理論力學(xué)課件-第12章

第12章達(dá)朗貝爾原理(動(dòng)靜法)及其應(yīng)用12.1達(dá)朗貝爾原理12.2慣性力系的簡(jiǎn)化12.3剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)軸承的動(dòng)約束力思考題習(xí)題

12.1達(dá)朗貝爾原理

12.1.1達(dá)朗貝爾慣性力與質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理

在慣性參照系中，設(shè)一質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，加速度為a，作用于質(zhì)點(diǎn)的主動(dòng)力為F，約束力為FN，如圖12-1所示。由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程可知圖12-1將上式移項(xiàng)改寫為

令

(12-1)

則有

(12-2)式(12-1)中FI具有力的量綱，且與質(zhì)點(diǎn)的慣性有關(guān)，稱為質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾慣性力，簡(jiǎn)稱慣性力。顯然，慣性力的大小等于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度的乘積，它的方向與質(zhì)點(diǎn)加速度的方向相反。式(12-2)可解釋為作用在質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力、約束力和慣性力在形式上組成所謂的平衡力系。這就是根據(jù)達(dá)朗貝爾1743年在《動(dòng)力學(xué)教程》中提出的思想，發(fā)展形成的達(dá)朗貝爾原理。

必須強(qiáng)調(diào)指出，慣性力是虛擬假想的力，它不是真實(shí)力；質(zhì)點(diǎn)也并非處于靜平衡狀態(tài)，慣性力隱含著質(zhì)點(diǎn)加速度的信息。達(dá)朗貝爾原理人為地引進(jìn)慣性力的目的是將動(dòng)力學(xué)

問題轉(zhuǎn)化為靜力學(xué)問題來處理，使“動(dòng)”與“靜”相通，它是理論認(rèn)識(shí)的一個(gè)飛躍。

例12-1一圓錐擺，如圖12-2所示。質(zhì)量m=0.1kg的小球系于長(zhǎng)l=0.3m的繩上，繩的一端系在固定點(diǎn)上，并與鉛垂線成θ=60°角。如小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求小球的速度與繩中張力的大小。

解：以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，作用于小球的真實(shí)力有重力(主動(dòng)力)mg與繩的拉力(約束力)FT；小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，只有法向加速度，因而作用于小球的慣性力只有法向慣性力FnI，其大小為圖12-2方向如圖12-2所示。根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理，這三力在形式上組成平衡的平面匯交力系，其矢量形式的平衡方程為

取上式在圖示自然軸上的投影式，有解得12.1.2質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理

設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，其中任一質(zhì)點(diǎn)i的質(zhì)量為mi，加速度為ai，可以把作用于此質(zhì)點(diǎn)上的所有真實(shí)力分為主動(dòng)力的合力Fi和約束力的合力FNi，對(duì)這個(gè)質(zhì)點(diǎn)假想地加上慣性力FIi=-miai，由質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理，有

Fi+FNi+FIi=0

(i=1,2,…,n)

(12-3)

這n個(gè)方程表明，質(zhì)點(diǎn)系中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上作用的主動(dòng)力、約束力和慣性力在形式上組成平衡力系，這就是質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理。還可以把作用于質(zhì)點(diǎn)系第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的所有真實(shí)力分為外力的合力Fi(e)和內(nèi)力的合力Fi(i),則式(12-3)可改寫為

Fi(e)+Fi(i)+FIi=0

(i=1,2,…,n)

這說明，質(zhì)點(diǎn)系中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上作用的外力、內(nèi)力和慣性力在形式上組成平衡力系。由靜力學(xué)知，空間任意力系平衡的充分必要條件是力系的主矢和對(duì)任一點(diǎn)的主矩都等于零。對(duì)于該質(zhì)點(diǎn)系，有由于質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力總是成對(duì)存在，且等值、反向、共線，因此內(nèi)力的主矢與主矩均為零,即∑Fi(i)=0和∑MO(Fi(i))=0。于是有

(12-4)

(12-5)

式(12-4)、(12-5)表明，作用在質(zhì)點(diǎn)系上的所有外力與虛加在每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的慣性力在形式上組成平衡力系，這是質(zhì)點(diǎn)系達(dá)朗貝爾原理的又一表述。由于式(12-4)、(12-5)中不出現(xiàn)復(fù)雜的未知內(nèi)力，因此質(zhì)點(diǎn)系達(dá)朗貝爾原理這種表示形式應(yīng)用起來更為方便。

根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系達(dá)朗貝爾原理建立起來的動(dòng)力學(xué)方程(12-4)、(12-5)在形式上與靜力學(xué)平衡方程完全相同，于是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問題被轉(zhuǎn)化為靜力學(xué)問題來處理。由于靜力學(xué)的分析方法簡(jiǎn)單直觀，平衡方程有多種形式，因此達(dá)朗貝爾原理為動(dòng)力學(xué)計(jì)算帶來很大方便。

例12-2飛輪質(zhì)量為m，半徑為R，以勻角速度ω定軸

轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)輪輻質(zhì)量不計(jì)，飛輪質(zhì)量均勻分布在較薄的輪緣上，不考慮重力的影響，求輪緣橫截面的張力。

解：由于飛輪結(jié)構(gòu)和受力的對(duì)稱性，可以取四分之一輪緣為研究對(duì)象，作用在截面A、B處輪緣內(nèi)的張力FA、FB屬于質(zhì)點(diǎn)系的外力；取微小弧段，每段加慣性離心力FIi，其大小為質(zhì)點(diǎn)系受力情況如圖12-3所示。根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系達(dá)朗貝爾原理，列平衡方程如下：圖12-3令Δθi→0，有

由于對(duì)稱，飛輪任一橫截面張力相同，且與角速度的平方成正比。如果飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)太快，輪圈會(huì)被拉斷。

例12-3如圖12-4所示，兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球用不計(jì)質(zhì)

量的輕桿與鉛直軸AB固連在一起。求軸AB以勻角速度ω旋轉(zhuǎn)時(shí)軸承A、B所受的力。

解：該質(zhì)點(diǎn)系受到的外力有兩個(gè)小球的重力、軸承的約束力。小球慣性力的大小為

質(zhì)點(diǎn)系受力情況如圖12-4所示。兩個(gè)小球的慣性力構(gòu)成力偶，其力偶矩為圖12-4在圖示位置瞬時(shí)，建立固連在轉(zhuǎn)軸AB上的坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，列平衡方程如下：

解得

軸承受到的力分別為FAx、FAy、FBx的反作用力。因?yàn)?/p>

平面xy隨軸AB一起轉(zhuǎn)動(dòng)，所以軸承受到的力相對(duì)于固定參考系是在不斷地改變方向。

12.2慣性力系的簡(jiǎn)化

用達(dá)朗貝爾原理求解質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問題，需要對(duì)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)加上各自的慣性力，形成一個(gè)所謂的慣性力系。為了解題方便，經(jīng)常需要利用靜力學(xué)中力系簡(jiǎn)化的理論對(duì)慣性力系進(jìn)行簡(jiǎn)化。在一般情況下，將慣性力系向任意選定的簡(jiǎn)化中心O簡(jiǎn)化，可得一個(gè)慣性力和一個(gè)對(duì)點(diǎn)O的慣性力偶，這個(gè)偶性力的大小和方向等于該慣性力系的主矢，作用線通過簡(jiǎn)化中心O，這個(gè)慣性力偶等于該慣性力系對(duì)簡(jiǎn)化中心O的主矩。12.2.1慣性力系的主矢

根據(jù)力系簡(jiǎn)化理論，慣性力系的主矢F′IR為

(12-6)

即質(zhì)點(diǎn)系慣性力系主矢的大小和方向與簡(jiǎn)化中心的位置無關(guān)，其大小等于質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，其方向與質(zhì)心加速度的方向相反。式(12-6)對(duì)任何質(zhì)點(diǎn)系做任意運(yùn)動(dòng)均成立。12.2.2慣性力系的主矩

根據(jù)力系簡(jiǎn)化理論，慣性力系主矩MIO一般與簡(jiǎn)化中心的位置有關(guān)。下面分別對(duì)剛體做平移、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)、平面運(yùn)動(dòng)時(shí)的慣性力系簡(jiǎn)化的主矩進(jìn)行討論。

1.剛體做平移

剛體平移時(shí)，每一瞬時(shí)剛體內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)i的加速度ai與質(zhì)心的加速度aC相同，有ai=aC，如圖12-5所示。平移剛體慣性力系的分布與重力相似，其對(duì)任選的簡(jiǎn)化中心O點(diǎn)的主矩為圖12-5式中，rC為簡(jiǎn)化中心O到質(zhì)心C的矢徑，顯然此主矩MIO一般不為零。若選質(zhì)心C為簡(jiǎn)化中心，主矩以MIC表示，則rC=0，有

MIC=0

(12-7)

因此得出結(jié)論：剛體平移時(shí)，慣性力系對(duì)任意點(diǎn)O的主矩一般不為零；若選質(zhì)心為簡(jiǎn)化中心，其主矩為零，慣性力系簡(jiǎn)化為一合力FIR，合力的大小和方向與慣性力系的主矢相同。

2.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，設(shè)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω，角加速度為α，剛體內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)O的質(zhì)量為mi，到轉(zhuǎn)軸的距離為ri，則剛體內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的慣性力為FIi=-miai。在轉(zhuǎn)軸上任選一點(diǎn)O為簡(jiǎn)化中心，以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，建立固連在剛體上的直角坐標(biāo)系如圖12-6(a)所示，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為xi、yi、zi。首先計(jì)算慣性力系的主矩在坐標(biāo)軸上的投影，即分別計(jì)算慣性力系對(duì)x、y、z軸的矩MIx、MIy、MIz。圖12-6質(zhì)點(diǎn)的慣性力FIi可以分解為切向慣性力FtIi與法向慣性力FnIi，它們的方向如圖12-6(b)所示，大小分別為

慣性力系對(duì)x軸的矩為而

則

令

(12-8)，定義式(12-8)為剛體對(duì)z軸的慣性積，它取決于剛體質(zhì)量對(duì)于坐標(biāo)軸的分布情況。于是，慣性力系對(duì)x軸的矩為

(12-9)

同理可得慣性力系對(duì)于y軸的矩為

(12-10)

慣性力系對(duì)于z軸的矩為由于各質(zhì)點(diǎn)的法向慣性力均通過z軸，所以

有

(12-11)上式中Jz是剛體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與慣性積都是描述剛體質(zhì)量分布規(guī)律的物理量，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是表示剛體的質(zhì)量分布與坐標(biāo)軸接近程度的物理量。進(jìn)一步分析表明，慣性積是表征剛體質(zhì)量相對(duì)坐標(biāo)平面分布不對(duì)稱性的物理量。

綜上所述，剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，慣性力系向軸上一點(diǎn)O簡(jiǎn)化的主矩為

(12-12)工程中繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體大多數(shù)有質(zhì)量對(duì)稱平面，如果此平面與轉(zhuǎn)軸z垂直，簡(jiǎn)化中心O取為此平面與轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)，則

則慣性力系簡(jiǎn)化的主矩為

(12-13)，于是可得出結(jié)論：當(dāng)剛體有質(zhì)量對(duì)稱平面，且剛體繞垂直于此對(duì)稱面的軸做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，慣性力系向轉(zhuǎn)軸與質(zhì)量對(duì)稱面的交點(diǎn)處簡(jiǎn)化，可得此對(duì)稱面內(nèi)的一個(gè)力(因?yàn)橘|(zhì)心在此對(duì)稱平面內(nèi))和一個(gè)力偶，這個(gè)力等于慣性力系的主矢；這個(gè)力偶的矩等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積，轉(zhuǎn)向與角加速度相反。

3.剛體做平面運(yùn)動(dòng)(平行于質(zhì)量對(duì)稱平面)

工程中做平面運(yùn)動(dòng)的剛體常常有質(zhì)量對(duì)稱平面，且平行于此平面運(yùn)動(dòng)。在這種情況下，剛體各質(zhì)點(diǎn)的慣性力系組成的空間力系可簡(jiǎn)化為質(zhì)量對(duì)稱平面內(nèi)的平面力系。取質(zhì)量對(duì)稱平面內(nèi)的平面圖形如圖12-7所示，設(shè)質(zhì)心C的加速度為aC，繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω，角加速度為α。以質(zhì)心C為基點(diǎn)，平面圖形的運(yùn)動(dòng)可分解為隨基點(diǎn)的平移與繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)，與剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)相似，此時(shí)，慣性力系向質(zhì)心C簡(jiǎn)化的主矩為

MIC=-JCα

(12-14)

上式中，JC為剛體對(duì)通過質(zhì)心且垂直于質(zhì)量對(duì)稱平面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。圖12-7于是可得出結(jié)論：有質(zhì)量對(duì)稱平面且平行于此平面運(yùn)動(dòng)的剛體，其慣性力系可簡(jiǎn)化為在此平面內(nèi)質(zhì)心處的一個(gè)力和一個(gè)力偶。這個(gè)力等于慣性力系的主矢，這個(gè)力偶的矩等于剛體對(duì)通過質(zhì)心，且垂直于質(zhì)量對(duì)稱平面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積，轉(zhuǎn)向與角加速度相反。

例12-4如圖12-8(a)所示的均質(zhì)桿的質(zhì)量為m，桿長(zhǎng)為l，繞定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω，角加速度為α。分別求慣性力系向點(diǎn)O與質(zhì)心C的簡(jiǎn)化結(jié)果。

圖12-8

解：該桿做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，質(zhì)心加速度的大小為,

，慣性力系向轉(zhuǎn)軸O簡(jiǎn)化的主矢、主矩大小分別為

方向分別如圖12-8(b)所示。，把桿的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)看做平面運(yùn)動(dòng)的特例，慣性力系向質(zhì)心C簡(jiǎn)化的主矢、主矩大小分別為

方向分別如圖12-8(c)所示。

需要強(qiáng)調(diào)的是，向某一點(diǎn)簡(jiǎn)化的慣性力是作用在該點(diǎn)的力，必須通過簡(jiǎn)化中心，力線平移時(shí)遵循力的平移定理。，

例12-5如圖12-9所示，電動(dòng)絞車安裝在梁上，梁的兩端擱在支座上，絞車與梁共重為P。絞盤半徑為R，與電動(dòng)機(jī)固結(jié)在一起，對(duì)質(zhì)心軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J。絞車以加速度a提升質(zhì)量為m的重物，其它尺寸如圖所示。求支座A、B受到的附加約束力。

解：取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力有重力mg，P及支座A、B對(duì)梁的法向約束力FA、FB(忽略或暫不考慮支座處的摩擦力)。重物做平移，加慣性力如圖12-9所示，其大小為

FI=ma圖12-9絞盤與電機(jī)轉(zhuǎn)子共同繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，由于質(zhì)心位于轉(zhuǎn)軸上，所以慣性力系合成為合力偶，力偶矩的大小為

方向如圖12-9所示。由質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理，列平衡方程如下：

解得支座的約束力為上式中前兩項(xiàng)為支座靜約束力，它是僅由自重所引起的約束力；第三項(xiàng)為支座的附加動(dòng)約束力，它是由重物與絞盤的加速運(yùn)動(dòng)所引起的。因此支座A、B受到的附加壓力大小等于支座的附加動(dòng)約束力

顯然，附加動(dòng)約束力僅取決于慣性力系，只求附加動(dòng)約束力時(shí)，列方程可以不考慮慣性力以外的其它力。，

例12-6均質(zhì)圓盤質(zhì)量為m1，半徑為R。均質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)l=2R，質(zhì)量為m2。桿端A與輪心光滑鉸接，如圖12-10(a)所示。如在A處加一水平拉力F，使圓輪沿水平面純滾動(dòng)。問：力F為多大方能使桿的B端剛好離開地面？又為了保證純滾動(dòng)，輪與地面間的靜摩擦系數(shù)應(yīng)為多大？

解：這道例題屬于所謂物體系的平衡問題，分析求解的關(guān)鍵是選擇合適的研究對(duì)象，尋求最佳解題途徑。圖12-10首先選受力最簡(jiǎn)單的細(xì)桿AB為研究對(duì)象，當(dāng)其B端剛好離開地面時(shí)仍為平動(dòng)，設(shè)其加速度為a，細(xì)桿承受的外力并加上慣性力如圖12-10(b)所示，平動(dòng)細(xì)桿的慣性力的合力大小為FIC=m2a。按照達(dá)朗貝爾原理，以A為矩心列平衡方程如下：

解得

，然后以整體為研究對(duì)象，系統(tǒng)承受的外力并加上慣性力如圖12-10(a)所示，其中，做平面運(yùn)動(dòng)的圓盤質(zhì)心A的加速度也為a，其慣性力系的主矢與主矩的大小分別為根據(jù)達(dá)朗貝爾原理列平衡方程如下：

解得根據(jù)摩擦定律

解得

由以上例題可見，用動(dòng)靜法求解動(dòng)力學(xué)問題的步驟與求解靜力學(xué)平衡問題相似，只是在分析物體的受力時(shí)，還應(yīng)加上相應(yīng)的慣性力，因而正確分析慣性力是動(dòng)靜法解題的關(guān)鍵。對(duì)于質(zhì)點(diǎn)，要分析其加速度，將相應(yīng)的慣性力加到該質(zhì)點(diǎn)上；對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系，要分析各質(zhì)點(diǎn)的加速度與質(zhì)心的加速度，將相應(yīng)的慣性力加到每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上，或者將慣性力系簡(jiǎn)化的主矢與主矩加到簡(jiǎn)化中心；對(duì)于剛體，還要分析剛體運(yùn)動(dòng)的角速度與角加速度，按照剛體不同的運(yùn)動(dòng)形式加上相應(yīng)慣性力系的簡(jiǎn)化結(jié)果。加慣性力及慣性力偶時(shí)，為了避免出錯(cuò)，將其大小和方向分開處理，即慣性力與慣性力偶的表達(dá)式只表示大小，其方向在受力圖上與加速度a及角加速度α反向，在列平衡方程投影計(jì)算時(shí)，按照?qǐng)D示方向考慮其正負(fù)即可，不用再加定義式中的負(fù)號(hào)。

12.3剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)軸承的動(dòng)約束力

剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)是日常生活和工程中最為常見的運(yùn)動(dòng)。如何使定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的機(jī)械在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)不產(chǎn)生振動(dòng)、噪音與破壞，是工程界非常關(guān)心的問題。如果這些機(jī)械在轉(zhuǎn)動(dòng)起來之后軸承受力與不轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的軸承受力一樣，即如果能消除剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)軸承的附加動(dòng)約束力，則一般說來這些機(jī)械就不會(huì)產(chǎn)生破壞，也不會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)與噪音。減少或消除軸承的附加動(dòng)約束力，從理論和實(shí)踐上是完全能夠做到的。本節(jié)就來討論繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體軸承的全約束力(包括靜約束力與動(dòng)約束力)，建立消除動(dòng)約束力的條件等問題。12.3.1靜約束力與動(dòng)約束力

如圖12-11所示，設(shè)剛體繞AB定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為ω，角加速度為α。取剛體為研究對(duì)象，轉(zhuǎn)軸上O點(diǎn)為簡(jiǎn)化中心，建立固連在剛體上的坐標(biāo)系Oxyz，作用在剛體上的所有主動(dòng)力(包含重力)向O點(diǎn)簡(jiǎn)化的主矢與主矩以FR′與MO表示，慣性力系向O點(diǎn)簡(jiǎn)化的主矢與主矩以FIR′與MIO表示(注意aC與FIR′位于xy平面內(nèi)，沒有沿z軸的分量)，剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)軸承A、B處的全約束力分別以FAx、FAy、FBx、FBy、FBz表示，剛體的受力情況如圖12-11所示。作用在剛體上的外力與慣性力形成一個(gè)空間任意力系。圖12-11為求出軸承A、B處的全約束力，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)靜法，列出如下平衡方程：解得軸承全約束力為由于慣性力沒有沿z軸的分量，所以止推軸承B沿z軸的約束力FBz與慣性力無關(guān)；其它與z軸垂直的軸承約束力FAx、FAy、FBx、FBy顯然都與慣性力系的主矢FIR′、主矩MIO有關(guān)。由主動(dòng)力所引起的約束力稱為靜約束力，由慣性力所引起的約束力稱為附加動(dòng)約束力，兩者之和稱為全約束力。顯然，以上各式中的第一項(xiàng)是靜約束力，第二項(xiàng)是動(dòng)約束力。12.3.2靜平衡與動(dòng)平衡

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，慣性力系的主矢與主矩矢量隨其一起轉(zhuǎn)動(dòng)，動(dòng)約束力的方向周期性地變化，軸承受到的反作用力的方向也在周期性地變化，從而引起高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械支承系統(tǒng)的強(qiáng)烈振動(dòng)，甚至導(dǎo)致破壞，因而必須避免軸承產(chǎn)生動(dòng)約束力。由軸承全約束力的表達(dá)式可知，要使動(dòng)約束力為零，必須有即使軸承動(dòng)約束力等于零的條件是：慣性力系的主矢等于零，慣性力系對(duì)于x、y軸的主矩等于零。由式(12-6)、

(12-9)、(12-10)有

由此可見，必須有

即轉(zhuǎn)軸必須通過質(zhì)心，且剛體對(duì)于轉(zhuǎn)軸z的慣性積必須為零。于是得到結(jié)論：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，避免出現(xiàn)軸承動(dòng)約束力的條件是轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心，剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的慣性積等于零。如果剛體對(duì)通過某點(diǎn)的z軸的慣性積Jxz和Jyz等于零，則稱此軸為過該點(diǎn)的慣性主軸。通過質(zhì)心的慣性主軸，稱為中心慣性主軸。所以，上述結(jié)論也可敘述為，避免出現(xiàn)軸承動(dòng)約束力的條件是剛體的轉(zhuǎn)軸應(yīng)該是剛體的中心慣性主軸。當(dāng)剛體轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心，且剛體除重力外沒有受到其它主動(dòng)力的作用時(shí)，則剛體可以在任意位置靜止不動(dòng)，稱這種現(xiàn)象為靜平衡。當(dāng)剛體的轉(zhuǎn)軸為中心慣性主軸時(shí)，剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)不出現(xiàn)軸承動(dòng)約束力，稱這種現(xiàn)象為動(dòng)平衡。由于材料的不均勻或制造、安裝誤差等原因，都可能使定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)軸偏離中心慣性主軸。為了避免出現(xiàn)軸承動(dòng)約束力，確保機(jī)器運(yùn)行安全，應(yīng)該在專門的靜平衡與動(dòng)平衡試驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行靜平衡與動(dòng)平衡試驗(yàn)，在剛體的適當(dāng)位置附加或者去掉一些質(zhì)量，使其達(dá)到靜平衡和動(dòng)平衡。當(dāng)然，工程中也有相反的實(shí)例，即制造定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體時(shí)，有意制造出偏心距(例如某些打夯機(jī))，這種情況則另當(dāng)別論。

例12-7如圖12-12所示,輪盤(連同軸)的質(zhì)量m＝20kg，轉(zhuǎn)軸與輪盤的質(zhì)量對(duì)稱面垂直，但輪盤的質(zhì)心C不在轉(zhuǎn)軸上，偏心距e=0.1mm。當(dāng)輪盤以勻轉(zhuǎn)速n＝12000r/min轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求軸承A、B的約束力。

解：取輪盤為研究對(duì)象，因?yàn)檗D(zhuǎn)軸AB與輪盤的質(zhì)量對(duì)稱面垂直，所以對(duì)轉(zhuǎn)軸的慣性積為零，AB為慣性主軸；又因?yàn)槭莿蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，α=0，所以慣性力矩均為零。輪盤在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，慣性力隨其一起轉(zhuǎn)動(dòng)，軸承約束力呈周期性變化。當(dāng)質(zhì)心C位于最下端時(shí)，軸承處約束力最大。此時(shí)，剛體受力情況如圖12-12所示。圖12-12由于輪盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，因此質(zhì)心C只有法向加速度，其大小為

因此慣性力的大小為

FI=man=3160N

方向如圖12-12所示。由質(zhì)點(diǎn)系達(dá)朗貝爾原理列平衡方程,可得軸承的約束力為

其中,軸承靜約束力為98N，動(dòng)約束力為1580N。由此可見，在高速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，0.1mm的偏心距所引起的軸承附加動(dòng)約束力是靜約束力的16倍之多！而且，動(dòng)約束力與角速度的平方成正比，轉(zhuǎn)速越高，偏心距越大，軸承的動(dòng)約束力就越大，這勢(shì)必使軸承磨損加劇，甚至引起軸承的破壞。再者，注意到慣性力的方向做周期性變化，軸承所受附加壓力的大小與方向也相應(yīng)地發(fā)生周期性變化，因而勢(shì)必引起機(jī)器的振動(dòng)與噪聲，同樣也會(huì)加速軸承的磨損與破壞。因此，必須盡量減小與消除偏心距。對(duì)此例題，假設(shè)系統(tǒng)的質(zhì)心位于轉(zhuǎn)軸上，偏心距為零。但是由于安裝誤差，輪盤的回轉(zhuǎn)軸與轉(zhuǎn)軸僅有1°的偏角，若輪盤半徑為200mm，厚度為20mm，l為1m，可求得此時(shí)靜約束力仍為98N，但動(dòng)約束力為5493N，是靜約束力的56倍之多！這對(duì)軸承受力也是相當(dāng)不利的，所以必須盡量減小安裝誤差。思考題

12-1應(yīng)用動(dòng)靜法時(shí)，對(duì)靜止的質(zhì)點(diǎn)是否需要加慣性力？對(duì)運(yùn)動(dòng)著的質(zhì)點(diǎn)是否都需要加慣性力？

12-2達(dá)朗貝爾慣性力與真實(shí)力有什么不同？

12-3站立在磅秤上的人突然下蹲的過程中，磅秤的指示如何變化？

12-4思12-4圖所示的平面機(jī)構(gòu)中,AC∥BD，且AC=BD=

a,均質(zhì)桿AB的質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l。問桿AB做何種運(yùn)動(dòng)？其慣性力簡(jiǎn)化的結(jié)果是什么？若桿AB是非均質(zhì)桿，又如何？思12-4圖

12-5如思12-5圖所示，不計(jì)質(zhì)量的軸上用不計(jì)質(zhì)量的細(xì)桿固連著幾個(gè)質(zhì)量均等于m的小球，當(dāng)軸以勻角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，圖示各種情況中，哪些滿足動(dòng)平衡？哪些只滿足靜平衡？哪些既不滿足動(dòng)平衡，也不滿足靜平衡？思12-5圖

12-6任意形狀的均質(zhì)等厚板，垂直于板面的軸都是慣性主軸，對(duì)嗎？不與板面垂直的軸都不是慣性主軸，對(duì)嗎？習(xí)題

12-1題12-1圖所示由相互鉸接的水平臂連成的傳送帶將圓柱形零件從一高度傳送到另一個(gè)高度。設(shè)零件與水平臂之間的摩擦因數(shù)fS=0.2。求：

(1)降落加速度a為多大時(shí)，零件不致在水平臂上滑動(dòng)；

(2)在此加速度下，比值h/d為多少時(shí)，零件在滑動(dòng)之前先傾倒。題12-1圖

12-2題12-2圖所示的汽車總質(zhì)量為m，以加速度a做水平直線運(yùn)動(dòng)。汽車質(zhì)心C離地面的高度為h，汽車的前后軸到通過質(zhì)心垂線的距離分別等于c和b。求：(1)其前后輪的正壓力；(2)汽車應(yīng)如何行駛能使前后輪壓力相等？題12-2圖

12-3調(diào)速器由兩個(gè)質(zhì)量均為m1的均質(zhì)圓盤構(gòu)成，圓盤偏心地鉸接于距離轉(zhuǎn)軸為a的A、B兩點(diǎn)。調(diào)速器以等角速度

ω繞鉛直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，圓盤中心到懸掛點(diǎn)的距離為l。調(diào)速器的外殼質(zhì)量為m2，并放在圓盤上。不計(jì)摩擦，求角速度ω與偏角φ之間的關(guān)系。題12-3圖

12-4轉(zhuǎn)速表的簡(jiǎn)化模型如題12-4圖所示。桿CD的兩端各有質(zhì)量為m的C球和D球，桿CD與轉(zhuǎn)軸AB鉸接于各自的中點(diǎn)，質(zhì)量不計(jì)。當(dāng)轉(zhuǎn)軸AB轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，桿CD的轉(zhuǎn)角φ就發(fā)生變化。設(shè)ω=0時(shí)，φ=φ0，且盤簧中無力。盤簧產(chǎn)生的力矩M與轉(zhuǎn)角的關(guān)系為M=k(φ-φ0)，式中k為盤簧的剛度系數(shù)。軸承AB間距離為2b。求：

(1)角速度ω與轉(zhuǎn)角φ之間的關(guān)系；

(2)當(dāng)系統(tǒng)處于圖示平面時(shí)，軸承A、B的約束力(AO=OB=b)。題12-4圖

12-5質(zhì)量為m的均質(zhì)直角三角形薄板繞其直角邊AB以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，如題12-5圖所示，試求其慣性力的合力。題12-5圖

12-6均質(zhì)細(xì)桿AB重P，在中點(diǎn)與轉(zhuǎn)動(dòng)軸CD剛性連接，如題12-6圖所示。當(dāng)軸以勻角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求軸承處由于慣性力引起的附加動(dòng)壓力的值。設(shè)AB=CD=l。題12-6圖

12-7題12-7圖所示的長(zhǎng)方形均質(zhì)平板，質(zhì)量為27kg，由兩個(gè)銷A和B懸掛。如果突然撤去銷B，求在撤去銷B的瞬時(shí)平板的角加速度和銷A的約束力。題12-7圖

12-8如題12-8圖所示，質(zhì)量為m1的物體A下落時(shí)，帶動(dòng)質(zhì)量為m2的均質(zhì)圓盤B轉(zhuǎn)動(dòng)，不計(jì)支架和繩子的重量及軸上的摩擦，BC＝a，盤B的半徑為R。求固定端C的約束力。

題1