2017年-7考研數(shù)學(xué)二真題與解析

2017年考研數(shù)學(xué)二真題

一、選擇題1—8小題.每小題4分，共32分.

1-COSVx

1.若函數(shù)/5)={-G-在工=0處連續(xù)，則

b,A<0

(A)ab—<D)ab=—(C)ab—0(D)ab-2

Ir~—x,

【詳解】limf(x)=lim0SVA=lim-2-=—,limf(x)=b=要使函數(shù)在x=0處連續(xù),

-so+*辦ax2a

必須滿足」-=/?=>〃/?='.所以應(yīng)該選(A)

2a2

2.設(shè)二階可導(dǎo)函數(shù)/*)滿足/⑴=/(-1)=1,/(0)=-1,且廣。)>0,則()

(A)f〃.心>0fJ(x)公<0

r0rl

⑹J(j\x)dx>￡f(x)dx(I))J：/(x)公<￡f(x)dx

【詳解】注意到條件/〃(x)>0,則知道曲線/(幻在卜1,0],[0,1]上都是凹的，根據(jù)凹凸性的定義，顯然

當(dāng)XE[—1,0]時(shí)，f(x)<-2x-\,當(dāng)x?0,l]時(shí)，f(x)<2x-\,而且兩個(gè)式子的等號(hào)不是處處成立，

否則不滿足二階可導(dǎo).所以為:<二(一2工一1)公+￡(21一1)公=0.所以選擇(B).

當(dāng)然，如果在考場(chǎng)上，不用這么詳細(xì)考慮，可以考慮代一個(gè)特殊函數(shù)/。)=2/一1,此時(shí)

f{x}dx=--Xf(x)dx=--,可判斷出選項(xiàng)(A),(C),(D)都是錯(cuò)誤的，當(dāng)然選擇(B).希望同

j-i3J。3

學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，掌握這種做選擇題的技巧.

3.設(shè)數(shù)列{玉}收斂，則

(B)當(dāng)lim(怎+曰)=0時(shí),limx,=0

(A)當(dāng)limsinxn=0時(shí)，limxn=0

〃一>3V'In>Q0

(C)當(dāng)lim(x+片)=0時(shí),limx=0

nn(D)當(dāng)lim(x〃+sin)=0時(shí)，limxfl=0

【詳解】此題考核的是復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則，只有(D)是正確的.

其實(shí)此題注意，設(shè)limx“=4,則

1

忸sin怎=sinAlim(xrt+屈)=A+炳強(qiáng)(怎+七)=A+A,\m(xn+sinx?)=A+sinA

分別解方程5訪4=(),4+加=0,4+42=0,4+4114=()時(shí)，發(fā)現(xiàn)只有第四個(gè)方程A+sinA=0有唯

一解

A—0?也就是得到limx”—0.

M—><X>

4,微分方程y〃-4y+89=/(+cos2幻的特解可設(shè)為)，*=()

(A)Ae2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)(B)A^e2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)

(C)Ae2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)(D)Ave2v+xe2x(Bcos2x+Csin2x)

【詳解】微分方程的特征方程為產(chǎn)-4廠+8=0,有一對(duì)共扼的復(fù)數(shù)根r=2±2i.

所以％=2不是特征方程的根，所以對(duì)應(yīng)方程)，〃一4y+89=*的特解應(yīng)該設(shè)為x*=.

而4=2+2,是方程的單根，所以對(duì)應(yīng)方程/-4y+89=e2rcos2x的特解應(yīng)該設(shè)為

y^=xe2x(Bcos2x+Csin2x)：從而微分方程)，"一4)，'+89=+cos2x)的特解可設(shè)為

),*=)[*+必*=A/'+xe"(3cos2_r+Csin2x),應(yīng)該選(C).

5.設(shè)f(x,y)具有一階偏導(dǎo)數(shù)，且對(duì)任意的)，)都有西)')>0,")')<0，則()

oxoy

(A)/(0,0)>/(1,0)(B)/(0,0)</(1,1)

(C)/(0,1)>/(1,0)(D)/(0,1)</(1,0)

【詳解】由條件對(duì)任意的a,y)都有.(：)')>0,*>')V0可知/(X,)，)對(duì)于X是單調(diào)增加的,

oxdy

對(duì))，就單調(diào)減少的.所以</(1,0)>/(0,0),/(1,1)>/(0,1)</(0,0),/(0,1)</(0,0)</(1,0),

只有第三個(gè)不等式可得正確結(jié)論(D),應(yīng)該選(D).

6.甲、乙兩人賽跑，計(jì)時(shí)開始時(shí)，甲在乙前方10(單位：米)處，如圖中，實(shí)線表示甲的速度曲線y=w?)

(單位：米/秒)，虛線表示乙的速度曲線以=匕(。(單位：米/秒)，三塊陰影部分的面枳分別為10,20,3,

計(jì)時(shí)開始后乙追上甲的時(shí)刻為則()

(A)%=10(B)15<%<20

(C)%=25(D)t{>>25

【詳解】由定積分的物理意義：當(dāng)曲線表示變速直線運(yùn)動(dòng)的速度函數(shù)時(shí)，5(。=，(辿表示時(shí)刻[工,4]

內(nèi)圻走的路程.本題中的陰影面積號(hào),-S2,S,分別表示在時(shí)間段[0,10],[10,25],[25,30]內(nèi)甲、乙兩人所

走路程之差，顯然應(yīng)該在Z=25時(shí)乙追上甲，應(yīng)該選(C).

00、

7.設(shè)A為三階矩陣，2二(?,%,4)為可逆矩陣，使得尸-A尸010，則A(%+q+4)=()

<002,

(A)at+%(B)%+2%(C)%+%(D)6+2a3

【詳解】顯然這是矩陣相似對(duì)角化的題目.可知

000ro00、

4%%,%)=AP=P010=(%4，%)010=((),%,2%)

(0021°0V

所以A(a]+a2+a3)=Aa1+Aa2+Aa3=a2+2a3，所以可知選擇(B).

’200、r210、」00、

8.已知矩陣A二021,B=020,C=020,則

1°。b1°。b〔002；

(A)AC相似，民C相似(B)AC相似，氏C不相似

(C)AC不相似，民C相似(D)AC不相似，不相似

【詳解】矩陣A8的特征值都是4=4=2,4=1.是否可對(duì)解化，只需要關(guān)心2=2的情況.

‘000、

對(duì)于矩陣A,2E-A=00-1,秩等于1,也就是矩陣A屬于特征值九=2存在兩個(gè)線性無關(guān)的特

征句量，也就是可以對(duì)角化，也就是A?C.

‘0-10、

對(duì)于矩陣5,2E-B=000,秩等于2,也就是矩陣A屬于特征值2=2只有一個(gè)線性無關(guān)的特

、。0"

征句量，也就是不可以對(duì)角化，當(dāng)然RC不相似故選擇(B).

二、填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上)

2

9.曲線y=x(1+arcsin—)的斜漸近線為.

x

八?2、

,x(l+arcsin-)2

解：lim—=lim----------------=1,lim(y-x)=limxarcsin—=2,所以斜漸近線為y=x+2.

RXXfpXX-><X)X—XCX

x=t+p1/72

10,設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程彳確定，則=九=0=_____________.

y=sintdx~

cos/

d

i+7

【詳解】電=明白~dT(l+e')sin/+dcosr

dx\+edx~dx(l+d)3'所以需金T

~dt

I詳解】廣卷祟-Q…d1

T+7

12.設(shè)函數(shù)/*,），）具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且已知"x,y）=），eZx+x（l+），）e",/（0,0）=0,則

[詳解]df(x,y)=yeydx+x(l+y)eydy=d(xye'),所以f(x,y)=xyey+C,由/(0,0)=0,得C=0,

所以/"，）'）=冷

?lanx.

W—dx=-------------

【詳解】交換二重積分的積分次序得:

小[飛尸dy=￡tan.xzZr=-In|cos=-lncosl.

xJoJox

S1-2

14.設(shè)矩陣4=I2的?個(gè)特征向量為1，則4=

、3I2,

【詳解】根據(jù)特征向量的定義，有

41-2T1、

Aa=121=213+2。,解得。=一1.

01Tg22，

三、解答題

15.（本題滿分10分）

fyjx-te'dt

求極限lim^―=—

*G

［詳解】令x-t=",則，=x-〃，力=-du,I：Ge"J：瘋

xl,l,

fyjx-te'dtef\[ue~duf\[ue~du\]~xe~x2

lim~j=—=lim'=——=lim—=lim

.v-?o'3G3

2

16.（本題滿分10分）

I啟|

設(shè)函數(shù)/（〃/）具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，,求

y=f（e\cosx）Lv=o，心2v=0?

【詳解】學(xué)=[(e\cosx)e*+力'(/,8sx)(-sinx),半k"'。」)；

ax~ax

2

xxxxxv

—7-=efx(e,cosx)+e(e,cosx)e-sincosx))-cosxf^(e,cosx)

cLc"

x

-sinxef2^(e\cosx)+sinL%；(e\cosx)

塞心。"'（1』）+工：（1，1）一￡（1，1）?

17.（本題滿分10分）

3k(k

求lim￡rln1+—

—°言，廠kn

【詳解】由定積分的定義

1jk

limY—ln[1+-=lim-y-ln14=fx)n(l+x)dr

…七nkninMnnJo

=l￡ln(l+x)dr=l

18.（本題滿分10分）

已知函數(shù)y（x）是由方程V+-31+3），-2二0.

【詳解】在方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得

3x2+3/y-3+3/=0(1)

在（1）兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得

2x+2y(y)2+//+/=()

也就是力一汽*

令）/=0，得不=±1.當(dāng)％=1時(shí)，））=1；當(dāng)工2=-1時(shí)，見=0

當(dāng)內(nèi)=1時(shí)，/=（）,/=-1＜（）,函數(shù)），=），。）取極大值y=1；

當(dāng)看二一1時(shí)，y'=。，）嚴(yán)=1＞0函數(shù)y=y（x）取極小值為=0.

19.（本題滿分10分）

設(shè)函數(shù)/*）在區(qū)間［0,1］上具有二階導(dǎo)數(shù)，且/⑴＞（）,證明:

（1）方程/（x）=0在區(qū)間（0,1）至少存在一個(gè)實(shí)根；

（2）方程/（幻/〃。）+（/。））2=0在區(qū)間（0,1）內(nèi)至少存在兩個(gè)不同實(shí)根.

證明：（1）根據(jù)的局部保號(hào)性的結(jié)論，由條件知，存在0<5<1,及王￡（0?）,使得

X-?0-X

/（X.X0,由于/"）在［%［］上連續(xù)，且/（&）?/⑴<0,由零點(diǎn)定理，存在j￡（%,l）u（0,l）,使得

八G=0,也就是方程f（x）=0在區(qū)間（0,1）至少存在一個(gè)實(shí)根；

（2）由條件可知f（0）=0,由（1）可知/（9=0,由洛爾定理，存在〃￡（0,自），使得

2-x

八〃）=0；

設(shè)b（x）=/（x）/'（x）,由條件可知/（x）在區(qū)間［0,1］上可導(dǎo)，且/（0）=0,/0=0,/。7）=0,分別在區(qū)

間［°用，歷?上對(duì)函數(shù)尸（幻使用爾定理，貝I存在白w（0,〃）u（0,1）4￡（〃/）u（0,l）,使得

。工芻，尸?）=/（$）二°，也就是方程/（幻/〃（x）+（r（x）『=0在區(qū)間（0,1）內(nèi)至少存在兩個(gè)不同實(shí)

根.

20.（本題滿分11分）

已知平面區(qū)域D={a,y）\x2+y2<2y},計(jì)算二重積分|J（X4-1）2J<T

D

【詳解】由于積分區(qū)域關(guān)于y軸左右對(duì)稱，所以由二重積分對(duì)稱性可知“2.5。=0.所以

D

JJ(x+1評(píng)。=Jj(x2+])t/o-=「de^m\rC0S26?+1)rJr

<241

一sin4^cos2^+2sin20d0

14J

T462

=Jo(4sin<9-4sin6>+2sin

5

=一冗

4

其中利用瓦列斯公式，知

I?2八/八I萬1?4八]八3x13萬1.6八/八5x3x157

sm~OdO=—^7tsinOdO-------x〃=——,sin0d0=-----------乂兀=—

Jo22J。4x28J。6x4x216

21.(本題滿分11分)

（31

設(shè)y（x）是區(qū)間0,-上的可導(dǎo)函數(shù)，且y（l）=0.點(diǎn)P是曲線L:y=y（x）上的任意一點(diǎn)，L在點(diǎn)。處的

乙）

切線與），軸相交于點(diǎn)（0,4）,法線與X軸相交于點(diǎn)（Xp,0）.若Xp=}；,求L上的點(diǎn)的坐標(biāo)",），）滿足

的方程.

【洋解】曲線過點(diǎn)P(x,y)的切線方程為y—y(x)=y(x)(X-x),令X=0,得y；=y(x)-w(x)；

曲線過點(diǎn)尸(x,y)的法線方程為y—y(x)二一一二(X—x),令丫=0,得X〃=x+)，y'(x).

y(x)

由條件Xp=Z，,可得微分方程y-孫'=x+y/

標(biāo)淮形為了二包=士)=^^,是個(gè)一階齊次型微分方程.

dxx+yy4.1

x

y，duu-1即八網(wǎng)du1+tr

設(shè)一=u?方程化為〃+x—=--->整理，得X——------

xclxM+1dx1+//

分離變量,兩邊積分，得arctanm+—ln〃=一Inx+lnC

2

由初始條件武1)=0,得x=l,y=0,〃=0,確定常數(shù)C=1

所以曲線的方程為arctan^+'ln上=—lnx.

x2x

22.(本題滿分11分)

設(shè)三階矩陣A=(%,4,4)有三個(gè)不同的特征值，且=a\+2%

(1)證明:r(A)=2；

(2)若￡=%十%，%，求方程組Ar=￡的通解.

【詳解】(1)證明：因?yàn)榫仃囉腥齻€(gè)不同的特征值，所以A是非零矩陣，也就是"A)N1.

假若r(A)=l時(shí)，則廠=0是矩陣的二重特征值，與條件不符合，所以有r(A)N2,又因?yàn)?/p>

儀3-《+2a2=0，也就是%%，%線性相關(guān)，r(A)<3,也就只有2A)=2.

(2)因?yàn)椤?)=2,所以Ar=0的基礎(chǔ)解系中只有一個(gè)線性無關(guān)的解向量.由于%-%+2%=0,所

(1、

以基礎(chǔ)解系為x=2；

又由尸=%+4,%，得非齊次方程組Ax=p的特解可取為1；

方程組=〃的通