐵絲，余下1cm,用其余部分折成一個(gè)邊長(zhǎng)分別是3cm,4cm,5cm

的三角形，再和同學(xué)做的三角形進(jìn)行比較，它們能重合嗎？

3.不同小組用同一根細(xì)鐵絲，任取一組能構(gòu)成三角形的三邊長(zhǎng)的數(shù)據(jù)，和同桌同學(xué)分別

按這些數(shù)據(jù)折三角形，折成的兩個(gè)三角形能重合嗎？

4.先任意畫出一個(gè)aABC.再畫一個(gè)B'C',使A'B'=AB,B'C'=BC,C'A'

=CA.把畫好的B'C'剪下，放到AABC上，它們?nèi)葐幔?/p>

畫一個(gè)AA'B'C',使A'B'=AB,AzC'=AC,B'C=BC：

1.畫線段B'C'=BC；

2.分別以B'、C'為圓心，線段AB,AC為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)A'；

3.連接線段VB',A'C'.

通過咱們的試驗(yàn)，可以得出什么結(jié)論呢？

只要三角形三邊的長(zhǎng)度確定，這個(gè)三角形的形狀和大小就完全確定了.

總結(jié)定理：如果兩個(gè)三角形的三邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等.

咱們?cè)囍堰@句話壓縮一下，用幾個(gè)字概括，同學(xué)們認(rèn)為什么最合適呢？：邊邊邊

字母記做“SSS”

三角形全等的表示:

三邊對(duì)應(yīng)相如果AB=A'B',阮二M。',

等的兩個(gè)三AC=A'C',那么

角形全等AABC9AA'B'C'

我們?cè)?jīng)做過這樣的實(shí)驗(yàn)：將三根木條釘成一個(gè)三角形木架，這個(gè)三角形木架的形狀、

大小就不變了.就是說，三角形的三邊確定了，這個(gè)三角形的形狀、大小也就確定了.這里

就用到上面的結(jié)論.

用上面的結(jié)論可以判斷兩個(gè)三角形全等.判斷兩個(gè)三角形全等的推理過程，叫做證明三

角形全等.

（二）例題

例1如圖，△ABC是一個(gè)鋼架，AB=AC,AD是連接點(diǎn)A與BC中點(diǎn)D的支架.求證AABD

^△ACDo4

分析：要證△ABDgZXACD,可看這兩個(gè)三角形的三條邊是BDC

否對(duì)應(yīng)相等.麗，.，.

圖13.2-3

從例1可以看出，證明是由題設(shè)（己知）出發(fā)，經(jīng)過一步步的推理，最后推出結(jié)論（求

證）正確的過程.

（三）思考

已知AC=FE,BC=DE,點(diǎn)A、D、B、F在一條直線上，”

AD=FB（如圖）.要用“邊邊邊”證明△ABCWZXFDE,除了

已知中的AC=FE,BC=DE以外，還應(yīng)該有什么條件?怎樣才。B

能得到這個(gè)條件？/

圖13.21

三、練習(xí)：課本第8頁(yè)練習(xí)

四、作業(yè)：課本第15頁(yè)習(xí)題11.2的1、2、9

五、小結(jié)

第二課時(shí)

一、復(fù)習(xí)：如何用“SSS”證明三角形全等？

二、新課：（一）探究3

1.學(xué)生分組活動(dòng)：畫一個(gè)三角形，使它的兩條邊長(zhǎng)分別是1.5cm,2.5cm,

其中一個(gè)角是30°

畫好后同桌兩人討論：兩個(gè)三角形的兩條邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，這兩個(gè)三角

形全等么？

有的組說全等，有的組說不全等

讓各組派代表說說做法，比較有什么不同，老師總結(jié)，有三種做法

（1）兩條邊長(zhǎng)分別是1.5cm,2.5cm,并且長(zhǎng)為1.5cm的這條邊所對(duì)應(yīng)的角

是30°,這種做法得出的結(jié)論是：不全等

（2）兩條邊長(zhǎng)分別是1.5cm,2.5cm,并且長(zhǎng)為2.5cm的這條邊所對(duì)應(yīng)的角

是30°,這種做法得出的結(jié)論也是：不全等

（3）兩條邊長(zhǎng)分別是1.5cm,2.5cm,這兩條邊的夾角為30。，這樣做出的

兩個(gè)三角形全等。

提問：由剛才活動(dòng)得出的結(jié)論，滿足什么條件的兩個(gè)三角形全等？

2.將兩邊和它們的夾角的數(shù)據(jù)改換成另一組，再與同學(xué)一起按新數(shù)據(jù)畫三角形.通過對(duì)

所畫三角形的比較，你能得出什么結(jié)論？

3.先任意畫出一個(gè)AABC再畫出一個(gè)AA'B'C',使A'B'=AB,A'Cz=AC,NA'

=ZA（即使有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等）.把畫好的B'C'剪下，放到aABC上，

它們?nèi)葐幔?/p>

畫一個(gè)AA'B'C',使A'B'=AB,A'C'=AC,NA'=ZA：

1.畫NDA'E=ZA；

2.在射線A'D上截取A'B'=AB,在射線A'E上截取A'C'=AC；

3.連接B'C'.

總結(jié)定理：如果兩個(gè)三角形的兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等.這

個(gè)事實(shí)可以簡(jiǎn)寫為“邊角邊”或“SAS”.

注：有上述活動(dòng)，我們可以得出“邊邊角”無(wú)法判定兩個(gè)三角形全等。

（二）例題

例2：如圖，有一池塘，要測(cè)池塘兩端A、B的人

距離，可先在平地上取一個(gè)可以直接到達(dá)A和B的

點(diǎn)C,連接AC并延長(zhǎng)到D,使CD=CA.連接BC并延'、、、1/

長(zhǎng)到E,使CE=CB.連接DE,那么量出DE的長(zhǎng)就是少V

A、B的距離.為什么？

分析：如果能證明△ABCZ/M）EC,就可以得出_________________Xn

AB=DE.

圖13.26

在AABC和ADEC中，CA=CD,CB=CE.如果能

得出N1=N2,/XABC和ADEC就全等了.

從例2可以看出：因?yàn)槿热切蔚膶?duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，所以，證明分別屬于兩

個(gè)三角形的線段相等或者角相等的問題，常常通過證明這兩個(gè)三角形全等來(lái)解決.

（三）探究4

我們知道，兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。由“兩邊及其中一邊的對(duì)角

對(duì)應(yīng)相等”的條件能判定兩個(gè)三角形全等嗎?為什么？

有探究3我們知道不一定全等。現(xiàn)在進(jìn)一步來(lái)說明。我們可以通過畫圖回答，還可以通

過實(shí)驗(yàn)回答。

把一長(zhǎng)一短兩根細(xì)木棍的一端用螺釘較合在一起，使

長(zhǎng)木棍的另一端與射線BC的端點(diǎn)B重合。適當(dāng)調(diào)整好長(zhǎng)

木棍與射線BC所成的角后，固定住長(zhǎng)木棍，把短木棍擺

起來(lái)

圖中的4ABC與4ABD滿足兩邊及其中一邊對(duì)角相等的條件，但AABC與4ABD不全等。

這說明，有兩邊和其中邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不定全等。

三、練習(xí)：課本10頁(yè)的練習(xí)

四、作業(yè)：P15的3、4、10

五、小結(jié)

第三課時(shí)

一、復(fù)習(xí)：?jiǎn)栴}的提出：

類比著《邊邊邊公理》和《邊角邊公理》即“三元素定三角形”，提出：如果兩個(gè)三角

形兩邊一個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)三角形能不能全等？

二、新課：

步驟要*.圖形

探究5：學(xué)生活動(dòng)

息鼓曲AB,也

1.按照下面的步驟畫第一多

AB=2.5cm-------------------

三角形，使它的兩個(gè)內(nèi)角

分別為35°和65°,并

且這兩個(gè)角的夾邊的長(zhǎng)為/

第二步AZEAB=35°

2.Demo4^------------B

畫好后小組交流，比

第三步后NFBA=65°

較畫出的三角形是否全等

2.活動(dòng)2：將兩角

和它們的夾邊的數(shù)據(jù)改換取AE和BF的交點(diǎn)為

成另一組，再與同學(xué)一起第四步C,△ABC就是所要勒

按新數(shù)據(jù)畫三角形.通過的三角形

4X35°65\B

對(duì)所畫三角形的比較，你能得出什么結(jié)論？

3.先任意畫出一個(gè)△ABC。再畫一個(gè)AA'B'C',使A'B':AB,NA'=ZA,NB'=

ZB（即使兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等）。把畫好的B'C'剪下，放到AABC上，它們

全等嗎？

畫一個(gè)4A'B'C',使A'B'=AB,NA'=NA,\

1.畫A'B'=AB；/\\

2.在A'B'的同旁畫NDA'B'=ZA,NEB'/\\

A'=NB,A'D,B'E交于點(diǎn)C'.?fCBf

ffi13.28

4.角邊角定理：如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形

全等.這個(gè)事實(shí)可以簡(jiǎn)寫為“角邊角”或“ASA”

探究6：在AABC和4DEF中，ZA=ZD,ZB=ZE,

BC=EF,AABC與4DEF全等嗎?能利用角邊角條件

證明你的結(jié)論嗎？

圖13.2-9

提示：如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么它們的第三個(gè)角是什么關(guān)系？

總結(jié)出結(jié)論：兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“角

角邊”或“AAS”）.

（四）例題：如圖，D在AB上，E在AC上，AB=AC,ZB=

ZC.求證AD=AE./\

分析：如果能證明4ACD絲ZkABE,就可以得出AD=AE./\￡

討論：三角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等嗎？

三、練習(xí)：的、

P1312圖13.2*10

四、作業(yè)：P15的5、11、12

五、小結(jié)

第四課時(shí)

一、引入新課

前面我們學(xué)習(xí)了判定兩個(gè)三角形全等的四種方法一一SSS,SAS,ASA,AAS；我們也知

道，“有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等"。這些結(jié)論適用于所有的

各類三角形。

我們?cè)谌切畏诸悤r(shí)，還學(xué)過了一些特殊三角形（如直角三角形）。特殊三角形全等的

判定是否會(huì)有一般三角形不適用的特殊方法呢？

我們知道：斜邊和一對(duì)銳角相等的兩個(gè)直角三角形，可以根據(jù)“AAS”判定它們?nèi)龋?/p>

一對(duì)直角邊和一對(duì)銳角相等的兩個(gè)直角三角形，可以根據(jù)“ASA”或“AAS”判定它們?nèi)?

兩對(duì)直角邊相等的兩個(gè)直角三角形，可以根據(jù)“SAS”判定它們?nèi)取?/p>

如果兩個(gè)直角三角形的斜邊和一對(duì)直角邊相等（邊邊角），這兩個(gè)三角形是否可能全等

呢？

二、新課：

探究8：任意畫出一個(gè)RtZXABC,使NC=90°.再畫一個(gè)RtAA，B;C',使B，L=

BC,A'B'=AB.把畫好的RtZ\A'B'C'剪下，放到RlZXABC上，它們?nèi)葐幔?/p>

畫一個(gè)RtZXA'B'C',使B'C'=BC,A'B'=AB：

1.畫NMC'N=90°.2.在射線C'M上取B'Cz=BC。

3.以B'為圓心，AB為半徑畫弧，交射線C'N于點(diǎn)A，.4.連接限B，.

上面給出了畫Rt^A'C'的方法.探究8的結(jié)果反映了什么規(guī)律？

我們?nèi)菀卓闯鎏骄?反吠的規(guī)律是：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等

（可以簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.

例題

DC

例4如圖,AC±BC,BDXAD,AC=BD.求證BC=AD./^3

三、練習(xí)：P14的1、2

ffi13.2-12

四、作業(yè)：小結(jié)P15的6、7、8、13

五、小結(jié)：

1L3角的平分線的性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo)：會(huì)作已知角的平分線，能熟練地說出角平分線的性質(zhì)及判定；

能運(yùn)用角平分線的性質(zhì)及判定證明兩個(gè)角相等或兩條線段相等。

教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：①角平分線的性質(zhì)及判定；②運(yùn)用它們來(lái)證明兩個(gè)角相等或兩條線段相等。

難點(diǎn)：運(yùn)用角平分線的性質(zhì)及判定證明兩個(gè)角相等或兩條線段相等。

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)提問：角平分線的定義？角平分線與三角形的角平分線有何區(qū)別？提問關(guān)于三

角形全等的判定定理.

二、新授

（一）角的平分線的畫法

下圖是一個(gè)平分角的儀器，其中AB=AD,BC=DC.將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，AB和AI）沿著

角的兩邊放下，沿AC畫?條射線AE,AE就是角平分線.你能說明它的道理嗎？

小組討論

/1.ZDAC與NBAC相等的依據(jù)是什么？

’2.如何做一個(gè)角的平分線？能否由以上的探究得出呢？

通過小組討論由上面的探究可以得出作已知角的平分線的

方E法.

re13.3-1「心

已知：ZAOB.

求作：NAOB的平分線.

作法：（1）以0為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交0A

于M,交0B于N。

（2）分別以M、N為圓心，大于‘MN的長(zhǎng)為半徑作

2

弧，兩弧在NAOB的內(nèi)部交于點(diǎn)C.

（3）作射線0C.射線0C即為所求（圖13.3—2）.圖13.3-2

練習(xí)

平分平角NAOB.通過上面的步驟得到射線0C以后，把它反向延長(zhǎng)得到直線CD.直線

CD與直線AB是什么關(guān)系？

應(yīng)用以上學(xué)到的畫角的平分線的方法，來(lái)畫出平角的角平分線（平角只是一種特殊的

角），回顧線段的垂直平分線的定義。進(jìn)而回答直線CD與直線AB的關(guān)系。

（二）角的平分線的性質(zhì)

1.小組討論

（1）有?張剪好的角的紙片，怎樣找這個(gè)角的平分線？

（2）大家知道，只要把紙片對(duì)折，使角的兩邊疊

合在一起，把紙片展開后的折痕就是這個(gè)角的平分線

（如圖1）.如果我們把對(duì)折的紙片繼續(xù)折一次，然后

把紙片展開，就會(huì)出現(xiàn)兩條折痕（圖2）中的PM和

PN）.不難發(fā)現(xiàn)，這兩條折痕的長(zhǎng)相等，而且這種等長(zhǎng)

的折痕我們可以找出無(wú)數(shù)對(duì).，由此可見，角的平分線除了有平分角的性質(zhì)，還有其他的性質(zhì),

現(xiàn)在我們就來(lái)研究這個(gè)問題.

2.角的平分線

（1）上述折紙的實(shí)驗(yàn)，象圖2中的等長(zhǎng)折痕PU和PN,我們可以找到無(wú)數(shù)對(duì)，它們既

有一般位置的，也有特殊位置的.比如，角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的套線就是特殊位置的等

線段.你能用推理論證的方法說明“在角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等”這一角平

分線的重要性質(zhì)嗎？

通過討論我們得到角的平分線的性質(zhì)：

角的平分線.上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。

小組討論

1.在一個(gè)角的內(nèi)部，除角平分線上的點(diǎn)以外，還能找到“到角的兩邊距離相離”的點(diǎn)嗎？

為什么?

2.角平分線上，是否有“到角的兩邊距離不相等的點(diǎn)”呢？為什么？

思考

如圖，要在S區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使它到公路，鐵路距離

相等，離公路與鐵路交叉處500米.這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建于何處

（在圖上標(biāo)出它的位置，比例尺為1：20000）?

圖13.3-4

我們知道，角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

小組討論：到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)是否在角的平分線上呢？

利用三角形全等，可以得到：到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上

根據(jù)上述結(jié)論，就知道這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建于何處了.

（三）例題

例如圖，aABC的角平分線BM,CN相交于點(diǎn)P.求證:

點(diǎn)P到三邊AB,BC,CA的距離相等.

證明：過點(diǎn)P作PD,PE,PF分別垂直于AB,BC,CA,垂足

為D,E,F.

???BM是△ABC的角平分線,點(diǎn)P在BM上,

APD=PEo.

同理PE=PF.

???PD=PE=PF.

即點(diǎn)P到三邊AB,BC,CA的距離相等.

小組討論：點(diǎn)P在NA的平分線上嗎?這說明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？

三、練習(xí)P22的練習(xí)

四、作業(yè):P22習(xí)題11.3的1、2、3、4、5、6

五、小結(jié)

小結(jié)與復(fù)習(xí)

教學(xué)目標(biāo)：總結(jié)出三角形全等的條件及性質(zhì)：能靈活地運(yùn)用三角形全等的條件及性質(zhì)，

進(jìn)行有條理的思考和簡(jiǎn)單的推理，并能利用三角形的全等解決實(shí)際問題；會(huì)作己知角的平分

線，總結(jié)出角平分線的性質(zhì)及判定，能運(yùn)用角平分線的性質(zhì)及判定證明兩個(gè)角相等或兩條線

段相等。

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：①三角形全等的條件、角的平分線的性質(zhì)；②能利用①中的知識(shí)點(diǎn)解題。

難點(diǎn)：能靈活運(yùn)用三角形全等的條件及角的平分線的性質(zhì)解題。

教學(xué)過程

一、知識(shí)結(jié)構(gòu)

二、回顧與思考

1.舉一些全等形的實(shí)際例子。全等三角形的對(duì)應(yīng)邊有什么關(guān)系？對(duì)應(yīng)角呢？

2.一個(gè)三角形有三條邊，三個(gè)角。從中任選三個(gè)來(lái)判定兩個(gè)三角形全等，哪些是能夠判

定的？哪些是不能夠判定的？

3.學(xué)習(xí)本章內(nèi)容，可以解決一些實(shí)際問題，例如長(zhǎng)度與角度的度量問題，就是從全等三

角形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等出發(fā)，設(shè)法形成滿足全等條件的兩個(gè)三角形，從而得到結(jié)果。

4.學(xué)了本章，你對(duì)角的平分線有了哪些新的認(rèn)識(shí)？你能用全等三角形證明角的平分線的

性質(zhì)嗎？

5.你能結(jié)合本章的有關(guān)問題，說一說證明一個(gè)結(jié)論的過程嗎？

三、例題

1.如圖,AF=CE,DF=BE,DF〃BE,E、F在AC上。

求證：ZDCF=ZBAEo

解析因?yàn)镹BAE和NDCF分別在ABAE和ADCF中，所以

只需證明△DCF四△BAE。

方法規(guī)律：全等三角形是證明角相等的重要方法。圖13-1

2.如圖，RtABC中AB=AC,NBAC=90°,Z1=Z2,CE_LBD,且交BD

的延長(zhǎng)線于E,則BD與2CE有何關(guān)系？說明理由。

解析解決此題的關(guān)鍵在于如何表示2CE,觀察到N1=N2,BE1CE,

若將CE和BA分別延長(zhǎng)相交，可得全等三角形。2CE即可用其他線段

表示出來(lái)，然后設(shè)法建立與BD的聯(lián)系。

答案

BD=2CEo理由如下:圖13-3

延長(zhǎng)CE交BA的延長(zhǎng)線與鼠在ABEF和ABEC中,

Z1=Z2

BE=BE

ZBEC=ZBEF

所以aBECgZ\BEF(ASA)o

所以CE=EF。所以CF=2CE。

因?yàn)镹BAC-00。,所以Nl+NF-NF+NFCA。所以NLNFCA。

在ABAD和ACAF中，

Z1=ZACF

AB=AC

ZBAC=ZCAF

所以4BADgZXCAF(ASA)。

所以BD=CF(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)。

因?yàn)镃F=2CE,所以BD=2CE。

方法規(guī)律：全等三角形是研究線段間關(guān)系的重要工具。

3.已知：如圖，AB/7CD,DE=BF,AB=CD.A

求證：AE〃CF.

D/B

解析要證AE〃CF,只需證HiNE=NF,因此只要證得4ABE

^△CFD即可.因?yàn)镈E=BF,所以DE-BD=BF-BD,即BE=DF./\

方法規(guī)律：由平行線的判定條件知，全等三角形也是論證兩尸0

條直線平行的重要方法.

圖13-6

4.如圖，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,D是BC上一點(diǎn)，EC

±BC,EC=BD,DF=FE,則AF與DE垂直嗎?請(qǐng)說明理由.人屣、

解析若AD=AF,則可證aADF絲ZXAEF,所以可得NAFD=NBDC

AFE=90°.因此應(yīng)設(shè)法證明AD=AE。

圖13-7

答案AF_LDE成立，理由如下：因?yàn)锳B=AC,ZBAC=90°,所以NB=NACB=45°.因

為EC_LBC,所以NECD=90°.所以NECA=45°.所以NECA=NB。

在4ABD和AAEC中，

AB=AC

<ZB=ZECA

BD=EC

所以△ABDgZ\AEC(SAS).

所以AD=AE.在AADF和AAEF中，

AD=AE

<AF=AF

DF=EF

所以△ADFgZiAEF(SSS).

所以NAFD=NAFE=90°.

所以AF_LDE.

方法規(guī)律：全等三角形也是證明兩條直線垂直的重要方法.

5.在一次戰(zhàn)役中，如圖所示，我軍陣地與敵軍陣地隔河相望，為了炸掉這個(gè)碉堡，需要

知道碉堡與我軍陣地的距離.在不能過河測(cè)量又沒有任何測(cè)量工具的情況下，一個(gè)戰(zhàn)士想出

來(lái)這樣一種方法：

他面向碉堡的方向站好，然后調(diào)整帽子，使視線通過帽檐正好落在碉堡的底部；然后，

他轉(zhuǎn)過一個(gè)角度，保持剛才的姿態(tài)，這時(shí)視線落在了自己所在岸的某一點(diǎn)上；接著，他用步

測(cè)的辦法量出自己與那個(gè)點(diǎn)的距離，這個(gè)距離就是他與碉堡間的距離.

(1)你能解釋其中的道理嗎?

(2)按這個(gè)戰(zhàn)士的方法，找出教室或操場(chǎng)與你的距離相等的兩個(gè)點(diǎn)，并通過測(cè)量加以

驗(yàn)證.

圖13-8

解析這個(gè)戰(zhàn)士其實(shí)是應(yīng)用了全等三角形的條件一“ASA”,如圖13-9,△ABC^AA/

B'C',貝ijBC=B'C'.

圖13-9

答案(1)根據(jù)題意畫出示意圖13—9.由題意知，NA=NA',NB=NB'=90°，

AB=A/B'.

所以aABC02XA'B'C'(ASA)

所以BC=B'C’.因此測(cè)出B'C的長(zhǎng)即為BC的長(zhǎng).

(2)在具體操作時(shí)，可用一張紙或一本書代替帽檐，按照戰(zhàn)士的方法，測(cè)一下教室或

操場(chǎng)與觀察者的距離，從而進(jìn)一步檢驗(yàn)戰(zhàn)士做法的合理性.

經(jīng)驗(yàn)技巧：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型一全等三角形。實(shí)際應(yīng)用題是

近幾年中考命題的重點(diǎn)，平時(shí)應(yīng)多訓(xùn)練，提高建模能力。

四、鞏固與作業(yè)：復(fù)習(xí)題11相關(guān)

第十二章軸對(duì)稱

12.1軸對(duì)稱（一）

教學(xué)目標(biāo)：1.在生活實(shí)例中認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱圖.

2.分析軸對(duì)稱圖形，理解軸對(duì)稱的概念.

教學(xué)重點(diǎn)：軸對(duì)稱圖形的概念.

教學(xué)難點(diǎn)：能夠識(shí)別軸對(duì)稱圖形并找出它的對(duì)稱軸.

教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

我們生活在一個(gè)充滿對(duì)稱的世界中，許多建筑物都設(shè)計(jì)成對(duì)稱形，藝術(shù)作品的創(chuàng)作往往

也從對(duì)稱角度考慮，自然界的許多動(dòng)植物也按對(duì)稱形生長(zhǎng)，中國(guó)的方塊字中些也具有對(duì)稱

性……對(duì)稱給我們帶來(lái)多少美的感受！初步掌握對(duì)稱的奧秒，不僅可以幫助我們發(fā)現(xiàn)一些圖

形的特征，還可以使我們感受到自然界的美與和諧.

軸對(duì)稱是對(duì)稱中重要的一種，從這節(jié)課開始，我們來(lái)學(xué)習(xí)第十二章：軸對(duì)稱.今天我們

來(lái)研究第一節(jié)，認(rèn)識(shí)什么是軸對(duì)稱圖形，什么是對(duì)稱軸.

二、導(dǎo)入新課

出示課本的圖片，觀察它們都有些什么共同特征.

這些圖形都是對(duì)稱的.這些圖形從中間分開后，左右兩部分能夠完全重合.

小結(jié)：對(duì)稱現(xiàn)象無(wú)處不在，從自然景觀到分子結(jié)構(gòu)，從建筑物到藝術(shù)作品，甚至日常

生活用品，人們都可以找到對(duì)稱的例子.現(xiàn)在同學(xué)們就從我們生活周BI的事物中來(lái)找一些具

有對(duì)稱特征的例子.

結(jié)論：如果一個(gè)圖形沿一直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸

對(duì)稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸.這時(shí)，我們也說這個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）對(duì)

稱.

了解了軸對(duì)稱圖形及其對(duì)稱軸的概念后，我們來(lái)做一做.

取一張質(zhì)地較硬的紙，將紙對(duì)折，并用小刀在紙的中央隨意刻出一個(gè)圖案，將紙打開后

鋪平，你得到兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖案了嗎？與同伴進(jìn)行交流.

結(jié)論：位于折痕兩側(cè)的圖案是對(duì)稱的，它們可以互相重合.

由此可以得到軸對(duì)稱圖形的特征：一個(gè)圖形沿一條直線折疊后，折痕兩側(cè)的圖形完全重

合.

接下來(lái)我們來(lái)探討一個(gè)有關(guān)對(duì)稱軸的問題.有些軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸只有?條，但有的

軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸卻不止一條，有的軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸甚至有無(wú)數(shù)條。

練習(xí)：P30上，練習(xí)

看P30思考，大家想一想，你發(fā)現(xiàn)了什么？

像這樣，把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這

兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn).

三、隨堂練習(xí)：課本P30練習(xí)和P31練習(xí)

四、作業(yè)：課本P36習(xí)題12.1第1、2、6、7、8題.

五、課時(shí)小結(jié)

這節(jié)課我們主要認(rèn)識(shí)了軸對(duì)稱圖形，了解了軸對(duì)稱圖形及有關(guān)概念，進(jìn)一步探討了軸對(duì)

稱的特點(diǎn)，區(qū)分了軸對(duì)稱圖形和兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱.

12.1軸對(duì)稱（二）

教學(xué)目標(biāo)：1.了解兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱性的性質(zhì)，了解軸對(duì)稱圖形的性質(zhì).

2.探究線段垂直平分線的性質(zhì).

3.經(jīng)歷探索軸對(duì)稱圖形性質(zhì)的過程，進(jìn)一步體驗(yàn)軸對(duì)稱的特點(diǎn)，發(fā)展空間觀察.

教學(xué)重點(diǎn)：1.軸對(duì)稱的性質(zhì).2.線段垂直平分線的性質(zhì).

教學(xué)難點(diǎn)：體驗(yàn)軸對(duì)稱的特征.

教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

上節(jié)課我們共同探討了軸對(duì)稱圖形，知道現(xiàn)實(shí)生活中由于有軸對(duì)稱圖形，而使得世界

非常美麗.那么大家想一想，什么樣的圖形是軸對(duì)稱圖形呢？

今天繼續(xù)來(lái)研究軸對(duì)稱的性質(zhì).

二、新課：觀察、思考.

如圖，^ABC和4A'B'C'關(guān)于直線MN對(duì)稱，點(diǎn)A'、B'、C'分別

是點(diǎn)A、B、C的對(duì)稱點(diǎn)，線段AA'、BB，、CCZ與直線MN有什么關(guān)系？

圖中A、A'是對(duì)稱點(diǎn)，AA'與MN垂直，BB'和CC'也與MN垂直.

AA，、BB，和CC'與MN除了垂直以外還有什么關(guān)系嗎？

△ABC與AA'B'C'關(guān)于直線MN對(duì)稱，點(diǎn)A'、B'、C'分別是點(diǎn)A、

B、C的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)AA'交對(duì)稱軸MN于點(diǎn)P,將aABC和B'C'沿MN對(duì)折后，點(diǎn)A與

A'重合，于是有AP=A'P,ZMPA=ZMPAZ=90°.所以AA'、BB'和CC'與MN除了垂直

以外，MN還經(jīng)過線段AA'、BB'和CC'的中點(diǎn).

對(duì)稱軸所在直線經(jīng)過對(duì)稱點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段.我們把經(jīng)過線段中

點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.

下面我們來(lái)探究線段垂直平分線的性質(zhì).

[探究1]

如下圖.木條L與AB釘在一起，L垂直平分AB,P”Pz,P3,…是L上的

點(diǎn)，分別量一量點(diǎn)巴，P2,P3,…到A與B的距離，你有什么發(fā)現(xiàn)？

1.用平面圖將上述問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，先作出線段AB,過AB中點(diǎn)作AB

的垂直平分線L,在L上取P】、P2、P3…，連結(jié)AP1、AP/、BP】、BP?、CP-

CP2…

2.作好圖后，用直尺量出AhAP2、BR、BP2、CPi>CP2…討論發(fā)現(xiàn)什么樣的規(guī)律.

探究結(jié)果：

線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.即APkBP”APkBPz,…

[探究2]

如右圖.用一根木棒和一根彈性均勻的橡皮筋，做一個(gè)簡(jiǎn)易的“弓”，"箭”J1

通過木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向與木棒垂直呢？為什?—7

活動(dòng)：1.用平面圖形將上述問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化.作線段AB,取其中點(diǎn)P,過P作L,在L

上取點(diǎn)R、P2,連結(jié)APi、AP2、BR、BP2.會(huì)有以下兩種可能.

2.討論：要使L與AB垂直，APi、AP2、BP-BP2應(yīng)滿足什么條件？

探究過程:

1.如上圖甲，若APHBPi,那么沿L將圖形

折疊后,A與B不可能重合，也就是/APPiWNBPP”

即L與AB不垂直.——為

2.如上圖乙，若AP產(chǎn)BB,那么沿L將圖形折

疊后，A與B恰好重合，就有/AFP產(chǎn)NBPP”即L產(chǎn)B

與AB重合.當(dāng)AP?=BP2時(shí)，亦然.

探究結(jié)論：

與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.也就是說在［探究

2］圖中，只要使箭端到弓兩端的端點(diǎn)的距離相等，就能保持射出箭的方向與木棒垂直.

上述兩個(gè)探究問題的結(jié)果就給出了線段垂直平分線的性質(zhì)，即：線段垂直平分線上的點(diǎn)

與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；反過來(lái)，與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)都在它的垂直

平分線上.所以線段的垂直平分線可以看成是與線段兩端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合.

三、隨堂練習(xí)：課本P34練習(xí)1、2.

四、課后作業(yè)：課本P36習(xí)題12.1第3、4、5、9題.

五、課時(shí)小結(jié)

這節(jié)課通過探索軸對(duì)稱圖形對(duì)稱性的過程，了解了線段的垂直平分線的有關(guān)性質(zhì)，同

學(xué)們應(yīng)靈活運(yùn)用這些性質(zhì)來(lái)解決問題.

12.2.1作軸對(duì)稱圖形

教學(xué)目標(biāo)：1.通過實(shí)際操作，了解什么叫做軸對(duì)稱變換.

2.如何作出一個(gè)圖形關(guān)于一條直線的軸對(duì)稱圖形.

教學(xué)重點(diǎn)：1.軸對(duì)稱變換的定義.2.能夠按要求作出簡(jiǎn)單平面圖形經(jīng)過軸對(duì)稱后的圖形.

教學(xué)難點(diǎn)：1.作出簡(jiǎn)單平面圖形關(guān)于直線的軸對(duì)稱圖形.2.利用軸對(duì)稱進(jìn)行一些圖案設(shè)計(jì).

教學(xué)過程

一、設(shè)置情境，引入新課

在前一個(gè)章節(jié)，我們學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱圖形以及軸對(duì)稱圖形的一些相關(guān)的性質(zhì)問題.在上節(jié)

課的作業(yè)中，我們有個(gè)要求，讓同學(xué)們自己思考一種作軸對(duì)稱圖形的方法，現(xiàn)在來(lái)看一下同

學(xué)們完成的怎么樣.

將一張紙對(duì)折后，用針尖在紙上扎出一個(gè)圖案，將紙打開后鋪平，得到的兩個(gè)圖案是

關(guān)于折痕成軸對(duì)稱的圖形.

準(zhǔn)備一張質(zhì)地較軟，吸水性能好的紙或報(bào)紙，在紙的一側(cè)上滴上一滴墨水，將紙迅速對(duì)

折，壓平，并且手指壓出清晰的折痕.再將紙打開后鋪平，位于折痕兩側(cè)的墨跡圖案也是

對(duì)稱的.這節(jié)課我們就是來(lái)作簡(jiǎn)單平面圖形經(jīng)過軸對(duì)稱后的圖形.

二、新課

由我們已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)知道，連結(jié)任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段被對(duì)稱軸垂直平分.

類似地，我們也可以由一個(gè)圖形得到與它成軸對(duì)稱的另一個(gè)圖形，重復(fù)這個(gè)過程，可以得到

美麗的圖案。對(duì)稱軸方向和位置發(fā)生變化時(shí)，得到的圖形的方向和位置也會(huì)發(fā)生變化.

下面，同學(xué)們自己動(dòng)手在一張紙上畫一個(gè)圖形，將這張紙折疊描圖，再打開看看，得

到了什么？改變折痕的位置并重復(fù)幾次，又得到了什么？同學(xué)們互相交流一下.

結(jié)論：由一個(gè)平面圖形呆以得到它關(guān)于一條直線L對(duì)稱的圖形，這個(gè)圖形與原圖形的

形狀、大小完全相同；新圖形上的每一點(diǎn)，都是原圖形上的某一點(diǎn)關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)；連

結(jié)任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段被對(duì)稱軸垂直平分.

我們把上面由一個(gè)平面圖形得到它的軸對(duì)稱圖形叫做軸對(duì)稱變換.

成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形中的任何一個(gè)可以看作由另一個(gè)圖形經(jīng)過軸對(duì)稱變換后得到.一個(gè)

軸對(duì)稱圖形也可以看作以它的一部分為基礎(chǔ)，經(jīng)軸對(duì)稱變換擴(kuò)展而成的.

取一張長(zhǎng)30厘米，寬6厘米的紙條，將它每3厘米一段，一正一反像“手風(fēng)琴”那

樣折疊起來(lái)，并在折疊好的紙上面上字母E,用小刀把畫出的字母E挖去，拉開“手風(fēng)琴”,

你就可以得到以字母E為圖案的花邊.回答下列問題.

(1)在你所得的花邊中，相鄰兩個(gè)圖案有什么關(guān)系？相間的兩人圖案又有什么關(guān)系？

說說你的理由.

(2)如果以相鄰兩個(gè)圖案為一組，母一組圖案之間有什么關(guān)系？三個(gè)圖案為一組呢？

為什么？

(3)在上面的活動(dòng)中，如果先將紙條縱向?qū)φ?，再折成“手風(fēng)琴”，然后繼續(xù)上面的

步驟，此時(shí)會(huì)得到怎樣的花邊？它是軸對(duì)稱圖形嗎？先猜一猜，再做一做.

注：為了保證剪開后的紙條保持連結(jié)，畫出的圖案應(yīng)與折疊線稍遠(yuǎn)一些.

三、練習(xí)：P41

四、作業(yè)：P45-46習(xí)題12.2第1、5題

五、課時(shí)小結(jié)

本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了如何通過軸對(duì)稱變換來(lái)作出一個(gè)圖形的軸對(duì)稱圖形，并且利用

軸對(duì)稱變換來(lái)設(shè)計(jì)一些美麗的圖案.在利用軸對(duì)稱變換設(shè)計(jì)圖案時(shí)，要注意運(yùn)用對(duì)稱軸位置

和方向的變化，使我們?cè)O(shè)計(jì)出更新疑獨(dú)特的美麗圖案.

12.2.2用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱

教學(xué)目標(biāo)

1、在平面直角坐標(biāo)系中，確定軸對(duì)稱變換前后兩個(gè)圖形中特殊點(diǎn)的位置關(guān)系，2、2、

再利用軸對(duì)稱的性質(zhì)作出成粕對(duì)稱的圖形

教學(xué)重點(diǎn)：用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱

教學(xué)難點(diǎn)：利用轉(zhuǎn)化的思想，確定能代表軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵點(diǎn)

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)軸對(duì)稱圖形的有關(guān)性質(zhì)

二、新授：

1.學(xué)生探索：

點(diǎn)(x,y)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)(x,—y)；點(diǎn)(x,y)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)(一x,y)；

點(diǎn)(x,y)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)(一X,-y)

2.例3四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(—5,1)、B(—2,1)、C(-2,5)、D(-

5,4),分別作出與四邊形ABCD關(guān)于x軸和y軸對(duì)稱的圖形.

(1)歸納：與已知點(diǎn)關(guān)于y軸或x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律；

(2)學(xué)生畫圖

(3)對(duì)于這類問題，只要先求出已知圖形中的一些特殊點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，描出并順次

連接這些特殊點(diǎn)，就可以得到這個(gè)圖形的軸對(duì)稱圖形.

3、探究問題

分別作出^PQ!?關(guān)于直線x=l(記為m)和直線廠一1(記為n)對(duì)稱的圖形，你能發(fā)現(xiàn)它們的

對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間分別有什么關(guān)系嗎？

(1)學(xué)生畫圖，由具體的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)它們的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系

(2)若APIQIR[中P](X],yj關(guān)于x=l(記為m)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)P2(x2,y2),

若中Pi(X1,y＞關(guān)于y=-l(記為n)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)？2(x2,y2),

貝11X|=X2,"+=n.

2

三、練習(xí)：課本P44第1、2、3題

四、作業(yè)：課本P45第2、3、4、6題

教后反思

12.3.1.1等腰三角形（一）

教學(xué)目標(biāo)：1.等腰三角形的概念.2.等腰三角形的性質(zhì).

3.等腰三角形的概念及性質(zhì)的應(yīng)用.

教學(xué)重點(diǎn)：1.等腰三角形的概念及性質(zhì).2.等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)：等腰三角形三線合一的性質(zhì)的理解及其應(yīng)用.

教學(xué)過程

一、提出問題，創(chuàng)設(shè)情境

在前面的學(xué)習(xí)中，我們認(rèn)識(shí)了軸對(duì)稱圖形，探究了軸對(duì)稱的性質(zhì)，并且能夠作出一個(gè)

簡(jiǎn)單平面圖形關(guān)于某一直線的軸對(duì)稱圖形，還能夠通過軸對(duì)稱變換來(lái)設(shè)計(jì)一些美麗的圖

案.這節(jié)課我們就是從軸對(duì)稱的角度來(lái)認(rèn)識(shí)一些我們熟悉的幾何圖形.來(lái)研究：①三角形是

軸對(duì)稱圖形嗎？②什么樣的三角形是軸對(duì)稱圖形？

有的三角形是軸對(duì)稱圖形，有的三角形不是.

問題：那什么樣的三角形是軸對(duì)稱圖形？

滿足軸對(duì)稱的條件的二角形就是軸對(duì)稱圖形，也就是將二角形沿某一條直線對(duì)折后兩

部分能夠完全重合的就是軸對(duì)稱圖形.

我們這節(jié)課就來(lái)認(rèn)識(shí)一種成軸對(duì)稱圖形的三角形一等腰三角形.

二、新課：要求學(xué)生通過自己的思考來(lái)做一個(gè)等腰三角形.

A

B?

I

作一條直線L,在L上取點(diǎn)A,在L外取點(diǎn)B,作出點(diǎn)B關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)C,連結(jié)

AB、BC、CA,則可得到一個(gè)等腰三角形.

等腰三角形的定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.相等的兩邊叫做腰，另?

邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫底角.同學(xué)們?cè)谧约鹤鞒龅牡妊?/p>

角形中，注明它的腰、底邊、頂角和底角.

思考：

1.等腰三角形是軸對(duì)稱圖形嗎？請(qǐng)找出它的對(duì)稱軸.

2.等腰三角形的兩底角有什么關(guān)系？

3.頂角的平分線所在的直線是等腰三角形的對(duì)稱軸嗎？

4.底邊上的中線所在的直線是等腰三角形的對(duì)稱軸嗎？底邊上的高所在的直線呢？

結(jié)論：等腰三角形是軸對(duì)稱圖形.它的對(duì)稱軸是頂角的平分線所在的直線.因?yàn)榈妊?/p>

角形的兩腰相等，所以把這兩條腰重合對(duì)折三角形便知：等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)

稱軸是頂角的平分線所在的直線.

要求學(xué)生把自己做的等腰三角形進(jìn)行折疊，找出它的對(duì)稱軸，并看它的兩個(gè)底角有什么

關(guān)系.

沿等腰三角形的頂角的平分線對(duì)折，發(fā)現(xiàn)它兩旁的部分互相重合，由此可知這個(gè)等腰三

角形的兩個(gè)底角相等，而且還可以知道頂角的平分線既是底邊上的中線，也是底邊上的高.

由此可以得到等腰三角形的性質(zhì)：

1.等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”）.

2.等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線、底邊上的高互相重合（通常稱作“三線

合一”）.

由上面折疊的過程獲得啟發(fā)，我們可以通過作出等腰二角形的對(duì)稱軸，得到兩個(gè)全等的

三角形，從而利用三角形的全等來(lái)證明這些性質(zhì).同學(xué)們現(xiàn)在就動(dòng)手天寫出這些證明過程）.

［例1］如圖，在AABC中，AB=AC,點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD,

求：AABC各角的度數(shù).A

分析：根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)，我們可以得到

ZA=ZABD,ZABC=ZC=ZBIK,

再由NBDO/A+NABD,就可得到NABC=NONBDO2/A.BC

再由三角形內(nèi)角和為180°,就可求出△ABC的三個(gè)內(nèi)角.

把NA設(shè)為x的話，那么NABC、NC都可以用x來(lái)表示,這樣過程就更簡(jiǎn)捷.

解：因?yàn)锳B二AC,BD=BC=AD,

所以NABC=NC=NBDC.

ZA=ZABD（等邊對(duì)等角）.

設(shè)NA=x,則ZBDC=ZA+ZABD=2x,

從而ZABC=ZC=ZBDC=2x.

于是在AABC中，有

ZA+ZABC+ZC=x+2x+2x=180°,

解得x=36°.在aABC中，ZA=35°,ZABC=ZC=72°.

下面我們通過練習(xí)來(lái)鞏固這節(jié)課所學(xué)的知識(shí).

三、隨堂練習(xí)：1.課本P51練習(xí)1、2、3.2.閱讀課本P49?P5L然后小結(jié).

四、作業(yè)：課本P56習(xí)題12.3第1、2、3、4題.

五、課時(shí)小結(jié)

這節(jié)課我們主要探討了等腰三角形的性質(zhì)，并對(duì)性質(zhì)作了簡(jiǎn)單的應(yīng)用.等腰三角形是軸

對(duì)稱圖形，它的兩個(gè)底角相等（等邊對(duì)等角），等腰三角形的對(duì)稱軸是它頂角的平分線，并

且它的頂角平分線既是底邊上的中線，又是底邊上的高.

我們通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，首先就是要理解并掌握這些性質(zhì)，并且能夠靈活應(yīng)用它們