專題1.2 矩形的性質與判定【十大題型】-2024-2025學年九年級數(shù)學上冊舉一反三系列（北師大版）

PAGE1專題1.2矩形的性質與判定【十大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1矩形性質的理解】 1【題型2由矩形的性質求角度】 3【題型3由矩形的性質求線段長度】 8【題型4由矩形的性質求面積】 12【題型5矩形在平面直角坐標系中的運用】 16【題型6矩形中的的證明】 22【題型7添加條件使四邊形是矩形】 26【題型8證明四邊形是矩形】 29【題型9由矩形的性質與判定求值】 34【題型10由矩形的性質與判定進行證明】 41知識點1：矩形的性質定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．性質：①平行四邊形的性質矩形都具有；②角：矩形的四個角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對角線：矩形的對角線相等；⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點．【題型1矩形性質的理解】【例1】（23-24九年級下·湖北隨州·期末）在矩形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，下列結論一定正確的是（）A．△AOB是等邊三角形 B．AO=C．AC⊥BD D．BD平分∠ABC【答案】B【分析】根據(jù)矩形的性質即可得．【詳解】解：由題意，畫圖如下：∴AO=1∴△AOB是等腰三角形，不一定是等邊三角形，AC⊥BD，BD平分∠ABC均不一定正確，故選：B．【點睛】本題考查了矩形的性質，熟練掌握矩形的性質是解題關鍵．【變式1-1】（23-24九年級上·河南駐馬店·期中）矩形具有而一般平行四邊形不一定具有的性質是（

）A．兩組對邊分別相等 B．兩條對角線互相平分C．兩條對角線互相垂直 D．兩條對角線相等【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形和矩形的性質容易得出結論．【詳解】解：A、兩組對邊分別相等，矩形和平行四邊形都具有，故不合題意；B、兩條對角線互相平分，矩形和平行四邊形都具有，故不合題意；C、兩條對角線互相垂直，矩形和平行四邊形都不一定具有，故不合題意；D、兩條對角線相等，矩形具有而平行四邊形不一定具有，符合題意．故選：D．【點睛】本題考查矩形的性質，矩形具有平行四邊形的性質，又具有自己的特性，要注意運用矩形具備而一般平行四邊形不具備的性質．如，矩形的對角線相等．【變式1-2】（23-24九年級下·海南省直轄縣級單位·期中）在下面性質中，菱形有而矩形沒有的性質是（

）A．對角線互相平分 B．內角和為360°C．對角線相等 D．對角線互相垂直【答案】D【分析】根據(jù)菱形和矩形的性質依次判定即可.【詳解】A.菱形和矩形的對角線都互相平分，故A選項不符合題意；B.菱形和矩形的內角和都為360°，故B選項不符合題意；C.矩形的對角線相等，而菱形的對角線不相等，故C選項不符合題意；D.菱形的對角線互相垂直，而矩形的對角線不互相垂直，故D選項符合題意.故選：D【點睛】本題主要考查了菱形和矩形的性質，熟練掌握菱形和矩形的性質是解題的關鍵.【變式1-3】（23-24九年級下·吉林長春·期中）如圖，將四根木條用釘子釘成一個矩形框架ABCD，然后向左扭動框架，觀察所得四邊形的變化，下面判斷錯誤的是（

）A．四邊形ABCD由矩形變?yōu)槠叫兴倪呅?B．對角線AC的長度增大C．四邊形ABCD的面積不變 D．四邊形ABCD的周長不變【答案】C【分析】本題考查矩形的性質和平行四邊形的性質，熟悉性質是解題的關鍵．由題意得向左扭動框架ABCD，由矩形變成了平行四邊形，四邊形四條邊不變，故周長不變，高變小，底不變，故面積變小，即可選出答案．【詳解】解：向左扭動框架ABCD，由矩形變成了平行四邊形，故A選項說法正確，A不符合題意；此時對角線BD減小，對角線AC增大，故B選項說法正確，B不符合題意；BC邊上的高減小，面積就變小，故C選項說法錯誤，C符合題意；四邊形四條邊都不變，周長就不變，故D選項說法正確，D不符合題意．故選：C．【題型2由矩形的性質求角度】【例2】（2023·山西大同·模擬預測）翻花繩是中國民間流傳的兒童游戲，在中國不同的地域，有不同的稱法，如線翻花、翻花鼓、挑繃繃、解股等等，如圖1是翻花繩的一種圖案，可以抽象成如右圖，在矩形ABCD中，IJ∥KL,EF∥GH，∠1=∠2=30°，

A．30° B．45° C．50° D．60°【答案】D【分析】由矩形的性質可得∠D=∠C=90°，進而可得∠HGC=∠IJD=60°；再根據(jù)三角形內角和定理可得∠GMJ=60°；然后再證四邊形NUMV是平行四邊形，由平行四邊形的性質可得∠VNU=∠GMJ=60°，最后由對頂角相等即可解答．【詳解】解：如圖：∵矩形ABCD中，∴∠D=∠C=90°,∵∠1=∠2=30°，∴∠HGC=∠IJD=60°,∴∠GMJ=60°,∵IJ∥∴四邊形NUMV是平行四邊形，∴∠VNU=∠GMJ=60°,∴∠3=∠VNU=60°．故選D．

【點睛】本題主要考查了矩形的性質、平行四邊形的判定與性質等知識點，靈活運用相關判定、性質定理是解答本題的關鍵．【變式2-1】（23-24九年級下·湖南·期中）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點O作OE⊥BD，交AD于點E，若∠ACB=15°，則∠AOE的大小為【答案】60°/60度【分析】本題考查了矩形的性質，等腰三角形的性質，熟練掌握矩形的性質是解題的關鍵．根據(jù)矩形的性質，等腰三角形的判定和性質以及平行線的性質即可得到結論．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，AO=12AC，OD=∴OA=OD，∠DAC=∠ACB=15°，∴∠DAC=∠ODA=15°，∴∠AOD=180°?∠OAD?∠ODA=150°，∵OE⊥BD，∴∠DOE=90°，∴∠AOE=∠AOD?∠DOE=60°，故答案為：60°．【變式2-2】（23-24九年級上·山東青島·階段練習）已知：O是矩形ABCD對角線的交點，AE平分∠BAD，∠EAO=15°，則∠BOE=(

)A．60° B．70° C．75° D．80°【答案】C【分析】先利用矩形的性質及已知條件證明∠BAE=12∠BAD=45°，BE=AB，再證ΔBAO是等邊三角形，得出∠ABO=60°，OB=AB，進而得出【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，O是矩形ABCD對角線的交點，∴∠BAD=90°，OA=OB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=1∴∠AEB=90°?∠BAE=45°=∠BAE，∴BE=AB，∵∠EAO=15°，∴∠BAO=∠BAE+∠EAO=45°+15°=60°，∵OA=OB，.∴ΔBAO∴∠ABO=60°，OB=AB，∴∠OBE=90°?∠ABO=30°，OB=BE，∴∠BOE=∠BEO=1故選C．【點睛】本題考查矩形的性質，等邊三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，三角形內角和定理等，解題的關鍵是熟練掌握矩形的性質，證明ΔBOE【變式2-3】（23-24九年級下·黑龍江哈爾濱·期中）矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，AE⊥BD于E，且∠OAD=2∠OAE，則∠AOB的度數(shù)為【答案】72°或120°【分析】分兩種情況，當∠AOB為銳角時，設∠OAE=α，則∠ODA=∠OAD=2∠OAE=2α，利用直角三角形兩個銳角互余即可求解；當∠AOB為鈍角時，證明△AED≌△AEOASA，推出△AOD【詳解】解：分兩種情況：（1）如圖，當∠AOB為銳角時，

∵矩形ABCD中，OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，設∠OAE=α，則∠ODA=∠OAD=2∠OAE=2α，∴∠AOE=∠ODA+∠OAD=4α，∵AE⊥BD，∴∠AOE+∠OAE=90°，即4α+α=90°，∴α=18°，∴∠AOE=4α=72°，即∠AOB=72°；（2）如圖，當∠AOB為鈍角時，

∵∠OAD=2∠OAE，∴∠DAE=∠OAE，∵AE⊥BD，∴∠AED=∠AEO=90°，在△AED和△AEO中，∠DAE=∠OAEAE=AE∴△AED≌△AEOASA∴DA=OA，又∵矩形ABCD中，OA=OD，∴DA=OA=OD，∴△AOD是等邊三角形，∴∠AOD=60°，∴∠AOB=180°?∠AOD=120°，綜上可知，∠AOB的度數(shù)為72°或120°．故答案為：72°或120°．【點睛】本題考查矩形的性質，等邊三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，三角形外角的性質等，注意分情況討論是解題的關鍵．【題型3由矩形的性質求線段長度】【例3】（23-24九年級下·四川宜賓·期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，以點B為圓心、BC的長為半徑畫弧交AD于點E，再分別以點C，E為圓心、大于12CE的長為半徑畫弧，兩弧交于點F，作射線BF交CD于點G，則A．2 B．83 C．3 D．【答案】D【分析】本題考查了矩形的性質，作角平分線，角平分線的性質，勾股定理；根據(jù)作圖過程可得BF是∠EBC的平分線，然后證明△EBG≌△CBG，再利用勾股定理即可求出CG的長．【詳解】解：如圖，連接EG，根據(jù)作圖過程可知：BF是∠EBC的平分線，∴∠EBG=∠CBG，在△EBG和△CBG中，EB=CB∠EBG=∠CBG∴△EBG≌△CBG(SAS∴GE=GC，∠BEG=∠C=90°，在Rt△ABE中，AB=6，BE=BC=10∴AE=BE2?A∴DE=AD?AE=10?8=2，在Rt△DGE中，DE=2，DG=DC?CG=6?CG，EG=CG∴E∴CG解得CG=10故選：D．【變式3-1】（23-24九年級上·廣西河池·期中）如圖，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，對角線AC上有一點G（異于A，C），連接DG，將△AGD繞點A逆時針旋轉60°得到△AEF，則BF的長為【答案】13【分析】過點F作FH⊥BA交BA的延長線于點H，根據(jù)旋轉的性質得出∠FAH=30°，進而得出FH=1，勾股定理得出HA=3，在Rt【詳解】解：如圖，過點F作FH⊥BA交BA的延長線于點H，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵將△AGD繞點A逆時針旋轉60°得到△AEF，∴∠DAF=60°，AD=AF，∴∠BAF=90°+60°=150°，∴∠FAH=30°，∴FH=1∴AH=A∵AB=3∴BH=AB+AH=23在Rt△FHB中，F(xiàn)B=故答案為：13．【點睛】本題考查了矩形的性質，含30度角的直角三角形的性質，旋轉的性質，勾股定理，掌握以上知識是解題的關鍵．【變式3-2】（23-24九年級下·湖北武漢·期中）如圖，AF平分∠BAD，E為矩形ABCD的對角線BD上的一點，EC⊥BD于點E，EC的延長線與AG的延長線交于點F，若BD=10，則CF的值是(

)

A．6 B．7 C．8 D．10【答案】D【分析】本題考查了矩形的性質，等角對等邊，過A作AH⊥BD于H，連接AC，證明∠GAH=∠CAH，根據(jù)AH∥CE，得出∠F=∠GAH，則【詳解】解：過A作AH⊥BD于H，連接AC，

∵AF平分∠BAD，∴∠BAG=∠DAG，∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD=10，∠BAD=90°，OA=OD，∴∠BAH+∠DAH=∠ADB+∠DAH=90°，∴∠BAH=∠ADH，∵OA=OD，∴∠ADH=∠DAC，∴∠BAH=DAC，∴∠BAG?∠BAH=∠DAG?∠DAC，∴∠GAH=∠CAH，∵EC⊥BD，AH⊥BD，∴AH∥∴∠F=∠GAH，∴∠F=∠CAH，∴CF=AC=10．故選：D．【變式3-3】（23-24九年級下·浙江杭州·期中）如圖，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，在邊AD上取一點E，使BE=BC，過點C作CF⊥BE，垂足為點F，則EF的長為.【答案】3?5/【分析】本題考查矩形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題關鍵．先根據(jù)勾股定理求出AE=5,再結合矩形的性質證明△ABE≌△FCB得出AE=BF【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形,∴∠A=90°，AD=BC=3，AD∥BC,∴∠AEB=∠FBC,∵BE=BC=3，AB=2,∴AE=B∵CF⊥BE,∴∠BFC=90°,在△ABE和△FCB中,∠A=∠CFB∠AEB=∠FBC∴△ABE≌△FCB(AAS∴BF=AE=5∴EF=BE?BF=3?故答案為：3?5【題型4由矩形的性質求面積】【例4】（23-24九年級上·四川達州·期中）如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線分別交AC，AB于點D，F(xiàn)，BE⊥DF交DF的延長線于點E，已知∠A=30°，DF=1，AF=BF，則四邊形A．23 B．43 C．45【答案】A【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，易證∠ACB=90°，可得四邊形BCDE為矩形，即可證明△ADF≌△BEF，可求得BE的長，根據(jù)DF是△ABC中位線可以求得BC的長度，即可求得矩形【詳解】解：∵AF=BF,∴F是AB的中點，∵D是AC中點，∴DF是△ABC中位線，∴DF∥∵DE是AC的垂直平分線，∴∠ADF=90°,∴∠C=90°，∴四邊形BCDE為矩形，∵在△ADF和△BEF中，∠ADF=∠BEF∠AFD=∠BFE∴△ADF≌∴BE=AD，∴DE=2，∵∠A=30°，∴AF=2DF=2,∴AD=A∴矩形BCDE面積=BC?BE=23故選：A．【變式4-1】（23-24九年級下·上海金山·期中）如圖，長方形ABCD中，點E、F分別為AD、BC邊上的任意點，△ABG、△DCH的面積分別為15和25，那么四邊形EGFH的面積為．【答案】40【分析】本題考查了三角形的面積，解題的關鍵是能正確作出輔助線，連接EF，可得S△ABE=S△AEF，再根據(jù)面積的和差可得【詳解】解：連接EF，∵S∴S又∵S△ABG=∴同理∵S∴S又∵S△DCH=∴∴S故答案為：40【變式4-2】（23-24九年級下·江蘇南京·期中）如圖，矩形ABCD中，AB=5，BC=8，點E、F、G、H分別在AB、BC、CD、DA上，且AE=CG=4，AH=CF=2．點P為矩形內一點，四邊形AEPH、四邊形CGPF的面積分別記為S1、S2，則S【答案】21【分析】本題考查矩形的性質，過P作PK⊥AB并延長KP交CD于T，過P作PM⊥AD并延長MP交BC于N，結合矩形的性質及三角形面積加減關系求解即可得到答案．【詳解】過P作PK⊥AB并延長KP交CD于T，過P作PM⊥AD并延長MP交BC于N，連接PA，PB，PC，PD，∵四邊形ABCD是矩形，AB=5，BC=8，AE=CG=4，AH=CF=2，∴BE=DG=AH=CF=2，AD=BC，AD∥BC，AB=CD，AB∥CD，，∵PK⊥AB，PM⊥AD，∴PK+PT=AD，PM+PN=MN，∴S1+===16+5=21．故答案為：21．【變式4-3】（23-24九年級下·浙江寧波·期中）如圖，點E是矩形ABCD內一點，連結AE，DE，AC，EC，BE，知道下列哪個選項的值就能要求△AEC的面積（

）

A．△ABE與△BEC面積之差 B．△ADE與△BEC面積之差C．△DEC與△BEC面積之差 D．△ADC與△DEC面積之差【答案】C【分析】過E作EM⊥AB于M，延長ME交CD于N，由四邊形ABCD是矩形，得到AB∥DC，AB=DC，由△EAB的面積=12AB?EM，△ECD的面積=12DC?EN，推出△EAB的面積+△ECD的面積=△ABC的面積，而△AEC的面積【詳解】解：過E作EM⊥AB于M，延長ME交CD于N，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴EN⊥DC，∵△EAB的面積=12AB?EM，△ECD∴△EAB的面積+△ECD的面積=12AB?EM+EN=∵△ABC的面積=矩形ABCD的面積×1∴△EAB的面積+△ECD的面積=△ABC的面積，∵△AEC的面積=△ABC的面積?△ABE的面積?△BEC的面積，∴△AEC的面積=△EAB的面積+△ECD的面積?△ABE的面積?△BEC的面積=△ECD的面積?△BEC的面積．故選：C．【點睛】本題考查矩形的性質，三角形的面積，關鍵是由三角形的面積公式推出△EAB的面積+△ECD的面積=△ABC的面積．【題型5矩形在平面直角坐標系中的運用】【例5】（23-24九年級下·湖北荊州·階段練習）如圖，矩形ABOC的邊BO、CO分別在x軸、y軸上，點A的坐標是?6,4，點D、E分別為AC、OC的中點，點P為OB上一動點，當PD+PE最小時，點P的坐標為（）A．?1,0 B．?2,0 C．?3,0 D．?4,0【答案】A【分析】本題主要考查了矩形的性質，軸對稱最短路徑問題，坐標與圖形，求一次函數(shù)與坐標軸的交點坐標，取點E關于x軸的對稱點E′，連接PE′，連接DE′交x軸于點P′，則PD+PE最小值為DE′，此時點P位于P′處，利用矩形的性質得到AC=6【詳解】解：取點E關于x軸的對稱點E′，連接PE′，連接DE′∴PE∵PD+PE=PD+PE∴PD+PE最小值為DE′，此時點P位于∵四邊形ABOC是矩形，點A的坐標是?6，∴AC=6，∵點D、E分別為AC、OC的中點，∴D?3∴E設直線DE′的解析式為∴?3k+b=4b=?2解得k=?2b=?2∴直線DE′的解析式為當y=0時，0=?2x?2，解得x=?1，∴P′即當PD+PE最小時，點P的坐標為?1，故選：A．【變式5-1】（23-24九年級上·廣東梅州·期中）如圖，在平面直角坐標系中，將長方形AOCD沿直線OE折疊（點E在邊DC上），折疊后頂點C恰好落在邊AD上的點F處若點D的坐標為4,5，則點E的坐標為

【答案】E【分析】本題考查了矩形的性質，勾股定理，折疊的性質，坐標的意義，得到OA=CD=4，OC=AD=OF=5，根據(jù)勾股定理，得到AF=OF2?OA2=3【詳解】∵長方形AOCD沿直線OE折疊（點E在邊DC上），折疊后頂點C恰好落在邊AD上的點F處，點D的坐標為4,5，∴OA=CD=4，OC=AD=OF=5，∠D=∠A=90°，CD∥x軸，∴AF=OF2設CE=EF=x，則DE=CD?CE=4?x，Ex,5∴x2解得x=5故E5故答案為：E5【變式5-2】（23-24九年級上·江西撫州·期中）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為A(10，0)、C(0，4)，點D是OA的中點，點P在BC邊上運動，當△ODP是腰長為5的等腰三角形時，點

【答案】2/3/8【分析】本題考查了矩形的性質、坐標與圖形的性質、等腰三角形的性質，當OP=OD時，當OD=PD時，當OP=PD時分類討論，正確分類討論是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，過點P作PM⊥OA于點M，

(1)當OP=OD時，OP=5，CO=4，易得CP=3，∴P(3,4)；(2)當OD=PD時，PD=DO=5，PM=4，易得MD=3，從而OM=2或OM∴P(2,4)或(8,4)；

(3)當OP=PD時，P(5

此時腰長為：(5綜上，滿足題意的點P的坐標為(3,4)，(2,4)，(8,4)，∴點P的橫坐標為2，3或8．【變式5-3】（23-24九年級下·江蘇常州·階段練習）在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點O是原點，頂點A0,12，頂點C5,0；點D是BO的中點，點E是直線AB上的動點，若∠CDE=3∠【答案】E?13【分析】根據(jù)題意“點E是直線AB上的動點，若∠CDE=3∠BED，”進行分類討論：點E是直線AB上的動點，或E在BA【詳解】解，當E在AB的延長線上，過點D作直線l∥AE如圖所示：∵∠1=∠2∵四邊形ABCD是矩形，頂點A0,12，頂點∴AE∥OCOB=∴∠3=∠4∵∠CDE=3∠BED∴∠1=3∠EDC=∠2+∠3∴∠3=2∠1∴∠BDE=∠1則BD=BE=∵B∴E當E在BA的延長線上，過點D作直線MN∥AE如圖所示：∵四邊形ABCD是矩形，MN∥AE∴EB∥OC∥MN∴∠ADM=∠ACO∵四邊形ABCD是矩形，頂點A0,12，頂點∴∠BOC=∠ACO∵∠CDE=3∠BED∴∠BAC=∠MDO=2∠BED∵∠BAC=∠BED+∠ADE故∠BED=∠ADE∴AE=AD=∵頂點A0,12，頂點∴E當點E在AB之間，過點D作直線MN∥AE，如圖所示：∵四邊形ABCD是矩形，頂點A0,12，頂點∴∠BOC=∠ACO∵∠2=∠BAD+∠ADE∴∠2>∠BAD∵AB=5<6.5∴∠ADB<60°則∠2>∠BAD=∵∠CDE=3∠BED∴∠CDE=3∠BED>3×60°=180°（舍去）綜上：E?13故答案為：E?13【點睛】本題考查了坐標與圖形、勾股定理、矩形的性質，外角性質，綜合性強，難度較大，正確熟練作圖并運用數(shù)形結合思想是解題的關鍵【題型6矩形中的的證明】【例6】（23-24九年級下·山東泰安·期中）如圖，在矩形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點E，交DC的延長線于點F，取EF的中點G，連接CG、BG、DG．

(1)求證：BC=DF；(2)求證：△DCG≌△BEG；(3)求證：AC=2【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）證明△ADF是等腰直角三角形，即可得證；（2）在Rt△EFC，G是EF的中點，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得CG=FG=EG，根據(jù)BC=DF，可得BE=CD，進而根據(jù)∠CEF=∠FCG=45°得出，∠BEG=∠DCG=135°（3）連接BD，根據(jù)矩形的性質可得AC=BD，進而證明△DGB是等腰直角三角形，即可得出結論．【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD是矩形，四邊形ABCD是矩形，∴BC=AD，∠BAD=∠ADC=90°，∵AF平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAF=45°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴DF=AD，∴BC=DF．（2）在Rt△EFC，G是EF∴CG=FG=EG，則△FCG,△CGE是等腰直角三角形，∠GCE=45°，∵BC=DF，∴BE=CD，∵∠CEF=∠FCG=45°，∴∠BEG=∠DCG=135°，∴△DCG≌△BEG（3）連接BD，∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，∵△DCG≌△BEG，∴DG=BG，∠CGD=∠EGB，∴∠CGD+∠AGD=∠EGB+∠AGD=90°，∴△DGB是等腰直角三角形，∴BD=2∴AC=

【點睛】本題考查了矩形的性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，全等三角形的性質與判定，等腰直角三角形的性質與判定，勾股定理，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．【變式6-1】（23-24九年級下·廣東江門·期中）已知：如圖，M是矩形ABCD外一點，連接MB、MC、MA、MD，且MA=MD．求證：MB=MC．

【答案】見詳解【分析】可證∠MAB=∠MDC，從而可證△ABM≌△DCM（【詳解】證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°，∵AM=DM，∴∠MAD=∠MDA，∴∠BAD+∠MAD=∠CDA+∠MDA，∴∠MAB=∠MDC，在△ABM和△DCM中AB=CD∠MAB=∠MDC∴△ABM≌△DCM（∴MB=MC．【點睛】本題考查了矩形的性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定及性質，掌握性質及判定方法是解題的關鍵．【變式6-2】（23-24九年級下·湖北荊州·期中）如圖，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)在BC邊上，AF，DE交于點M，且AM=DM，求證：BF=CE．【答案】證明見解析【分析】本題考查了矩形的性質、等腰三角形的性質、三角形全等的判定與性質，由矩形的性質得出AB=CD，∠BAD=∠B=∠C=∠ADC=90°，由等邊對等角得出∠MAD=∠MDA，推出∠BAF=∠CDE，再由ASA證明△ABF≌△DCE，即可得證．【詳解】證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠BAD=∠B=∠C=∠ADC=90°，∵AM=DM，∴∠MAD=∠MDA，∴∠BAD?∠MAD=∠ADC?∠MDA，即∠BAF=∠CDE，∴△ABF≌△DCEASA∴BF=CE．【變式6-3】（23-24九年級下·山東臨沂·期中）如圖，已知矩形ABCD，點E在CB延長線上，點F在BC延長線上，過點F作FH⊥EF交ED的延長線于點H，連接AF交EH于點G，GE=GH．求證：BE=CF．

【答案】見解析【分析】本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定與性質，直角三角形的斜邊中線定理，解題的關鍵是靈活運用這些知識．由FH⊥EF，GE=GH，得到GE=GH=GF，推出∠GFE=∠E，根據(jù)矩形的性質得到AB=CD，∠ABC=∠DCB=90°，證明△ABF≌【詳解】證明：∵FH⊥EF，GE=GH，∴GE=GH=GF，∴∠GFE=∠E，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠ABC=∠DCB=90°，在△ABF和△DCE中，∠E=∠AFB∠ABF=∠DCE∴△ABF≌∴BF=CE，∴BF?BC=CE?BC，即CF=BE．知識點2：矩形的判定①矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個角是直角的四邊形是矩形；

③對角線相等的平行四邊形是矩形（或“對角線互相平分且相等的四邊形是矩形”）.【題型7添加條件使四邊形是矩形】【例7】（23-24九年級上·陜西西安·期中）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，OA=OC,OB=OD，添加下列條件，不能判定四邊形ABCD是矩形的是（

）A．AB=AD B．OA=OB C．AB⊥AD D．∠ABO=∠BAO【答案】A【分析】根據(jù)題意可知四邊形ABCD是平行四邊形，然后再根據(jù)四個選項所給條件一一進行判斷即可得出答案．【詳解】解：∵在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，OA=OC,OB=OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，A、添加條件AB=AD，可得四邊形ABCD是菱形，但不一定是矩形，故符合題意；B、若OA=OB，則AC=BD，故四邊形ABCD是矩形，故不符合題意；C、若AB⊥AD，則∠BAD=90°，故四邊形ABCD是矩形，故不符合題意；D、若∠ABO=∠BAO，則OA=OB，則AC=BD，故四邊形ABCD是矩形，故不符合題意；故選：A．【點睛】此題考查了矩形的判定，熟練掌握矩形的定義及判定定理是解答此題的關鍵．【變式7-1】（23-24九年級下·貴州黔南·期末）在四邊形ABCD中，AD∥BC，不能判定四邊形ABCD為矩形的是（

）A．AD=BC且AC=BD B．AD=BC且∠A=∠BC．AB=CD且∠A=∠C D．AB∥CD且AC=BD【答案】C【分析】根據(jù)矩形的判定條件逐項進行分析判斷即可；【詳解】解：A、∵AD∥BC，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC＝BD，∴平行四邊形ABCD是矩形，故選項A不符合題意；B、∵AD∥BC，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴平行四邊形ABCD是矩形，故選項B不符合題意；C、∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠B＝∠D，∴四邊形ABCD是平行四邊形，不能判定四邊形ABCD為矩形，故選項C符合題意；D、∵AD∥BC，AB∥CD∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形，∴選項D不符合題意；故選：C．【點睛】本題主要考查了矩形的判定，準確分析判斷是解題的關鍵．【變式7-2】（23-24九年級下·河南商丘·期末）如圖，在?ABCD中，AE⊥BC于點E，點F在BC邊的延長線上，則添加下列條件不能證明四邊形AEFD是矩形的是（）A．EF=AD B．∠AEB=∠DFCC．BE=CF D．∠DAE=∠AEF【答案】D【分析】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質等知識，熟練掌握矩形的判定和平行四邊形的判定與性質是解題的關鍵．由平行四邊形的性質得AD∥BC，AD=BC，再證AD=EF，得四邊形AEFD是平行四邊形，然后證【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∵AD=EF，AD∥∴四邊形AEFD是矩形，故A不符合題意；∵∠AEB=∠DFC，∴AE∥∵AD∥EF，∴四邊形AEFD是矩形，故B不符合題意；∵BE=CF，∴BE+CE=CF+CE，即BC=EF，∴AD=EF，∴四邊形AEFD是平行四邊形，又∵AE⊥BC，∴∠AEF=90°，∴平行四邊形AEFD是矩形，故C不符合題意；∵∠DAE=∠AEF=90°，∴AD∥EF，故四邊形故選：D．【變式7-3】（23-24九年級下·內蒙古巴彥淖爾·期中）四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到點E，使DE＝AD，連接EB，EC，DB．添加一個條件，不能使四邊形DBCE成為矩形的是()A．DB＝DE B．AB＝BE C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE【答案】A【分析】先證明四邊形BCDE為平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定進行解答．【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，又∵DE＝AD，∴DE∥BC，且DE=BC，∴四邊形BCED為平行四邊形，A、∵DB=DE，∴?DBCE為菱形，故本選項錯誤；B、∵AB=BE，DE=AD，∴BD⊥AE，∴∠EDB=90°，∴?DBCE為矩形，故本選項正確；C、∵∠ADB=90°，∴∠EDB=90°，∴?DBCE為矩形，故本選項正確；D、∵CE⊥DE，∴∠CED=90°，∴?DBCE為矩形，故本選項正確．故選：A．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質、矩形的判定，首先判定四邊形BCDE為平行四邊形是解題的關鍵．【題型8證明四邊形是矩形】【例8】（23-24九年級下·上?！て谀┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，BE=DG，BF=DH．(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形；(2)當AB=BC，且BE=BF時，請判斷四邊形EFGH的形狀并證明．【答案】(1)見解析(2)四邊形EFGH是矩形，證明見解析【分析】本題考查了矩形的判定，平行四邊形的判定和性質，全等三角形的判定和性質；（1）根據(jù)全等證得EF=HG，EH=FG，對邊相等，即可證得四邊形EFGH是平行四邊形；（2）證得四邊形EFGH中一個角為直角，即可證得四邊形EFGH是矩形．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D，∠A=∠C，∵BE=DG，BF=DH，且∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH(SAS∴EF=HG，同理可得EH=FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形；（2）四邊形EFGH是矩形，證明如下，∵AB=BC，BE=BF∴AB=BC=CD=AD，BE=BF=DH=DG，∴AE=AH，∵AD∥∴∠B+∠A=180°，∵BE=BF，AE=AH，∴∠BEF=∠BFE=180°?∠B2，∠AEH=∠AHE=180°?∠A∴∠AEH+∠BEF=90°，∴∠FEH=90°，∴平行四邊形EFGH是矩形．【變式8-1】（23-24九年級上·陜西寶雞·期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E、F分別在BC、AD上，BE=DF，連接AC、EF、AE和CF，AC=EF．請判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由．【答案】四邊形AECF是矩形，理由見解析【分析】此題考查了矩形的判定、平行四邊形的性質，熟記矩形的判定、平行四邊形的性質是解題的關鍵．根據(jù)平行四邊形的性質可得AD=BC，AD∥BC，再根據(jù)平行四邊形的判定可得四邊形AECF是平行四邊形，最后由矩形的判定方法可得結論．【詳解】解：四邊形AECF是矩形，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD∥BC，∵BE=DF，∴AD?DF=BC?BE，即AF=EC，∵AF∥EC，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵AC=EF，∴平行四邊形AECF是矩形．【變式8-2】（23-24九年級下·上海松江·期末）如圖，已知平行四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，延長BA至點H，使AH=BA，連接DH，過點H作HG∥DB，過點B作(1)求證：HD=AC；(2)當DA=AB時，求證：四邊形HGBD是矩形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了平行四邊形的判定及性質，矩形的判定及性質，菱形的判定及性質，勾股定理等．（1）由平行四邊形的性質得DC∥AB,DC=AB，由平行四邊形的判定方法得ACDH是平行四邊形，由平行四邊形的性質得HD=AC；（2）由菱形的性質得AC⊥BD，可得四邊形HGBD是平行四邊形，由矩形的判定方法即可判定．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB,DC=AB，∵AH=BA，∴DC=AH，又∵DC∥AH，∴四邊形ACDH是平行四邊形，∴HD=AC．（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DO=BO，∵DA=AB，∴AC⊥BD，∴∠AOB=90°，∵HD∥AC，∴∠HDB=90°，

∵四邊形ACDH是平行四邊形，∴HD∥AC，∵BG∥AC，∴HD∥BG，∵HG∥DB，∴四邊形HGBD是平行四邊形，∵∠HDB=90°，∴四邊形HGBD是矩形．【變式8-3】（23-24九年級下·貴州畢節(jié)·期末）如圖△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC．設MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F．(1)求證：OE=OF；(2)若CE=4，CF=3，求(3)當點O在邊AC上運動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？并說明理由．【答案】(1)見解析(2)5(3)當點O在邊AC上運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形．理由見解析【分析】（1）由CE、CF分別是∠ACB、∠ACD的平分線，可得∠ACE=∠BCE=12∠ACB，∠ACF=∠DCF=12∠ACD，由MN∥BC，可得∠OEC=∠BCE=∠ACE，（2）由（1）可知，∠ACE=∠BCE=12∠ACB，∠ACF=∠DCF=12∠ACD，則（3）當O為AC的中點時，AO=CO，可證四邊形AECF是平行四邊形，由∠ECF=90°，可證平行四邊形AECF是矩形．【詳解】（1）證明：∵CE、CF分別是∠ACB、∠ACD的平分線，∴∠ACE=∠BCE=12∠ACB∵MN∥BC，∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，∴∠OEC=∠ACE，∠OFC=∠ACF∴OE=OC，OF=OC，∴OE=OF；（2）解：由（1）可知，∠ACE=∠BCE=12∠ACB∴∠ACE+∠ACF=1即∠ECF=90°，由勾股定理得，EF=C∴OC=OE=OF=EF∴OC=5（3）解：當點O在邊AC上運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形，理由如下；證明：當O為AC的中點時，AO=CO，∵OE=OF，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵∠ECF=90°，∴平行四邊形AECF是矩形．【點睛】本題考查了角平分線，平行線的性質，等角對等邊，勾股定理，矩形的判定等知識．熟練掌握角平分線，平行線的性質，等角對等邊，勾股定理，矩形的判定是解題的關鍵．【題型9由矩形的性質與判定求值】【例9】（23-24九年級下·湖北武漢·期末）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，D，E分別為AC,BC上的點，AD=CE=2，F(xiàn)，G分別為AE，BD的中點，連FG，則FG

【答案】10【分析】取AB的中點H，連接HF，HG并延長交AC于點I，交BC于點J，根據(jù)三角形中位線定理得出HG=12AD=1，HG∥AC，HF=【詳解】解：如圖，取AB的中點H，連接HF，HG并延長交AC于點I，交BC于點J，

∵F，G分別為AE，BD的中點，∴HG是△ABD的中位線，HF是△AEB的中位線，∴HG=12AD=1，HG∥AC∴四邊形IHJC是平行四邊形，∵∠C=90°，∴四邊形IHJC是矩形，∴∠FHG=90°，∴FG=H故答案為：10．【點睛】本題主要考查了三角形中位線的判定與性質，平行四邊形的判定，矩形的判定與性質，勾股定理等知識點，根據(jù)三角形中位線的性質和已知條件得到∠FHG=90°是解答本題的關鍵．【變式9-1】（23-24九年級下·山東臨沂·期末）如圖，點A0,23，點B2,0，點P為線段AB上一個動點，作PM⊥y軸于點M，作PN⊥x軸于點N，連接MN，當MN取最小值時，則四邊形OMPN【答案】3【分析】首先連接OP，易得四邊形ONPM是矩形，即可得在Rt△AOB中，當OP⊥AB時OP最短，即MN最小，然后利用勾股定理與三角形的面積的求解，則四邊形OMPN的面積可求．【詳解】解：如圖，連接OP．由已知可得：∠PMO=∠MON=∠ONP=90°．∴四邊形ONPM是矩形．∴OP=MN，在Rt△AOB中，當OP⊥AB時OP最短，即MN最?。逜0，23根據(jù)勾股定理可得：AB=A∵S∴OP=∴MN=3即當點P運動到使OP⊥AB于點P時，MN最小，最小值為3在Rt△POB中，根據(jù)勾股定理可得：∴BP=O∵S△OBP=∴1∴PN=在Rt△PON中∴ON=O∴S故答案為：3【點睛】此題考查了矩形的判定與性質、勾股定理與三角形面積問題．注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想的應用．【變式9-2】（23-24九年級上·吉林·期末）如圖，點E是長方形ABCD的邊CD延長線上一點，連接AE，點F是邊AD上一個動點，將△AEF沿EF翻折得到△PEF，已知AB=1，AD=4，DE=3(1)求AE的長；(2)若點P落在DC的延長線上，求△AEF的面積；(3)若點P落在射線BC上，求AF的長.【答案】(1)5(2)15(3)1或25【分析】此題考查了矩形的判定與性質、翻折的性質、勾股定理、三角形面積等知識，熟練掌握長方形的判定與性質、翻折的性質、勾股定理并作出合理的輔助線構建直角三角形是解題的關鍵．（1）根據(jù)長方形的性質及勾股定理求解即可；（2）根據(jù)翻折的性質推出AE=PE=5，AF=PF，根據(jù)勾股定理及線段的和差求出AF=5（3）分兩種情況：點P落在線段BC上，點P落在線段BC的延長線上，根據(jù)長方形的性質及勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：∵點E是長方形ABCD的邊CD延長線上一點，∴∠ADC=∠ADE=90°，AB=CD=1，∵DE=3，AD=4，∴AE=A（2）如圖，點P落在DC的延長線上，由翻折性質得，△AEF≌△PEF，∴AE=PE=5，AF=PF，∵DE=3∴DP=PE?DE=2設DF=x，則AF=PF=4?x，∵∠ADC=90°∴D∴解得：x=3∴AF=5∴S（3）點P落在線段BC上，如圖，過點F作FM⊥BC于點M，∴∠FMB=90°，∵四邊形ABCD為長方形，∴∠DAB=∠B=90°，AD=BC=4，AB=CD=1，∴四邊形ABMF矩形，∴AF=BM，在△CEP中，∠C=90°，PE=AE=5，CE=DE+CD=4，∴CP=P∴BP=BC?CP=1∴MP=BP?BM=1?AF，在△FMP中，PF=AF，PF∴A∴AF=1，此時點P與M重合；點P落在線段BC的延長線上時，如圖，過點F作FN⊥BC于點N，∵∠BCD=90°，∴∠ECP=180°?90°=90°∴CE=CD+DE=4，PE=AE=5，∴CP=P設AF=x，則DF=4?x，∵FN⊥BC，∠ADC=∠BCD=90°∴四邊形FNCD為矩形，∴DF=NC=4?x，F(xiàn)N=CD=1∴PN=CP+NC=3+4?x=7?x，∵FN2+P∴∴x=257，即綜上，點P落在射線BC上，AF的長為1或257【變式9-3】（23-24九年級下·天津濱海新·期末）如圖，已知OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，O為坐標原點，點A15,0．點C0,9，在邊AB上任取一點D，將△AOD沿OD翻折，使點A落在BC邊上，記為點

(1)OA的長=______，OE的長=________，CE的長=________，AD的長=________；(2)設點P在x軸上，且OP=EP，求點P的坐標．【答案】(1)15

15

12

5(2)P(9.375,0)【分析】（1）由點A、點C的坐標可求得OA、OC的長，由翻折的對稱性知，OE=OA；由勾股定理，在Rt△OCE中可求得CE的長；于是可求得BE的長，設AD=DE=x，BD=9?x，則在Rt（2）自點E作EH⊥OA，垂足為H．利用矩形的性質可求得EH、OH的長，設OP=EP=x，則在Rt△EHP中利用勾股定理可求得x=OP的長，于是點P【詳解】（1）如圖．

由點A(15,0)可知，OA=15．由△AOD沿OD翻折變成△EOD知，△AOD?△EOD，∴OE=OA=15．由點C0,9知，OC=9∴CE=O∴BE=BC?CE=OA?CE=15?12=3．由△AOD?△EOD得，AD=DE，設AD=DE=x，則BD=AB?AD=OC?AD=9?x．在Rt△BDE中，即：x2解得：x=5．∴AD的長=5．（2）自點E作EH⊥OA，垂足為點H．則四邊形OCEH是矩形．∴OH=CE=12，設OP=EP=x，則PH=OH?OP=12?x．在Rt△EHP中，∴x解得：x=9.375．∴點P的坐標為9.375,0【點睛】本題考查了矩形的性質、勾股定理的應用、矩形的折疊等知識點，解題的關鍵是將條件集中在一個直角三角形內，利用勾股定理求解．【題型10由矩形的性質與判定進行證明】【例10】（23-24九年級下·山西·期中）在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于E，交直線DC于F．(1)在圖1中證明CE=CF；(2)若∠ABC=90°，G是EF的中點（如圖2），討論線段DG與BD的數(shù)量關系．【答案】(1)證明見解析；(2)BD=2DG．證明見解析．【分析】（1）根據(jù)AF平分∠BAD，可得∠BAF=∠DAF，利用四邊形ABCD是平行四邊形，求證∠CEF=∠F即可；（2）根據(jù)∠ABC=90°，G是EF的中點可得△BEG≌△DCG，進而求出△DGB為等腰直角三角形，即可得出答案．【詳解】（1）證明：如圖1，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，∴∠CEF=∠F．∴CE=CF．（2）如圖2，連接GC、BG，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠ABC=90°，∴四邊形ABCD為矩形，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF=45°，∵∠DCB=90°，DF∥AB，∴∠DFA=45°，∠ECF=90°∴△ECF為等腰直角三角形，∵G為EF中點，∴EG=CG=FG，CG⊥EF，∵△ABE為等腰直角三角形，AB=DC，∴BE=DC，∵∠CEF=∠GCF=45°，∴∠BEG=∠DCG=135°在△BEG與△DCG中，EG=CG∠BEG=∠DCG∴△BEG≌△DCG（SAS），∴BG=DG，∵CG⊥EF，∴∠DGC+∠DGA=90°，又∵∠DGC=∠BGA，∴∠BGE+∠DGE=90°，∴