2023-2024學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊舉一反三系列專題44 角【十大題型】（舉一反三）（人教版）含解析

2023.2024學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊舉一反三系列專題4.4角【十大題型】

【人教版】

【逑型I角的概念及角的度星】.................................................................2

【題型2角的單位及其換算】....................................................................2

【題型3角的計數(shù)問題】........................................................................3

【題型4鐘面上角的特征】......................................................................4

【題型5方向角】..............................................................................5

【題型6與角平分線相關(guān)的角的運算】............................................................7

【題型7與角n等分線相關(guān)的隹的運算】.........................................................8

【題型8在三角板中的角的運算】..............................................................11

【題型9余角和補角的計算】...................................................................13

【題型10同（等）角的余角和補角相等的運用】..................................................14

”2聲*三

【知識點1角的概念】

定義一：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊.

定義二：一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部.

【知識點2角的表示方法】

表示方法圖例記法適用范圍

用三個大寫字母ZAOB任何情況下都適應(yīng).表示端點的字

0___A

表示或NBOA母必須寫在中間.

B

用一個大寫字母

AZA以這個點為頂點的角只有一個.

表示

用數(shù)字表示Z1任何情況下都適用.但必須在靠近

項點處加上弧線表示角的范圍，

用希臘字母表示Za并注上數(shù)字或希臘字母.

【題型1角的概念及角的度量】

［例I］（2022?甘肅蘭州?七年級期末）下列說法中正確的是（）

A.由兩條射線組成的圖形叫做角

B.角的大小與角的兩邊長度有關(guān)

C.角的兩邊是兩條射線

D.用放大鏡看一個角，角的度數(shù)變大了

【變式（2022?山東淄博?期中）乙4cB的兩邊分別是（）

A.射線AC、BCB.射線CA,CBC.線段AC,BCD.直線C4,CB

【變式1-2］（2022?全國?七年級專題練習(xí)）如圖，用量角器度量MO&可以讀出財08的度數(shù)為

【變式1-3］（2022?全國?七年級專題練習(xí)）如圖，下列說法錯誤的是（）

A.“0B也可用，。來表示

B.4與N80C是同一個角

C.圖中共有三個角：^AOB,Z.A0C,乙B0C

D.與N/OB是同一個角

【題型2角的單位及其換算】

【例2】（2022?山東煙臺?期中）若Nl=25°15',42=25。13'30〃，々3=25.35。，則（）

A.z.3>z.1>z.2B.z.2>zl>z.3C.z.1>z.3>z.2D.z.1>Z.2>43

【變式2-1］（2022?全國?七年級單元測試）下面等式成立的是：）

A.83.5°=R3°50/R.90°-E7°2"27"=?2匕7'33

C.15°48'36〃+37'27'59“=52°16’35'D.41.25°=41°15

【變式2?2】（2022?江蘇?江陰市敵山灣實驗學(xué)校七年級階段練習(xí)）計算:

(1)45°10,-21035/20//；

(2)48。39'+67。31‘-21017,；

(3)42°16'+18°23'x2.

【變式2-3]（2022?天津南開?七生級期末）如圖1是一個:的圓（團AOB=90。），芳芳第一次在圖1中畫了一

4

條線，將圖1等分成2份，第二次又加了兩條線，將圖1等分成4份，第三次由加了四條線，將圖1等分

成8份，第四次又加了八條線，將圖1等分成16份，如圖2所示，則第n（n>l）次可將圖1等分成

份，當"5時，圖1中的每份的角度是（用度，分，秒表示）

【例3】（2022?福建龍巖?七年級期末）在銳角0AOB內(nèi)部，畫出1條射線，可以畫出3個銳角；畫出2條

不同的射線，可以畫出6個銳角；畫出3條不同的射線，可以畫出10個銳角.照此規(guī)律，畫19條不同的

射線，可以畫出銳角的個數(shù)為（）

【變式3-1]（2022?山東?泰安市泰山區(qū)樹人外國語學(xué)校期中）如圖所示，41。8=90。，則圖中銳角有（）

A.12個B.14個C.15個D.16個

【變式3-2］（2022?黑龍江牡丹江?七年級期末）如圖，線段條數(shù)為m,小于平角的角的個數(shù)為m則九-7九的

值為（）

A.4B.3C.2D.1

【變式3-3］（2022?湖南婁底?七年級期末）在一幅七巧板中，有我們學(xué)過的（）

A.8個銳角，6個直角，2個鈍角B.12個銳角，9個直角，2個鈍角

C.8個銳角，10個直角，2個鈍角D.6個銳角，8個直角，2個鈍角

【知識點3鐘表上有關(guān)夾角問題】

鐘表中共有12個大格，把周角12等分、每個大格對應(yīng)30。的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6。，時針每小時轉(zhuǎn)30。，時

針1分鐘轉(zhuǎn)0.5。，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計算問題.

【題型4鐘面上角的特征】

【例4】（2022?貴州?仁懷市周林學(xué)校七年級階段練習(xí)）下列說法中正確的是（）

A.3時30分，時針與分針的夾角是90。B.6時30分，時針與分針重合

C.8時45分，時針與分針的夾角是30。D.9時整，時針與分針的夾角是90。

【變式4-1］（2022?河南洛陽?七年級期末）時鐘的分針從2點整轉(zhuǎn)到2點20分，分針旋轉(zhuǎn)了）度.

A.20B.120C.90D.150

【變式4-2］（2022?山東煙臺?期中）當分針指向12,時針這時恰好與分針成120。的角，此時的時刻是.

【變式4-3］（2022?全國?七年級單元測試）鐘面角是指時鐘的時針與分針所成的角.一天24小時中，當鐘

面角為0°時，時針與分針重合次.

【知識點4方向角】

在航行和測繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角.例如，圖中射線OA的方向是北偏東60。；射線OB的

方向是南偏西30。.這里的“北偏東60?！焙汀澳掀?0。”表示方向的角，就叫做方向角.

*

【題型5方向角】

【例5】（2022?山東煙臺?期末）如圖，某海域中有A,B兩個小島，其中4在A的北偏東40。方向，那么小

C.南偏西40°D.北偏西50。

【變式5-1］（2022?全國?七年級課時練習(xí)）如圖，甲從A點出發(fā)向北偏東70。方向走到點B,乙從點A出發(fā)

向南偏西15。方向走到點C,則回BAC的度數(shù)是（）

C.125°D.160°

【變式5-2］（2022?全國?八年級課時練習(xí)）如圖，漁船A的方向可以由距小島20km和在小島的西南方向

這兩個數(shù)據(jù)來確定.問:

⑴漁船B相對小島的位置應(yīng)怎樣表述？

（2）小島的北偏東30。方向，距離?小島30km處是哪艘漁船？

【變式5-3］（2022?重慶黎江?七年級期中）某部隊在大西北戈壁灘上進行軍事演習(xí)，部隊司令部把部隊分

為“藍軍〃、“紅軍〃兩方.藍軍的指揮所在A地，紅軍的指揮所地8地，A地在8地的正西邊（如圖）.部隊

司令部在C地.。在A的北偏東60。方向上、在3的北偏東30。方向上.

(2)演習(xí)前，司令部要藍軍、紅軍派人到。地匯報各自的準備情況.紅軍一輛吉普車從B地出發(fā)、藍軍一部越

野車在吉普車出發(fā)3分鐘后從A地出發(fā)，它們同時到達C地.已知吉普車行駛了18分鐘.4到C的距離是

8到C的距離的1.7倍.越野車速度比吉普車速度的2倍多4千米.求越野車、吉普車的速度及8地到C

地的距離(速度單位用：千米/時).

【知識點5角的比較與運算】

角的比較：角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種.

方法1;度量比較法.先用量角器量山角的度數(shù)，然后比較它們的大小.

方法2:疊合比較法.把其中的一個角移到另一個角上作比較.

如比較NAOB和NAXTIT的大?。喝缦聢D，由圖(1)可得NAOBVNA，(TB，由圖(2)可得NAOB=N

由圖(3)可得NAOB>NA9B.

【知識點6角的和、差關(guān)系】

如圖所示，NAOB是N1與N2的和，記作：NAOB=N1+N2;N1是NAOB與N2的差，記作：Nl=

ZAOB-Z2.

【知識點7角平分線】

從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線.如圖所示，OC是NAOB

的角平分線，ZAOB=2ZAOC=2ZBOC,

ZAOC=ZBOC=^ZAOB.

rA

B

【題型6與角平分線相關(guān)的角的運算】

【例6】（2022?江西省遂川縣教育局教學(xué)研究室七年級期末）如圖，匕808=90。，4BOC=a（0）VaV180。）,

00,0E分別是乙力03,乙B0C的平分線.

備用圖

⑴如圖1,當OC在。8左側(cè),且a=80°時,乙DOE的度數(shù)是._________*.

⑵當OC的位置不確定時，請利用備用圖，畫出相關(guān)圖形，探究￡。?！甑拇笮∨ca的數(shù)量關(guān)系：

⑶當乙。。Z?的度數(shù)為36。時，請直接寫出。的度數(shù).

【變式6-1］（2022?山東煙臺?期末）有公共頂點的兩個角,N40B=NC0D,且0E為/BOC的角平分線.

/

圖1圖2

（1）如圖1,請?zhí)剿鱖40E和ND0E的大小關(guān)系,并說明理由;

（2）如圖2,和NDOE是否仍然滿足（1）中關(guān)系？請說明理由;

(3)若=90°,Z-AOC=64°,求出48?！甑亩葦?shù).

【變式6-2］（2022?山東濟南?七年級期末）如圖1,已知財08=60。，OM平分0AO/L

BOB

圖2備用圖

⑴勖0M=；

⑵若在圖1中畫射線OC,使得團80c=20。，ON平分回8OC,求助/ON的大??；

（3）如圖2,若線段OA與08分別為同一鐘表上某一時刻的時針與分針,0408=60°,在時針與分針轉(zhuǎn)動過

程中，OM始終平分姐08,則經(jīng)過多少分鐘后，回80M的度數(shù)第一次等于50。.

【變式6-3］（2022?內(nèi)蒙古?察哈爾右翼前旗教學(xué)研究室七年級期末）已知NAOB內(nèi)部有三條射線，其中，0E

平分/BOC,。9平分N/OC.

（1）如圖1,若乙40B=90。，Z-AOC=30°,求乙EOF的度數(shù)；

（2）如圖2,若乙4。8=a,求4EOF的度數(shù)（用含a的式子表示）；

（3）若將題中的"平分"條件改為"3"。8=ZCOB,3"。r=2"。力〃，且2力。8=a,用含a的式子表示

△EOF的度數(shù)為.

【題型7與角n等分線相關(guān)的角的運算】

【例7】（2022?貴州畢節(jié)?七年級階段練習(xí)）如圖，點4、。、8三點在一直線上，從點C引射線CQ、CE、

CF，^DCE-^ECA.團FCE一爭ECB.

⑴求團。C尸的大小，并說明理由；

（2）當（3OCE=粕EC4,用時，直接寫出團。C尸的大?。ㄓ煤ǖ拇鷶?shù)式表示）.

【變式7?1】（2022?湖南長沙?七年級期末）如圖，在財式B的內(nèi)部有3條射線。C、OD、OE,若財OC=70。,

皿"如魴。"神。從則血心--------。.（用含〃的代數(shù)式表示）

A

O

D

B

【變式7-2]（2022?全國?七年級西元測試）已知2OB和〃。。是直角.

（1）如圖，當射線。8在乙C。。內(nèi)部時，請?zhí)骄?1。。和之間的關(guān)系;

（2）如圖2,當射線04射線OB都在aOD外部時，過點0作射線由射線。巴滿足乙B0E=1乙BOC,乙DOF=

;乙AO。，求乙EOF的度數(shù).

（3）如圖3,在（2）的條件下，在平面內(nèi)是否存在射線0G,使得乙G0B乙GOE=2:3,若不存在，請說明

理由，若存在，求出4G。尸的度數(shù).

A

D

【變式7-3]（2022?江蘇淮安?七年級期末）

圖3備用圖

【閱讀理解】

射線OC是刻03內(nèi)部的?條射線,若刻OC=扣5OC,則稱射線0C是射線OA在財03內(nèi)的?條"友好線〃.如

圖1,若0408=75。，財0。=25。，則財。C=粕BOC,所以射線OC是射線0A在財08內(nèi)的一?條“友好線".

【解決問題】

（1）在圖1中，若作加OC'的平分線OD,則射線OD（填“是"或"不是"）射線。笈在內(nèi)的一條“友

好線"；

⑵如圖2,（MO4的度數(shù)為小射線OM是射線03在財04內(nèi)的一條"友好線"，ON平分財08,則E1MON的

度數(shù)為（用含”的代數(shù)式表示）；

⑶如圖3,射線08先從與射線0A重合的位置出發(fā)，繞點。以每秒V的速度逆時針旋轉(zhuǎn)：10秒后射線OC

也從與射線04重合的位置出發(fā)，繞點。以每秒5。的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，當射線0C與射線0A的延長線重合

時，運動停止.問：當射線。。運動時間為多少秒時，射線OA,OB,0C中恰好有一條射線是余下兩條射

線中某條射線在余下兩條射線所組成的角內(nèi)的一條“友好線”？

【題型8在三角板中的角的運算】

【例8】（2022?陜西?西安市雁塔區(qū)第二中學(xué)七年級階段練習(xí)）將一副三角板如圖1搜放.乙4。8=60。/。。。=

45°,OM平分，A。。，ON平分“08.

（1）乙M0N=；

（2）將圖1中的三角板。CD繞點。旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，求ZM0N；

⑶將圖1中的三角板OCD繞點。旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，求ZM0N.

【變式8-1］（2022?山東棗莊?七年級期中）如圖，將兩個直角三角板的頂點疊放在一起進行探究.

⑴如圖①，將一副直角三角板的直角頂點C疊放在一起，若CE恰好是財C8的平分線，請你猜想此時C8

是不是的平分線，并簡述理由;

（2）如圖②，將一副直角三角板的直角頂點C疊放在一起，若始終在團。。石的內(nèi)部，請猜想剛CE與田。

是否相等，并簡述理由.

【變式8-2］（2022?福建福州?七年級期末）在一次數(shù)學(xué)活動課上，李磊同學(xué)將一副宜角三角板ABC、按

如圖1放置,點A、C、。在同一直線上，（4E4D=30。、乙847=45。），并將三角板力3c繞點A順時針

旋轉(zhuǎn)?定角度，且始終保持0。VZC4D工30。.

BB

圖4

⑴在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖2,當點4、C、E在同一直線上時，則；

⑵在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖3,當/B4E=30。時.請說明力。平分

⑶在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖4.當=4NC/D時，求此時/C4E的度數(shù).

【變式8-3］（2022?安徽?宿城第一初級中學(xué)七年級期中）以直線48上一點。為端點作射線0C,使ZBOC=30°,

將一個直角三角板的直角頂點放在。處，即=90。.

⑴如圖1,若直角三角板DOE的一邊?！攴旁谏渚€。力上，則4。。。=

⑵如圖2,將直角三角板。0E繞點。順時針轉(zhuǎn)動到某個位置，

①若0E恰好平分乙AOC,則4COD=；

②若。。在乙80C內(nèi)部，請直接寫與"0E的數(shù)量關(guān)系為：

（3）將直角三角板OOE繞點。順時針轉(zhuǎn)動（。0與08重合時為停止）的過程中，恰好有2。。。=：4力。E,求此

時/80。的度數(shù).

【知識點8余角和補角】

（1）定義：一般地，如果兩個角的和等于90。（直角），就說這兩個角互為余角，即其中一個角是另一個角的

余角.

類似地，如果兩個角的和等于180。（平角），就說這兩個角互為補角，即其中一個角是另一個角的樸角.

（2）性質(zhì)：（1）同角（等角）的余角相等.（2）同角（等角）的補角相等.

【題型9余角和補角的計算】

【例9】（2022?河南平頂山?七年級期中）如圖，點O在直線A6上，COLAB,Z1=28°,OE是〃。。的

平分線，。尸10E.

⑴求41。￡1的度數(shù).

（2）找出圖中與48。F互補的角，并求出,8。尸補角的度數(shù).

【變式9-1］（2022?河南?鄭州外國語學(xué)校經(jīng)開校區(qū)七年級階段練習(xí)）一個角的余角比它的補角的:還少2。，

則這個角的度數(shù)是.

【變式9-2］（2022?新疆?烏魯木齊市第136中學(xué)七年級期末）如圖，O是直線4B上一點，OC為任意一條

射線，平分團BOC,OF平分0Aoe

（1）圖中財0。的補角是和；團BOD的余角是和

⑵已知NCOD=40°,求［3COE的度數(shù).

【變式9-3］（2022?全國?七年級）己知：如圖所示，。。平分回40C,OE平分0AOC.若1380070°,0AOC=5OO.

（1）求出同4。8及其補角的度數(shù)；

（2）求出團。。。和M0E的度數(shù)，并判斷團。0E與胡。8是否互補，并說明理由;

（3）若138OC=a,財。。=或，則皿）0E與M08是否互補，并說明理由.

【題型10同（等）角的余角和補角相等的運用】

【例10】（2022?全國?七年級單元測試）如圖，在同一平面內(nèi)，LAOB=^COD=90°,乙AOF=4。0凡點

E為。尸反向延長線上一點（圖中所有角均指小于180。的角）.下列結(jié)論:

①“0E=乙BOE；

②乙AOD+乙BOC=180°；

③乙BOC-Z.AOD=90°；

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式10-1】（2022?全國?七年級專題練習(xí)）如圖，40E是一條直線，。8JL/E,。。J.。。，圖中互補的角有

A.4對B.5對"C.6對D.7對

【變式10-2]（2022?河北秦皇島?七年級期中）如圖，已知直線AB、CD、EF、MN相交于點O,CD0AB,OC

平分回EOM,圖中團EOC的余角的個數(shù)是（）

【變式10-3】（2022?福建?廈門市松柏中學(xué)七年級期末）如圖，LAOB=90°,直線力經(jīng)過點。.在下面的五

個式子中：①180。一乙2；②乙3；③2匕1+42；④243一2乙1一次2；⑤180。一乙1,等于42的補角的式

子的個數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

專題4.4角【十大題型】

【人教版】

"外媽宮巾

【逑型I角的概念及角的度星】.................................................................2

【題型2角的單位及其換算】....................................................................2

【題型3角的計數(shù)問題】........................................................................3

【題型4鐘面上角的特征】......................................................................4

【題型5方向角】..............................................................................5

【題型6與角平分線相關(guān)的角的運算】............................................................7

【題型7與角n等分線相關(guān)的隹的運算】.........................................................8

【題型8在三角板中的角的運算】..............................................................11

【題型9余角和補角的計算】...................................................................13

【題型10同（等）角的余角和補角相等的運用】..................................................14

浮一笈三

【知識點1角的概念】

定義一：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊.

定義二：一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部.

【知識點2角的表示方法】

表示方法圖例記法適用范圍

用三個大寫字母ZAOB任何情況下都適應(yīng).表示端點的字

0___A

表示或NBOA母必須寫在中間.

B

用一個大寫字母

AZA以這個點為頂點的角只有一個.

表示

用數(shù)字表示Z1任何情況下都適用.但必須在靠近

項點處加上弧線表示角的范圍，

用希臘字母表示Za并注上數(shù)字或希臘字母.

【題型1角的概念及角的度量】

［例I］（2022?甘肅蘭州?七年級期末）下列說法中正確的是（）

A.由兩條射線組成的圖形叫做角

B.角的大小與角的兩邊長度有關(guān)

C.角的兩邊是兩條射線

D.用放大鏡看一個角，角的度數(shù)變大了

【答案】C

【分析】根據(jù)角的定義和性質(zhì)解答即可.

【詳解】A.由公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，故原說法不正確；

B.角的大小與角的兩邊長度無關(guān)，故原說法不正確；

C.角的兩邊是兩條射線，正確；

D.用放大鏡看一個角，角的度數(shù)不變，故原說法不正確；

故選C.

【點睛】本題考查角的概念，具有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點叫做角的頂點,

這兩條射線叫做角的兩條邊.角的大小與邊的長短沒有關(guān)系.

【變式（2022?山東淄博?期中）乙4c8的兩邊分別是（）

A.射線AC、BCB.射線CA,CBC.線段AC,BCD.直線C4,CB

【答案】B

【分析】根據(jù)角的定義可進行求解.

【詳解】解：乙4cB的兩邊分別是射線CA,CB,

故選B.

【點睛】本題主要考查角的定義，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵.

【變式1-2］（2022?全國?七年級專題練習(xí)）如圖，用量角器度量MOB,可以讀出姐OB的度數(shù)為，

【答案】120

【分析】根據(jù)角的定義即可得到結(jié)論.

【詳解】解：看內(nèi)圈的數(shù)字可得：財03=120。，

故答案為:120.

【點睛】本題主要考查了角的度量，量角器的使用方法，正確使用量角器是解題的關(guān)鍵.

【變式1-3］（2022?全國?七年級專題練習(xí)）如圖，下列說法錯誤的是（）

A.乙4OB也可用，。來表示

B.4s與乙BOC是同一個角

C.圖中共有三個角："OB,AA0C,乙BOC

D.N1與乙4。8是同一個角

【答案】A

【分析】根據(jù)角的表示方法：角可以用一個大寫字母表示，也可以用三個大寫字母表示.其中頂點字母要

寫在中間，唯有在頂點處只有一個角的情況，才可用頂點處的一個字母來記這個角，否則分不清這個字母

究竟表示哪個角.角還可■以用?個希臘字母（如團a,邨,町、…）表示，或用阿拉伯數(shù)字TL02...）表示

進行分析即可.

【詳解】解：A、回1與財。8是同一個角，不可用回。來表示，說法錯誤；

B、明與138OC是同一個角，說法正確；

C、圖中共有三個角：（MOB,MOC,WOC,說法正確；

D、皿與財是同一個角，說法正確；

故選：A.

【點睛】此題主要考查了角的概念，關(guān)鍵是掌握角的表示方法.

【題型2角的單位及其換算】

【例2】（2022?山東煙臺?期中）若，1=25。15',42=25。13'30〃，43=25.35。,則（）

A.z.3>z.1>Z.2B.z.2>zl>z.3C.^1>z.3>z.2D.z.1>z.2>z.3

【答案】A

【分析】首先用1、團2已經(jīng)是度、分、秒的形式，故將陰化為度、分、秒的形式；再根據(jù)三個角的度數(shù)進行

大小比較，即可得到結(jié)論.

【詳解】0Z1=25°15/,Z2=25口3,30〃,乙3=25.35°=25°21/,

0Z.3>z.1>Z.2.

故選A.

【點睛】本題主要考查了角的大小比較，熟練掌握同一角的單位比較角的大小并靈活運用是解決本題的關(guān)

鍵.

【變式2-1](2022?全國?七年級單元測試)下面等式成立的是)

A.83.5°=83°50'B.900-57°23'27"=32°37'33”

C.15°48'36〃+37°27’59”=52°16’35”D.41.25°=41*15?

【答案】D

【分析】根據(jù)角度的運算法則，以及角的換算，即可得到答案.

【詳解】解：A、83.5°=83°30\故A錯誤；

B、90。-57。23'27〃=32。36'33〃，故B錯誤；

C、15。4&36〃+37°27'59"=53°16'35",故C錯誤：

D、41.25。=41。15’故D正確;

故選：D.

【點睛】本題考查了角度的加減運算，以及角的單位換算，解題的關(guān)鍵是掌握角度的運算法則和角度的60

進位制.

【變式2-2](2022?江蘇?江陰市敵山泗實驗學(xué)校七年級階段練習(xí))計算：

⑴45。10,-21°35/20,,；

(2)48°39,+67°31,-21°177；

(3)42°16'+18°23'x2.

【答案】⑴23°34'40〃

(2)94°53‘

(3)79°2,

【分析】(1)根據(jù)度分秒之間的進率即可解答;

（2）根據(jù)度分秒之間的進率即可解答;

（3）先計算乘法，再計算加法即可.

（1）

解：45°10,-21°35'20〃=23°34'40".

（2）

解：48°39,+67°31/-21°17/

=116°10,-21017z

=94°53'.

（3）

解：42。16'+18。23&2

=42°16/+36°46,

-79°2'.

【點睛】本題考查度分秒的計算，1°=60',1'=60",掌握度分秒之間的進率是解答本題的關(guān)鍵.

【變式2-3］（2022?天津南開?七生級期末）如圖1是一個;的圓5AOB=90。），芳芳笫一次在圖1中畫了一

條線，將圖1等分成2份，第二次又加了兩條線，將圖1等分成4份，第三次由加了四條線，將圖1等分

成8份，第四次又加了八條線，將圖1等分成16份，如圖2所示，則第n（n>l）次可將圖1等分成

份，當n=5時，圖1中的每份的角度是（用度，分，秒表示）

【分析】從特殊到一般，探究規(guī)得后即可解決問題.

【詳解】第一次在圖1中畫了一條線，將圖1等分成2份，第二次又加了兩條線，將圖1等分4=22份，第

三次由加了四條線，將圖1等分成8=23份，第四次又加了八條線，將圖1等分成16=24份，第〃次

可將圖1等分成2〃份.

當n=5時，圖1中的每份的角度是90OX^=2°48,45M.

故答案為2〃，2°48'45".

【點睛】本題考查了度分秒的換算、規(guī)律型：圖形變化類等知識，解題的關(guān)鍵是掌握從特殊到一般的探究

方法，屬于中考?？碱}型.

【題型3角的計數(shù)問題】

【例3】（2022?福建龍巖?七年級期末）在銳角SA08內(nèi)部，畫出1條射線，可以畫出3個銳角；畫出2條

不同的射線，可以畫出6個銳角；畫出3條不同的射線，可以畫出10個銳角.照此規(guī)律，畫19條不同的

射線，可以畫出銳角的個數(shù)為（）

【答案】D

【分析】根據(jù)已知條件得出規(guī)律為從一個角的內(nèi)部引出〃條射線所得到的銳角的個數(shù)是*n+1）5+2），

代人即可得到答案.

【詳解】在銳角0/108內(nèi)部，

畫出1條射線，可以畫出3個銳角；

畫出2條不同的射線，可以畫出6個銳角：

畫出3條不同的射線，可以畫出10個銳角；

??????

???從一個角的內(nèi)部引出〃條射線所得到的銳角的個數(shù)是

1+2+3+…+5+1）=/n+1）（九+2）

畫19條不同的射線，可以畫出銳角的個數(shù)為:x（19+1）x（19+2）-210

故選：D.

【點睛】本題考查了角的概念，解題的關(guān)鍵是找到規(guī)律.

【變式3?1】（2022?山東?泰安市泰山區(qū)樹人外國語學(xué)校期中）如圖所示，乙103=90。，則圖中銳角有（）

BC

D

oA

A.12個B.14個C.15個D.16個

【答案】B

【分析】根據(jù)角的分類求解即可，順時針方向數(shù)，以0B為邊可得4個銳角，以0C為邊可得4個銳角，以0D

為邊可得3個銳角，以。E為邊可得2個銳角，以。尸為邊可得r個銳角，即可求得答案

【詳解】解：順時針方向數(shù)，以08為邊可得4個銳角，

以0C為邊可得4個銳角，

以00為邊可得3個銳角，

以。“為邊可得2個銳知，

以0"為邊可得1個銳角，共有銳角4+4+3+2+1=14個

故選B

【點睛】本題考查了交點分類，角的個數(shù)，分類討論是解題的關(guān)鍵，注意數(shù)角的個數(shù)時，不要將直角算進

去.

【變式3-2］（2022?黑龍江牡丹江?七年級期末）如圖，線段條數(shù)為m,小于平角的角的個數(shù)為m則九-租的

值為（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【分析】根據(jù)線段的定義和小于平角的角的性質(zhì)得出m,n的值，再代入求解即可.

【詳解】由題意得m=7,n=8

故道—m=8—7=1

故答案為：D.

【點睛】本題考查了線段和平角的問題，掌握線段的定義和平角的定義是解題的關(guān)鍵.

【變式3-3］（2022?湖南婁底?七年級期末）在一幅七巧板中，有我們學(xué)過的（）

A.8個銳角，6個直角，2個鈍角B.12個銳角，9個直角，2個鈍角

C.8個銳角，10個直角，2個鈍角D,6個銳角，8個直角，2個鈍角

【答案】B

【分析】根據(jù)一副七巧板圖形，查出銳角，直角和鈍角的個數(shù)即可.

【詳解】5個等腰直角三角形，5個直角，10個銳角，1個正方形，4個直角，1個平行四邊形，2個鈍角,

2個銳角，

在一幅七巧板中根據(jù)12個銳角，9個直角，2個鈍角.

故選擇B.

【點睛】本題考查角的分類，平面圖形，掌握角的分類，平面圖形是解題關(guān)鍵.

【知識點3鐘表上有關(guān)夾角問題】

鐘表中共有12個大格，把周角12等分、每個大格對應(yīng)30。的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6。，時針每小時轉(zhuǎn)30。，時

針1分鐘轉(zhuǎn)0.5。，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計算問題.

【題型4鐘面上角的特征】

【例4】（2022?貴州?仁懷市周林學(xué)校七年級階段練習(xí)）下列說法中正確的是（）

A.3時30分，時針與分針的夾角是90°B.6時30分，時針與分針重合

C.8時45分，時針與分針的夾角是30°D.9時整，時針與分針的夾角是90。

【答案】D

【分析】根據(jù)時針與分針相距的份數(shù)乘以每份的度數(shù)，可得答案.

【詳解】解：A、3時30分時?，時針在3與4中間位置，分針在6上，可以得出分針與時針的夾角是2.5大

格，所以分針與時針的夾角是2.5x30=75。，故本選項錯誤；

B、6時30分，時針與分針的夾角等于15。，故本選項錯誤；

C、8時45分，時針與分針的夾角是30x：=7.5。，故本選項錯誤；

4

D、9時整,鐘面上的時針與分針的夾角=3x30=90。，故本選項正確；

故選：D.

【點睛】本題考查了鐘面角，確定時針與分針相距的份數(shù)是解題關(guān)鍵.

【變式4-1］（2022?河南洛陽?七年級期末）時鐘的分針從8點整轉(zhuǎn)到8點20分，分針旋轉(zhuǎn)了（）度.

A.20B.120C.90D.150

【答案】B

【分析】根據(jù)時鐘上一大格是30。，進行計算即可解答.

【詳解】解：由題意得：

4x30°=120°,

回時鐘的分針從8點整轉(zhuǎn)到8點20分，分針旋轉(zhuǎn)了120度，

故選：B.

【點睛】本題考查了鐘面角，熟練掌握時鐘上一大格是30。是解題的關(guān)鍵.

【變式4-2］（2022?山東煙臺?期中）當分針指向12,時針這時恰好與分針成120。的角，此時的時刻是.

【答案】8點鐘或4點鐘

【分析】根據(jù)鐘表上每一個大格之間的夾角是30。，當分針指向12,時針這時恰好與分針成120。的珀，應(yīng)

該得出，時針距分針應(yīng)該是4個格，應(yīng)考慮兩種情況.

【詳解】解：團鐘表上每一個大格之間的夾角是30。，

回當分針指向12,時針這時恰好與分針成120。的角時，距分針成120。的角時針應(yīng)該有兩種情況，即距時針4

個格，

團只有8點鐘或4點鐘是符合要求.

故答案為：8點鐘或4點鐘.

【點睛】本題主要考查了鐘面角的有關(guān)知識.距分針成120。的角時針應(yīng)該有兩種情況，分類討論的應(yīng)用是

解決問題的關(guān)鍵.

【變式4-3］（2022?全國?七年級單元測試）鐘面角是指時鐘的時針與分針所成的角.一天24小時中，當鐘

面角為0°時，時針與分針重合次.

【答案】22

【分析】求出相鄰兩次鐘面角為。之間間隔的時間，即可得出答案.

【詳解】鐘面上，分針轉(zhuǎn)一圈即360。需要60分鐘，即分針的速度是每分鐘6。，時針轉(zhuǎn)一圈需要12個小時，

時針的速度是每分鐘落；=0.5。，

60x12

則相鄰兩次鐘面角為0之間間隔的時間是：^7?65.45（分鐘），

6-U.5

一天有24x60=1440（分鐘），

則鐘面角為0的次數(shù)為:1440?22.0015,

65.45

故答案為：22.

【點睛】本題考查了鐘面角問題.求出相鄰兩次鐘面角為。之間間隔的時間是解答本題的關(guān)鍵.

【知識點4方向角】

在航行和測繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角.例如,圖中射線OA的方向是北偏東60。；射線OB的

方向是南偏西3UI這里的“北偏東60?！焙汀澳掀?0"表示方向的角，就叫做方向角.

北

【題型5方向角】

【例5】（2022?山東煙臺?期末）如圖，某海域中有A,B兩個小島,其中B在A的北偏東40。方向，那么小

島A相對于小島8的方向是（）

C.南偏西40°D.北偏西50°

【答案】C

【分析】根據(jù)B在A的北偏東40。方向，即可得出直線4B與8點正南方向的夾角為40。，再根據(jù)A的位置即

可得到答案.

【詳解】解：B在A的北偏東40。方向，

團小島A相對于小島B的方向是南偏西40。，

故選:C.

【點睛】本題考查位置和方向，解題的關(guān)鍵是熟練掌握位置和方向的判斷方法.

【變式5-1］（2022?全國?七年級課時練習(xí)）如圖，甲從A點出發(fā)向北偏東70。方向走到點B,乙從點A出發(fā)

向南偏西15。方向走到點C,貝附BAC的度數(shù)是（)

【答案】c

【分析】首先求得AB與正東方向的夾角的度數(shù)，即可求解.

【詳解】根據(jù)題意得：0BAC=（90°-70°）+15°+90°=125°,

故選：C.

【點睛】本題考查了方向角，正確理解方向角的定義是關(guān)鍵.

【變式5-2］（2022?全國?八年級課時練習(xí)）如圖，漁船A的方向可以由距小島20km和在小島的西南方向

這兩個數(shù)據(jù)來確定.問：

⑴漁船B相對小島的位置應(yīng)怎樣表述？

⑵小島的北偏東30。方向，距離小島30km處是哪艘漁船？

【答案】（1）漁船B在小島南偏東60。方向的25km處（2）漁船D

【分析】（1）根據(jù)漁船B和小島的位置，距離關(guān)系即可解答.

（2）根據(jù)圖像查找即可解答.

【詳解】（1）根據(jù)題中給的形式可得漁船8在小島南偏東60。方向的25km處.

（2）根據(jù)圖像可得小島的北偏東30。方向，距離小島30km處是漁船D.

【變式5-3］（2022?重慶黎江?七年級期中）某部隊在大西北戈壁灘上進行軍事演習(xí)，部隊司令部把部隊分

為“藍軍〃、"紅軍〃兩方.藍軍的指揮所在A地，紅軍的指揮所地3地，A地在8地的正西邊（如圖）.部隊

司令部在C地.。在A的北偏東60。方向上、在3的北偏東30。方向上.

（1）LBAC=。；

⑵演習(xí)前.，司令部要藍軍、紅軍派人到C地匯報各自的準備情況.紅軍一輛吉普車從B地出發(fā)、藍軍一部越

野車在吉普車出發(fā)3分鐘后從A地出發(fā)，它們同時到達。地.已知吉普車行駛了18分鐘.A到C的距離是

8到C的距離的1.7倍.越野車速度比吉普車速度的2倍多4千米.求越野車、吉普車的速度及8地到C

地的距離（速度單位用：千米/時）.

【答案】（1）30

⑵越野車為204千米/時、吉普車的速度為100千米/時，3地到。地的距離為30千米

【分析】（1），BAC=90°-60°；

（2）設(shè)吉普車的速度為4千米/時，越野車的速度為（2%+4）千米/時，B到。距離為察x千米，A到C的距

60

離為1.7千米，根據(jù)題意列出方程并計算即可.

60

（1）

解：Z.BAC=90°-60°=30。.

故答案為：30

（2）

解.：設(shè)吉普車的速度為x千米/時，則越野車的速度為⑵+4）=米/時，8到。距離為首“千米，A到。的

60

距離為1.7千米，

60

由題意，得1.7乂首“一（2尢+4）乂等，

6060

解得x=100,

則2x+4=204,—%=30,

60

答：越野車為204千米/時、吉普車的速度為100千米/時，3地到。地的距離為30千米.

【點睛】本題考查了方位角和一次方程的實際應(yīng)用，設(shè)出合適未知數(shù)，找到等量關(guān)系列出方程是解題關(guān)鍵.

【知識點5角的比較與運算】

角的比校：角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種.

方法1:度量比較法.先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大小.

方法'2:疊合比較法.把其中的一個角移到另一個角上作比較.

如比較NAOB和的大小：如下圖，由圖（1）可得NAOBVNA9B，；由圖（2）可得NAOB=N

A'OB;由圖⑶可得NAOB>NA，O，B，.

（1）<2）m

【知識點6角的和、差關(guān)系】

如同所示，NAOB是N1與N2的和，記作；NAOB-N1+N2;N1是NAOB與N2的差，記作：Nl-

ZAOB-Z2.

【知識點7角平分線】

從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線.如圖所示，OC是NAOR

的角平分線，ZAOB=2ZAOC=2ZBOC,

ZAOC=ZBOC=^ZAOB.

【題型6與角平分線相關(guān)的角的運算】

【例6】（2022?江西省遂川縣教育局教學(xué)研究室七年級期末）如圖，4108=90。，zBOC=a（03<a<180°）,

OD,0E分別是乙4。3,乙8。。的平分線.

BBB

圖1備用圖

⑴如圖1,當OC在OB左側(cè)，且a=80°時，4OOE的度數(shù)是；

⑵當。。的位置不確定時，請利用備用圖，畫出相關(guān)圖形，探究ZOOE的大小與。的數(shù)量關(guān)系;

⑶當乙DOE的度數(shù)為36。時，請直接寫出a的度數(shù).

【答案】(1)8