2025屆金學(xué)導(dǎo)航大聯(lián)考高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2025屆金學(xué)導(dǎo)航大聯(lián)考高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則()A.3 B.5 C. D.2.如圖是國家統(tǒng)計(jì)局于2020年1月9日發(fā)布的2018年12月到2019年12月全國居民消費(fèi)價(jià)格的漲跌幅情況折線圖.(注:同比是指本期與同期作對比;環(huán)比是指本期與上期作對比.如:2019年2月與2018年2月相比較稱同比,2019年2月與2019年1月相比較稱環(huán)比)根據(jù)該折線圖,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.2019年12月份,全國居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比持平B.2018年12月至2019年12月全國居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比均上漲C.2018年12月至2019年12月全國居民消費(fèi)價(jià)格同比均上漲D.2018年11月的全國居民消費(fèi)價(jià)格高于2017年12月的全國居民消費(fèi)價(jià)格3.設(shè)集合,,則().A. B.C. D.4.已知為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),則A. B.C. D.5.某幾何體的三視圖如圖所示,圖中圓的半徑為1,等腰三角形的腰長為3,則該幾何體表面積為()A. B. C. D.6.已知函數(shù),其中表示不超過的最大正整數(shù),則下列結(jié)論正確的是()A.的值域是 B.是奇函數(shù)C.是周期函數(shù) D.是增函數(shù)7.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的最長棱的長為()A. B. C. D.8.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=i對應(yīng)的點(diǎn)為Z,將向量繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A. B. C. D.9.?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線,例如:四葉草曲線就是其中一種,其方程為.給出下列四個(gè)結(jié)論:①曲線有四條對稱軸;②曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為;③曲線第一象限上任意一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積最大值為;④四葉草面積小于.其中,所有正確結(jié)論的序號是()A.①② B.①③ C.①③④ D.①②④10.已知函數(shù)(,,),將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度,得到函數(shù)的部分圖象如圖所示,則是的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11.已知復(fù)數(shù)滿足,其中為虛數(shù)單位,則().A. B. C. D.12.已知集合的所有三個(gè)元素的子集記為.記為集合中的最大元素,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量,,且,則實(shí)數(shù)m的值是________.14.在棱長為的正方體中,是面對角線上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn).以下四個(gè)命題:①存在兩點(diǎn),使;②存在兩點(diǎn),使與直線都成的角;③若,則四面體的體積一定是定值;④若,則四面體在該正方體六個(gè)面上的正投影的面積的和為定值.其中為真命題的是____.15.曲線在點(diǎn)處的切線方程為__.16.有編號分別為1,2,3,4,5的5個(gè)紅球和5個(gè)黑球,從中隨機(jī)取出4個(gè),則取出球的編號互不相同的概率為_______________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),.(1)當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≤h(x)恒成立,求a的取值范圍;(2)當(dāng)x<0時(shí),研究函數(shù)F(x)=h(x)﹣g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);(3)求證:(參考數(shù)據(jù):ln1.1≈0.0953).18.(12分)《山東省高考改革試點(diǎn)方案》規(guī)定:從2017年秋季高中入學(xué)的新生開始,不分文理科;2020年開始,高考總成績由語數(shù)外3門統(tǒng)考科目和物理、化學(xué)等六門選考科目構(gòu)成.將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為、、、、、、、共8個(gè)等級.參照正態(tài)分布原則,確定各等級人數(shù)所占比例分別為、、、、、、、.選考科目成績計(jì)入考生總成績時(shí),將至等級內(nèi)的考生原始成績,依照等比例轉(zhuǎn)換法則,分別轉(zhuǎn)換到、、、、、、、八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間,得到考生的等級成績.某校高一年級共2000人,為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù),對六個(gè)選考科目進(jìn)行測試,其中物理考試原始成績基本服從正態(tài)分布.(1)求物理原始成績在區(qū)間的人數(shù);(2)按高考改革方案,若從全省考生中隨機(jī)抽取3人,記表示這3人中等級成績在區(qū)間的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.(附:若隨機(jī)變量,則,,)19.(12分)已知橢圓過點(diǎn)且橢圓的左、右焦點(diǎn)與短軸的端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程:(2)設(shè)A是橢圓的左頂點(diǎn),過右焦點(diǎn)F的直線,與橢圓交于P,Q,直線AP,AQ與直線交于M,N,線段MN的中點(diǎn)為E.①求證:;②記,,的面積分別為、、,求證:為定值.20.(12分)已知函數(shù),.(1)證明:函數(shù)的極小值點(diǎn)為1;(2)若函數(shù)在有兩個(gè)零點(diǎn),證明:.21.(12分)已知函數(shù),記不等式的解集為.(1)求;(2)設(shè),證明:.22.(10分)已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2,(1)求的值與拋物線的方程;(2)拋物線上第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè),拋物線上第四象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),滿足,求直線的斜率范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

先由已知,求出,進(jìn)一步可得,再利用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算即可【詳解】由z是純虛數(shù),得且,所以,.因此,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法、復(fù)數(shù)模的運(yùn)算,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道基礎(chǔ)題.2、D【解析】

先對圖表數(shù)據(jù)的分析處理,再結(jié)簡單的合情推理一一檢驗(yàn)即可【詳解】由折線圖易知A、C正確;2019年3月份及6月份的全國居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比是負(fù)的,所以B錯(cuò)誤;設(shè)2018年12月份,2018年11月份,2017年12月份的全國居民消費(fèi)價(jià)格分別為,由題意可知,,,則有,所以D正確.故選:D【點(diǎn)睛】此題考查了對圖表數(shù)據(jù)的分析處理能力及進(jìn)行簡單的合情推理,屬于中檔題.3、D【解析】

根據(jù)題意,求出集合A,進(jìn)而求出集合和,分析選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意,則故選:D【點(diǎn)睛】此題考查集合的交并集運(yùn)算,屬于簡單題目,4、B【解析】

因?yàn)椋?,故選B.5、C【解析】

幾何體是由一個(gè)圓錐和半球組成,其中半球的半徑為1,圓錐的母線長為3,底面半徑為1,計(jì)算得到答案.【詳解】幾何體是由一個(gè)圓錐和半球組成,其中半球的半徑為1,圓錐的母線長為3,底面半徑為1,故幾何體的表面積為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)三視圖求表面積,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.6、C【解析】

根據(jù)表示不超過的最大正整數(shù),可構(gòu)建函數(shù)圖象,即可分別判斷值域、奇偶性、周期性、單調(diào)性,進(jìn)而下結(jié)論.【詳解】由表示不超過的最大正整數(shù),其函數(shù)圖象為選項(xiàng)A,函數(shù),故錯(cuò)誤;選項(xiàng)B,函數(shù)為非奇非偶函數(shù),故錯(cuò)誤;選項(xiàng)C,函數(shù)是以1為周期的周期函數(shù),故正確;選項(xiàng)D,函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),但在整個(gè)定義域范圍上不具備單調(diào)性,故錯(cuò)誤.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查對題干的理解,屬于函數(shù)新定義問題,可作出圖象分析性質(zhì),屬于較難題.7、D【解析】

先根據(jù)三視圖還原幾何體是一個(gè)四棱錐,根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù),計(jì)算各棱的長度.【詳解】根據(jù)三視圖可知,幾何體是一個(gè)四棱錐,如圖所示:由三視圖知:,所以,所以,所以該幾何體的最長棱的長為故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖的應(yīng)用,還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.8、A【解析】

由復(fù)數(shù)z求得點(diǎn)Z的坐標(biāo),得到向量的坐標(biāo),逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到向量的坐標(biāo),則對應(yīng)的復(fù)數(shù)可求.【詳解】解:∵復(fù)數(shù)z=i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面中對應(yīng)點(diǎn)Z(0,1),

∴=(0,1),將繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,

設(shè)=(a,b),,則,即,

又,解得:,∴,對應(yīng)復(fù)數(shù)為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,是基礎(chǔ)題.9、C【解析】

①利用之間的代換判斷出對稱軸的條數(shù);②利用基本不等式求解出到原點(diǎn)的距離最大值;③將面積轉(zhuǎn)化為的關(guān)系式,然后根據(jù)基本不等式求解出最大值;④根據(jù)滿足的不等式判斷出四葉草與對應(yīng)圓的關(guān)系,從而判斷出面積是否小于.【詳解】①:當(dāng)變?yōu)闀r(shí),不變,所以四葉草圖象關(guān)于軸對稱;當(dāng)變?yōu)闀r(shí),不變,所以四葉草圖象關(guān)于軸對稱;當(dāng)變?yōu)闀r(shí),不變,所以四葉草圖象關(guān)于軸對稱;當(dāng)變?yōu)闀r(shí),不變,所以四葉草圖象關(guān)于軸對稱;綜上可知:有四條對稱軸,故正確;②:因?yàn)?,所以,所以,所以,取等號時(shí),所以最大距離為,故錯(cuò)誤;③:設(shè)任意一點(diǎn),所以圍成的矩形面積為,因?yàn)椋?,所以,取等號時(shí),所以圍成矩形面積的最大值為,故正確;④:由②可知,所以四葉草包含在圓的內(nèi)部,因?yàn)閳A的面積為:,所以四葉草的面積小于,故正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查曲線與方程的綜合運(yùn)用,其中涉及到曲線的對稱性分析以及基本不等式的運(yùn)用,難度較難.分析方程所表示曲線的對稱性,可通過替換方程中去分析證明.10、B【解析】

先根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式,再由平移知識得到的解析式,然后分別找出和的等價(jià)條件,即可根據(jù)充分條件,必要條件的定義求出.【詳解】設(shè),根據(jù)圖象可知,,再由,取,∴.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度,得到函數(shù)的圖象,∴.,,令,則,顯然,∴是的必要不充分條件.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用圖象求正(余)弦型函數(shù)的解析式,三角函數(shù)的圖形變換,二倍角公式的應(yīng)用,充分條件,必要條件的定義的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.11、A【解析】

先化簡求出,即可求得答案.【詳解】因?yàn)?,所以所以故選:A【點(diǎn)睛】此題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算,注意計(jì)算的準(zhǔn)確度,屬于簡單題目.12、B【解析】

分類討論,分別求出最大元素為3,4,5,6的三個(gè)元素子集的個(gè)數(shù),即可得解.【詳解】集合含有個(gè)元素的子集共有,所以.在集合中:最大元素為的集合有個(gè);最大元素為的集合有;最大元素為的集合有;最大元素為的集合有;所以.故選:.【點(diǎn)睛】此題考查集合相關(guān)的新定義問題,其本質(zhì)在于弄清計(jì)數(shù)原理,分類討論,分別求解.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】

根據(jù)即可得出,從而求出m的值.【詳解】解:∵;∴;∴m=1.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直的充要條件,向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.14、①③④【解析】

對于①中,當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合,與點(diǎn)重合時(shí),可判斷①正確;當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)與點(diǎn)重合,與直線所成的角最小為,可判定②不正確;根據(jù)平面將四面體可分成兩個(gè)底面均為平面,高之和為的棱錐,可判定③正確;四面體在上下兩個(gè)底面和在四個(gè)側(cè)面上的投影,均為定值,可判定④正確.【詳解】對于①中,當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合,與點(diǎn)重合時(shí),,所以①正確;對于②中,當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)與點(diǎn)重合,與直線所成的角最小,此時(shí)兩異面直線的夾角為,所以②不正確;對于③中,設(shè)平面兩條對角線交點(diǎn)為,可得平面,平面將四面體可分成兩個(gè)底面均為平面,高之和為的棱錐,所以四面體的體積一定是定值,所以③正確;對于④中,四面體在上下兩個(gè)底面上的投影是對角線互相垂直且對角線長度均為1的四邊形,其面積為定義,四面體在四個(gè)側(cè)面上的投影,均為上底為,下底和高均為1的梯形,其面積為定值,故四面體在該正方體六個(gè)面上的正投影的面積的和為定值,所以④正確.故答案為:①③④.【點(diǎn)睛】本題主要考查了以空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征為載體的謎題的真假判定及應(yīng)用,其中解答中涉及到棱柱的集合特征,異面直線的關(guān)系和椎體的體積,以及投影的綜合應(yīng)用,著重考查了推理與論證能力,屬于中檔試題.15、【解析】

對函數(shù)求導(dǎo)后,代入切點(diǎn)的橫坐標(biāo)得到切線斜率,然后根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式,即可寫出切線方程.【詳解】因?yàn)?,所以,從而切線的斜率,所以切線方程為,即.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查過曲線上一點(diǎn)的切線方程的求法,屬基礎(chǔ)題.16、【解析】試題分析:從編號分別為1,1,3,4,5的5個(gè)紅球和5個(gè)黑球,從中隨機(jī)取出4個(gè),有種不同的結(jié)果,由于是隨機(jī)取出的,所以每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相等的;設(shè)事件為“取出球的編號互不相同”,則事件包含了個(gè)基本事件,所以.考點(diǎn):1.計(jì)數(shù)原理;1.古典概型.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)見解析;(3)見解析【解析】

(1)令H(x)=h(x)﹣f(x)=ex﹣1﹣aln(x+1)(x≥0),求得導(dǎo)數(shù),討論a>1和a≤1,判斷導(dǎo)數(shù)的符號,由恒成立思想可得a的范圍;(2)求得F(x)=h(x)﹣g(x)的導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù),判斷F'(x)的單調(diào)性,討論a≤﹣1,a>﹣1,F(xiàn)(x)的單調(diào)性和零點(diǎn)個(gè)數(shù);(3)由(1)知,當(dāng)a=1時(shí),ex>1+ln(x+1)對x>0恒成立,令;由(2)知,當(dāng)a=﹣1時(shí),對x<0恒成立,令,結(jié)合條件,即可得證.【詳解】(Ⅰ)解:令H(x)=h(x)﹣f(x)=ex﹣1﹣aln(x+1)(x≥0),則,①若a≤1,則,H'(x)≥0,H(x)在[0,+∞)遞增,H(x)≥H(0)=0,即f(x)≤h(x)在[0,+∞)恒成立,滿足,所以a≤1;②若a>1,H′(x)=ex﹣在[0,+∞)遞增,H'(x)≥H'(0)=1﹣a,且1﹣a<0,且x→+∞時(shí),H'(x)→+∞,則?x0∈(0,+∞),使H'(x0)=0進(jìn)而H(x)在[0,x0)遞減,在(x0,+∞)遞增,所以當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)H(x)<H(0)=0,即當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),f(x)>h(x),不滿足題意,舍去;綜合①,②知a的取值范圍為(﹣∞,1].(Ⅱ)解:依題意得,則F'(x)=ex﹣x2+a,則F''(x)=ex﹣2x>0在(﹣∞,0)上恒成立,故F'(x)=ex﹣x2+a在(﹣∞,0)遞增,所以F'(x)<F'(0)=1+a,且x→﹣∞時(shí),F(xiàn)'(x)→﹣∞;①若1+a≤0,即a≤﹣1,則F'(x)<F'(0)=1+a≤0,故F(x)在(﹣∞,0)遞減,所以F(x)>F(0)=0,F(xiàn)(x)在(﹣∞,0)無零點(diǎn);②若1+a>0,即a>﹣1,則使,進(jìn)而F(x)在遞減,在遞增,,且x→﹣∞時(shí),,F(xiàn)(x)在上有一個(gè)零點(diǎn),在無零點(diǎn),故F(x)在(﹣∞,0)有一個(gè)零點(diǎn).綜合①②,當(dāng)a≤﹣1時(shí)無零點(diǎn);當(dāng)a>﹣1時(shí)有一個(gè)零點(diǎn).(Ⅲ)證明:由(Ⅰ)知,當(dāng)a=1時(shí),ex>1+ln(x+1)對x>0恒成立,令,則即;由(Ⅱ)知,當(dāng)a=﹣1時(shí),對x<0恒成立,令,則,所以;故有.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:求單調(diào)區(qū)間,考查函數(shù)零點(diǎn)存在定理的運(yùn)用,考查分類討論思想方法,以及運(yùn)算能力和推理能力,屬于難題.對于函數(shù)的零點(diǎn)問題,它和方程的根的問題,和兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題是同一個(gè)問題,可以互相轉(zhuǎn)化;在轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)時(shí),如果是一個(gè)常函數(shù)一個(gè)含自變量的函數(shù),注意讓含有自變量的函數(shù)式子盡量簡單一些.18、(Ⅰ)1636人;(Ⅱ)見解析.【解析】

(Ⅰ)根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性,可將區(qū)間分為和兩種情況,然后根據(jù)特殊區(qū)間上的概率求出成績在區(qū)間內(nèi)的概率,進(jìn)而可求出相應(yīng)的人數(shù);(Ⅱ)由題意得成績在區(qū)間[61,80]的概率為,且,由此可得的分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】(Ⅰ)因?yàn)槲锢碓汲煽儯裕晕锢碓汲煽冊冢?7,86)的人數(shù)為(人).(Ⅱ)由題意得,隨機(jī)抽取1人,其成績在區(qū)間[61,80]內(nèi)的概率為.所以隨機(jī)抽取三人,則的所有可能取值為0,1,2,3,且,所以,,,.所以的分布列為0123所以數(shù)學(xué)期望.【點(diǎn)睛】(1)解答第一問的關(guān)鍵是利用正態(tài)分布的三個(gè)特殊區(qū)間表示所求概率的區(qū)間,再根據(jù)特殊區(qū)間上的概率求解,解題時(shí)注意結(jié)合正態(tài)曲線的對稱性.(2)解答第二問的關(guān)鍵是判斷出隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,然后可得分布列及其數(shù)學(xué)期望.當(dāng)被抽取的總體的容量較大時(shí),抽樣可認(rèn)為是等可能的,進(jìn)而可得隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布.19、(1);(2)①證明見解析;②證明見解析【解析】

(1)解方程即可;(2)①設(shè)直線,,,將點(diǎn)的坐標(biāo)用表示,證明即可;②分別用表示,,的面積即可.【詳解】(1)解之得:的標(biāo)準(zhǔn)方程為:(2)①,,設(shè)直線代入橢圓方程:設(shè),,,直線,直線,,,,,.②,所以.【點(diǎn)睛】本題考查了直接法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓位

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