【高考數(shù)學 題型方法解密】專題13 計數(shù)原理(原卷及答案)-高考數(shù)學?？键c 重難點復習攻略（新高考專用）

專題13計數(shù)原理7類?？碱}型訓練

目錄

一常規(guī)題型方法...........................................................1

題型一分類分步問題（特殊位置與特殊元素優(yōu)先法、染色問題、排數(shù)問題）....1

題型二排隊模型（捆綁法、插空法、縮倍法、間接法）.......................3

題型三分組模型（平均分組與不平均分組、隔板法、間接法）.................5

題型四二項式定理、二項式系數(shù)、項的系數(shù)..................................8

題型五三項展開式與兩個二項式乘積展開式.................................10

題型六二項式定理逆用、整除問題、近似值問題............................11

題型七楊輝三角.........................................................12

二針對性鞏固練習........................................................14

練習一分類分步問題（特殊位置與特殊元素優(yōu)先法、染色問題、排數(shù)問題）……―14

練習二排隊模型（捆綁法、插空法、縮倍法、間接法）......................14

練習三分組模型（平均分組與不平均分組、隔板法、間接法）................15

練習四二項式定理、二項式系數(shù)、項的系數(shù).................................16

練習五三項展開式與兩個二項式乘積展開式.................................17

練習六二項式定理逆用、整除問題、近似值問題............................17

練習七楊輝三角.........................................................18

常規(guī)題型方法

題型一分類分步問題（特殊位置與特殊元素優(yōu)先法、染色問題、排

數(shù)問題）

【典例分析】

典例1-1.（2023秋?河北石家莊?高二校聯(lián)考期末）2023年元旦假期，小明同學外出

去某超市購物，獲得了該超市的一次抽獎機會，需從9個外觀完全相同的盲盒中，

隨機抽取3個.已知這9個盲盒中，其中3個盲盒各裝有1支完全相同的鋼筆，另

外6個盲盒中，各裝有不同的1個小飾品，則拆開選取的3個盲盒后，小明獲獎的

情形為（）種

A.84B.42C.41D.35

典例12（2022秋.遼寧朝陽?高二校聯(lián)考階段練習）“誰知盤中餐，粒粒皆辛苦”，

節(jié)約糧食是我國的傳統(tǒng)美德.已知學校食堂中午有2種主食、6種素菜、5種葷菜,

小華準備從中選取1種主食、1種素菜、1種葷菜作為午飯，并全部吃完，則不同的

選取方法有（）

A.13種B.22種C.30種D.60種

典例1-3.（2023?全國?高三專題練習）如圖，矩形的對角線把矩形分成4、B、C、D

四部分，現(xiàn)用五種不同色彩給四部分涂色，每部分涂1種顏色，要求共邊的兩部分

顏色互異，共有（）種不同的涂色方法？

A.260B.180C.240D.120

典例1-4.（2022春?天津河西?高二天津實驗中學?？计谥校?24,6中任取3個數(shù)

字，從1,3,5中任取2個數(shù)字，組成沒有重復數(shù)字的五位奇數(shù)，則這樣的五位數(shù)共有

（）

A.252B.396C.468D.612

【方法技巧總結】

1.技巧：注意特殊位置與特殊元素優(yōu)先處理，對于染色問題與排數(shù)問題都要注意分

類討論。

【變式訓練】

1.（2022秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考階段練習）已知電影院有三部影片同時上映，一部

動畫片，一部喜劇片，一部動作片，5名同學前去觀看，若喜劇片和動作片各至少

兩人觀看，則不同的觀影方案共有（）種.

A.30B.40C.50D.80

2.（2022春?上海閔行?高二校考期末）現(xiàn)有5名同學去聽同時進行的4個課外知識

講座，每名同學可自由選擇其中的一個講座，不同選法的種數(shù)是（）

A.45B.54C.20D.9

3.（2023?全國?高三專題練習）某兒童游樂園有5個區(qū)域要涂上顏色，現(xiàn)有四種不同

顏色的油漆可供選擇，要求相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則符合條件的涂色方案有

（）種

A.36B.48C.54D.72

4.（2022春?廣東清遠福二統(tǒng)考期末）回文聯(lián)是我國對聯(lián)中的一種，它是用回文形

式寫成的對聯(lián)，既可順讀，也可倒讀，不僅意思不變，而且頗具趣味.相傳，清代

北京城里有一家飯館叫“天然居”，曾有一副有名的回文聯(lián)：“客上天然居，居然天上

客；人過大佛寺，寺佛大過人.”在數(shù)學中也有這樣一類順讀與例讀都是同一個數(shù)的

正整數(shù)，被稱為“回文數(shù)”，如22,575,1661等.那么用數(shù)字1,2,3,4,5可以

組成4位“回文數(shù)”的個數(shù)為（）

A.25B.20C.30D.36

題型二排隊模型（捆綁法、插空法、縮倍法、間接法）

【典例分析】

典例2-1.（2022秋?遼寧葫蘆島?高二校聯(lián)考期中）小陳準備將新買的《尚書?禮記》、

《左傳》、《孟子》、《論語》、《詩經(jīng)》五本書立起來放在書架上，若要求《論語》、《詩

A.18種B.24種C.36種D.48種

典例2-2.（2022秋?遼寧朝陽?高二校聯(lián)考階段練習）《紅樓夢》是中國古代章回體長

篇小說，中國古典四大名著之一，《紅樓夢》第三十七回賈探春提議邀集大觀園中有

文采的人組成海棠詩社.詩社成立目的旨在“宴集詩人於風庭月榭；醉飛吟盞於簾杏

溪桃，作詩吟辭以顯大觀園眾姊妹之文采不讓桃李須眉詩社成員有8人：林黛玉、

薛寶釵、史湘云、賈迎春、賈探春、賈惜春、賈寶玉及李紈，若這8人排成一排進

人大觀園，且林黛玉、薛寶釵、賈寶玉3人不相鄰，則不同的排法種數(shù)有（）

A.1440R.2400C.14400D.86400

典例2-3.（2022秋?遼寧鐵嶺?高二昌圖縣第一高級中學?？茧A段練習）元宵節(jié)燈展

后，懸掛有8盞不同的花燈需要取下，如圖所示，每次取1盞，則不同的取法共有

C.90種D.280種

典例2-4.（2022?全國?高三專題練習）某晚會上需要安排4個歌舞類節(jié)目和2個語言

類節(jié)目的演出順序，要求語言類節(jié)目之間有且僅有2個歌舞類節(jié)目，則不同的演出

方案的種數(shù)為（）.

A.72B.96C.120D.144

【方法技巧總結】

1.技巧：相鄰問題用捆綁法；不相鄰問題用插空法；定序問題與環(huán)排問題可用縮倍

法；當正向思考情況過多時可“正難則反”使用間接法來處理。

【變式訓練】

1.（2022秋?浙江?高二校聯(lián)考階段練習）某學?；I備元旦晚會節(jié)目單時，準備在前

五個節(jié)目排三個歌唱節(jié)目，一個小品節(jié)目以及一個相聲節(jié)目，若三個歌唱節(jié)目最多

有兩個相鄰，則不同的排法總數(shù)為（）

A.75B.80C.84D.96

2.（2022秋?湖北褰陽?高三襄陽五中?？茧A段練習）根據(jù)新課改要求，昆明市藝卓

中學對學校的課程進行重新編排，其中對高二理科班的課程科目：語文、數(shù)學、英

語、物理、化學、生物這六個科目進行重新編排（排某一天連續(xù)六節(jié)課的課程，其

中每一節(jié)課是一個科目），編排課程要求如下：數(shù)學與物理不能相鄰，語文與生物要

相鄰，則針對這六個課程不同的排課順序共有（）

A.144種B.72種C.36種D.18種

3.（2022春?江蘇蘇州?高二昆山震川高級中學校考期中）現(xiàn)有8個人圍成一圈玩游

戲，其中甲、乙、丙三人不全相鄰的排法種數(shù)為（）

A.B.A”A：A；C.A；A；D.A；-A；A；

4.（2022秋?黑龍江哈爾濱?高二哈爾濱工業(yè)大學附屬中學校校考階段練習）中國古

代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”，合稱“六藝”.“禮”主要指德育;“樂”主要指美育；

“射”和“御”就是休育和勞動；“書”指各種歷史文化知識；“數(shù)”指數(shù)學.某校國學社團

開展“六藝”講座活動，每次講一藝.講座次序要求“數(shù)”不在第一次也不在第六次，“禮''

和“樂”不相鄰，貝IJ“六藝”講座不同的次序共有（）

A.480種B.336種C.144和D.96種

題型三分組模型（平均分組與不平均分組、隔板法、間接法）

【典例分析】

典例3-1.（2022秋?新疆巴音郭楞?高二新疆和靜高級中學?？茧A段練習）中國空間

站的主體結構包括天和核心實驗艙、問天實驗艙和夢天實驗艙，假設空間站要安排甲

、乙等6名航天員開展實驗，三艙中每個艙至少一人至多三人，則不同的安排方法有

<）種

A.450B.72C.90D.360

典例3-2.（2022?全國?高三專題練習）疫情期間，有6名同學去社區(qū)做防疫志愿者，

根據(jù)需要，要安排這6名同學去甲、乙兩個核酸檢測點，每個檢測點至少去2名同學，

則不同的安排方法共有（）

A.10種B.20種C.50利?D.70種

典例3-3.（2022春?黑龍江佳木斯?高二校聯(lián)考期末）北京2022年冬奧會吉祥物“冰

墩墩”和冬殘奧會吉祥物，雪容融”一亮相，好評不斷，這是一次中國文化與奧林匹克

精神的完美結合，是一次現(xiàn)代設計理念的傳承與突破.為了宣傳2022年北京冬奧會

和冬殘奧會，某學校決定派小明和小李等5名志愿者將兩個吉祥物安裝在學校的體

育廣場，若小明和小李必須安裝不同的吉祥物，且每個吉祥物都至少由兩名志愿者

安裝，則不同的安裝方案種數(shù)為（）

A.8B.10C.12D.14

典例3-4.（2022?山東濰坊?二模）某學校為增進學生體質，擬舉辦長跑比賽，該學校

高一年級共有6個班，現(xiàn)將8個參賽名額分配給這6個班，每班至少1個參賽名額，則

不同的分配方法共有（）

A.15種B.21種C.30種D.35種

典例3-5.（2023?全國?高三專題練習）北京冬奧會期間，比賽項目豐富多彩，為了實

時報道精彩的比賽過程，需要安排5名記者前往國家體育場、國家體育館和首都體

育館二個比賽場地進行實地報道,每個場地至少有一名記者,每名記者只夫一個場地.

并且記者甲不去國家體育館，記者乙不去國家體育場.則安排方式共有（）

A.87種B.72種C.96種D.69種

【方法技巧總結】

1.技巧：在分組時如果出現(xiàn)兩組個數(shù)相同，則此問題為平均分組或部分平均分組問

題，使用縮倍法處理；元素完全相同的分組分配問題可使用隔板法。

【變式訓練】

1.（2022秋?甘肅張掖?高三高臺縣第一中學?？茧A段練習）安徽省地形具有平原、

臺地（崗地）、丘陵、山地等類型，其中丘陵地區(qū)占了很大比重，因此山地較多，著

名的山也有很多，比如：黃山、九華山、天柱山.某校開設了研學旅行課程，計劃將

5名優(yōu)秀學生分別派往這三個地方進行研學旅行，每座山至少有一名學生參加，則

不同的安排方案種數(shù)是（）

A.150B.120C.160D.180

2.（2023?全國?高三專題練習）為貫徹落實《中共中央國務院關于全面深化新時代教

師隊伍建設改革意見》精神，加強義務教育教師隊伍管理，推動義務教育優(yōu)質均衡

發(fā)展，安徽省全面實施中小學教師“縣管校聘”管理改革，支持建設城鄉(xiāng)學校共同

體.2022年暑期某市教體局計劃安排市區(qū)學校的6名骨干教師去4所鄉(xiāng)鎮(zhèn)學校工作一

年，每所學校至少安排1人，則不同安排方案的總數(shù)為（）

A.2640B.1440C.2160D.1560

3.（2023?全國?高三專題練習）2022年北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥

物“雪容融”，有著可愛的外表和豐富的寓意，深受各國人民的喜愛.為了表彰A、8兩

個志愿者小組，組委會決定將3個不同造型的“冰墩墩''吉祥物和3個不同造型“雪容

融'‘吉祥物，平均分配給A、8兩個小組，要求每個小組至少有一個“冰墩墩”，則這6

個吉祥物的分配方法種數(shù)為（）

A.9B.18C.19D.20

4.（2022.全國?高二專題練習）袋中有十個完全相同的乒乓球，四個小朋友去取球,

每個小朋友至少取一個球，所有的球都被取完，最后四個小朋友手中乒乓球個數(shù)的

情況一共有（）

A.84種B.504種C.729和D.39種

5.（2022?浙江嘉興?校考模擬預測）第19屆亞運會即將于2022年9月10日至9月

25日在美麗的西子湖畔杭州召開，為了辦好這?屆“中國特色、浙江風采、杭州韻

味、精彩紛呈”的體育文化盛會，杭州亞運會組委會決定進行賽會志愿者招募，此舉

得到在杭大學生的踴躍支持.某高校3男同學和2位女同學通過篩選加入志愿者服務,

通過培訓，擬安排在游泳、籃球、射擊、體操四個項目進行志愿者服務，這四個項

目都有人參加，要求2位女同學不安排一起，且男司學小王、女同學大雅由于專業(yè)

需要必須分開，則不同的安排方法種數(shù)有（）

A.144B.150C.168D.192

題型四二項式定理、二項式系數(shù)、項的系數(shù)

【典例分析】

/1\'0

典例4-1.（2022秋?吉林長春?高三長春外國語學校?？计谥械恼归_式中,

力的系數(shù)等于（）

A.-45B.-10C.10D.45

典例4-2.（2022?全國?高三專題練習）已知（五十1]的展開式中，第3項的系數(shù)與

倒數(shù)第3項的系數(shù)之比為白，則展開式中二項式系數(shù)最大的項為第（）項.

10

A.3B.4C.5D.6

典例4-3.（2022秋?云南昆明?高三云南師大附中?？茧A段練習）二項式,十9]’的

展開式中所有二項式系數(shù)之和為64,則二項式的展開式中常數(shù)項為（）

A.9B.15C.135D.540

典例4-4.（2022春?江蘇揚州?高二揚州市江都區(qū)丁溝中學校考期末）若二項式

,的展開式中所有項的系數(shù)和為1024,則展開式中的常數(shù)項為（）

A.25B.-25C.15D.-15

典例4-5.（2023秋?江蘇泰州?高三統(tǒng)考期末）若（x+y『=%），6+a因，5+的k/+...+4,巴

則（40+。2+q+。6）2-卜71+%+%）2的值為（）

A.0B.32C.64D.128

典例4-6.（2023秋?江西南昌?高二南昌市外國語學校校考期末）已知

4525

（x-1）+2X=a0+?,（x+l）+a2（x+l）++a5（x+l）,則生=（）

A.-2B.2C.4D.12

【方法技巧總結】

1.二項式定理:（a+〃）"=C%"+C『%+???+「/"+??＜1?"，通項：

2.相關性質：

（1）對稱性：與首末兩端等距離的兩個二項式系數(shù)相等。即C：=C,T”

（2）當A＜四時，二項式系數(shù)逐漸增大；當”＞四時，二項式系數(shù)逐漸減小。

22

（3）二項式系數(shù)的最大值

當〃是偶數(shù)時，中間一項（第1+1項）的二項式系數(shù)最大，最大值C。

當〃是奇數(shù)時，中間兩項（第±1+1項和第四+］項）的二項式系數(shù)相等，且同時

22

w-1/J>I

取到最大值，最大值為。了或C7。

（4）各二項式系數(shù)的和

（〃+%）”的展開式的各二項式系數(shù)的和等于2”;奇數(shù)項和偶數(shù)項的二項系數(shù)的和相等,

為。

（5）各項系數(shù)的問題：/*）=/+中+W2+...4心則各項系數(shù)之和為了⑴。奇數(shù)

項系數(shù)之和…+#..=/”（一）;偶數(shù)項系數(shù)之和

Al）-y（-l）

4+/+%+-='——j——。

【變式訓練】

1.（2000?全國?高考真題）二項式（正+石幻’°的展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項共有（）

A.6項B.7項C.8項D.9項

2.（2022?浙江??？寄M預測）若二項式（2x+

的展開式中只有第7項的

二項式系數(shù)最大，若展開式的有理項中第攵項的系數(shù)最大，則A=（）

A.5B.6C.7D.8

3.（2022春?山東聊城?高二山東聊城一中?？计谥校┮阎↖T）"的展開式中第3項與

第7項的二項式系數(shù)相等，則展開式中的第3項為（）

A.-8B.-8xC.-28/D.28/

4.（2023秋?甘肅蘭州?高三蘭化一中校考階段練習），+與"的展開式中只有第5項

的二項式系數(shù)最大，若展開式中所有項的系數(shù)和為256,則。的值為（）

A.1B.-1C.3D.1或-3

5.（2022?全國?高三專題練習）已知C：=C；,設

（2x-3）r，=（x-1）+（x-1）2+■??+??（x-1）°,則q+G+…+4=（）

A.-1B.0C.1D.2

6.（2022春?山東臨沂?高二統(tǒng)考期中）對任意實數(shù)工,有

9

（2彳-3）9=恁+4（彳-1）+出（工-1『+〃3（4-1）3++a9（x-l）,貝lj（）

A.%=1B.a2=-144

9

C.?i+a2++%=1D.?0-tzl+6f2----679=3

題型五三項展開式與兩個二項式乘積展開式

【典例分析】

典例5-1.（2022秋?重慶沙坪壩?高三重慶南開中學?？茧A段練習）（2/+），+1了的展

開式中一/項的系數(shù)為（）

A.120B.160C.180D.210

典例5-2.（2022秋?山西?高三校聯(lián)考階段練習）在《+”.12+］了的展開式中，常數(shù)

項為（）

A.12B.13C.15D.18

【方法技巧總結】

1.技巧：選取法可以處理上述兩類不標準的情況，注意選取要分情況，且滿足不重

不漏。

【變式訓練】

1.（2022秋?貴州?高三校聯(lián)考階段練習）在化-x+i1的展開式中，常數(shù)項為（）

A.-81B.81C.-160D.160

2.（2022?青海西寧遵川中學?？家荒＃?+力（2必亡）的展開式中的常數(shù)項是（）

A.-160B.-l（X）C.-20D.20

題型六二項式定理逆用、整除問題、近似值問題

【典例分析】

典例6-1.（2022秋?湖南長沙?高三雅禮中學?？茧A段練習）

-2%+22dg+…+2］必譚的值是（）

A.0B.1C.-ID.22022

典例6-2.（2023?高二課時練習）設awZ,且0313,若51刈$+a能被13整除,則

。的值為（）.

A.0B.1C.11D.12

典例6-3.（2023?全國?高二專題練習）0.99,的計算結果精確到0.001的近似值是（）

A.0.930B.0.931C.0.932D.0.933

【方法技巧總結】

1.技巧：二項式定理逆用要熟悉兩類模型，并注意補項；整除問題與近似值問題都

主要進行配湊展開。

【變式訓練】

1.（2021春?江蘇淮安?高二校聯(lián)考期中）設復數(shù)（i是虛數(shù)單位），則

1-1

C/x+Cir+C短2^3++C器”22=（）

A.-2B.-zC.2D.0

2.（2022?全國?高三專題練習）已知SnZ-ZRc然+2?8殿+…+2C',則s除以10所

得的余數(shù)是（）

A.2B.3C.6D.8

3.（2021春?安徽?高二校聯(lián)考期末）估算

C!0.998+C；0.9982+C0.9983+C；0.998』+C?.998s的結果，精確到001的近似值為：）

A.30.84B.31.84C.30.40D.32.16

題型七楊輝三角

【典例分析】

典例7-1.（2022?全國?高三專題練習）下表出現(xiàn)在我國南宋數(shù)學家楊輝的著作《詳解

九章算法》中，稱之為“楊輝三角”，該表中第10行第7個數(shù)是（）

C.84D.36

典例7-2.（2022秋?北京?高三統(tǒng)考階段練習）“楊輝三角”是中國古代數(shù)學文化的現(xiàn)

寶之一，最早出現(xiàn)在中國南宋數(shù)學家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》一書中.

如圖，若在“楊輝三角”中從第2行右邊的1開始按“鋸齒形”排列的箭頭所指的數(shù)依

次構成一個數(shù)列：1,2,3,3,6,4,10,5,…，則此數(shù)列的前20項的和為（）

第1行11

第2行12^-1

第3行13<-3I

第4行14^—641

第5行15To105I

A.350B.295C.285D.230

【方法技巧總結】

1.技巧：注意把每一行對應還原二項式，從而能夠把任一行任一列的數(shù)寫成二項式

系數(shù)；與數(shù)列結合的題需注意新數(shù)列的項數(shù)求法與二項式性質的結合。

【變式訓練】

1.（2022春?廣東肇慶?高二校聯(lián)考階段練習）習近平總書記在“十九大”報告中指出:

堅定文化自信，推動中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化創(chuàng)造性轉化，“楊輝三角”揭示了二項式系數(shù)

在三角形中的一種幾何排列規(guī)律，最早在中國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解

九章算法》一書中出現(xiàn)歐洲數(shù)學家帕斯卡在1654年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，比楊輝要晚近

四百年.“楊輝三角”是中國數(shù)學史上的一個偉大成就，激發(fā)起一批又一批數(shù)學愛好

者的探究欲望，如圖，在由二項式系數(shù)所構成的“楊輝三角''中，第】0行中從左至右

第5與第6個數(shù)的比值為（）

第。行I

第I行11

第2行121

第3行1331

14641

第5療I51010II

2.（2020春.湖南長沙高一湖南師大附中?？计谀┪覈纤螖?shù)學家楊輝1261年所

著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學史上的

一個偉大成就.在“楊輝三角''中，若去除所有為1的項,依次構成數(shù)列2,3,3,4,

6,4,5,10,10,5,則此數(shù)列的前56項和為（）

A.2060B.2038C.4084D.4108

針對性鞏固練習

練習一分類分步問題（特殊位置與特殊元素優(yōu)先法、染色問題、排

數(shù)問題）

1.（2022秋?福建莆田?高二?？计谀┮阎状又醒b有1個紅球和3個白球，乙

袋子中裝有3個紅球和2個白球，若從甲、乙兩個袋子中各取出2個球，則取出的

4個球中恰有2個紅球的不同取法共有（）

A.9種B.18種C.27種D.36種

2.（2022春?福建?高二福建師大附中?？计谥校┧拿麕煼渡鷱腁,B,C三所學校中

任選一所進行教學實習，其中A學校必有師范生去，則不同的選法方案有（）

A.37種B.65種C.96種D.108種

3.（2022秋?吉林四平?高二四平市第一高級中學?？茧A段練習）給如圖所示的5塊

區(qū)域A,B,C,D,E涂色,要求同一區(qū)域用同一種顏色，有公共邊的區(qū)域使月不

同的顏色，現(xiàn)有紅、黃、藍、綠、橙5種顏色可供選擇，則不同的涂色方法有（）

A.120種B.720種C.840和D.960種

4.（2022?全國?高三專題練習）用1,2,3…，9這九個數(shù)字組成的無重復數(shù)字的四

位偶數(shù)中，各位數(shù)字之和為奇數(shù)的共有（）

A.600個B.540個C.480個D.420個

練習二排隊模型（捆綁法、插空法、縮倍法、間接法）

5.（2023?全國?高三專題練習）在某個單位迎新晚會上有A、B、C、。、E、尸6個節(jié)

目，單位為了考慮整體效果，對節(jié)目演出順序有如下具體要求，節(jié)目C必須安排在

第三位，節(jié)目。、戶必須安排連在一起，則該單位迎新晚會節(jié)目演出順序的編排方

案共有（）種

A.36B.48C.60D.72

6.（2023?全國?高三專題練習）現(xiàn)有6家商戶預租賃某夜市的6個相鄰的推位，其中

3家商戶開特色小吃店，2家商戶開文創(chuàng)產(chǎn)品店，一家商戶開新奇玩具店，夜市管理

部門要求特色小吃店必須都相鄰，且文創(chuàng)產(chǎn)品店不相鄰，則不同的排法總數(shù)為（）

A.48B.72C.144D.96

7.（2022?全國?高二假期作業(yè)）為引領廣大家庭和少年兒童繼承黨的光榮傳統(tǒng)、弘揚

黨的優(yōu)良作風，進一步增強聽黨話、感黨恩、跟黨走的思想自覺性和行動自覺性，

某市文明辦舉行“少年兒童心向黨''主題活動，獻禮中國共產(chǎn)黨成立100周年原定表

演6個節(jié)目，已排成節(jié)目單，開演前又臨時增加了2個互動節(jié)目.如果保持原節(jié)目

的順序不變，那么不同排法的種數(shù)為（）

A.42B.56C.30D.72

8.（2023?全國?高三專題練習）舉世矚目的第24屆冬奧會于2022年2月4日至2

月20日在北京舉辦，某高校甲、乙、丙、丁、戊5位大學生志愿者前往A、B、C、

。四個場館服務，每一位志愿者只去一個場館，每個場館至少分配一位志愿者，由

于工作需要甲同學和乙司學不能去同一場館，則所有不同的安排方法種數(shù)為（）

A.216B.180C.108D.72

練習三分組模型（平均分組與不平均分組、隔板法、間接法）

9.（2022春?安徽?高二合肥一中校聯(lián)考期末）第24屆冬季奧運會于2022年2月4

日至2022年2月20日在北京市和河北省張家口市成功舉行，舉世矚比中國奧運健

兒取得了多項歷史性的突破，比賽期間要安排甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去國

家高山滑雪館，國家速滑館，首鋼滑雪大跳臺三個場館參加活動，要求每人去一個

場館，每個場館都要有人去，則不同的方案種數(shù)為（）

A.120B.150C.240D.300

10.（2022秋?四川眉山?高三?？奸_學考試）2021年4月24日是第六個“中國航天日”,

今年的主題是“揚帆起航逐夢九天為了制作一期展示我國近年來航天成就的展覽,

某?？破招〗M的6名同學，計劃分“神舟飛天”、“嫦娥奔月”、“火星探測”3個展區(qū)制作

展板，每人只負貢一個展區(qū)，每個展區(qū)至少有一人負貢，則不同的任務分配方案有

（）

A.990種B.630種C.540和D.480種

11.（2023?全國?高三專題練習）甲、乙、丙、丁共4名學生報名參加夏季運動會，每人

報名1個項目，目前有100米短跑、3000米長跑、跳高、跳遠、鉛球這5個項目可供

選擇，其中100米短跑只剩下一個參賽名額，若最后這4人共選擇了3個項目，則

不同的報名情況共有（）

A.224種B.288種C.314和D.248種

12.（2022春?吉林延邊?高二延邊二中?？计谥校┌?個相同的小球放入4個不同的

箱子中，每個箱子都不空，共有多少種放法（）

A.10種B.24種C.36種D.60種

13.（2022?全國?高三專題練習）中國空間站的主體結構包括天和核心實驗艙、問天實

驗艙和夢天實驗艙，假設空間站要安排甲、乙等5名航天員開展實驗，二:艙中每個艙

至少一人至多二人，則甲乙不在同一實驗艙的種數(shù)有（）

A.60B.66C.72D.80

練習四二項式定理、二項式系數(shù)、項的系數(shù)

/1\10

14.（2022秋?甘肅蘭州?高三蘭州四北中學校考期中）的展開式中丁項的

<7x）

系數(shù)是（）

A.-45B.45C.-120D.120

15.（2022?江蘇南京?南京市江寧高級中學?？寄M預測）已知（1+2幻”的展開式中第

3項與第5項的二項式系數(shù)相等，則（1+2幻”的展開式的各項系數(shù)之和為（）

A.26B.28C.36D.38

16.（2022春?廣西欽州高二欽州一中?？计谥校┤簦▁+3）”展開式的各項系數(shù)和等于

（7〃+。）“，展開式的一項式系數(shù)之和，貝心的值為（）

A.5B.8C.10D.15

17.（2023?全國?高二專題練習）已知（五-2［的展開式中只有第5項是二項式系數(shù)

\X）

最大，則該展開式中各頊系數(shù)的最小值為（）

A.-448B.-1024C.-1792D.-5376

32

18.（1999?全國?高考真題）（2x+\/3）=?（）+axx+azx+,則（4+?）?-（4+?）?

的值為（）

A.-1B.1C.0D.2

19.（2022春.江西撫州.高二南城縣第二中學校考階段練習）若

（X+I），=〃0+4（4-1）+〃2（]-1）2+…+。式/一1）5,則“3等于（）.

A.80B.40C.10D.1

練習五三項展開式與兩個二項式乘積展開式

20.（2022秋?山東?高三校聯(lián)考階段練習）在卜+：-]1的展開式中，含V項的系數(shù)

為（）.

A.10B.15C.20D.30

21.（2022春?江蘇無錫高二江蘇省天一中學?？计谥校┤簦?+〃/）（1+“的展開式中

父的系數(shù)為20,則實數(shù)（）

A.1B.2C.3D.4

練習六二項式定理逆用、整除問題、近似值問題

22.（2022?全國?高三專題練習）化簡C02+C；O22+...+C牌。等于（）

A.210-1B.3,0-1C.2,0+1D.3,0+1

23.（2022秋?遼寧沈陽?高二沈陽市笫一二O中學校考階段練習）10嚴被9除的余數(shù)

為（）

A.5B.6C.7D.8

24.(2021?高二課時練習)1.02,的近似值(精確到o.oi)為()

A.1.12B.1.13C.1.14D.1.20

練習七楊輝三角

25.（2022春?陜西西安.高二?？茧A段練習）楊輝是我國南宋末年的一位杰出的數(shù)學

家.在他著的《詳解九章算法》一書中，畫了一張表示二項式展開后的系數(shù)構成的三

角形數(shù)陣（如圖所示），稱做“開方做法本源”，現(xiàn)在簡稱為“楊輝三角”，它是楊輝的

一大重要研究成果.它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年.若用％一表示三角形數(shù)陣

的第i行第1個數(shù),則。必3=（）

1

11

121

1331

14641

15101051

1615201561

172135352171

18285670562881

193684126126843691

A.5050B.4851C.4950D.5000

26.（2022春?吉林長春?高二長春市實驗中學?？茧A段練習）楊輝三角，又稱帕斯卡

三角，是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在我國南宋數(shù)學家楊輝所著的《評

解九章算法》（1261年）一書中用如圖所示的三角形解釋二項式乘方展開式的系數(shù)規(guī)

律，現(xiàn)把楊輝三角中的數(shù)從上到下，從左到右依次排列，得數(shù)列：1,1,1,1,2,

1,1,3,3,1,1,4,6,4,1……記作數(shù)列｛%｝,若數(shù)列｛4｝的前〃項和為5.，

則%=()

專題13計數(shù)原理7類?？碱}型訓練

目錄

一常規(guī)題型方法...........................................................1

題型一分類分步問題（特殊位置與特殊元素優(yōu)先法、染色問題、排數(shù)問題）....1

題型二排隊模型（捆綁法、插空法、縮倍法、間接法）.......................6

題型三分組模型（平均分組與不平均分組、隔板法、間接法）................10

題型四二項式定理、二項式系數(shù)、項的系數(shù).................................15

題型五三項展開式與兩個二項式乘積展開式.................................21

題型六二項式定理逆用、整除問題、近似值問題............................23

題型七楊輝三角.........................................................25

二針對性鞏固練習........................................................28

練習一分類分步問題（特殊位置與特殊元素優(yōu)先法、染色問題、排數(shù)問題）……―28

練習二排隊模型（捆綁法、插空法、縮倍法、間接法）......................30

練習三分組模型（平均分組與不平均分組、隔板法、間接法）................32

練習四二項式定理、二項式系數(shù)、項的系數(shù).................................34

練習五三項展開式與兩個二項式乘積展開式.................................36

練習六二項式定理逆用、整除問題、近似值問題............................37

練習七楊輝三角.........................................................38

常規(guī)題型方法

題型一分類分步問題（特殊位置與特殊元素優(yōu)先法、染色問題、排

數(shù)問題）

【典例分析】

典例1-1.（2023秋?河北石家莊?高二校聯(lián)考期末）2023年元旦假期，小明同學外出

去某超市購物，獲得了該超市的一次抽獎機會，需從9個外觀完全相同的盲盒中，

隨機抽取3個.已知這9個盲盒中，其中3個盲盒各裝有1支完全相同的鋼筆，另

外6個盲盒中，各裝有不同的1個小飾品，則拆開選取的3個盲盒后，小明獲獎的

情形為（）種

A.84B.42C.41D.35

【答案】B

【分析】對抽到鋼筆的情形分4種情況討論，按照分類加法計數(shù)原理計算可得.

【詳解】解：依題意小明抽到1支鋼筆，則抽到2個不同的小飾品，有C；=15種；

小明抽到2支鋼筆，則抽到1個不同的小飾品，有C：=6種；

小明抽到3支鋼筆，則只有1種;

小明抽到。支鋼筆，則抽到3個不同的小飾品，由C；=20種；

綜上可得小明獲獎的情形有15+6+1+20=42種.

故選：B

典例1-2.（2022秋?遼寧朝陽?高二校聯(lián)考階段練習）“誰知盤中餐，粒粒皆辛苦”，

節(jié)約糧食是我國的傳統(tǒng)美德.已知學校食堂中午有2種主食、6種素菜、5種葷菜,

小華準備從中選取1種主食、1種素菜、1種葷菜作為午飯，并全部吃完，則不同的

選取方法有（）

A.13種B.22種C.30種D.60種

【答案】D

【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可求出結果.

【詳解】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有2x6x5=60（種）不同的選取方法，

故選：D.

典例1-3.（2023?全國?高三專題練習）如圖，矩形的對角線把矩形分成A、B、CD

四部分，現(xiàn)用五種不同色彩給四部分涂色，每部分涂1種顏色，要求共邊的兩部分

顏色互異，共有（）種不同的涂色方法？

A.260B.180C.240D.120

【答案】A

【分析】由題意知給四部分涂色，至少要用兩種顏色，最多四種顏色，分類討論，

最后相加.

【詳解】由題意知給四部分涂色，至少要用兩種顏色，故可分成三類涂色：

第一類，用4種顏色涂色，有A；=120種方法.

第二類，用3種顏色涂色，選3種顏色的方法有C；種.

在涂的過程中，選對頂?shù)膬刹糠郑ˋ、C或以D）涂同色，另兩部分涂異色有C；種

選法；3種顏色涂上去有A；種涂法，

根據(jù)分步計數(shù)原理求得共C〉C；A；=120種涂法.

第三類，用兩種顏色涂色.選顏色有C；種選法，人C用一種顏色，B、。涂一種顏

色,有A；種涂法，故共C；-A”20種涂法.

，共有涂色方法120+120+20=260種，

故選：A.

典例1-4.（2022春?天津河西?高二天津實驗中學?？计谥校?24,6中任取3個數(shù)

字，從1,3,5中任取2個數(shù)字，組成沒有重復數(shù)字的五位奇數(shù)，則這樣的五位數(shù)共有

（）

A.252B.396C.468D.612

【答案】C

【分析】滿足條件的五位數(shù)可分為兩類，第一類含0,第二類不含0,利用分步乘法

計數(shù)原理和分類加法計數(shù)原理即可求解.

【詳解】滿足條件的五位數(shù)可分為兩類，

第一類含0,先由2,4,6中任選兩個數(shù)，再從1,3,5中任選2個數(shù)，有C；C種選法，

最后將所選的數(shù)與0排成五位奇數(shù)有C；C；A；種排法，故滿足條件的數(shù)共

個,

第二類不含0,先由2,4,6中任選三個數(shù)，再從1,3,5中任選2個數(shù)，有C；C；種選法，

最后將所選的數(shù)排成五位奇數(shù)有C；A：種排法，故滿足條件的數(shù)共C；C；C；A：個，

故滿足條件的五位數(shù)共C；C；C；C；A；+C；C；C；A：個，即468個，

故選：C.

【方法技巧總結】

1.技巧：注意特殊位置與特殊元素優(yōu)先處理，對于染色問題與排數(shù)問題都要注意分

類討論。

【變式訓練】

1.（2022秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考階段練習）已知電影院有三部影片同時上映，一部

動畫片，一部喜劇片，一部動作片，5名同學前去觀看，若喜劇片和動作片各至少

兩人觀看，則不同的觀影方案共有（）種.

A.30B.40C.50D.80

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可知事件包含喜劇片2人且動作片2人，喜劇片3人且動作片2

人，喜劇片2人且動作片3人三種情況，求出對應的方案后相加即可.

【詳解】喜劇片和動作片至少兩人觀看的情況有：

喜劇片2人且動作片2人，喜劇片3人且動作片2人，喜劇片2人且動作片3人，

當喜劇片2人且動作片2人時，共有C；C；C；種觀看方案，

當喜劇片3人且動作片2人時，共有種觀看方案，

當喜劇片2人且動作片3人時，共有C；C；種觀看方案，

所以一共有C；C；C：+C；C；+C；C；=50種觀看方案.

故選：C.

2.（2022春?上海閔行?高二?？计谀┈F(xiàn)有5名同學去聽同時進行的4個課外知識

講座，每名同學可自由選擇其中的一個講座，不同選法的種數(shù)是（）

A.45B.54C.20D.9

【答案】A

【分析】將此事分為5步，每一步均為1名同學選擇講座，后由分步計數(shù)原理可得

答案.

【詳解】將完成此事分為5步.第1步為第一名同學完成選擇，有4種方法；第2步

為第二名同學完成選擇，有4種方法：…；第5步為第五名同學完成選擇，有4種

方法.

則由分步計數(shù)原理可知，不同選法的種數(shù)位為：4x4x4x4x4=45.

故選：A

3.（2023?全國?高三專題練習）某兒童游樂園有5個區(qū)域要涂上顏色，現(xiàn)有四種不同

顏色的油漆可供選擇，要求相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則符合條件的涂色方案有

（）種

A.36B.48C.54D.72

【答案】D

【分析】符合條件的涂色方案可分為兩類，笫一類區(qū)域②，④涂色相同的涂色方案，

第二類區(qū)域②，④涂色不相同的涂色方案，再利用分步乘法計數(shù)原理分別求出其方

法數(shù)，相加即可求得結果.

【詳解】如圖：將五個區(qū)域分別記為①，②，③，④，⑤，則滿足條件的涂色方案

可分為兩類，

第一類區(qū)域②，④涂色相同的涂色方案，第二類區(qū)域②，④涂色不相同的涂色方案，

其中區(qū)域②，④涂色相司的涂色方案可分為5步完成，第一步涂區(qū)域①，有4種方

法，第二步涂區(qū)域②，有3種方法，第三步涂區(qū)域③，有2種方法，第四步涂區(qū)域

④，有1種方法，第五步涂區(qū)域⑤，有2種方法，由分步乘法計數(shù)原理可得區(qū)域②，

④涂色相同的涂色方案有4x3x2xlx2種方案，即48種方案；

區(qū)域②，④涂色不相同的涂色方案可分為5步完成，第一步涂區(qū)域①，有4種方法，

第二步涂區(qū)域②，有3種方法，第三步涂區(qū)域③，有2種方法，第四步涂區(qū)域④，

有I種方法，第五步涂區(qū)域⑤，有1種方法，由分步乘法計數(shù)原理可得區(qū)域②，④

涂色不相同的涂色方案有4x3x2xlxl種方案，即24種方案;

所以符合條件的涂色方案共有72種,

故選：D.

4.（2022春?廣東清遠?高二統(tǒng)考期末）回文聯(lián)是我國對聯(lián)中的一種，它是用回文形

式寫成的對聯(lián)，既可順讀，也可倒讀，不僅意思不變，而且頗具趣味.相傳，清代

北京城里有一家飯館叫“天然居”，曾有一副有名的回文聯(lián)：“客上天然居，居然天上

客；人過大佛寺，寺佛大過人.”在數(shù)學中也有這樣一類順讀與倒讀都是同一個數(shù)的

正整數(shù)，被稱為“回文數(shù)”，如22,575,1661等.那么用數(shù)字1,2,3,4,5可以

組成4位“回文數(shù)”的個數(shù)為（）

A.25B.20C.30