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文檔簡介
2025屆上海市普陀區(qū)上海師大附中高考仿真卷數(shù)學(xué)試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知滿足,則()A. B. C. D.2.?dāng)?shù)列{an},滿足對任意的n∈N+,均有an+an+1+an+2為定值.若a7=2,a9=3,a98=4,則數(shù)列{an}的前100項的和S100=()A.132 B.299 C.68 D.993.已知函數(shù),若有2個零點,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.4.已知雙曲線(,)的左、右頂點分別為,,虛軸的兩個端點分別為,,若四邊形的內(nèi)切圓面積為,則雙曲線焦距的最小值為()A.8 B.16 C. D.5.已知圓M:x2+y2-2ay=0a>0截直線x+y=0A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離6.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)(,)對應(yīng)向量(O為坐標(biāo)原點),設(shè),以射線Ox為始邊,OZ為終邊旋轉(zhuǎn)的角為,則,法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理:,,則,由棣莫弗定理可以導(dǎo)出復(fù)數(shù)乘方公式:,已知,則()A. B.4 C. D.167.已知點、.若點在函數(shù)的圖象上,則使得的面積為的點的個數(shù)為()A. B. C. D.8.i是虛數(shù)單位,若,則乘積的值是()A.-15 B.-3 C.3 D.159.在正方體中,點、分別為、的中點,過點作平面使平面,平面若直線平面,則的值為()A. B. C. D.10.已知,則下列說法中正確的是()A.是假命題 B.是真命題C.是真命題 D.是假命題11.已知是邊長為的正三角形,若,則A. B.C. D.12.設(shè)雙曲線(a>0,b>0)的右焦點為F,右頂點為A,過F作AF的垂線與雙曲線交于B,C兩點,過B,C分別作AC,AB的垂線交于點D.若D到直線BC的距離小于,則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是()A.B.C.D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)為定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時,(為常數(shù)),若,則實數(shù)的值為______.14.已知數(shù)列是等比數(shù)列,,則__________.15.已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,若,則的最小值為________.16.某高校組織學(xué)生辯論賽,六位評委為選手成績打出分數(shù)的莖葉圖如圖所示,若去掉一個最高分,去掉一個最低分,則所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)的差為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在極坐標(biāo)系中,曲線的方程為,以極點為原點,極軸所在直線為軸建立直角坐標(biāo),直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),與交于,兩點.(1)寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程;(2)設(shè)點;若、、成等比數(shù)列,求的值18.(12分)設(shè)函數(shù),,(Ⅰ)求曲線在點(1,0)處的切線方程;(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍.19.(12分)已知函數(shù)為實數(shù))的圖像在點處的切線方程為.(1)求實數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)函數(shù),證明時,.20.(12分)已知命題:,;命題:函數(shù)無零點.(1)若為假,求實數(shù)的取值范圍;(2)若為假,為真,求實數(shù)的取值范圍.21.(12分)在數(shù)列中,,(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若存在,使得成立,求實數(shù)的最小值22.(10分)已知函數(shù).(1)若,證明:當(dāng)時,;(2)若在只有一個零點,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
利用兩角和與差的余弦公式展開計算可得結(jié)果.【詳解】,.故選:A.【點睛】本題考查三角求值,涉及兩角和與差的余弦公式的應(yīng)用,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
由為定值,可得,則是以3為周期的數(shù)列,求出,即求.【詳解】對任意的,均有為定值,,故,是以3為周期的數(shù)列,故,.故選:.【點睛】本題考查周期數(shù)列求和,屬于中檔題.3、C【解析】
令,可得,要使得有兩個實數(shù)解,即和有兩個交點,結(jié)合已知,即可求得答案.【詳解】令,可得,要使得有兩個實數(shù)解,即和有兩個交點,,令,可得,當(dāng)時,,函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,,函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時,,若直線和有兩個交點,則.實數(shù)的取值范圍是.故選:C.【點睛】本題主要考查了根據(jù)零點求參數(shù)范圍,解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)的解法和根據(jù)導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性的步驟,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.4、D【解析】
根據(jù)題意畫出幾何關(guān)系,由四邊形的內(nèi)切圓面積求得半徑,結(jié)合四邊形面積關(guān)系求得與等量關(guān)系,再根據(jù)基本不等式求得的取值范圍,即可確定雙曲線焦距的最小值.【詳解】根據(jù)題意,畫出幾何關(guān)系如下圖所示:設(shè)四邊形的內(nèi)切圓半徑為,雙曲線半焦距為,則所以,四邊形的內(nèi)切圓面積為,則,解得,則,即故由基本不等式可得,即,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故焦距的最小值為.故選:D【點睛】本題考查了雙曲線的定義及其性質(zhì)的簡單應(yīng)用,圓錐曲線與基本不等式綜合應(yīng)用,屬于中檔題.5、B【解析】化簡圓M:x2+(y-a)2=a又N(1,1),r6、D【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)乘方公式:,直接求解即可.【詳解】,.故選:D【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的新定義題目、同時考查了復(fù)數(shù)模的求法,解題的關(guān)鍵是理解棣莫弗定理,將復(fù)數(shù)化為棣莫弗定理形式,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】
設(shè)出點的坐標(biāo),以為底結(jié)合的面積計算出點到直線的距離,利用點到直線的距離公式可得出關(guān)于的方程,求出方程的解,即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)點的坐標(biāo)為,直線的方程為,即,設(shè)點到直線的距離為,則,解得,另一方面,由點到直線的距離公式得,整理得或,,解得或或.綜上,滿足條件的點共有三個.故選:C.【點睛】本題考查三角形面積的計算,涉及點到直線的距離公式的應(yīng)用,考查運算求解能力,屬于中等題.8、B【解析】,∴,選B.9、B【解析】
作出圖形,設(shè)平面分別交、于點、,連接、、,取的中點,連接、,連接交于點,推導(dǎo)出,由線面平行的性質(zhì)定理可得出,可得出點為的中點,同理可得出點為的中點,結(jié)合中位線的性質(zhì)可求得的值.【詳解】如下圖所示:設(shè)平面分別交、于點、,連接、、,取的中點,連接、,連接交于點,四邊形為正方形,、分別為、的中點,則且,四邊形為平行四邊形,且,且,且,則四邊形為平行四邊形,,平面,則存在直線平面,使得,若平面,則平面,又平面,則平面,此時,平面為平面,直線不可能與平面平行,所以,平面,,平面,平面,平面平面,,,所以,四邊形為平行四邊形,可得,為的中點,同理可證為的中點,,,因此,.故選:B.【點睛】本題考查線段長度比值的計算,涉及線面平行性質(zhì)的應(yīng)用,解答的關(guān)鍵就是找出平面與正方體各棱的交點位置,考查推理能力與計算能力,屬于中等題.10、D【解析】
舉例判斷命題p與q的真假,再由復(fù)合命題的真假判斷得答案.【詳解】當(dāng)時,故命題為假命題;記f(x)=ex﹣x的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=ex,易知f(x)=ex﹣x(﹣∞,0)上遞減,在(0,+∞)上遞增,∴f(x)>f(0)=1>0,即,故命題為真命題;∴是假命題故選D【點睛】本題考查復(fù)合命題的真假判斷,考查全稱命題與特稱命題的真假,考查指對函數(shù)的圖象與性質(zhì),是基礎(chǔ)題.11、A【解析】
由可得,因為是邊長為的正三角形,所以,故選A.12、A【解析】
由題意,根據(jù)雙曲線的對稱性知在軸上,設(shè),則由得:,因為到直線的距離小于,所以,即,所以雙曲線漸近線斜率,故選A.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】
根據(jù)為定義在上的偶函數(shù),得,再根據(jù)當(dāng)時,(為常數(shù))求解.【詳解】因為為定義在上的偶函數(shù),所以,又因為當(dāng)時,,所以,所以實數(shù)的值為1.故答案為:1【點睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用,還考查了運算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
根據(jù)等比數(shù)列通項公式,首先求得,然后求得.【詳解】設(shè)的公比為,由,得,故.故答案為:【點睛】本小題主要考查等比數(shù)列通項公式的基本量計算,屬于基礎(chǔ)題.15、40【解析】
設(shè)等比數(shù)列的公比為,根據(jù),可得,因為,根據(jù)均值不等式,即可求得答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,,,等比數(shù)列的各項為正數(shù),,,當(dāng)且僅當(dāng),即時,取得最小值.故答案為:.【點睛】本題主要考查了求數(shù)列值的最值問題,解題關(guān)鍵是掌握等比數(shù)列通項公式和靈活使用均值不等式,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.16、【解析】
先根據(jù)莖葉圖求出平均數(shù)和中位數(shù),然后可得結(jié)果.【詳解】剩下的四個數(shù)為83,85,87,95,且這四個數(shù)的平均數(shù),這四個數(shù)的中位數(shù)為,則所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)的差為.【點睛】本題主要考查莖葉圖的識別和統(tǒng)計量的計算,側(cè)重考查數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)曲線的直角坐標(biāo)方程為,直線的普通方程為;(2)【解析】
(1)由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式和參數(shù)方程與普通方程的互化,即可求解曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程;(2)把的參數(shù)方程代入拋物線方程中,利用韋達定理得,,可得到,根據(jù)因為,,成等比數(shù)列,列出方程,即可求解.【詳解】(1)由題意,曲線的極坐標(biāo)方程可化為,又由,可得曲線的直角坐標(biāo)方程為,由直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),消去參數(shù),得,即直線的普通方程為;(2)把的參數(shù)方程代入拋物線方程中,得,由,設(shè)方程的兩根分別為,,則,,可得,.所以,,.因為,,成等比數(shù)列,所以,即,則,解得解得或(舍),所以實數(shù).【點睛】本題主要考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程,以及參數(shù)方程與普通方程的互化,以及直線參數(shù)方程的應(yīng)用,其中解答中熟記互化公式,合理應(yīng)用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎(chǔ)題.18、(1)(2)【解析】分析:(1)先斷定在曲線上,從而需要求,令,求得結(jié)果,注意復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,接著應(yīng)用點斜式寫出直線的方程;(2)先將函數(shù)解析式求出,之后借助于導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,從而求得函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的最值.詳解:(Ⅰ)當(dāng),.,當(dāng),,所以切線方程為.(Ⅱ),,因為,所以.令,,則在單調(diào)遞減,因為,所以在上增,在單調(diào)遞增.,,因為,所以在區(qū)間上的值域為.點睛:該題考查的是有關(guān)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問題,涉及到的知識點有導(dǎo)數(shù)的幾何意義,曲線在某個點處的切線方程的求法,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),函數(shù)在給定區(qū)間上的最值等,在解題的過程中,需要對公式的正確使用.19、(1);函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)詳見解析.【解析】
試題分析:(1)由題得,根據(jù)曲線在點處的切線方程,列出方程組,求得的值,得到的解析式,即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)由(1)得根據(jù)由,整理得,設(shè),轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值,即可作出證明.試題解析:(1)由題得,函數(shù)的定義域為,,因為曲線在點處的切線方程為,所以解得.令,得,當(dāng)時,,在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減;當(dāng)時,,在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)由(1)得,.由,得,即.要證,需證,即證,設(shè),則要證,等價于證:.令,則,∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,,即,故.20、(1)(2)【解析】
(1)為假,則為真,求導(dǎo),利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)有零點條件得的取值范圍;(2)由為假,為真,知一真一假;分類討論列不等式組可解.【詳解】(1)依題意,為真,則無解,即無解;令,則,故當(dāng)時,,單調(diào)遞增,當(dāng),,單調(diào)遞減,作出函數(shù)圖象如下所示,觀察可知,,即;(2)若為真,則,解得;由為假,為真,知一真一假;若真假,則實數(shù)滿足,則;若假真,則實數(shù)滿足,無解;綜上所述,實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查根據(jù)全(特)稱命題的真假求參數(shù)的問題.其思路:與全稱命題或特稱命題真假有關(guān)的參數(shù)取值范圍問題的本質(zhì)是恒成立問題或有解問題.解決此類問題時,一般先利用等價轉(zhuǎn)化思想將條件合理轉(zhuǎn)化,得到關(guān)于參數(shù)的方程或不等式(組),再通過解方程或不等式(組)求出參數(shù)的值或范圍.21、(1);(2)【解析】
(1)由得,兩式相減可得是從第二項開始的等比數(shù)列,由此即可求出答案;(2),分類討論,當(dāng)時,,作商法可得數(shù)列為遞增數(shù)列,由此可得答案,【詳解】解:(1)因為,,兩式相減得:,即,是從第二項開始的等比數(shù)列,∵∴,則,;(2),當(dāng)時,;當(dāng)時,設(shè)遞增,,所以實數(shù)的最小值.【點睛】本題主要考查地推數(shù)列的應(yīng)用,屬于中檔題.22、(1)見解析;(2)【解析】
分析:(1)先構(gòu)造函數(shù),再求導(dǎo)函數(shù),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)不大于零得函數(shù)單調(diào)遞減,最后根據(jù)單調(diào)性證得不等式;(2)研究零點,等價研究的零點,先求導(dǎo)數(shù):,這里產(chǎn)生兩個討論點,一個是a與零,一個是x與2,當(dāng)時,,沒有零點;當(dāng)時,先減后增,從而確定只有一個零點的必要條件,再利用零點存在定理確定條件的充分性,即得a的值.詳解:(1)當(dāng)時,等價于.設(shè)函數(shù)
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