新教材2025版高中數(shù)學(xué)第2章空間向量與立體幾何2.4空間向量在立體幾何中的應(yīng)用2.4.4向量與距離第1課時(shí)點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到平面的距離學(xué)生用書湘教版選擇性必修第二冊

第1課時(shí)點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到平面的距離新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點(diǎn)要點(diǎn)一點(diǎn)到直線的距離直線l的方向向量為v，點(diǎn)P為直線l外一點(diǎn)，A為直線l上隨意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l的距離d＝AP2批注?AP·vv是AP要點(diǎn)二點(diǎn)到平面的距離設(shè)平面α的法向量為n，點(diǎn)P是平面α外一點(diǎn)，點(diǎn)A是平面α內(nèi)隨意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面α的距離d＝?|AP|·|cos〈AP·n〉|＝________．批注?等于AP在向量n方向上射影的肯定值．基礎(chǔ)自測1．推斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)點(diǎn)到直線的距離是指過該點(diǎn)作直線的垂線，該點(diǎn)與垂足間的距離．()(2)兩異面直線間的距離不能轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離．()(3)平面α外一點(diǎn)P到平面α的距離在平面α內(nèi)任一點(diǎn)與點(diǎn)P的距離中最短．()2．(多選)已知平面α的一個(gè)法向量n＝(－2，－2，1)，點(diǎn)A(－1，3，0)在平面α內(nèi)，若點(diǎn)P(－2，1，z)到α的距離為103，則zA.－16B．－4C．4D．163．已知平面α的一個(gè)法向量為n＝(1，2，1)，A(1，0，－1)，B(0，－1，1)，且A?α，B∈α，則點(diǎn)A到平面α的距離為()A．13B．66C．題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性點(diǎn)到直線的距離例1如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長方體ABCD-A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求點(diǎn)B到直線A′C的距離．方法歸納向量法求點(diǎn)到直線距離的一般步驟鞏固訓(xùn)練1已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求點(diǎn)B到直線A1C1的距離．點(diǎn)到平面的距離例2在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝23，M，N分別為AB，SB的中點(diǎn)，如圖所示．求點(diǎn)B到平面CMN的距離．方法歸納用向量法求點(diǎn)面距的一般步驟鞏固訓(xùn)練2如圖，在棱長是2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為CD的中點(diǎn)，求點(diǎn)B1到平面AD1E的距離．第1課時(shí)點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到平面的距離新知初探·課前預(yù)習(xí)[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)二AP[基礎(chǔ)自測]1．(1)√(2)×(3)√2．解析：因?yàn)閚＝(－2，－2，1)，AP＝(－1，－2，z)，且d＝AP·nn＝2+4+z4+4+1＝6+z3答案：AC3．解析：∵A(1，0，－1)，B(0，－1，1)，∴AB＝(－1，－1，2)，又平面α的一個(gè)法向量為n＝(1，2，1)，∴點(diǎn)A到平面α的距離為AB·nn答案：B題型探究·課堂解透例1解析：因?yàn)锳B＝1，BC＝2，AA′＝3，所以A′(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)，所以直線A′C的方向向量A'又BC＝(0，2，0)，所以BC在A'C上的投影長為BC·所以點(diǎn)B到直線A′C的距離d＝BC2-BC·A鞏固訓(xùn)練1解析：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(0，0，0)，A1(4，0，1)，C1(0，3，1)，所以直線A1C1的方向向量A1C1所以點(diǎn)B到直線A1C1的距離d＝BC12-B例2解析：取AC的中點(diǎn)O，連接OS，OB.∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，∴SO⊥平面ABC.又BO?平面ABC，∴SO⊥BO.又∵△ABC為正三角形，O為AC的中點(diǎn)，∴AO⊥BO.如圖所示，分別以O(shè)A，OB，OS所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則B(0，23，0)，C(－2，0，0)，S(0，0，22)，M(1，3，0)，N(0，3，∴CM＝(3，3，0)，MN＝(－1，0，2)，MB＝(－1，3，0)．設(shè)n＝(x，y，z)為平面CMN的一個(gè)法向量，則CM·n=3x+則x＝2，y＝－6，∴n＝(2，－6，1)．∴點(diǎn)B到平面CMN的距離d＝n·MBn鞏固訓(xùn)練2解析：因?yàn)檎襟wABCD-A1B1C1D1棱長為2，故以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則有D(0，0，0)，A(2，0，0)，D1(0，0，2)，E(0，1，0)，B1(2，2，2)．設(shè)平面AD1E的法向量是m＝(x，y，z)，則m⊥AD1，即m·又