函數(shù)極限存在的夾逼準則(課件全)

一.函數(shù)極限存在的夾逼準則

定理2.且節(jié)極限存在準則及兩個重要極限2021/6/271證明證:當(dāng)時,設(shè)則2021/6/272當(dāng)則從而有故

也可寫為時,令用于1型2021/6/273例：

1、求原式公式：2021/6/2742021/6/275證:當(dāng)即時，2021/6/276例.

1、求解:原式2021/6/2772、

求解:

原式=3、求解:

令則因此原式2021/6/278令2021/6/279

第一章都是無窮小,第七節(jié)引例.但無窮小趨于0的速度是多樣的.無窮小的比較2021/6/2710定義：設(shè)

,

對同一自變量的變化過程為無窮小,且

是

的高階無窮小

是

的低階無窮小

是

的同階無窮小

是

的等價無窮小

是

的k階無窮小記作記作或2021/6/2711例如

,

當(dāng)～時又如

，時是關(guān)于x的二階無窮小,～且2021/6/2712例.

當(dāng)時,是的幾階無窮小?解：無窮小量比較階時，要找最低階數(shù)2021/6/2713例.

證明:當(dāng)時,～證:～2021/6/2714～～～～～常用等價無窮小:～～～～～說明：以上各式中的x可換為任意無窮小2021/6/2715～～定理1.證:即即例如,～～故2021/6/2716定理2.

設(shè)且存在,則證:例如,自變量變化過程相同2021/6/2717設(shè)對同一變化過程,

,

為無窮小,說明:無窮小的性質(zhì),(1)和差取大規(guī)則:由等價可得簡化某些極限運算的下述規(guī)則.若

=o(

),例如,去掉高階(2)和差代替規(guī)則:例如,和差代替有條件2021/6/2718因式代替規(guī)則:界,則例如,

乘除可代替2021/6/2719例1.求解:原式乘除可代替和差代替有條件2021/6/2720例2.求解:2021/6/2721第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點2021/6/2722一、函數(shù)連續(xù)性的定義1、f(x)在x0點處連續(xù)對自變量的增量有函數(shù)的增量稱函數(shù)在點連續(xù)反映自變量的變化很微小時，函數(shù)值的變化也很微小。定義：f(x)在x0的某一鄰域內(nèi)有定義1、可正可負，不為零。2、可正可負可為零。2021/6/2723例.

證明函數(shù)在內(nèi)任意一點連續(xù).證:即這說明在內(nèi)任意一點連續(xù).2021/6/2724函數(shù)在點連續(xù)有下列等價命題:2021/6/2725可見,函數(shù)在點定義:在的某鄰域內(nèi)有定義,則稱函數(shù)(1)在點即(2)極限(3)設(shè)函數(shù)連續(xù)必須具備下列條件:存在;且有定義,存在;2021/6/2726若在某區(qū)間上每一點都連續(xù),則稱它在該區(qū)間上連續(xù),或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)

.2、f(x)在區(qū)間上連續(xù)稱f(x)在x0

點處左連續(xù)稱f(x)在x0

點處右連續(xù)其圖像是一條連續(xù)而不間斷的曲線。ab2021/6/2727在二、函數(shù)的間斷點(1)函數(shù)(2)不存在;(3)函數(shù)存在,但

不連續(xù):設(shè)在點的某去心鄰域內(nèi)有定義,則下列情形這樣的點之一函數(shù)f(x)在點雖有定義,且稱為間斷點

.在無定義

;2021/6/2728間斷點分類:第一類間斷點:及均存在,若稱若稱第二類間斷點:及中至少一個不存在,稱若其中有一個為振蕩,稱若其中有一個為為可去間斷點

.為跳躍間斷點

.為無窮間斷點

.為振蕩間斷點

.2021/6/2729為其無窮間斷點.為其振蕩間斷點.為可去間斷點.例如:2021/6/2730顯然為其可去間斷點.(4)(5)為其跳躍間斷點.2021/6/2731左連續(xù)右連續(xù)第一類間斷點可去間斷點跳躍間斷點左右極限都存在第二類間斷點無窮間斷點振蕩間斷點左右極限至少有一個不存在在點間斷的類型在點連續(xù)的等價形式3、若在某區(qū)間上每一點都連續(xù),則稱它在該區(qū)間上連續(xù),或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)

.其圖像是一條連續(xù)而不間斷的曲線。2021/6/2732第九節(jié)連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性2021/6/2733定理2.

連續(xù)單調(diào)遞增函數(shù)的反函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)一、連續(xù)函數(shù)的運算法則定理1.

在某點連續(xù)的有限個函數(shù)經(jīng)有限次和,差,積,商(分母不為0)

運算,結(jié)果仍是一個在該點連續(xù)的函數(shù).例如,例如,在上連續(xù)單調(diào)遞增，其反函數(shù)(遞減).在[－1,1]上也連續(xù)單調(diào)遞增.遞增(遞減)也連續(xù)單調(diào)2021/6/2734定理3.

連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的.在上連續(xù)單調(diào)遞增,其反函數(shù)在上也連續(xù)單調(diào)遞增.即：設(shè)函數(shù)于是復(fù)合函數(shù)又如,

且即2021/6/2735例如,是由連續(xù)函數(shù)鏈因此在上連續(xù).復(fù)合而成,2021/6/2736二、初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)有限次四則運算的結(jié)果連續(xù)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)連續(xù)有限個連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)2021/6/2737的連續(xù)區(qū)間為(端點為單側(cè)連續(xù))的連續(xù)區(qū)間為的定義域為因此它無連續(xù)點而例如,2021/6/2738三、求連續(xù)區(qū)間、并討論間斷點。1、初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)間即為其定義域，定義域外的點為間斷點。例：討論的連續(xù)區(qū)間及間斷點例：討論的連續(xù)區(qū)間及間斷點2021/6/27392、分段函數(shù)連續(xù)區(qū)間的求法-----分界點為可能間斷點。例：討論的連續(xù)區(qū)間及間斷點例：討論的連續(xù)區(qū)間及間斷點2021/6/2740根據(jù)連續(xù)定義確定待定系數(shù)例3.

設(shè)函數(shù)在x=0連續(xù),則

a=

,b=

.解:2021/6/2741四、利用初等函數(shù)的連續(xù)性求極限2、設(shè)函數(shù)于是2021/6/2742例4.求解:原式2021/6/2743第十節(jié)一、最值定理二、零點定理、介值定理閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)2021/6/2744注意:

若函數(shù)在開區(qū)間上連續(xù),結(jié)論不一定成立.一、最值定理定理1.閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)即:使或在閉區(qū)間內(nèi)有間斷在該區(qū)間上必有最大(小)值點

,2021/6/2745例如,無最大值和最小值也無最大值和最小值又如,

2021/6/2746推論.

二、介值定理定理2.

(零點定理)至少有一點且在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界.2021/6/2747定理3.(介值定理)設(shè)且則對A

與B

之間的任一數(shù)C,一點證:

作輔助函數(shù)則且故由零點定理知,至少有一點使即推論:使至少有在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必取得介于最小值與最大值之間的任何值

.2021/6/2748例1.證明方程一個根.證:令又故據(jù)零點定理,至少存在一點使即在區(qū)間內(nèi)至少有通過作輔助函數(shù)F(x),再利用零點定理輔助函數(shù)的作法：1、把結(jié)論中的（或）改寫成2、移項，使等式右邊為零，令左邊式子為F(x)2021/6/2749例2：至少有一個不超過4的證：證明令且根據(jù)零點定理,原命題得證.內(nèi)至少存在一點在開區(qū)間顯然正根.2021/6/2750則證明至少存在使提示:

令則易證例3：

設(shè)一點2021/6/2751三、判斷函數(shù)有界的方法：1、若f(x)在[a,b]上連續(xù)f(x)在[a,b]有界2、若f(x)在（a,b）上連續(xù)f(x)在（a,b）有界2021/6/2752習(xí)題課二、連續(xù)與間斷一、函數(shù)三、極限2021/6/27532.設(shè)函數(shù)求解:一、函數(shù)1、已知,求解:2021/6/27544.

設(shè)求解:3.

設(shè)求及其定義域.由得

解:2021/6/2755解:利用函數(shù)表示與變量字母的無關(guān)的特性.代入原方程得代入上式得設(shè)其中求令即即令即畫線三式聯(lián)立即5.2021/6/2756有無窮間斷點及可去間斷點解:為無窮間斷點,所以為可去間斷點,極限存在6.

設(shè)函數(shù)試確定常數(shù)a

及b.二、連續(xù)與間斷2021/6/27577.

設(shè)

f(x)

定義在區(qū)間上,,若f(x)在連續(xù),提示