2023-2024學(xué)年廣東省深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題及答案

試題PAGE1試題深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校中學(xué)部2023-2024學(xué)年第一學(xué)期九年級(jí)10月月考數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（每題3分，共30分）1．如圖，該幾何體是由六個(gè)小正方體組合而成的，它的俯視圖是（）A． B． C． D．2．如圖是由五個(gè)大小相同的正方體搭成的幾何體，則關(guān)于它的視圖，下列說法正確的是（）A．主視圖的面積最小 B．左視圖的面積最小 C．俯視圖的面積最小 D．三個(gè)視圖的面積一樣大3．如果mn＝ab（m、n、a、b均不為零），則下列比例式中錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．4．在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：O（0，0），A（1，2），B（0，3），以O(shè)為位似中心，△OA′B′與△OAB位似，若B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（0，－6），則A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′坐標(biāo)為（）A．（－2，－4） B．（－4，－2） C．（－1，－4） D．（1，－4）5．下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．6．已知方程2x2＋3x－1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，則x1＋x2＝（）A．－3 B．－1 C．－ D．－7．下列方程是一元二次方程的是（）A．x2＝3 B．x2＋y2＝0 C．2（x＋3）＝5x D．8．如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A分別作x軸，y軸的垂線，垂足為B，C，則四邊形OBAC的面積為（）A．1.5 B．3 C．6 D．99．如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A（1，4），B（4，1）兩點(diǎn)，當(dāng)一次函數(shù)大于反比例函數(shù)的值時(shí)，x的取值范圍是（）A．x＜1 B．1＜x＜4 C．x＞3 D．x＞410．如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長(zhǎng)線分別交AD于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接BD、DP，BD與CF相交于點(diǎn)H，給出下列結(jié)論：①∠DPC＝75°；②CF＝2AE；③；④△FPD∽△PHB．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1二．填空題（每題3分，共15分）11．已知x＝－2是方程x2－ax＋7＝0的一個(gè)根，則a的值是．12．如果關(guān)于x的一元二次方程3x2＋x－m＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么m的取值范圍是．13．如圖，已知舞臺(tái)AB長(zhǎng)10米，如果報(bào)幕員從點(diǎn)A出發(fā)站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)P處，且AP＜BP，則報(bào)幕員應(yīng)走米報(bào)幕（結(jié)果精確到0.1米）．14．如圖，A（0，2），D（1，0），以AD為邊作正方形ABCD，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為．15．如圖，正方形ABCD中，AD＝9，點(diǎn)E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)E作EF⊥AE，交BC于點(diǎn)F，連接AF，交BD于點(diǎn)G，將△EFG沿EF翻折，得到△EFM，連接AM，交EF于點(diǎn)N，若BF＝BC，則線段AM的長(zhǎng)是．三．解答題（共55分）16．（5分）解方程：x（x－2）＝x－2．17．（8分）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在CD邊上，CF＝AE，連接AF，BF．（1）求證：四邊形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，DF＝5，求四邊形BFDE的面積．18．（8分）已知，如圖，AB和DE是直立在地面上的兩根立柱AB＝6m，某一時(shí)刻AB在太陽光下的投影BC＝3m．（1）請(qǐng)你在圖中畫出此時(shí)DE在太陽光下的投影EF；（2）在測(cè)量AB的投影時(shí)，同時(shí)測(cè)量出DE在太陽光下的投影EF長(zhǎng)為6m，請(qǐng)你計(jì)算DE的長(zhǎng)．19．（8分）如圖，直線y＝x與雙曲線y＝（k≠0）交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，－3），點(diǎn)C是雙曲線第一象限分支上的一點(diǎn)，連接BC并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)D，且BC＝2CD．（1）求k的值并直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)G是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接GB，GC，求GB＋GC的最小值；（3）P是x軸上的點(diǎn)，Q是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，Q，使得A，B，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．20．（8分）2020年4月，“一盔一帶”安全守護(hù)行動(dòng)在全國(guó)各地積極開展．某品牌頭盔的銷量逐月攀升，已知4月份銷售150個(gè)，6月份銷售216個(gè)，且從4月份到6月份銷售量的月增長(zhǎng)率相同．（1）求該品牌頭盔銷售量的月平均增長(zhǎng)率；（2）若此頭盔的進(jìn)價(jià)為30元/個(gè)，經(jīng)測(cè)算當(dāng)售價(jià)為40元/個(gè)時(shí)，月銷售量為300個(gè)；售價(jià)每上漲1元，則月銷售量減少10個(gè)，為使月銷售利潤(rùn)達(dá)到3960元，并盡可能讓顧客得到實(shí)惠，則該品牌頭盔的售價(jià)應(yīng)定為多少元/個(gè)？21．（9分）[知識(shí)鏈接]，“化歸思想”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的一種探究新知、解決問題的基本的數(shù)學(xué)思想方法，通過“轉(zhuǎn)化、化歸”通?？梢詫?shí)現(xiàn)化未知為已知，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，從而使問題得以解決．在探究平行四邊形的性質(zhì)時(shí)，學(xué)習(xí)小組利用這種思想方法，發(fā)現(xiàn)并證明了如下有趣結(jié)論，平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和．請(qǐng)你根據(jù)學(xué)習(xí)小組的思路，完成下列問題：（1）[問題發(fā)現(xiàn)]：如圖1，學(xué)習(xí)小組首先通過對(duì)特殊平行四邊形——矩形（長(zhǎng)方形）的研究發(fā)現(xiàn)在矩形ABCD中令A(yù)B＝a，BC＝b，則可求得AC2＋BD2＝；（用a、b的式子表示）（2）[問題探究]：如圖2，學(xué)習(xí)小組通過添加輔助線，嘗試將平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形，繼續(xù)對(duì)一般平行四邊形ABCD進(jìn)行研究，如圖：分別過點(diǎn)A、D作BC邊的垂線，請(qǐng)你按照這種思路證明AC2＋BD2＝2（AB2＋BC2）；（3）[問題拓展]：如圖3，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，已知：AD＝3，BC＝8，（AB－AC）2＝10，請(qǐng)你添加合適的輔助線，構(gòu)造平行四邊形進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求AB?AC的值．

22．（9分）通過類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的．下面是一個(gè)案例，請(qǐng)補(bǔ)充完整．原題：如圖1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，∠EAF＝45°，連接EF，則EF＝BE＋DF，試說明理由．（1）思路梳理∵AB＝CD，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合．∵∠ADC＝∠B＝90°∠FDG＝180°，∴點(diǎn)F，D，G共線．根據(jù)（從“SSS，ASA，AAS，SAS”中選擇填寫），易證△AFG≌，得EF＝BE＋DF．（2）類比引申如圖2，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF＝45°．若∠B，∠D都不是直角，則當(dāng)∠B與∠D滿足等量關(guān)系時(shí)，仍有EF＝BE＋DF．（3）聯(lián)想拓展如圖3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D，E均在邊BC上，且∠DAE＝45°．猜想BD，DE，EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系，并寫出推理過程．（4）思維深化如圖4，在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，點(diǎn)D，E均在直線BC上，點(diǎn)D在點(diǎn)E的左邊，且∠DAE＝30°，當(dāng)AB＝4，BD＝1時(shí)，直接寫出CE的長(zhǎng)．

深實(shí)驗(yàn)中學(xué)部10月月考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．如圖，該幾何體是由六個(gè)小正方體組合而成的，它的俯視圖是（）A． B． C． D．【解答】解：從上面看底層是兩個(gè)小正方形，上層是三個(gè)小正方形，故選：D．2．如圖是由五個(gè)大小相同的正方體搭成的幾何體，則關(guān)于它的視圖，下列說法正確的是（）A．主視圖的面積最小 B．左視圖的面積最小 C．俯視圖的面積最小 D．三個(gè)視圖的面積一樣大【解答】解：觀察圖形可知，幾何體的主視圖由4個(gè)正方形組成，俯視圖由4個(gè)正方形組成，左視圖由3個(gè)正方形組成，所以左視圖的面積最?。蔬x：B．3．如果mn＝ab（m、n、a、b均不為零），則下列比例式中錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、由＝得，ab＝mn，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、由＝得，ab＝mn，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、由＝得，bm＝an，故本選項(xiàng)正確；D、由＝得，ab＝mn，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．4．在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：O（0，0），A（1，2），B（0，3），以O(shè)為位似中心，△OA′B′與△OAB位似，若B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（0，－6），則A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′坐標(biāo)為（）A．（－2，－4） B．（－4，－2） C．（－1，－4） D．（1，－4）【解答】解：∵△OA′B′與△OAB關(guān)于O（0，0）成位似圖形，且若B（0，3）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（0，－6），∴OB：OB'＝1：2＝OA：OA'∵A（1，2），∴A'（－2，－4）故選：A．5．下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故A不符合題意；B．是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故B不符合題意；C．既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故C符合題意；D．不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故D不符合題意．故選：C．6．已知方程2x2＋3x－1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，則x1＋x2＝（）A．－3 B．－1 C．－ D．－【解答】解：∵方程2x2＋3x－1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，∴x1＋x2＝－．故選：C．7．下列方程是一元二次方程的是（）A．x2＝3 B．x2＋y2＝0 C．2（x＋3）＝5x D．【解答】解：A、x2＝3是一元二次方程，符合題意；B、x2＋y2＝0含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程，不符合題意；C、2（x＋3）＝5x，即3x－6＝0未知數(shù)的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合題意；D、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合題意；故選：A．8．如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A分別作x軸，y軸的垂線，垂足為B，C，則四邊形OBAC的面積為（）A．1.5 B．3 C．6 D．9【解答】解：由反比例函數(shù)的幾何意義可得，四邊形OBAC的面積S＝|k|＝3．故選：B．9．如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A（1，4），B（4，1）兩點(diǎn)，當(dāng)一次函數(shù)大于反比例函數(shù)的值時(shí)，x的取值范圍是（）A．x＜1 B．1＜x＜4 C．x＞3 D．x＞4【解答】解：由圖象可知：當(dāng)x＜1時(shí)，反比例函數(shù)大于一次函數(shù)的函數(shù)值，當(dāng)x＝1時(shí)，反比例函數(shù)等于一次函數(shù)的函數(shù)值，當(dāng)1＜x＜4時(shí)，一次函數(shù)大于反比例函數(shù)的函數(shù)值，當(dāng)x＝4時(shí)，反比例函數(shù)等于一次函數(shù)的函數(shù)值，當(dāng)x＞4時(shí)，反比例函數(shù)大于一次函數(shù)的函數(shù)值，即當(dāng)一次函數(shù)大于反比例函數(shù)的值時(shí)，x的取值范圍是：1＜x＜4，故選：B．10．如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長(zhǎng)線分別交AD于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接BD、DP，BD與CF相交于點(diǎn)H，給出下列結(jié)論：①∠DPC＝75°；②CF＝2AE；③；④△FPD∽△PHB．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：∵△BPC是等邊三角形，∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ABE＝∠DCF＝30°，∴∠CPD＝∠CDP＝75°，故①正確；∵△BPC是等邊三角形，∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠PEF＝∠PFE＝60°，∴△PEF是等邊三角形，∴PE＝PF，∴CP＋PF＝CP＋PE，∴CF＝BE，在Rt△ABE中，∠ABE＝∠ABC－∠PBC＝30°，∴BE＝2AE，∴CF＝2AE，故②正確；∴∠PDE＝15°，∵∠PBD＝∠PBC－∠HBC＝60°－45°＝15°，∴∠EBD＝∠EDP，∵∠DEP＝∠DEB，∴△BDE∽△DPE，∴∠EPD＝∠BDE＝45°，∵∠BPC＝∠EPF＝60°，∴∠FPD＝105°，∵∠BHP＝∠BCH＋∠HBC＝105°，∴∠DPF＝∠BHP，又∵∠PDF＝∠DBP＝15°，∴△BHP∽△DPF，故④正確；∴，∴＝，∵∠DCF＝30°，∴DC＝DF，∴＝，∴＝＝，故③錯(cuò)誤，故選：B．二．填空題（共5小題）11．已知x＝－2是方程x2－ax＋7＝0的一個(gè)根，則a的值是．【解答】解：∵x＝－2是方程的一個(gè)根，∴－2能使方程兩邊等式成立，把x＝－2代入方程有：（－2）2－a×（－2）＋7＝0，4＋2a＋7＝0，∴a＝－，故答案為：－．12．如果關(guān)于x的一元二次方程3x2＋x－m＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么m的取值范圍是m≥－．【解答】解：∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴Δ＝b2－4ac＝12－4×3×（－m）＝1＋12m≥0，解得：m≥－，故答案為m≥－．13．如圖，已知舞臺(tái)AB長(zhǎng)10米，如果報(bào)幕員從點(diǎn)A出發(fā)站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)P處，且AP＜BP，則報(bào)幕員應(yīng)走3.8米報(bào)幕（結(jié)果精確到0.1米）．【解答】解：∵點(diǎn)P為AB的黃金分割點(diǎn)，AP＜BP，∴PB＝AB＝×10＝5－5（米），∴AP＝AB－PB＝10－（5－5）＝15－5≈3.8（米）．故答案為：3.8．14．如圖，A（0，2），D（1，0），以AD為邊作正方形ABCD，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，3）．【解答】解：如圖，過B作BE⊥y軸，垂足為E，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，∴∠BAE＋∠DAO＝∠DAO＋∠ADO＝90°，∴∠BAE＝∠ADO，在△ABE和△DAO中，，∴△ABE≌△DAO（AAS），∵A（0，2），D（1，0），∴BE＝OA＝2，AE＝OD＝1，∴OE＝OA＋AE＝2＋1＝3，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）．故答案為：（2，3）．15．如圖，正方形ABCD中，AD＝9，點(diǎn)E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)E作EF⊥AE，交BC于點(diǎn)F，連接AF，交BD于點(diǎn)G，將△EFG沿EF翻折，得到△EFM，連接AM，交EF于點(diǎn)N，若BF＝BC，則線段AM的長(zhǎng)是．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB＝BC＝AD＝9，∴BF＝BC＝3，在Rt△ABF中，根據(jù)勾股定理得：AF＝＝＝3，∵AD∥BC，∴△AGD∽△FGB，∴＝，∴＝＝3，∴AG＝3FG，∵AG＋FG＝AF，∴3FG＋FG＝3，∴FG＝，∴AF＝4FG＝3，∵BD是正方形ABCD的對(duì)角線，∴∠ABD＝45°，∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°＝∠ABC，∴∠ABC＋∠AEF＝180°，∴點(diǎn)A，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓，∴∠EFG＝∠ABD＝45°，∵將△EFG沿EF翻折，得到△EFM，∴FG＝FM，∠EFM＝∠EFG，∴FM＝FG＝，∠EFM＝∠EFG＝45°，∴∠AFM＝∠EFM＋∠EFG＝45°＋45°＝90°，∴AM＝＝＝．故答案為：．三．解答題（共7小題）16．解方程：x（x－2）＝x－2．【解答】解：x（x－2）－（x－2）＝0，（x－2）（x－1）＝0，x－2＝0或x－1＝0，所以x1＝2，x2＝1．17．如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在CD邊上，CF＝AE，連接AF，BF．（1）求證：四邊形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，DF＝5，求四邊形BFDE的面積．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DF∥EB，AB＝CD，又∵CF＝AE，∴DF＝BE，∴四邊形BFDE是平行四邊形，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四邊形BFDE是矩形．（2）解：∵AF平分∠DAB，DC∥AB，∴∠DAF＝∠FAB，∠DFA＝∠FAB，∴∠DAF＝∠DFA，∵DF＝5，∴AD＝FD＝5，∵AE＝CF＝3，DE⊥AB，∴，∴矩形BFDE的面積是：DF?DE＝5×4＝20．18．已知，如圖，AB和DE是直立在地面上的兩根立柱AB＝6m，某一時(shí)刻AB在太陽光下的投影BC＝3m．（1）請(qǐng)你在圖中畫出此時(shí)DE在太陽光下的投影EF；（2）在測(cè)量AB的投影時(shí)，同時(shí)測(cè)量出DE在太陽光下的投影EF長(zhǎng)為6m，請(qǐng)你計(jì)算DE的長(zhǎng)．【解答】解：（1）（連接AC，過點(diǎn)D作DF∥AC，交直線BC于點(diǎn)F，線段EF即為DE的投影，如圖；（2）∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE．∵∠ABC＝∠DEF＝90°，∴△ABC∽△DEF，∴＝，即＝∴DE＝12（m）．19．如圖，直線y＝x與雙曲線y＝（k≠0）交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，－3），點(diǎn)C是雙曲線第一象限分支上的一點(diǎn)，連接BC并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)D，且BC＝2CD．（1）求k的值并直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)G是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接GB，GC，求GB＋GC的最小值；（3）P是x軸上的點(diǎn)，Q是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，Q，使得A，B，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，－3）代入直線y＝x中，得－3＝m，解得：m＝－2，∴A（－2，－3），∴k＝－2×（－3）＝6，∴反比例函數(shù)解析式為y＝，由，得或，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，3）；（2）如圖1，作BE⊥x軸于點(diǎn)E，CF⊥x軸于點(diǎn)F，∴BE∥CF，∴△DCF∽△DBE，∴＝，∵BC＝2CD，BE＝3，∴＝，∴＝，∴CF＝1，∴C（6，1），作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接B′C交y軸于點(diǎn)G，則B′C即為BG＋GC的最小值，∵B′（－2，3），C（6，1），∴B′C＝＝2，∴BG＋GC＝B′C＝2；（3）存在．理由如下：當(dāng)點(diǎn)P在x的正半軸上時(shí)，如圖2，設(shè)點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（a，0），過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，∵∠OEB＝∠OBP1＝90°，∠BOE＝∠P1OB，∴△OBE∽△OP1B，∴＝，∵B（2，3），∴OB＝＝，∴＝，∴a＝，∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（，0），當(dāng)點(diǎn)P在x的負(fù)軸上時(shí)，如圖2，設(shè)點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（a，0），過點(diǎn)A作AH⊥x軸于點(diǎn)H，同理證得點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（－，0），當(dāng)四邊形AP3BQ3或是矩形四邊形AP4BQ4時(shí)，OA＝OP4＝，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－，0）或（，0），綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（－，0）或（－，0）或（，0）．20．2020年4月，“一盔一帶”安全守護(hù)行動(dòng)在全國(guó)各地積極開展．某品牌頭盔的銷量逐月攀升，已知4月份銷售150個(gè)，6月份銷售216個(gè)，且從4月份到6月份銷售量的月增長(zhǎng)率相同．（1）求該品牌頭盔銷售量的月平均增長(zhǎng)率；（2）若此頭盔的進(jìn)價(jià)為30元/個(gè)，經(jīng)測(cè)算當(dāng)售價(jià)為40元/個(gè)時(shí)，月銷售量為300個(gè)；售價(jià)每上漲1元，則月銷售量減少10個(gè)，為使月銷售利潤(rùn)達(dá)到3960元，并盡可能讓顧客得到實(shí)惠，則該品牌頭盔的售價(jià)應(yīng)定為多少元/個(gè)？【解答】解：（1）設(shè)該品牌頭盔銷售量的月平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意得：150（1＋x）2＝216，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2（不符合題意，舍去）．答：該品牌頭盔銷售量的月平均增長(zhǎng)率為20%；（2）設(shè)該品牌頭盔的售價(jià)定為y元/個(gè)，則每個(gè)頭盔的銷售利潤(rùn)為（y－30）元，月銷售量為300－10（y－40）＝（700－10y）個(gè)，根據(jù)題意得：（y－30）（700－10y）＝3960，整理得：y2－100y＋2496＝0，解得：y1＝48，y2＝52，又∵要盡可能讓顧客得到實(shí)惠，∴y＝48．答：該品牌頭盔的售價(jià)應(yīng)定為48元/個(gè)．21．[知識(shí)鏈接]，“化歸思想”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的一種探究新知、解決問題的基本的數(shù)學(xué)思想方法，通過“轉(zhuǎn)化、化歸”通?？梢詫?shí)現(xiàn)化未知為已知，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，從而使問題得以解決．在探究平行四邊形的性質(zhì)時(shí)，學(xué)習(xí)小組利用這種思想方法，發(fā)現(xiàn)并證明了如下有趣結(jié)論，平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和．請(qǐng)你根據(jù)學(xué)習(xí)小組的思路，完成下列問題：（1）[問題發(fā)現(xiàn)]：如圖1，學(xué)習(xí)小組首先通過對(duì)特殊平行四邊形——矩形（長(zhǎng)方形）的研究發(fā)現(xiàn)在矩形ABCD中令A(yù)B＝a，BC＝b，則可求得AC2＋BD2＝2a2＋2b2；（用a、b的式子表示）（2）[問題探究]：如圖2，學(xué)習(xí)小組通過添加輔助線，嘗試將平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形，繼續(xù)對(duì)一般平行四邊形ABCD進(jìn)行研究，如圖：分別過點(diǎn)A、D作BC邊的垂線，請(qǐng)你按照這種思路證明AC2＋BD2＝2（AB2＋BC2）；（3）[問題拓展]：如圖3，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，已知：AD＝3，BC＝8，（AB－AC）2＝10，請(qǐng)你添加合適的輔助線，構(gòu)造平行四邊形進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求AB?AC的值．【解答】（1）解：如圖①，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AC＝BD，∴AC2＝AB2＋BC2，∵AB＝a，BC＝b，∴AC2＋BD2＝2（AB2＋BC2）＝2a2＋2b2；故答案為：2a2＋2b2；（2）證明：如圖②，作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，且AB＝DC，∴∠ABE＝∠DCF，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴AE＝DF，BE＝CF，在Rt△ACE中，由勾股定理，可得AC2＝AE2＋CE2＝AE2＋（BC－BE）2…①，在Rt△BDF中，由勾股定理，可得BD2＝DF2＋BF2＝DF2＋（BC＋CF）2＝DF2＋（BC＋BE）2…②，由①②，可得AC2＋BD2＝AE2＋DF2＋2BC2＋2BE2＝2AE2＋2BC2＋2BE2，在Rt△ABE中，由勾股定理，可得AB2＝AE2＋BE2，∴AC2＋BD2＝2AE2＋2BC2＋2BE2＝2（AE2＋BE2）＋2BC2＝2AB2＋2BC2；（3）解：如圖3，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使AD＝DE，，∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，又∵AD＝DE，∴四邊形ABEC是平行四邊形，由（2）可得AE2＋BC2＝2AB2＋2AC2，＝2（AB－AC）2＋4AB?AC，∵AE＝2AD＝6，∴AE2＝4AD2＝36，∵BC＝8，（AB－AC）2＝10，∴36＋64＝2×10＋4AB?AC，∴AB?AC＝20．22．通過類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的．下面是一個(gè)案例，請(qǐng)補(bǔ)充完整．?原題：如圖1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，∠EAF＝45°，連接EF，則EF＝BE＋DF，試說明理由．（1）思路梳理∵AB＝CD，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合．∵∠ADC＝∠B＝90°∠FDG＝180°，∴點(diǎn)F，D，G共線．根據(jù)SAS（從“SSS，ASA，AAS，SAS”中選擇填寫），易證△AFG≌△AFE，得EF＝BE＋DF．（2）類比引申如圖2，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF＝45°．若∠B，∠D都不是直角，則當(dāng)∠B與∠D滿足等量關(guān)系∠B＋∠D＝180°時(shí)，仍有EF＝BE＋DF．（3）聯(lián)想拓展如圖3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D，E均在邊BC上，且∠DAE＝45°．猜想BD，DE，EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系，并寫出推理過程．（4）思維深化如圖4，在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，點(diǎn)D，E均在直線BC上，點(diǎn)D在點(diǎn)E的左邊，且∠DAE＝30°，當(dāng)AB＝4，BD＝1時(shí)，直接寫出CE的長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵AB＝AD，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合．∴∠BAE＝∠DAG，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°，∴∠EAF＝∠FAG，∵∠ADC＝∠B＝90°，∴∠FDG＝180°，點(diǎn)F、D、G共線，在△AFE和△A