專題2.2 一元二次方程的解法【十大題型】-2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊舉一反三系列（北師大版）

PAGE1專題2.2一元二次方程的解法【十大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1直接開平方法解一元二次方程】 1【題型2配方法解一元二次方程】 4【題型3公式法解一元二次方程】 6【題型4因式分解法解一元二次方程】 8【題型5十字相乘法解一元二次方程】 11【題型6用適當(dāng)方法解一元二次方程】 14【題型7用指定方法解一元二次方程】 18【題型8用換元法解一元二次方程】 23【題型9解含絕對值的一元二次方程】 24【題型10配方法的應(yīng)用】 27知識點1：直接開平方法解一元二次方程根據(jù)平方根的意義直接開平方來解一元二次方程的方法，叫做直接開平方法.直接降次解一元二次方程的步驟:①將方程化為x2=p(p≥②直接開平方化為兩個一元一次方程；③解兩個一元一次方程得到原方程的解.【題型1直接開平方法解一元二次方程】【例1】（23-24九年級上·廣東深圳·期中）將方程(2x－1)2=9的兩邊同時開平方，得2x－1=，即2x－1＝或2x－1＝，所以x1＝，x2【答案】±33－32－1【分析】依照直接開平方法解一元二次方程的方法及步驟,一步步解出方程即可【詳解】∵(2x－1)∴2x－1=±3∴2x－1＝3，2x－1＝-3∴x1＝2，【點睛】此題考查解一元二次方程直接開平方法，掌握運算法則是解題關(guān)鍵【變式1-1】（23-24九年級上·貴州遵義·階段練習(xí)）用直接開平方解下列一元二次方程，其中無解的方程為(

)A．x2+9＝0 B．－2x2=0 C．x2－3=0 D．(x－2)2=0【答案】A【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)沒有平方根即可求出答案．【詳解】解：（A）移項可得x2（B）?2x2=0（C）移項可得x2（D）x?22故選A．【點睛】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運用一元二次方程的解法．【變式1-2】（23-24九年級上·陜西渭南·階段練習(xí)）如果關(guān)于x的一元二次方程x?52=m?7可以用直接開平方求解，則m的取值范圍是【答案】m≥7【分析】根據(jù)平方的非負(fù)性得出不等式，求出不等式的解集即可．【詳解】解：∵方程x?52∴m?7≥0，解得：m≥7，故答案為：m≥7．【點睛】本題考查了解一元二次方程和解一元一次不等式，能得出關(guān)于m的不程是解此題的關(guān)鍵．【變式1-3】（23-24九年級上·河南南陽·階段練習(xí)）小明在解一元二次方程時，發(fā)現(xiàn)有這樣一種解法：如：解方程xx+4解：原方程可變形，得：x+2?2x+2+2=6．x+22?2我們稱小明這種解法為“平均數(shù)法”(1)下面是小明用“平均數(shù)法”解方程x+5x+9解：原方程可變形，得：x+a?bx+a+b=5．x+a2?b上述過程中的a、b、c、d表示的數(shù)分別為______，______，______，______．(2)請用“平均數(shù)法”解方程：x?5x+7【答案】(1)7，2，?4，?10．(2)x1=?1+43【分析】（1）仿照平均數(shù)法可把原方程化為x+7?2x+7+2（2）仿照平均數(shù)法可把原方程化為x+1?6x+1+6【詳解】（1）解：∵x+5x+9∴x+7?2∴x+72∴x+72∴x+7=3或x+7=?3，解得：x1=?4，∴上述過程中的a、b、c、d表示的數(shù)分別為7，2，?4，?10．（2）∵x?5x+7∴x+1?6∴x+12∴x+12∴x+1=43，x+1=?4解得：x1=?1+43【點睛】本題考查的是一元二次方程的解法，新定義運算的含義，理解平均數(shù)法結(jié)合直接開平方法解一元二次方程是解本題的關(guān)鍵．知識點2配方法解一元二次方程將一元二次方程配成(x+m)2用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c=0(a次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為1，并把常數(shù)項移到方程右邊；③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負(fù)數(shù)，則判定此方程無實數(shù)解．【題型2配方法解一元二次方程】【例2】（23-24九年級上·廣東深圳·期中）用配方法解方程，補(bǔ)全解答過程．3x解：兩邊同除以3，得______________________________．移項，得x2配方，得_________________________________，即(x?1兩邊開平方，得__________________，即x?112=所以x1=1，【答案】x2?56【分析】方程兩邊除以3把二次項系數(shù)化為1，常數(shù)項移到右邊，兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方，利用完全平方公式變形后，開方即可求出解．【詳解】3x解：兩邊同除以3，得x2移項，得x2配方，得x2即(x?1兩邊開平方，得x?1即x?112=所以x1=1，【點睛】此題考查了解一元二次方程-配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．【變式2-1】（23-24九年級下·廣西百色·期中）用配方法解方程x2?6x?1=0時，配方結(jié)果正確的是（A．x?32=9 B．x?32=10 C．【答案】B【分析】此題考查了配方法求解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握配方法求解一元二次方程的步驟．根據(jù)配方法的步驟，求解即可．【詳解】解：x移項得：x配方得：x即x?3故選：B【變式2-2】（24-25九年級上·全國·假期作業(yè)）用配方法解方程：x2【答案】x1=?m+【分析】本題考查了解一元二次方程——配方法．先移項，再進(jìn)行配方，最后開方即可得．【詳解】解：移項得x2配方得x2+2mx+m所以原方程的解為：x1=?m+2【變式2-3】（2024·貴州黔東南·一模）下面是小明用配方法解一元二次方程2x解：移項，得2x2二次項系數(shù)化為1，得x2+2x=4配方，得x+22=8由此可得x+2=±22所以，x1=?2+2①小明同學(xué)的解答過程，從第步開始出現(xiàn)錯誤；②請寫出你認(rèn)為正確的解答過程．【答案】①第三步；②詳見解析【分析】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握配方法，先將方程2x2+4x?8=0變?yōu)閤【詳解】解：①小明同學(xué)的解答過程，從第三步開始出現(xiàn)錯誤；②2x移項，得2x二次項系數(shù)化為1，得x2配方，得x+12由此可得x+1=±5所以，x1知識點3公式法解一元二次方程當(dāng)b2?4ac≥0時，方程式子叫做一元二次方程ax2一元二次方程的方法叫做公式法.【題型3公式法解一元二次方程】【例3】（23-24九年級上·山西大同·階段練習(xí)）用公式法解關(guān)于x的一元二次方程，得x=?6±62【答案】4【分析】根據(jù)公式法的公式x=?b±【詳解】解：∵x=?b±∴a=4，b=6，c=1，從而得到一元二次方程為4x故答案為：4x【點睛】本題考查了用公式法解一元二次方程，熟記公式是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（23-24九年級上·廣東深圳·期中）用公式法解一元二次方程：x?23x?5

解：方程化為3xa=3,b=，c=10．Δ=b2方程實數(shù)根．x==，即x1=，【答案】?11(?11)2有兩個不相等的??11±【分析】根據(jù)公式法解一元二次方程的解法步驟求解即．【詳解】解：方程化為3xa=3，b=?11，c=10．Δ=b2方程有兩個不相等的實數(shù)根．x=??11±12×3即x1=2，故答案為：?11；(?11)2；有兩個不相等的；??11±【點睛】本題考查公式法解一元二次方程，熟練掌握公式法解一元二次方程的解法步驟是解答的關(guān)鍵．【變式3-2】（23-24九年級上·河南三門峽·期中）用公式法解方程?ax2+bx?c=0A．x=?b±b2C．x=b±b2【答案】B【分析】先將方程進(jìn)行化簡，然后根據(jù)一元二次方程的求根公式，即可做出判斷．【詳解】解：方程?ax2由求根公式可得：x=故選：B【點睛】本題主要考查了一元二次方程的求根公式，準(zhǔn)確的識記求根公式是解答本題的關(guān)鍵．【變式3-3】（23-24九年級上·廣東深圳·期中）用求根公式法解得某方程ax2+bx+c=0(a≠0)A．b=0 B．c=0 C．b2?4ac=0 【答案】A【分析】根據(jù)求根公式法求得一元二次方程的兩個根x1、x2，由題意得x【詳解】∵方程ax∴Δ=b2?4ac?0求根公式得到方程的根為x=?b±所以x1+x2=0解得b=0．故選：A．【點睛】本題考查了解一元二次方程－公式法，相反數(shù)的意義，熟練掌握用公式法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．知識點4因式分解法解一元二次方程當(dāng)一個一元二次方程的一邊是0，另一邊能分解為兩個一次因式的乘積時，就可以把解這樣的一元二次方程轉(zhuǎn)化為解兩個一元一次方程，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法.【題型4因式分解法解一元二次方程】【例4】（23-24九年級下·安徽亳州·期中）關(guān)于x的一元二次方程xx?2=2?x的根是（A．?1 B．0 C．1和2 D．?1和2【答案】D【分析】本題主要考查了解一元二次方程，先移項，然后利用因式分解法解方程即可得到答案．【詳解】解：∵xx?2∴xx?2∴x+1x?2∴x+1=0或x?2=0，解得x=?1或x=2，故選：D．【變式4-1】（23-24九年級上·陜西榆林·階段練習(xí)）以下是某同學(xué)解方程x2解：方程兩邊因式分解，得xx?3方程兩邊同除以x?3，得x=?2，②∴原方程的解為x=?2．③(1)上面的運算過程第______步出現(xiàn)了錯誤．(2)請你寫出正確的解答過程．【答案】(1)②(2)過程見解析【分析】（1）根據(jù)等式的性質(zhì)作答即可；（2）先移項，然后用因式分解法求解．【詳解】（1）解：∵x?3可能為0，∴不能除以x?3，∴第②步出現(xiàn)了錯誤故答案為②．（2）解：方程兩邊因式分解，得xx?3移項，得xx?3∴x?3x+2∴x1=3，【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接開平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟練掌握各種方法是解答本題的關(guān)鍵．【變式4-2】（23-24九年級下·安徽安慶·期中）對于實數(shù)m，n，定義運算“※”：m※n=m2?2n，例如：2※3=22A．都為10 B．都為0 C．0或10 D．5或?5【答案】C【分析】本題考查的知識點是新定義運算、解一元二次方程，解題關(guān)鍵是理解題意．現(xiàn)根據(jù)新定義運算得出一元二次方程，再求解即可．【詳解】解：根據(jù)定義運算m※n=mx※5x=0即為x2即xx?10∴x1=0則方程的根為0或10．故選：C．【變式4-3】（13-14九年級·浙江·課后作業(yè)）利用因式分解求解方程（1）4y(2)(2x+3)(2x?3)?x(2x+3)=0．【答案】（1）y1=0,【分析】(1)利用移項、提公因式法因式分解求出方程的根；(2)利用提公因式法分解因式求出方程的根.【詳解】(1)4y4y(4y?3)=0y=0或4y-3=0∴y1故答案為：y1(2)(2x+3)(2x?3)?x(2x+3)=0(2x+3)(x?3)=02x+3=0或x?3=0x1故答案為：x1【點睛】本題考查利用因式分解解方程，關(guān)鍵是防止丟掉方程的根．例如：解方程4y2=3y【題型5十字相乘法解一元二次方程】【例5】（23-24九年級下·廣西百色·期中）以下是解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一種方法：二次項的系數(shù)a分解成a1a2，常數(shù)項c分解成c1c2，并且把a(bǔ)1，a2，cA．(x?2)(6x+5)=0 B．(2x+2)(3x?5)=0C．(x?5)(6x+2)=0 D．(2x?5)(3x+2)=0【答案】D【分析】根據(jù)“十字相乘法”分解因式得出6x【詳解】∵∴6x故選：D．【點睛】本題主要考查了利用因式分解法解一元二次方程以及十字相乘法分解因式，正確分解常數(shù)項是解題關(guān)鍵．【變式5-1】（23-24九年級上·江西上饒·期末）試用十字相乘法解下列方程(1)x2(2)x2【答案】(1)x1=?4，(2)x1=2，【分析】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．（1）利用十字相乘法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個關(guān)于x的一元一次方程，進(jìn)一步求解可得答案；（2）利用十字相乘法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個關(guān)于x的一元一次方程，進(jìn)一步求解可得答案．【詳解】（1）解：xx+4x+4=0或x+1=0∴x1=?4，（2）解：xx+5x+5=0或x?2=0∴x1=2，【變式5-2】（23-24九年級下·廣西梧州·期中）解關(guān)于x的方程x2?7mx+12mA．x1=?3m，x2=4m C．x1=?3m，x2=?4m 【答案】B【分析】本題主要考查了解一元二次方程，掌握運用十字相乘法求解即可．直接運用十字相乘法解一元二次方程即可．【詳解】解：x2x?3mx?4mx?3m=0或x?4m=0，x1=3m，故選B．【變式5-3】（23-24九年級下·重慶·期中）閱讀下面材料：材料一：分解因式是將一個多項式化為若干個整式積的形式的變形，“十字相乘法”可把某些二次三項式分解為兩個一次式的乘積，具體做法如下：對關(guān)于x，y的二次三項式ax2+bxy+cy2，如圖1，將x2項系數(shù)a=a1?a2，作為第一列，y2示例1：分解因式：x解：如圖2，其中1=1×1，6=2×3，而5=1×3+1×2；∴x2示例2：分解因式：x2解：如圖3，其中1=1×1，?12=?6×2，而?4=1×2+1×(?6)；∴x2材料二：關(guān)于x，y的二次多項式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f也可以用“十字相乘法”分解為兩個一次式的乘積．如圖4，將a=a1a2作為一列，c=c

示例3：分解因式：x2解：如圖5，其中1=1×1，3=(?1)×(?3)，?3=(?3)×1；滿足?4=1×(?3)+1×(?1)，?2=1×(?3)+1×1,8=(?3)×(?3)+(?1)×1；∴x請根據(jù)上述材料，完成下列問題：（1）分解因式：x2+3x+2=；x（2）若x，y，m均為整數(shù)，且關(guān)于x，y的二次多項式x2+xy?6y2?2x+my?120可用“十字相乘法”分解為兩個一次式的乘積，求出m的值，并求出關(guān)于x【答案】（1）(x+1)(x+2)，(x?3y+5)(x?2y?4)；（2）m=54m=?56，x=?1y=4【分析】（1）①直接用十字相乘法分解因式；②把某個字母看成常數(shù)用十字相乘法分解即可；（2）用十字相乘法把能分解的集中情況全部列出求出m值．【詳解】解：（1）①1=1×1，2=1×2，3=1×1+1×2，∴原式=(x+1)(x+2)；②1=1×1，6=（-2）×（-3），-20=5×（-4）滿足（-5）=1×（-2）+1×（-3），1=1×5+1×（-4），2=（-2）×5+（-3）×（-4）∴原式=(x?3y+5)(x?2y?4)；（2）①1?35②1?21013(x?2y+10)(x+3y?12)=∴m=54(x?2y?12)(x+3y+10)=∴m=?56當(dāng)m=54時，(x?2y+10)(x+3y?12)=?1{x?2y+10=1x+3y?12=?1或{x?2y+10=?1x+3y?12=1當(dāng)m=?56時，(x?2y?12)(x+3y+10)=?1{x?2y?12=1x+3y+10=?1或{x?2y=12=1x+3y+10=1，綜上所述，方程x2+xy?6y2?2x+my?120=?1方法二：x=(x+3y+a)(x?2y+b)=(x+3y)(x?2y)+(a+b)x+(3b?2a)y+ab{a+b=?23b?2a=mab=?120【點睛】本題考查了因式分解的方法——十字相乘法，弄清題目中的十字相乘的方法是解題關(guān)鍵．【題型6用適當(dāng)方法解一元二次方程】【例6】（23-24九年級上·江蘇宿遷·期末）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)x2(2)x?32(3)2x(4)x?1x+2【答案】(1)x1=4(2)x1=5(3)x1=(4)x1=?2【分析】本題考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程-因式分解法，公式法，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．（1）利用解一元二次方程-因式分解法進(jìn)行計算，即可解答；（2）利用解一元二次方程-因式分解法進(jìn)行計算，即可解答；（3）利用解一元二次方程-公式法進(jìn)行計算，即可解答；（4）利用解一元二次方程-因式分解法進(jìn)行計算，即可解答．【詳解】（1）解：xxx?4解得x1=4（2）解：x?3?2x?5x?1解得x1=5（3）解：∵a=2，b=?4，c=?5∴∴x=解得x1=（4）解：x?1x+2x?1?2x+2x?3∴x+2=0,x?3=0，解得x1=?2【變式6-1】（23-24九年級上·山西太原·期中）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠蹋?1)x2(2)xx+3【答案】(1)x1=(2)x1=?3【分析】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．（1）利用配方法解方程；（2）先移項，再利用提公因式法解方程．【詳解】（1）解：移項，得x2配方，得x2x+22兩邊開平方，得x+2=±6所以，x1=6（2）解：原方程可變形為：xx+3xx+3x+3x?5x+3=0或x?5=0，所以，x1=?3【變式6-2】（23-24九年級下·山東泰安·期末）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?1)3x(2)x+13x?1(3)4x2x+1(4)x2【答案】(1)x1=3(2)x1=(3)x1=?(4)x1=?3+【分析】（1）方程整理后，利用直接開平方法求解即可；（2）方程整理后，利用求根公式法求解即可；（3）方程利用因式分解法求解即可；（4）方程利用配方法求解即可．【詳解】（1）解：方程整理得：x2開方得：x=±32解得：x1=32（2）解：方程整理得：3x這里a=3，b=2，c=?2，∵△=2∴x=?2±2解得：x1=?1+（3）解：方程移項得：4x(2x+1)?3(2x+1)=0，分解因式得：(2x+1)(4x?3)=0，所以2x+1=0或4x?3=0，解得：x1=?1（4）解：配方得：x2+6x+9=19，即開方得：x+3=±19解得：x1=?3+19【點睛】此題考查了解一元二次方程?因式分解法，公式法，直接開平方法，配方法，熟練掌握根據(jù)方程的特征選擇恰當(dāng)?shù)慕夥ㄊ墙獗绢}的關(guān)鍵．【變式6-3】（23-24九年級上·海南省直轄縣級單位·期末）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)(x+2)(2)x2(3)2x【答案】(1)x1=3(2)x1=1(3)x1=【分析】（1）利用平方差公式，可以解答此方程；（2）利用因式分解法解方程即可；（3）利用因式分解法解方程即可．【詳解】（1）解：(x+2)2(x+2?5)(x+2+5)=0，∴x?3=0或x+7=0，解得x1=3，（2）解：x2x?1x+5∴x?1=0或x+5=0，解得x1=1，（3）解：2x2x?1x?1∴2x?1=0或x?1=0，解得x1=1【點睛】本題考查了解一元二次方程?因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了(數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想)．【題型7用指定方法解一元二次方程】【例7】（23-24九年級下·山東日照·期末）用指定的方法解下列方程：（1）4（x﹣1）2﹣36=0（直接開方法）（2）x2+2x﹣3=0（配方法）（3）（x+1）（x-2）=4（公式法）（4）2（x+1）﹣x（x+1）=0（因式分解法）【答案】（1）x1＝4，x2＝﹣2；（2）x1＝1，x2＝﹣3；（3）x1＝3，x2＝﹣2；（4）x1＝﹣1，x2＝2．【分析】（1）直接利用開方法進(jìn)行求解即可得到答案；（2）直接利用配方法進(jìn)行求解即可得到答案；（3）直接利用公式法進(jìn)行求解即可得到答案；（4）直接利用因式分解法進(jìn)行求解即可得到答案；【詳解】解：（1）∵4∴（x﹣1）2＝9，∴x﹣1＝±3，∴x1＝4，x2＝﹣2；（2）∵x2+2x＝3，∴x2+2x+1＝4，∴（x+1）2＝4，∴x+1＝±2，∴x1＝1，x2＝﹣3；（3）∵x2﹣x﹣6＝0，∴△＝1﹣4×1×（﹣6）＝25，∴x＝1±25∴x1＝3，x2＝﹣2；（4）∵2∴（x+1）（2﹣x）＝0，∴x+1＝0或2﹣x＝0，∴x1＝﹣1，x2＝2．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握解一元二次方程的方法.【變式7-1】（23-24九年級下·山東煙臺·期中）用指定的方法解方程：(1)x2(2)3x(3)5x?3(4)2y【答案】(1)x1=(2)x(3)x(4)y【分析】本題考查了解一元二次方程，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）運用配方法解方程，先移項再配方，然后開方即可作答．（2）先化為一般式，再根據(jù)Δ=b2（3）先移項，再提取公因式，令每個因式為0，進(jìn)行解出x的值，即可作答．（4）先移項，再提取公因式，令每個因式為0，進(jìn)行解出x的值，即可作答．【詳解】（1）解：x移項，得x配方，得x2?4x+4=1+4∴x?2=±解得x1=5（2）解：33Δ∴x=解得x1（3）解：555x?3則x?3=0解得x1（4）解：222y2y?1∴2y?1=0解得y1【變式7-2】（23-24九年級上·新疆烏魯木齊·期中）用指定的方法解方程：(1)12(2)x2(3)x?32(4)x+23x?1【答案】(1)x(2)x(3)x(4)x【分析】（1）利用配方法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可；（3）利用因式分解法解方程即可；（4）先將給出的方程進(jìn)行變形，然后利用因式分解法解方程即可．【詳解】（1）移項，得：12系數(shù)化1，得：x2配方，得：x2(x?2)2x?2=±14∴x1=2+14（2）原方程可變形為x2a=1，b=?8，c=?20，Δ=(?8)∴x=?b±∴x1=10，（3）原方程可變形為：x?3x?3+4x整理得：x?35x?3解得x1=3，（4）原方程可變形為：3x整理得：3x3x?4x+3∴x1=?3【點睛】本題主要考查的是配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程的有關(guān)知識，掌握配方法的基本步驟，一元二次方程的求根公式是解題關(guān)鍵．【變式7-3】（23-24九年級上·河北邯鄲·期中）按指定的方法解下列方程：(1)x2(2)2y(3)x+22【答案】(1)x1=9，(2)x1=?3，(3)x1=?2，【分析】（1）先把方程化為x2?8x+16=25，可得（2）先計算△=7（3）先移項，再把方程左邊分解因式可得x+2x?1【詳解】（1）解：x2移項得：x2∴x2配方得：x?42∴x?4=5或x?4=?5，解得：x1=9，（2）解：2y∴△=7∴x=?7±∴x1=?3，（3）解：x+22移項得：x+22∴x+2x?1∴x+2=0或x?1=0，解得：x1=?2，【點睛】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握“配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程”是解本題的關(guān)鍵．【題型8用換元法解一元二次方程】【例8】（23-24九年級下·浙江杭州·期中）已知a2+b【答案】3【分析】先用換元法令a2+b【詳解】解：令a2x(x+2)?15=0，解得：x1∵x>0，∴x=3，即a2a2【點睛】本題考查了換元法、一元二次方程的解法，注意a2【變式8-1】（23-24九年級下·安徽合肥·期中）關(guān)于x的方程x2+x2A．?3 B．1 C．?3或1 D．3或?1【答案】B【分析】本題考查解一元二次方程，熟練掌握用換元法解方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)x2+x=t，則此方程可化為【詳解】解：設(shè)x2+x=t，則此方程可化為∴t?1t+3∴t?1=0或t+3=0，解得t1=1，∴x2+x的值是1或∵x2+x=?3，即Δ方程無解，故x2∴x2故選：B．【變式8-2】（23-24九年級上·廣東江門·期中）若a+5ba+5b+6=7，則a+5b=【答案】1或?7【分析】本題主要考查解一元二次方程，設(shè)a+5b=x，則原方程可變形為xx+6=7，方程變形后運用因式分解法求出【詳解】解：設(shè)a+5b=x，則原方程可變形為xx+6整理得，x2x?1x+7x?1=0，x+7=0，∴x=1，x=?7，即a+5b=1或?7，故答案為：1或?7．【變式8-3】（23-24九年級上·山東臨沂·期中）利用換元法解下列方程：(1)2x(2)(x【答案】(1)x1=(2)x1=1+172，【分析】（1）根據(jù)換元思想，設(shè)y=x2，則y=2或（2）設(shè)y=x2?x，則y=4【詳解】（1）解：（1）設(shè)y=x2，則原方程化為∴y=2或y=?1當(dāng)y=2時，x2∴x1=2當(dāng)y=?12時，∴原方程的解是x1=2（2）解：設(shè)y=x2?x∴y=4或y=1，當(dāng)y=4時，x2∴x1=1+當(dāng)y=1時，x2∴x3=1+∴原方程的解是x1=1+172，x【點睛】本題主要考查換元思想解高次方程，掌握我一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．【題型9解含絕對值的一元二次方程】【例9】（23-24九年級上·陜西榆林·階段練習(xí)）閱讀下面的材料，解答問題．材料：解含絕對值的方程：x2①當(dāng)x≥0時，原方程化為x2?3x②當(dāng)x<0時，原方程化為x2+3x綜上所述，原方程的解是x1請參照上述方法解方程x2【答案】x【分析】根據(jù)題意分兩種情況討論，化簡絕對值，然后解一元二次方程即可求解．【詳解】解：分兩種情況：①當(dāng)x+1≥0，即x≥?1時，原方程化為x2②當(dāng)x+1<0，即x<?1時，原方程化為x2+x綜上所述，原方程的解是x1【點睛】本題考查了解一元二次方程，分類討論是解題的關(guān)鍵．【變式9-1】（23-24九年級上·內(nèi)蒙古赤峰·期中）解方程x2【答案】x1=0【分析】對x+2進(jìn)行分類討論，先把絕對值號化簡后方程變形為一般的一元二次方程，再利用因式分解法解出方程的解，最后結(jié)合x的取值范圍最終確定答案即可．【詳解】解：①當(dāng)x+2≥0，即x≥?2時，方程變形得：x∴x∴x(x+2)=0∴x1=0，②當(dāng)x+2<0，即x<?2時，方程變形得：∴x∴(∴x1=?2（舍去），∴綜上所述，原方程的解是x1=0或【點睛】本題考查了含絕對值的方程、一元二次方程的解法等知識，滲透了分類討論的思想．【變式9-2】（23-24九年級下·安徽滁州·階段練習(xí)）解方程x2【答案】x【分析】分x≥?32【詳解】當(dāng)2x+1≥0，即原方程可化為：x整理得：x解得：x當(dāng)2x+1<0，即原方程可化為：x整理得x∵Δ=∴此方程無實數(shù)解，綜上所述，原方程的解為：x【點睛】本題考查了解一元二次方程，分類討論化簡絕對值是解題的關(guān)鍵．【變式9-3】（23-24九年級上·山西太原·階段練習(xí)）解方程x【答案】x1=【分析】根據(jù)題意分x-5≥0和x-5＜0兩種情況，分別解方程即可．【詳解】解：①當(dāng)x-5≥0時，即x≥5時，原方程化為x2?xa=1,∴Δ=b∴原方程無解，②當(dāng)x-5＜0時，即x＜5時，原方程化為x2+xa=1,∴Δ=x解得：x1=?1+【點睛】此題考查了解含絕對值的一元二次方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意分兩種情況討論．【題型10配方法的應(yīng)用】【例10】（23-24九年級上·河北滄州·期中）【項目學(xué)習(xí)】配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．它是指將一個式子的某部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法，這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等．例：求代數(shù)式y(tǒng)2解：y2∵y+22≥0∴當(dāng)y=?2時，y2(1)【類比探究】求代數(shù)式x2(2)【舉一反三】若y=?x2?2x當(dāng)x=(3)【靈活運用】已知x2?4x+y(4)【拓展應(yīng)用】如圖某農(nóng)場計劃建造一個矩形養(yǎng)殖場，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場一面靠墻（墻的長度為15m），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個面積為1:2的矩形，柵欄的總長度為24m．當(dāng)BF為多少時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大？最大值為多少？【答案】(1)3(2)?1；大；1(3)1(4)當(dāng)BF=4m，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大，最大值為48【分析】本題主要考查了配方法的應(yīng)用，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵：（1）把原式利用配方法變形為x?32（2）把原式利用配方法變形為?x+1（3）把原式利用配方法變形為x?22（4）設(shè)BF=xm，則CF=2BF=2xm，則BC=3xm，進(jìn)而求出AB=【詳解】（1）解：x==x?3∵x?32∴x?32∴當(dāng)x=3時，x2（2）解：y=?=?=?x+1∵x+12∴?x+1∴?x+1∴當(dāng)x=?1時，y=?x故答案為：?1；大；1；（3）解：∵x2∴x2∴x?22∵x?22∴x?22∴x?2=0，∴x=2，∴x+y=2?1=1；（4）解：設(shè)BF=xm，則CF=2BF=2x∴BC=3xm∴AB=24?3x∴S矩形=?3=?3x?4∵