高考數(shù)學(xué)二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)與測(cè)試專(zhuān)題強(qiáng)化練（十二）圓錐曲線的方程與幾何性質(zhì)

專(zhuān)題強(qiáng)化練(十二)圓錐曲線的方程與幾何性質(zhì)1．(2023·廣東模擬)橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，則該橢圓的離心率為()A.eq\f(2\r(2),3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(\r(31),6) D.eq\f(\r(11),6)解析：因?yàn)闄E圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，所以m＝32＝9，則c2＝a2－b2＝9－5＝4，即c＝2，所以該橢圓的離心率e＝eq\f(2,3).故選B.答案：B2．(2023·廣州二模)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，過(guò)點(diǎn)(－a，0)且方向量為n＝(1，－1)的光線，經(jīng)直線y＝－b反射后過(guò)C的右焦點(diǎn)，則C的離心率為()A.eq\f(3,5) B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4) D.eq\f(4,5)解析：由題意可得方向向量為n＝(1，－1)的光線的斜率為－1，直線y＝－b，平行于x軸，故由反射定律知，△AMF為等腰直角三角形，所以eq\f(1,2)(a＋c)＝b，所以a2＋2ac＋c2＝4b2＝4(a2－c2)，所以3a2－2ac－5c2＝0，所以(3a－5c)(a＋c)＝0，所以3a－5c＝0，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,5).故選A.答案：A3．(2023·鄭州模擬)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F2的直線與C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，|AF1|＋|AF2|＝24，|AF1|＝|BF1|＝5λ，|AB|＝4λ，則實(shí)數(shù)λ＝()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．2 D．4解析：如圖所示，設(shè)|BF2|＝k(k>0)，|AF2|－|AF1|＝|BF1|－|BF2|，即(4λ＋k)－5λ＝5λ－k，解得k＝3λ，2a＝|BF1|－|BF2|＝5λ－3λ＝2λ，即λ＝a，故|AF1|＝5a，|AF2|－|AF1|＝2a，|AF2|＝7a，所以|AF1|＋|AF2|＝24，12a＝24，解得a＝2，即λ＝2.故選C.答案：C4．(2023·廣東一模)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，b)，若C上的任意一點(diǎn)P都滿(mǎn)足|PB|≥b，則C的離心率取值范圍是()A．(1，eq\f(\r(5)＋1,2)] B．[eq\f(\r(5)＋1,2)，＋∞)C．(1，eq\r(2)] D．[eq\r(2)，＋∞)解析：設(shè)P(x，y)，|PB|≥b?eq\r(x2＋（y－b）2)≥b?x2＋y2－2by≥0，(*)由eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1?x2＝a2(1＋eq\f(y2,a2))，代入不等式*中，整理得eq\f(c2,b2)y2－2by＋a2≥0恒成立，則Δ＝4b2－eq\f(4a2c2,b2)≤0?b4≤a2c2?b2≤ac?c2－a2≤ac?e2－e－1≤0，解得eq\f(1－\r(5),2)≤e≤eq\f(1＋\r(5),2)，又e>1，則1<e≤eq\f(1＋\r(5),2).故選A.答案：A5．(2023·廣州一模)已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F在x軸上，過(guò)點(diǎn)(2，0)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ，線段PQ的中點(diǎn)為M，則直線MF的斜率的最大值為()A．eq\f(\r(6),6) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(2),2) D．1解析：已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F在x軸上，過(guò)點(diǎn)(2，0)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ，則拋物線C的焦點(diǎn)F在x軸正半軸上，設(shè)拋物線方程為y2＝2px，p>0，設(shè)PQ所在的直線方程為x＝ky＋2，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ky＋2，,y2＝2px，))消x可得y2－2pky－4p＝0，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1＋y2＝2pk，y1y2＝－4p，又OP⊥OQ，則x1x2＋y1y2＝0，即eq\f(yeq\o\al(2,1),2p)×eq\f(yeq\o\al(2,2),2p)＋y1y2＝0，即p＝1，則F(eq\f(1,2)，0)，又x1＋x2＝k(y1＋y2)＋4＝2k2＋4，則M(k2＋2，k)，則kMF＝eq\f(k,k2＋\f(3,2))，當(dāng)直線MF的斜率取最大值時(shí)，顯然k>0，又因?yàn)楫?dāng)k>0時(shí)，eq\f(k,k2＋\f(3,2))＝eq\f(1,k＋\f(3,2k))≤eq\f(1,2\r(k×\f(3,2k)))＝eq\f(\r(6),6)，當(dāng)且僅當(dāng)k＝eq\f(3,2k)，即k＝eq\f(\r(6),2)時(shí)取等號(hào)，所以直線MF的斜率的最大值為eq\f(\r(6),6)，故選A.答案：A6．(2023·汕頭一模)已知點(diǎn)P是橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1上一點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，且cos∠F1PF2＝eq\f(1,3)，則△PF1F2的面積為()A．6 B．12C．eq\r(2) D．2eq\r(2)解析：由橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，得a＝3，b＝2，c＝eq\r(5).設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，所以m＋n＝6，于是△PF1F2的周長(zhǎng)為m＋n＋2c＝6＋2eq\r(5)；在△PF1F2中，由余弦定理可得：(2c)2＝m2＋n2－2mn·cos∠F1PF2＝(m＋n)2－2mn－2mn·eq\f(1,3)，可得20＝36－eq\f(8,3)mn，得mn＝6.故S△F1PF2＝eq\f(1,2)mn·sin∠F1PF2＝eq\f(1,2)·6·eq\r(1－\f(1,9))＝2eq\r(2).故選D.答案：D7．(2023·深圳二模)設(shè)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線l過(guò)點(diǎn)F1.若點(diǎn)F2關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P恰好在橢圓C上，且eq\o(F1P,\s\up6(→))·eq\o(F1F2,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a2，則C的離心率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,5)解析：由題意可得|PF1|＝|F1F2|＝2c.所以|PF2|＝2a－2c，cos∠PF1F2＝eq\f(（2c2）＋（2c）2－（2a－2c）2,2·2c·2c)＝eq\f(4c2＋8ac－4a2,8c2)，因?yàn)閑q\o(F1P,\s\up6(→))·eq\o(F1F2,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a2，所以2c×2c×eq\f(4c2＋8ac－4a2,8c2)＝eq\f(1,2)a2，所以4c2＋8ac－4a2＝a2，所以5a2－8ac－4c2＝0，所以(5a＋2c)(a－2c)＝0，所以a＝2c，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).故選C.答案：C8．(2023·廣東模擬)已知雙曲線M：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,b2)＝1的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，記|F1F2|＝2c，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，c為半徑的圓與雙曲線M在第一象限的交點(diǎn)為P.若|PF1|＝c＋4，則雙曲線的離心率為()A.eq\r(3)＋1 B.eq\f(\r(3)＋1,2)C.eq\f(\r(3)＋2,2) D.eq\f(\r(3)＋3,2)解析：由題意可得，PF1⊥PF2，a＝2.因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限，|PF1|＝c＋4，由雙曲線的定義可得，|PF1|－|PF2|＝2a＝4，所以|PF2|＝c.在Rt△F1PF2中，由勾股定理可得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即(c＋4)2＋c2＝4c2，整理可得c2－4c－8＝0，解得c＝2±2eq\r(3)(舍去負(fù)值)．所以c＝2＋2eq\r(3)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)＋1.故選A.答案：A9．(多選題)(2023·惠州模擬)已知橢圓C：eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,1－m)＝1的焦點(diǎn)在x軸上，且F1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A．eq\f(1,2)<m<1B．C的離心率為eq\r(\f(1,m))C．存在m，使得∠F1PF2＝90°D．△F1PF2面積的最大值為eq\f(\r(2),4)解析：橢圓C：eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,1－m)＝1的焦點(diǎn)在x軸上，可得m>1－m>0，解得m∈(eq\f(1,2)，1)，所以A正確；橢圓的離心率為：e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(m－（1－m）,m))＝eq\r(\f(2m－1,m))，所以B不正確；當(dāng)b＝eq\r(1－m)，c＝eq\r(2m－1)，滿(mǎn)足eq\r(1－m)≤eq\r(2m－1)，即m∈[eq\f(2,3)，1)時(shí)，使得∠F1PF2＝90°，所以C正確；△F1PF2面積的最大值為eq\f(1,2)×2c×b＝eq\r(（1－m）（2m－1）)＝eq\r(－2m2＋3m－1)，當(dāng)m＝eq\f(3,4)時(shí)，面積取得最大值為eq\f(\r(2),4).所以D正確．故選ACD.答案：ACD10．(多選題)(2023·高州二模)阿波羅尼奧斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德齊名，他的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒(méi)有插足的余地．其中給出了拋物線一條經(jīng)典的光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的軸．此性質(zhì)可以解決線段和的最值問(wèn)題，已知拋物線C：y2＝2px(p>0)，M是拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，焦點(diǎn)F(eq\f(1,2)，0)，N(4，2)，下列說(shuō)法正確的是()A．C的方程為y2＝xB．C的方程為y2＝2xC．|MF|＋|MN|的最小值為eq\f(5,2)D．|MF|＋|MN|的最小值為eq\f(9,2)解析：由題可得eq\f(p,2)＝eq\f(1,2)，p＝1，即C的方程為y2＝2x，設(shè)準(zhǔn)線為l，過(guò)M作MA⊥l交l于點(diǎn)A，過(guò)N作NB⊥l交l于點(diǎn)B，交C于點(diǎn)M′，連接M′F，將y＝2代入y2＝2x可得M′(2，2)，所以|M′F|＋|M′N(xiāo)|＝eq\r(（2－0）2＋（2－\f(1,2)）2)＋2＝eq\f(9,2)，于是|MF|＋|MN|＝|MA|＋|MN|≥|BN|＝|BM′|＋|M′N(xiāo)|＝|M′F|＋|M′N(xiāo)|＝eq\f(9,2)，當(dāng)M與M′重合時(shí)，|MF|＋|MN|取得最小值eq\f(9,2).故選BD.答案：BD11．(多選題)(2023·汕頭潮陽(yáng)區(qū)三模)橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1，F(xiàn)2分別作兩條平行的射線F1A，F(xiàn)2B交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，(A，B均在x軸上方)，則()A．當(dāng)∠AF1O＝60°時(shí)，|AF1|＋|BF2|＝eq\f(16,5)B．|AF1|＋|BF2|的最小值為3C．當(dāng)∠AF1O＝60°時(shí)，四邊形ABF2F1的面積為eq\f(24\r(3),5)D．四邊形ABF2F1面積的最大值為3解析：F1(－1，0)設(shè)A(x1，y1)，C(x2，y2)，lAC：x＝my－1.聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，,x＝my－1，))得(3m2＋4)y2－6my－9＝0.由韋達(dá)定理有y1＋y2＝eq\f(6m,3m3＋4)，y1y2＝－eq\f(9,3m2＋4).設(shè)B(x3，y3)，D(x4，y4)，由AC∥BD，得lBD：x＝my＋1.聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，,x＝my＋1，))得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.所以y3＋y4＝eq\f(－6m,3m2＋4)，y3y4＝－eq\f(9,3m2＋4).而|AC|＝eq\r(1＋m2)|y1－y2|，|BD|＝eq\r(1＋m2)|y3－y4|，由對(duì)稱(chēng)性可知|CF1|＝|BF2|，|AF1|＋|BF2|＝|AF1|＋|CF1|＝|AC|＝eq\r(1＋m2)·|y1－y2|，當(dāng)∠AF1O＝60°時(shí)，所以m＝eq\f(\r(3),3)，y1＋y2＝eq\f(6m,3m2＋4)＝eq\f(2\r(3),5)，y1y2＝－eq\f(9,3m2＋4)＝－eq\f(9,5).|AF1|＋|BF2|＝|AC|＝eq\r(1＋\f(1,3))eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2)＝eq\r(\f(4,3)×[（\f(2\r(3),5)）2－4×（－\f(9,5)）])＝eq\f(16,5)，A選項(xiàng)正確；當(dāng)∠AF1O＝60°時(shí)，設(shè)F2到直線AC的距離為dF2，dF2＝eq\f(|1＋1－0|,\r(1＋\f(1,3)))＝eq\r(3)，四邊形ABF2F1的面積為eq\f(1,2)(|AF1|＋|BF2|)dF2＝eq\f(1,2)×eq\f(16,5)dF2＝eq\f(1,2)×eq\f(16,5)×eq\r(3)＝eq\f(8\r(3),5)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤．|AF1|＋|BF2|＝|AC|＝eq\r(1＋m2)eq\r(（\f(6m,3m2＋4)）2＋\f(4×9,3m2＋4))＝eq\f(12（1＋m2）,3m2＋4)＝4－eq\f(4,3m2＋4)，因?yàn)?m2＋4≥4，所以4－eq\f(4,3m2＋4)≤4－1＝3，|AF1|＋|BF2|＝|AC|的最小值為3，B選項(xiàng)正確；S?ABCD＝4S△AOC，且S△AOC＝eq\f(1,2)|OF1|·|y1－y2|.四邊形ABCD為平行四邊形，S?ABCD＝2|OF1|·|y1－y2|＝2eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2)＝2eq\r(\f(36m2＋36（3m2＋4）,（3m2＋4）2))＝24eq\r(\f(1,9（m2＋1）＋\f(1,（m2＋1）)＋6))，設(shè)f(t)＝9t＋eq\f(1,t)(t≥1)，f′(t)＝9－eq\f(1,t2)＝eq\f(9t2－1,t2)>0，所以f(t)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(t)min＝f(1)＝10.故S?ABCD的最大值為6，此時(shí)m＝0.四邊形ABF2F1面積的最大值為3，D選項(xiàng)正確．故選ABD.答案：ABD12．(多選題)(2023·汕頭二模)已知曲線C：x2＋y2cosα＝1，α∈[0，π]，則下列結(jié)論正確的是()A．曲線C可能是圓，也可能是直線B．曲線C可能是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C．當(dāng)曲線C表示橢圓時(shí)，則α越大，橢圓越圓D．當(dāng)曲線C表示雙曲線時(shí)，它的離心率有最小值，且最小值為eq\r(2)解析：設(shè)m＝cosa∈[－1，1]，故曲線C的方程可表示為x2＋my2＝1(－1≤m≤1)，對(duì)A，當(dāng)m＝0時(shí)，曲線C的方程為x2＝1，可得x＝±1，此時(shí)曲線C為兩條直線；當(dāng)m＝1時(shí)，曲線C的方程為x2＋y2＝1，此時(shí)曲線C是一個(gè)圓；故A正確；對(duì)B，當(dāng)0<m<1時(shí)，eq\f(1,m)>1，曲線C的方程為x2＋eq\f(y2,\f(1,m))＝1，此時(shí)曲線C為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故B正確；對(duì)C，當(dāng)曲線C表示橢圓時(shí)，離心率為e＝eq\r(1－m)＝eq\r(1－cosα)，則α越大，橢圓越扁，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)－1≤m<0時(shí)，－eq\f(1,m)≥1，曲線C的方程為x2－eq\f(y2,－\f(1,m))＝1，此時(shí)曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，此時(shí)離心率為e＝eq\r(1－\f(1,m))，由－1≤m<0，可得e＝eq\r(1－\f(1,m))≥eq\r(2)，即它的離心率有最小值，且最小值為eq\r(2)，故D正確．故選ABD.答案：ABD13．(多選題)(2023·深圳一模)已知拋物線C：y2＝2x的準(zhǔn)線為l，直線x＝my＋n與C相交于A、B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，則()A．當(dāng)n＝eq\f(1,2)時(shí)，以AB為直徑的圓與l相交B．當(dāng)n＝2時(shí)，以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)OC．當(dāng)|AB|＝4時(shí)，點(diǎn)M到l的距離的最小值為2D．當(dāng)|AB|＝1時(shí)，點(diǎn)M到l的距離無(wú)最小值解析：因?yàn)閽佄锞€C的方程為：y2＝2x，所以p＝1，所以焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(eq\f(1,2)，0)準(zhǔn)線l的方程為x＝－eq\f(1,2)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，對(duì)A選項(xiàng)，當(dāng)n＝eq\f(1,2)時(shí)，AB直線為x＝my＋eq\f(1,2)，過(guò)其焦點(diǎn)F，設(shè)A，B到準(zhǔn)線l的距離分別為a，b，則|AF|＝a，|BF|＝b，所以線段AB的中點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離為eq\f(a＋b,2)＝eq\f(|AF|＋|BF|,2)＝eq\f(|AB|,2)，所以當(dāng)n＝eq\f(1,2)時(shí)，以AB為直徑的圓與l相切，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤．對(duì)B選項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，AB直線為x＝my＋2，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝2x，,x＝my＋2，))可得y2－2my－4＝0，所以y1y2＝－4，所以x1x2＝eq\f(yeq\o\al(2,1),2)·eq\f(yeq\o\al(2,2),2)＝4，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝0，所以以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，所以B選項(xiàng)正確；對(duì)C選項(xiàng)，當(dāng)|AB|＝4時(shí)，根據(jù)A選項(xiàng)分析可知：點(diǎn)M到l的距離為eq\f(a＋b,2)＝eq\f(|AF|＋|BF|,2)≥eq\f(|AB|,2)＝2，當(dāng)且僅當(dāng)A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，所以C選項(xiàng)正確；對(duì)D選項(xiàng)，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝my＋n，,y2＝2x，))可得y2－2my－2n，所以y1＋y2＝2m，y1y2＝－2n，所以|AB|＝eq\r(1＋m2)|y1－y2|＝eq\r(1＋m2)·eq\r(4m2＋8n)＝1，所以n＝eq\f(1,8（m2＋1）)－eq\f(m2,2)，又M到l的距離為eq\f(p,2)＋eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(\f(yeq\o\al(2,1),2)＋\f(yeq\o\al(2,2),2),2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(（y1＋y2）2－2y1y2,4)＝eq\f(1,2)＋m2＋n＝eq\f(1,2)＋m2＋eq\f(1,8（m2＋1）)－eq\f(m2,2)＝eq\f(1,2)(m2＋1)＋eq\f(1,8（m2＋1）)，令t＝m2＋1≥1，所以M到l的距離為f(t)＝eq\f(1,2)t＋eq\f(1,8t)，t≥1，又由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)易知：f(t)＝eq\f(1,2)t＋eq\f(1,8t)在[1，＋∞)單調(diào)遞增，所以f(t)≥f(1)＝eq\f(5,8)，所以M到l的距離最小值為eq\f(5,8)，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選BC.答案：BC14．(2023·韶關(guān)二模)已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為－1的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，則以線段AB為直徑的圓D的方程為_(kāi)_______________；若圓D上存在兩點(diǎn)P，Q，在圓T：(x＋2)2＋(y＋7)2＝a2(a>0)上存在一點(diǎn)M，使得∠PMQ＝90°，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．解析：過(guò)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F(1，0)且斜率為－1的直線l為y＝－x＋1，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝－x＋1，))消去y，得x2－6x＋1＝0，所以AB的中點(diǎn)為D(3，－2)，|AB|＝x1＋x2＋p，所以以線段AB為直徑的圓D的半徑r＝4，方程為(x－3)2＋(y＋2)2＝16，對(duì)圓D內(nèi)任意一點(diǎn)M，必可作相互垂直的兩直線相交，故存在圓D上兩點(diǎn)P，Q，使∠PMQ＝90°；對(duì)圓D外任意一點(diǎn)M，P，Q是圓D上兩點(diǎn)．當(dāng)MP，MQ與圓D相切時(shí)，∠PMQ最大，此時(shí)DPMQ為矩形，若圓T：(x－a)2＋y2＝1上存在一點(diǎn)M，使得∠PMQ＝90°，等價(jià)于以D為圓心，以|DM|＝eq\r(2)r＝2eq\r(2)為半徑的圓與圓T：(x＋2)2＋(y＋7)2＝a2(a>0)存在公共點(diǎn)，所以a－4eq\r(2)≤|DT|＝eq\r(（－2－3）2＋（－7＋2）2)≤4eq\r(2)＋a，解得eq\r(2)≤a≤9eq\r(2)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[eq\r(2)，9eq\r(2)]．答案：(x－3)2＋(y＋2)2＝16[eq\r(2)，9eq\r(2)]15．(2023·茂名模擬)與三角形的一條邊以及另外兩條邊的延長(zhǎng)線都相切的圓被稱(chēng)為三角形的旁切圓，旁切圓的圓心被稱(chēng)為三角形的旁心，每個(gè)三角形有三個(gè)旁心，如圖1所示．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的焦點(diǎn)，P是雙曲線右支上一點(diǎn)，Q是△PF1F2的一個(gè)旁心，如圖2所示，直線PQ與x軸交于點(diǎn)M，則|eq\f(MQ,QP)|＝________．解析：雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1中a2＝16，b2＝9，所以a＝4，b＝3，則c＝eq\r(a2＋b2)＝5，由角平分線性質(zhì)知：eq\f(|MQ|,|PQ|)＝eq\f(|MF2|,|PF2|)＝eq\f(|MF1|,|PF1|)＝eq\f(|MF1|－|MF2|,|PF1|－|PF2|)＝eq\f(2c,2a)＝e，而e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\f(5,4)，故eq\f(|MQ|,|PQ|)＝eq\f(5,4).答案：eq\f(5,4)16．(2023·汕頭二模)阿波羅尼奧斯在其著作《圓錐曲線論》中提出：過(guò)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上任意一點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程為eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1.若已知△ABC內(nèi)接于橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，且坐標(biāo)原點(diǎn)O為ABC的重心，過(guò)A，B，C分別作橢圓E的切線，切線分別相交于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，則eq\f(S△DEF,S△ABC)＝________．解析：設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得G(eq\f(x1＋x2,2)，eq\f(y1＋y2,2))、H(eq\f(x2＋x3,2)，eq\f(y2＋y3,2))、I(eq\f(x1＋x3,2)，eq\f(y1＋y3,2))，因?yàn)镺為△ABC的重心，所以eq\f(y1＋y2,x1＋x2)＝eq\f(y3,x3)，eq\f(y2＋y3,x2＋x3)＝