第6講-數(shù)列求通項(xiàng)(累加法)(解析版)

第6講數(shù)列求通項(xiàng)（累加法）必備秘籍累加法（疊加法）若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“變差數(shù)列”，求變差數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，利用恒等式求通項(xiàng)公式的方法稱為累加法。具體步驟：將上述個(gè)式子相加（左邊加左邊，右邊加右邊）得：=整理得：=二、例題講解1．（2021·重慶墊江縣·墊江第五中學(xué)校高三月考）已知在數(shù)列中，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】（1）【分析】（1）當(dāng)時(shí)利用累加法得到，再檢驗(yàn)時(shí)也成立，即可得解；【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，所以，，所以，，又當(dāng)時(shí)，滿足條件，所以；2．（2021·合肥市第八中學(xué)高三其他模擬（文））在數(shù)列中，．（1）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】（1）【分析】（1）將已知條件變形為，由此可得，再采用累加法求解出的通項(xiàng)公式；【詳解】（1）由已知有，，又，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以；當(dāng)時(shí)，符合的情況，所以；感悟升華（核心秘籍）1、使用累加法標(biāo)準(zhǔn)：或者可以通過(guò)換元化成這個(gè)形式。例如第1題可以直接使用累加法；第2題通過(guò)換元也可以化成從而也可以使用累加法；三、實(shí)戰(zhàn)練習(xí)1．（2021·濟(jì)南市·山東師范大學(xué)附中高三開(kāi)學(xué)考試）設(shè)數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】（1）；【分析】（1）利用累加法即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；【詳解】（1），，，，，，，經(jīng)檢驗(yàn)，也滿足.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為2．（2021·安徽高三開(kāi)學(xué)考試（文））已知數(shù)列滿足：.（1）求的通項(xiàng)公式；【答案】（1）；【分析】利用累加法，即可求解通項(xiàng)公式.【詳解】（1）由已知得，當(dāng)n≥2時(shí)，又，也滿足上式，故3．（2021·山東日照市·高三開(kāi)學(xué)考試）我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家楊輝，在他1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)中，用如圖的三角形解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律．此圖稱為“楊輝三角”，也稱為“賈憲三角”．在此圖中，從第三行開(kāi)始，首尾兩數(shù)為，其他各數(shù)均為它肩上兩數(shù)之和．（1）把“楊輝三角”中第三斜列各數(shù)取出按原來(lái)的順序排列得一數(shù)列：，，，，，…，寫(xiě)出與的遞推關(guān)系，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】（1），；【分析】（1）首先找出遞推關(guān)系，利用遞推關(guān)系即可計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】解：（1）由“楊輝三角”的定義可知：，時(shí)，所以有故4．（2021·河南高三三模（理））設(shè)數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】（1）；【分析】（1）由題意得，利用累加法，結(jié)合等比數(shù)列求和公式，即可得答案.【詳解】解：（1）由已知，，所以，，，各項(xiàng)累加可得，又，所以，所以5．（2021·江蘇）已知數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】（1）；【分析】將等式化簡(jiǎn)為，利用累加法即可求得結(jié)果；【詳解】（1）因?yàn)?，所?因?yàn)?，，…，，所以，于?當(dāng)時(shí)，，所以.6．（2021·江蘇南京市第二十九中學(xué)高三月考）已知數(shù)列滿足，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由題意，左右同除得：，利用累加法即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；【詳解】（1）由，兩邊同時(shí)除以得：從而有：，，，累加可得：，所以，又滿足等式，從而；【點(diǎn)睛】本題考查累加法求數(shù)列的通項(xiàng)、錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和，若出現(xiàn)時(shí)（為關(guān)于n的表達(dá)式），用累加法求通項(xiàng)；若出現(xiàn)時(shí)，用累乘法求通項(xiàng)，本題難點(diǎn)在于根據(jù)條件，左右同除，構(gòu)造，符合累加法的形式，即可進(jìn)行求解，考查分析理解，計(jì)算化簡(jiǎn)的能力，屬于中檔題.7．（2021·天津市寶坻區(qū)大口屯高級(jí)中學(xué)）已知數(shù)列滿足：，（1）求數(shù)列的通