浙江省杭州市西湖區(qū)2024-2025學(xué)年上學(xué)期九年級(jí)數(shù)學(xué)期末模擬試卷

浙江省杭州市西湖區(qū)2024-2025學(xué)年上學(xué)期九年級(jí)數(shù)學(xué)期末模擬試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知＝，則的值為（）A．﹣2 B．2 C．﹣ D．2．如圖，內(nèi)接于，CD是的直徑，連接BD，，則的度數(shù)是(

)

A． B． C． D．3．如圖，某滑雪場(chǎng)有一坡角為α的滑雪道，滑雪道的長(zhǎng)為300m，則滑雪道的坡頂?shù)狡碌椎呢Q直高度AB的長(zhǎng)為（）

A．300cosαm B．300sinαm C． D．4．如圖，能使成立的條件是（

）A． B．C． D．5．若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過三點(diǎn)，則a、b、c的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．6．某班級(jí)計(jì)劃舉辦手抄報(bào)展覽，確定了“5G時(shí)代”、“北斗衛(wèi)星”、“高鐵速度”三個(gè)主題，若小明和小亮每人隨機(jī)選擇其中一個(gè)主題，則他們恰好選擇同一個(gè)主題的概率是（

）A． B． C． D．7．如圖，小明在時(shí)測(cè)得某樹的影長(zhǎng)為，時(shí)又測(cè)得該樹的影長(zhǎng)為，若兩次日照的光線互相垂直，則樹的高度為（

）A． B． C． D．8．如圖，小強(qiáng)從熱氣球上的A點(diǎn)測(cè)量一棟高樓頂部的仰角，測(cè)量這棟高樓底部的俯角，熱氣球與高樓的水平距離為米，則這棟高樓的高BC為（

）米．A．45 B．60 C．75 D．909．如圖，的半徑為4，圓心M的坐標(biāo)為，點(diǎn)P是上的任意一點(diǎn)，，且與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，則AB的最大值為（

）A．13 B．14 C．12 D．2810．如圖所示為二次函數(shù)的圖象，對(duì)稱軸是直線，下列結(jié)論：；；；；其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題11．一個(gè)袋子中裝有4個(gè)黑球和個(gè)白球，這些球除顏色外其余完全相同，搖勻后隨機(jī)摸出一個(gè)，摸到白球的概率為，則白球的個(gè)數(shù)為．12．如圖，在Rt中，，，，則的值為．13．如圖是“小孔成像”，蠟燭到擋板距離與擋板到屏幕距離之比是，若燭焰的高是，則實(shí)像的高是14．如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，若點(diǎn)恰好落在上，則．15．如圖，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2，以頂點(diǎn)A為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑畫圓，則圖中陰影部分的面積為．16．如圖，在矩形紙片中，將沿翻折，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，為折痕，連接；再將沿翻折，使點(diǎn)恰好落在上的點(diǎn)處，為折痕，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，，則線段的長(zhǎng)等于．三、解答題17．按要求解答下列各題(1)計(jì)算：；(2)已知，求的值．18．如圖，在△ABC中，D為AC邊上一點(diǎn)，∠DBC=∠A．（1）求證：△BDC∽△ABC；（2）如果BC=，AC=3，求CD的長(zhǎng)．19．某學(xué)校在推進(jìn)新課改的過程中，開設(shè)的體育社團(tuán)活動(dòng)課有：A：籃球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，學(xué)生可根據(jù)自己的愛好選修一門，學(xué)校李老師對(duì)某班全班同學(xué)的選課情況進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，制成了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．(1)則該班的總?cè)藬?shù)為______人，其中學(xué)生選D“羽毛球”所在扇形的圓心角的度數(shù)是______度；(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；(3)該班班委4人中，2人選修籃球，1人選修足球，1人選修排球，李老師要從這4人中選2人了解他們對(duì)體育社團(tuán)活動(dòng)課的看法，請(qǐng)你用列表或畫樹狀圖的方法，求選出的2人恰好1人選修籃球，1人選修足球的概率．20．如圖1，是一款手機(jī)支架圖片，由底座、支撐板和托板構(gòu)成．圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，量得托板長(zhǎng)，支撐板長(zhǎng)，底座長(zhǎng)，托板AB連接在支撐板頂端點(diǎn)C處，且，托板可繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)，支撐板可繞D點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)．如圖2，若．(參考數(shù)值，，)

(1)求點(diǎn)C到直線的距離(精確到0.1cm)；(2)求點(diǎn)A到直線的距離(精確到0.1cm)．21．如圖，在正五邊形中，連結(jié)交于點(diǎn)F(1)求的度數(shù)．(2)已知，求的長(zhǎng)．22．如圖，已知拋物線y＝﹣+bx+4與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，若已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為A（﹣2，0）．（1）求拋物線的解析式及它的對(duì)稱軸方程；（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△ACQ為等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．23．某校數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在一次活動(dòng)中，對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題作如下探究：(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在等邊中，點(diǎn)P是邊上任意一點(diǎn)，連接AP，以為邊作等邊，連接，與的數(shù)量關(guān)系是；(2)變式探究：如圖2，在等腰中，，點(diǎn)P是邊上任意一點(diǎn)，以為腰作等腰，使，，連接，判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)解決問題：如圖3，在正方形中，點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)，以為邊作正方形，Q是正方形的中心，連接．若正方形的邊長(zhǎng)為5，，求正方形的邊長(zhǎng)．24．如圖，⊙O是四邊形ABCD的外接圓，直徑BD與弦AC交于點(diǎn)E．若∠BAC=2∠ABE．（1）求證：AB=AC；（2）當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求∠BCE的大?。?）當(dāng)AE=4，CE=6時(shí)，求邊BC的長(zhǎng)．參考答案：題號(hào)12345678910答案DDBCDCBBDC1．D【分析】直接利用已知表示出，的值，進(jìn)而代入計(jì)算得出答案．【詳解】解：∵，∴設(shè)，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了比例的性質(zhì)，正確表示出各數(shù)是解題關(guān)鍵．2．D【分析】本題考查同弧所對(duì)的圓周角相等、直徑所對(duì)的圓周角等于90°；由CD是的直徑，得，而，則，于是得到問題的答案．【詳解】解：是的直徑，，，，故選：D．3．B【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，掌握坡度坡角的概念，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正弦的定義進(jìn)行解答即可．【詳解】解：在中，，，，∵，∴，故選：B．4．C【分析】根據(jù)相似三角形的判定求解即可．【詳解】解：由題意得，，若添加，利用兩邊及其夾角法可判斷，故本選項(xiàng)符合題意；A、B、D均不能判定，故不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．5．D【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，先求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸以及開口方向，然后根據(jù)二次函數(shù)的增減性和對(duì)稱性解答即可．【詳解】解：∵∴二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，拋物線開口向上，∴時(shí)，y隨x的增大而減小，時(shí)，y隨x的增大而增大，∵到3的距離為4，2到3的距離為1，4.5到3的距離為1.5，∴a、b、c的大小關(guān)系.故選：D．6．C【分析】畫樹狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，其中小明和小剛恰好選擇同一個(gè)主題結(jié)果有3種，再由概率公式求解即可．【詳解】解：把“5G時(shí)代”、“北斗衛(wèi)星”、“高鐵速度”三個(gè)主題分別記為A、B、C，畫樹狀圖如下：共有9種等可能的結(jié)果，其中小明和小剛恰好選擇同一個(gè)主題的結(jié)果有3種，∴小明和小剛恰好選擇同一個(gè)主題的概率為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．7．B【分析】根據(jù)題意，畫出示意圖，易得F，進(jìn)而可得，代入數(shù)據(jù)求解即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意做出示意圖，則，，，，∴，∴，∴，∴，∴，即，∴，∴（負(fù)值舍去）．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，能夠?qū)?shí)際問題轉(zhuǎn)化為相似三角形的問題是解題的關(guān)鍵．8．B【分析】由求出的值，由求出的值，對(duì)計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵∴米∵∴米∴米故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)特殊角的正切值進(jìn)行求解．9．D【分析】本題主要考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出取得最大值時(shí)點(diǎn)P的位置．連接，由中知若要使取最大值，則需取最大值，連接，交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)時(shí)，取得最小值，當(dāng)點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線與的交點(diǎn)上時(shí)，取最大值，據(jù)此可得出取最大值時(shí)點(diǎn)P的位置，求解可得結(jié)果．【詳解】解：連接，∵，∴，∵點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，∴，即點(diǎn)為AB中點(diǎn)，∴，若要使取最大值，則需取最大值，連接，交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)時(shí)，取得最小值，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)Q，圓心M的坐標(biāo)為，則，∴，又∵，∴，∴當(dāng)點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線與的交點(diǎn)上時(shí)，取最大值，∴的最大值為，∴的最大值為．故選：D．10．C【分析】利用判別式的意義和拋物線與軸有2個(gè)交點(diǎn)可以對(duì)進(jìn)行判斷；利用時(shí)，可以對(duì)進(jìn)行判斷；由拋物線開口向下得到，然后利用對(duì)稱軸的位置以及拋物線與軸的交點(diǎn)可得到的符號(hào)，可以對(duì)進(jìn)行判斷；利用拋物線的對(duì)稱軸方程得到，加上時(shí)，，即，可以對(duì)進(jìn)行判斷．【詳解】解：拋物線與軸有2個(gè)交點(diǎn)，，，故正確；當(dāng)時(shí)，，，故錯(cuò)誤；拋物線開口向下，拋物線與軸交于正半軸，，，拋物線的對(duì)稱軸為直線，，，故正確；拋物線的對(duì)稱軸為直線，，當(dāng)時(shí)，，即，，故正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對(duì)于二次函數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)決定拋物線的開口方向和大小，當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下；一次項(xiàng)系數(shù)和二次項(xiàng)系數(shù)共同決定對(duì)稱軸的位置，當(dāng)與同號(hào)時(shí)（即），對(duì)稱軸在軸的左邊，當(dāng)與異號(hào)時(shí)（即），對(duì)稱軸在軸的右邊；常數(shù)項(xiàng)決定拋物線與軸的交點(diǎn)；拋物線與軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由決定，拋物線與軸有2個(gè)交點(diǎn)，，拋物線與軸有1個(gè)交點(diǎn)，，拋物線與軸沒有交點(diǎn)．11．6【分析】本題考查利用概率求個(gè)數(shù)，根據(jù)白球概率求出黑球概率，黑球共有4個(gè)，就可以求出球的總數(shù)，再減去黑球個(gè)數(shù)即可解答，熟練掌握簡(jiǎn)單概率公式是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵搖勻后隨機(jī)摸出一個(gè)，摸到白球的概率為，∴摸到黑球的概率為，∵袋子中有4個(gè)黑球和個(gè)白球，∴由簡(jiǎn)單概率公式可得，解得，∴白球有6個(gè)，故答案為：6．12．【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，根據(jù)勾股定理求出AB，再根據(jù)正弦的定義：對(duì)邊比斜邊，進(jìn)行計(jì)算即可，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，，∴，∴，故答案為：13．/8厘米【分析】本題考查了形似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖所示：根據(jù)題意得：，∴，∵燭到擋板距離與擋板到屏幕距離之比是，若燭焰的高是，∴，∴故答案為：14．/50度【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理；解題關(guān)鍵在于掌握對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，由等腰三角形的性質(zhì)可得，由三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，，∴．故答案為：．15．/【分析】延長(zhǎng)FA交⊙A于G，如圖所示：根據(jù)六邊形ABCDEF是正六邊形，AB=2，利用外角和求得∠GAB=，再求出正六邊形內(nèi)角∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，利用扇形面積公式代入數(shù)值計(jì)算即可．【詳解】解：延長(zhǎng)FA交⊙A于G，如圖所示：∵六邊形ABCDEF是正六邊形，AB=2，∴∠GAB=，∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，∴，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形面積計(jì)算及正多邊形的性質(zhì)，熟練掌握扇形面積計(jì)算及正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．．【分析】據(jù)折疊可得是正方形，，，，可求出三角形的三邊為3，4，5，在中，由勾股定理可以求出三邊的長(zhǎng)，通過作輔助線，可證∽，三邊占比為3：4：5，設(shè)未知數(shù)，通過，列方程求出待定系數(shù)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，然后求的長(zhǎng)．【詳解】過點(diǎn)作，，垂足為、，由折疊得：是正方形，，，，，∴，在中，，∴，在中，設(shè)，則，由勾股定理得，，解得：，∵，，∴∽，∴，設(shè)，則，，∴，，解得：，∴，∴，故答案為．【點(diǎn)睛】考查折疊軸對(duì)稱的性質(zhì)，矩形、正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，知識(shí)的綜合性較強(qiáng)，是有一定難度的題目．17．(1)(2)【分析】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)的混合運(yùn)算、代數(shù)式求值等知識(shí)點(diǎn)，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，然后再運(yùn)算即可；（2）先用a表示出b，然后再代入計(jì)算即可．【詳解】（1）解：．（2）解：∵，∴，∴．18．（1）詳見解析；（2）CD=2.【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定得出即可；（2）根據(jù)相似得出比例式，代入求出即可．【詳解】證明：（1）∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，∴△BDC∽△ABC；（2）∵△BDC∽△ABC，∴，∴，∴CD=2．【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：相似三角形的判定和性質(zhì).19．(1)50，72(2)見解析(3)【分析】（1）利用“選A：籃球”的學(xué)生人數(shù)除以其所占的百分比即可求得該班學(xué)生的總?cè)藬?shù)，再利用學(xué)生選D“羽毛球”的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)，再乘以，即可求得結(jié)果；（2）利用選足球的學(xué)生的百分比乘以總?cè)藬?shù)求得選足球的人數(shù)，再利用總?cè)藬?shù)減去其他課程的人數(shù)求得選乒乓球的學(xué)生人數(shù)，即可補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）畫出樹狀圖可得共有12種等可能的情況，其中選出的2人恰好1人選修籃球，1人選修足球的情況有4種，再利用概率公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：由題意可得：該班的總?cè)藬?shù)為：（人），學(xué)生選D“羽毛球”所在扇形的圓心角的度數(shù)為：，故答案為：50；72；（2）解：由題意可得：選“B：足球”的學(xué)生人數(shù)為：（人），選“E：乒乓球”的學(xué)生人數(shù)為：（人）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下；（3）解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的情況，其中選出的2人恰好1人選修籃球，1人選修足球的情況有4種；∴選出的2人恰好1人選修籃球，1人選修足球的概率為．【點(diǎn)睛】本題考查用樣本估計(jì)總體、畫條形統(tǒng)計(jì)圖、求扇形統(tǒng)計(jì)圖的圓心角、用列表法或樹狀圖求概率及概率公式，熟練掌握用列表法或樹狀圖求概率及概率公式是解題的關(guān)鍵．20．(1)點(diǎn)C到直線的距離約為13.8cm(2)點(diǎn)A到直線的距離約為21.5cm【分析】（1）如圖2，過點(diǎn)C作，垂足為N，然后根據(jù)三角函數(shù)可得，即，最后將已知條件代入即可解答；（2）如圖2，過A作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作，垂足為F，再說明中，，，然后根據(jù)三角函數(shù)和線段的和差即可解答．【詳解】（1）解：如圖2，過點(diǎn)C作，垂足為N

由題意可知，，在中，，∴．答：點(diǎn)C到直線的距離約為．（2）解：如圖3，過A作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作，垂足為F，

∴在中，，，∴，∴．答：點(diǎn)A到直線的距離約為21.5cm．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，正確的理解正弦、余弦的定義是解答本題的關(guān)鍵．21．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)五邊形是正五邊形，判斷出，，求出，進(jìn)而可求出的度數(shù)；（2）證明得，設(shè)，則，列出方程，解方程即可求出的長(zhǎng)．【詳解】（1）解：∵五邊形是正五邊形，，，∴，同理可求，∴．（2）解：∵，∴，同理可證，∴四邊形是菱形，，同理，∴，∵，，，即，設(shè)，則，，即，解得（舍去負(fù)值），的長(zhǎng)是．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)，找到相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（1）y=-x2+x+4，x=3；（2）C（0，4）；y=?x+4；（3）Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4-）．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，利用配方法或利用公式x=?求出對(duì)稱軸方程；（2）在拋物線解析式中，令x=0，可求出點(diǎn)C坐標(biāo)；令y=0，可求出點(diǎn)B坐標(biāo)．再利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式；（3）本問為存在型問題．若△ACQ為等腰三角形，則有三種可能的情形，需要分類討論，逐一計(jì)算，避免漏解．【詳解】解：（1）∵拋物線y=-x2+bx+4的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0），∴-×（-2）2+b×（-2）+4=0，解得：b=，∴拋物線解析式為y=-x2+x+4，又∵y=-x2+x+4=-（x-3）2+，∴對(duì)稱軸方程為：x=3．（2）在y=-x2+x+4中，令x=0，得y=4，∴C（0，4）；令y=0，即-x2+x+4=0，整理得x2-6x-16=0，解得：x=8或x=-2，∴A（-2，0），B（8，0）．設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，把B（8，0），C（0，4）的坐標(biāo)分別代入解析式，得：，解得，∴直線BC的解析式為：y=?x+4．∵拋物線的對(duì)稱軸方程為：x=3，可設(shè)點(diǎn)Q（3，t），則可求得：AC=，AQ=，CQ=．i）當(dāng)AQ=CQ時(shí)，有=，25+t2=t2-8t+16+9，解得t=0，∴Q1（3，0）；ii）當(dāng)AC=AQ時(shí)，有t2=-5，此方程無實(shí)數(shù)根，∴此時(shí)△ACQ不能構(gòu)成等腰三角形；iii）當(dāng)AC=CQ時(shí)，有，整理得：t2-8t+5=0，解得：t=4±，∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為：Q2（3，4+），Q3（3，4-）．綜上所述，存在點(diǎn)Q，使△ACQ為等腰三角形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4-）．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合題，綜合性較強(qiáng)，有一定難度，注意分類討論是本題的解題關(guān)鍵．23．(1)(2)，理由見解析(3)4【分析】本題考查的是正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)