重慶市第一中學2024-2025學年高二上學期期中考試數(shù)學試題（含答案）

1PAGE第1頁重慶一中高2026屆高二上期期中考試數(shù)學試題卷注意事項：1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上．2．答選擇題時、必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂需，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標號．3．答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上．4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效．一、單選題（本大題共8個小題，每題只有一個選項正確，每小題5分，共40分）1.過拋物線焦點的直線與交于、兩點，則的最小值是（）A. B. C. D.2.若直線與直線平行，則的值為（）A B.或 C. D.3.將正奇數(shù)按照如圖排列，我們將……，都稱為“拐角數(shù)”，則下面是拐角數(shù)的為（）A.55 B.75 C.111 D.1354.數(shù)列的通項公式為，則當該數(shù)列的前n項和取得最小值時n的值為（）A.9 B.8 C.8或9 D.7或85.在四棱錐中，底面，底面是正方形，,，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.6.已知數(shù)列滿足：，對任意的、恒成立，若，則（）A. B. C. D.7.已知橢圓的左焦點為，上頂點為A，在以點F為圓心，c為半徑的圓上存在點M，使得直線的斜率為，則橢圓C的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.8.已知數(shù)列滿足：對任意成立，令是數(shù)列的前n項和，若對任意的恒成立，則整數(shù)t的最小值為（）A.5 B.6 C.7 D.8二、多選題（本大題共3個小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知曲線，則下列說法正確的是（）A.若，則C是橢圓，其焦點在y軸上 B.若，則C是橢圓，其離心率為C.若，則C是雙曲線，其焦點在y軸上 D.若，則C是雙曲線，其離心率為10.已知數(shù)列滿足：，對任意的成立，，其前n項和記為，則（）A.是等比數(shù)列 B.是等差數(shù)列C. D.存在實數(shù)，使得為等比數(shù)列11.雙曲線具有以下光學性質(zhì)：從雙曲線一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點．由此可得：過雙曲線上任意一點的切線平分該點與兩焦點連線的夾角．已知O為坐標原點，分別為雙曲線的左、右焦點，過C右支上一點作雙曲線的切線交x軸于點，則（）A.B.平面上點最小值為C.若經(jīng)過左焦點的入射光線經(jīng)過點A，且，則入射光線與反射光線的夾角為D.過點作，垂足為H，則三、填空題（本大題共3個小題，每小題5分，共15分）12.已知實數(shù)，若圓上恰有三個點到直線的距離為，則的值為_______．13.設(shè)等比數(shù)列的前項和為，，，則_______14.已知拋物線，過點的直線與拋物線交于、兩點，若為定值，則實數(shù)的值為_______．四、解答題（本大題共5個小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.已知為等差數(shù)列，其公差為，前項和為，為等比數(shù)列，其公比為，前項和為，若，，，．（1）求公差和；（2）記，證明：．16.如圖，點D在平面內(nèi)的射影點H在線段上，E為中點，F(xiàn)為中點．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．17.已知數(shù)列的前項和滿足：,．（1）求；（2）若，求的前項和．18.已知的周長為定值，、、，的最大值為．（1）求動點的軌跡的方程；（2）為的左頂點，過點且不與坐標軸垂直的直線與交于、兩點，線段的中點為，記直線的斜率為，的外心為，求的最大值．19.雙曲線離心率為，焦點到漸近線的距離為，斜率為的直線與雙曲線的右支交于、兩點，過作直線垂直于軸，交曲線的另外一個點為，過作平行于的直線交曲線的另外一個點為，以此類推，直線垂直于軸，直線平行于，得到點列；記點的坐標為．（1）求雙曲線的標準方程；（2）若過雙曲線的右焦點，證明直線過定點；（3）若且為雙曲線右頂點，，記，求的值．重慶一中高2026屆高二上期期中考試數(shù)學試題卷一、單選題（本大題共8個小題，每題只有一個選項正確，每小題5分，共40分）1.【答案】D2.【答案】A3.【答案】C4.【答案】B5.【答案】A6.【答案】C7.【答案】C8.【答案】D二、多選題（本大題共3個小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.【答案】AD10.【答案】AC11.【答案】ABD三、填空題（本大題共3個小題，每小題5分，共15分）12.【答案】13.【答案】14.【答案】四、解答題（本大題共5個小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.【小問1詳解】因為為等差數(shù)列，其公差為，前項和為，則，又因為，，則，因為，即，可得，解得，故，所以，，則，可得.綜上所述，.【小問2詳解】由（1）可得，所以，，因此，.16.【小問1詳解】在中，由，得，則，由點D在平面內(nèi)的射影點H在線段上，得平面，平面，則，而平面，，于是平面，又平面，則，由E為中點，得，而平面，因此平面，又平面，所以平面平面.【小問2詳解】在平面內(nèi)過作，由（1）知，平面，則直線兩兩垂直，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，由，得，，，則，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)平面與平面所成銳二面角大小為，則，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值是.17.【分析】（1）令，求出的值，當時，由可得，作差可得，推導出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，即可求得數(shù)列的通項公式；（2）對任意的，計算出，問題轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的前項和，利用錯位相減法結(jié)合分組求和可求得.【小問1詳解】因為數(shù)列的前項和滿足：，則，則，可得，當時，由可得，上述兩個等式作差可得，可得，令，可得，則，解得，所以，，且，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，首項為，公比為，所以，，故.【小問2詳解】因為，對任意的，，問題轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的前項和，記數(shù)列的前項和為，，則，上式下式得，化簡得，因此，.18.【小問1詳解】設(shè)，，設(shè)，即，且，由三角形的三邊關(guān)系可得，則，由余弦定理可得，當且僅當時，等號成立，因為余弦函數(shù)在上為減函數(shù)，且，故當取最大值時，取最小值，所以，，解得，所以，，因此，曲線是除去長軸端點的橢圓，且其長軸長為，焦距為，所以，，因此，動點的軌跡的方程為.【小問2詳解】易知點，根據(jù)題意，設(shè)直線的方程為，其中，設(shè)點Mx1,聯(lián)立可得，，由韋達定理可得，，則，故點，所以，，線段的中點為，，所以，線段的中垂線方程為，同理可得，線段的中垂線方程為，其中，，聯(lián)立，可得，所以，，要求的最大值，只需考慮即可，則，當且僅當時，即當時，等號成立，故的最大值為.19.【解析】【分析】（1）利用雙曲線的焦點到漸近線的距離求出的值，結(jié)合離心率可得出的值，由此可得出該雙曲線的標準方程；（2）設(shè)直線的方程為，由題意可知，，將直線的方程與雙曲線方程聯(lián)立，列出韋達定理，由對稱性知，直線過軸上的定點，求出直線的方程，將點的坐標代入直線的方程，求出的值，即可證得結(jié)論成立；（3）將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理可得出，再結(jié)合，可得，推導出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該舒蕾的首項和公比，即可求得的值.【小問1詳解】雙曲線的漸近線方程為，即，則該雙曲線的焦點到漸近線的距離為，又因為，可得，因此，雙曲線的標準方程為.【小問2詳解】由（1）可得，則，若直線與軸重合，則與雙曲線的右支只有一個交點，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，由題意可知，，聯(lián)立可得，由題意可