廣西專版2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第7章隨機變量及其分布過關(guān)檢測A卷新人教版選擇性必修第三冊

第七章過關(guān)檢測(A卷)(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知某一隨機變量X的分布列如下表所示,且E(X)=6.3,則a的值為()X4a9P0.50.1bA.5 B.6 C.7 D.8答案:C解析:由題意和分布列的性質(zhì)得0.5+0.1+b=1,且E(X)=4×0.5+0.1a+9b=6.3,解得b=0.4,a=7.2.一個不透亮的袋子中,放有除顏色外其他均相同的5個小球,其中3個黑球,2個白球,假如不放回地依次取出2個球.在第一次取出的是黑球的條件下,其次次取出的是白球的概率是()A.12 B.310 C.3答案:A解析:方法一:記事務(wù)A為“第一次取到黑球”,事務(wù)B為“其次次取到白球”,則事務(wù)AB為“第一次取到黑球,其次次取到白球”,依題意知P(A)=35,P(AB)=3因此在第一次取出的是黑球的條件下,其次次取出的是白球的概率是P(B|A)=P(方法二:第一次取出的是黑球后,還有2個黑球,2個白球,則其次次取出的是白球的概率為24故選A.3.投籃測試中,每人投3次,至少投中2次才能通過測試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨立,則該同學(xué)通過測試的概率為()A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312答案:A解析:依據(jù)獨立重復(fù)試驗公式得,該同學(xué)通過測試的概率為C32×0.62×0.4+C33×0.63=4.2024年1月,教化部出臺《關(guān)于在部分高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點工作的看法》(也稱“強基安排”),明確從2024年起不再組織開展高校自主招生工作.假如甲、乙、丙三人通過“強基安排”的概率分別為45,3A.2180 B.27C.3380 D.答案:C解析:已知甲、乙、丙三人通過“強基安排”的概率分別為45則三人中恰有兩人通過的概率為P=45故選C.5.設(shè)隨機變量X聽從正態(tài)分布N(3,4),則P(X<1-3a)=P(X>a2+7)成立的一個必要不充分條件是()A.a=1或2 B.a=±1或2 C.a=2 D.a=3答案:B解析:∵X~N(3,4),P(X<1-3a)=P(X>a2+7),∴(1-3a)+(a2+7)=2×3,解得a=1或2.∴所求的一個必要不充分條件是a=±1或2.故選B.6.若X是離散型隨機變量,P(X=x1)=23,P(X=x2)=13,且x1>x2,已知E(X)=43,D(X)=29,則x1+xA.53 B.7C.3 D.11答案:B解析:由題設(shè)可得2解得x1=1故x1+x2=73故選B.7.已知隨機變量X,Y滿意:X~B(2,p),Y=2X+1,且P(X≥1)=59,則D(Y)=(A.49 B.7C.169 D.答案:C解析:隨機變量X滿意:X~B(2,p),且P(X≥1)=59∴P(X=0)=1-P(X≥1)=C20(1-p)2=解得p=13,∴X~B2∴D(X)=2×13∵Y=2X+1,∴D(Y)=22D(X)=169.故選C8.某種酸奶進貨價是每瓶2.5元,銷售價是每瓶5元;當(dāng)天賣不出去的酸奶以每瓶1.6元價格當(dāng)天全部處理掉.依據(jù)以往銷售狀況預(yù)料,這種酸奶的需求量X聽從分布列如表所示.X200300400500P0.200.350.300.15若進這種酸奶500瓶,則利潤的均值為()A.706 B.690 C.754 D.720答案:A解析:因為E(X)=200×0.20+300×0.35+400×0.30+500×0.15=340,所以利潤的均值為340×(5-2.5)-(500-340)×(2.5-1.6)=706,故選A.二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.甲、乙兩名學(xué)生歷次數(shù)學(xué)測試成果(百分制)分別聽從正態(tài)分布N(μ1,σ12),N(μ2,σ2附:隨機變量X聽從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827A.甲同學(xué)的平均成果為75分B.乙同學(xué)的平均成果優(yōu)于甲同學(xué)的平均成果C.甲同學(xué)成果的方差比乙同學(xué)成果的方差更大D.若σ1=5,則甲同學(xué)成果高于80分的概率約為0.1587答案:ABD解析:由題中圖象可知,甲的圖象關(guān)于直線x=75對稱,乙的圖象關(guān)于直線x=85對稱,所以甲同學(xué)的平均成果為75分,乙同學(xué)的平均成果為85分,故選項A,B正確;因為甲的圖象比乙的圖象更“瘦高”,所以甲的成果比乙的成果更集中于平均值左右,則甲同學(xué)成果的方差比乙同學(xué)成果的方差小,故選項C錯誤;若σ1=5,則甲同學(xué)成果高于80分的概率約為1-0.68272≈010.下列結(jié)論中,正確的有()A.將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上同一個正常數(shù)后,方差變大B.已知隨機變量X聽從二項分布B(n,p),若E(X)=20,D(X)=10,則p=1C.設(shè)隨機變量Y聽從正態(tài)分布N(0,1),若P(Y≥1)=p,則P(-1<Y≤0)=12D.從裝有大小、形態(tài)都相同的5個紅球和3個白球的袋子中一次抽出2個球,取到白球的個數(shù)記為Z,則P(Z=1)=3答案:BC解析:對于A,依據(jù)方差的計算公式可知,將一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上同一個常數(shù)后,方差恒不變,所以A錯誤;對于B,因為隨機變量X聽從二項分布B(n,p),E(X)=20,D(X)=10,所以np=20,np(1-p)=10,解得p=12對于C,因為隨機變量Y聽從正態(tài)分布N(0,1),P(Y≥1)=p,所以P(Y≤-1)=p,所以P(-1<Y≤0)=12-p對于D,由題意可得P(Z=1)=C51故選BC.11.甲罐和乙罐中分別裝有除顏色外其他均相同的小球,其中甲罐中有5個紅球,2個白球和3個黑球,乙罐中有4個紅球,3個白球和3個黑球.先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐,分別以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球、白球和黑球的事務(wù);再從乙罐中隨機取出一球,以B表示由乙罐取出的球是紅球的事務(wù).則下列結(jié)論中正確的是()A.P(B)=25B.P(B|A1)=5C.事務(wù)B與事務(wù)A1相互獨立 D.A1,A2,A3是兩兩互斥的事務(wù)答案:BD解析:由題意A1,A2,A3是兩兩互斥的事務(wù),P(A1)=510=12,P(A2)=210=15,則P(B|A1)=P(P(B|A2)=411,P(B|A3)=4而P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)·P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=12A1,A2,A3是兩兩互斥的事務(wù),D正確.故答案為BD.12.骰子通常作為桌上嬉戲的小道具,最常見的骰子是六面骰.現(xiàn)有一款闖關(guān)嬉戲,共有4關(guān),規(guī)則如下:在第n關(guān)要拋擲六面骰n次,每次視察向上面的點數(shù)并做記錄,假如這n次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)之和大于2n+n,則算闖過第n關(guān),n=1,2,3,4.假定每次闖關(guān)互不影響,則()A.干脆挑戰(zhàn)第2關(guān)并過關(guān)的概率為7B.連續(xù)挑戰(zhàn)前兩關(guān)并過關(guān)的概率為5C.若干脆挑戰(zhàn)第3關(guān),設(shè)A=“三個點數(shù)之和等于15”,B=“至少出現(xiàn)一個5點”,則P(A|B)=1D.若干脆挑戰(zhàn)第4關(guān),則過關(guān)的概率是35答案:ACD解析:對于A,干脆挑戰(zhàn)第2關(guān),則2n+n=22+2=6,所以投擲兩次點數(shù)之和應(yīng)大于6,故干脆挑戰(zhàn)第2關(guān)并過關(guān)的概率為P1=1+2+3+4+5+66對于B,闖第1關(guān)時,2n+n=2+1=3,則挑戰(zhàn)第1關(guān)通過的概率為P2=12,則連續(xù)挑戰(zhàn)前兩關(guān)并過關(guān)的概率為P=P1P2=1對于C,由題意可知,拋擲3次,共有63=216個可能結(jié)果,拋擲3次至少出現(xiàn)一個5點共有63-53=216-125=91個可能結(jié)果,故P(B)=91216而事務(wù)AB包括:含5,5,5的1個,含4,5,6的有6個,一共有7個,故P(AB)=7216所以P(A|B)=P(對于D,當(dāng)n=4時,2n+n=24+4=20,共有64個可能結(jié)果,“4次點數(shù)之和大于20”包含以下狀況:含5,5,5,6的有4個,含5,5,6,6的有6個,含6,6,6,6的有1個,含4,6,6,6的有4個,含5,6,6,6的有4個,含4,5,6,6的有12個,含3,6,6,6的有4個,所以共有4+6+1+4+4+12+4=35個,所以干脆挑戰(zhàn)第4關(guān),則過關(guān)的概率是P4=356×故選ACD.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.請把正確答案填在題中的橫線上.13.小剛同學(xué)罰籃一次的得分X聽從參數(shù)為0.85的兩點分布,則P(X=0)=.答案:0.15解析:∵小剛罰籃一次的得分X聽從參數(shù)為0.85的兩點分布,∴P(X=0)=1-0.85=0.15.14.一臺機器生產(chǎn)某種產(chǎn)品,生產(chǎn)一件甲等品可獲利50元,生產(chǎn)一件乙等品可獲利30元,生產(chǎn)一件次品,要賠20元.已知這臺機器生產(chǎn)出甲等品、乙等品和次品的概率分別為0.6,0.3和0.1,則這臺機器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品平均預(yù)期獲利元.答案:37解析:設(shè)生產(chǎn)一件該產(chǎn)品可獲利錢數(shù)為X,則隨機變量X的取值可以是-20,30,50.依題意,X的分布列為X-203050P0.10.30.6故E(X)=-20×0.1+30×0.3+50×0.6=37元.15.某校高二年級學(xué)生數(shù)學(xué)診斷考試的成果(單位:分)X聽從正態(tài)分布N(110,102),從中任取一個學(xué)生的數(shù)學(xué)成果,記該學(xué)生的成果在[90,110]內(nèi)為事務(wù)A,記該學(xué)生的成果在[80,100]內(nèi)為事務(wù)B,則在事務(wù)A發(fā)生的條件下,事務(wù)B發(fā)生的概率P(B|A)=.(用分數(shù)表示)

附:若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.答案:2716解析:由題意知,P(A)=P(90≤X≤110)≈12×0.9545=0.47725,P(AB)=P(90≤X≤100)≈12×(0.9545-0.6827)=0.∴P(B|A)=P(16.一批玉米種子的發(fā)芽率是0.8,每穴只要有一粒發(fā)芽,就不需補種,否則須要補種.則每穴至少種粒,才能保證每穴不需補種的概率大于98%.(lg2≈0.3010)

答案:3解析:記事務(wù)A為“種一粒種子,發(fā)芽”,則P(A)=0.8,P(A)=1-0.8=0.2.因為每穴種n粒相當(dāng)于做了n次獨立重復(fù)試驗,記事務(wù)B為“每穴至少有一粒種子發(fā)芽”,則P(B)=Cn0×0.80×(1-0.8)n=0.2所以P(B)=1-P(B)=1-0.2n.依據(jù)題意,得P(B)>98%,即0.2n<0.02.兩邊同時取以10為底的對數(shù),得nlg0.2<lg0.02,即n(lg2-1)<lg2-2,所以n>lg2-2lg2-因為n∈N*,所以n的最小正整數(shù)值為3.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)某食品企業(yè)一個月內(nèi)被消費者投訴的次數(shù)用X表示,據(jù)統(tǒng)計,隨機變量X的分布列如下表所示:X0123P0.10.32aa(1)求a的值和X的均值;(2)假設(shè)一月份與二月份被消費者投訴的次數(shù)互不影響,求該企業(yè)在這兩個月內(nèi)共被消費者投訴2次的概率.解(1)由分布列的性質(zhì)得0.1+0.3+2a+a=1,解得a=0.2,∴X的分布列為X0123P0.10.30.40.2∴均值E(X)=0×0.1+1×0.3+2×0.4+3×0.2=1.7.(2)設(shè)事務(wù)A表示“兩個月內(nèi)共被投訴2次”;事務(wù)A1表示“兩個月內(nèi)有一個月被投訴2次,另一個月被投訴0次”;事務(wù)A2表示“兩個月均被投訴1次”.則由事務(wù)的相互獨立性得P(A1)=C21P(X=2)P(X=0)=2×0.4×0.1=0P(A2)=[P(X=1)]2=0.32=0.09.因此P(A)=P(A1)+P(A2)=0.08+0.09=0.17.故該企業(yè)在這兩個月內(nèi)共被消費者投訴2次的概率為0.17.18.(12分)為了解本學(xué)期學(xué)生參與公益勞動的狀況,某校從初中學(xué)學(xué)生中抽取100名學(xué)生,收集了他們參與公益勞動時間(單位:小時)的數(shù)據(jù),繪制圖表的一部分如表:公益勞動時間[0,5)[5,10)[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)性別男69101094女51213868學(xué)段初中x81111107中學(xué)(1)從男生中隨機抽取一人,抽到的男生參與公益勞動時間在區(qū)間[10,20)的概率;(2)設(shè)參與公益勞動時間在區(qū)間[25,30)的學(xué)生中抽取3人進行面談.記X為抽到中學(xué)的人數(shù),求隨機變量X的分布列及均值;(3)當(dāng)x=5時,中學(xué)生和初中生相比,哪個學(xué)段學(xué)生平均參與公益勞動時間較長?(干脆寫出結(jié)果)解(1)100名學(xué)生中共有男生48名,其中參與公益勞動時間在區(qū)間[10,20)的共有20人,設(shè)男生中隨機抽取1人,抽到的男生參與公益勞動時間在區(qū)間[10,20)的事務(wù)為A,則P(A)=2048(2)X的全部可能取值為0,1,2,3,則P(X=0)=C7P(X=1)=C5P(X=2)=C5P(X=3)=C5因此隨機變量X的分布列為X0123P72171E(X)=0×744+1×2144+2×722+(3)由題中表可知,初中生平均參與公益勞動時間較長.19.(12分)某跳高運動員一次試跳2.1米高度勝利的概率是失敗概率的4倍,且每次試跳勝利與否相互之間沒有影響.(1)求甲試跳三次,第三次才勝利的概率;(2)求甲在三次試跳中恰有兩次試跳勝利的概率.解:設(shè)該跳高運動員在一次試跳中勝利的概率為p,則失敗的概率為1-p.依題意有p=4(1-p),解得p=45(1)由于每次試跳勝利與否相互之間沒有影響,所以試跳三次中第三次才勝利的概率P1=(1-p)2p=15(2)甲的三次試跳可看成三次獨立重復(fù)試驗,設(shè)甲在三次試跳中恰有兩次勝利的概率為P2,則P2=C320.(12分)某公司在迎新年晚會上實行抽獎活動,有甲、乙兩個抽獎方案供員工選擇.方案甲:員工最多有兩次抽獎機會,每次抽獎的中獎率均為45.第一次抽獎,若未中獎,則抽獎結(jié)束.若中獎,則通過拋擲一枚質(zhì)地勻稱的硬幣,確定是否接著進行其次次抽獎.規(guī)定:若拋出硬幣,反面朝上,員工則獲得500元獎金,不進行其次次抽獎;若正面朝上,則員工須進行其次次抽獎且在其次次抽獎中,若中獎,則獲得獎金1000元;若未中獎,則所獲得的獎金為0元方案乙:員工連續(xù)三次抽獎,每次中獎率均為25,每次中獎均可獲得獎金400元(1)求某員工選擇方案甲進行抽獎所獲獎金X(單位:元)的分布列;(2)試比較某員工選擇方案乙與選擇方案甲進行抽獎,哪個方案更劃算?解(1)由題意得,X的全部可能取值為0,500,1000,則P(X=0)=15P(X=500)=45P(X=1000)=45因此某員工選擇方案甲進行抽獎所獲獎金X(單位:元)的分布列為X05001000P728(2)由(1)可知,選擇方案甲進行抽獎所獲獎金X的均值E(X)=500×25+1000×825=記按方案乙進行抽獎,中獎次數(shù)為Z,中獎獎金為Y,若選擇方案乙進行抽獎,則中獎次數(shù)Z~B3,則E(Z)=3×25=65,抽獎所獲獎金Y的均值E(Y)=E(400Z)=400E(而480<520,故選擇方案甲較劃算.21.(12分)“世界那么大,我想去看看.”每年高考結(jié)束后,處于養(yǎng)息 狀態(tài)的中學(xué)畢業(yè)生旅游動機劇烈,旅游可支配收入日益增多,可見中學(xué)畢業(yè)生旅游是一個巨大的市場.為了解中學(xué)畢業(yè)生每年旅游消費支出(單位:百元)的狀況,相關(guān)部門隨機抽取了某市的1000名畢業(yè)生進行問卷調(diào)查,并把所得數(shù)據(jù)列成如下表所示的頻數(shù)分布表.組別[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100)頻數(shù)22504502908(1)求所得樣本的中位數(shù)(精確到百元);(2)依據(jù)樣本數(shù)據(jù),可近似地認為學(xué)生的旅游費用支出聽從正態(tài)分布N(51,152),若該市共有中學(xué)畢業(yè)生35000人,試估計有多少名學(xué)生旅游費用支出在8100元以上;(3)已知樣本數(shù)據(jù)中旅游費用支出在[80,100)范圍內(nèi)的8名學(xué)生中有5名女生,3名男生,現(xiàn)想選其中3名學(xué)生回訪,記選出的男生人數(shù)為Y,求Y的分布列與均值.附:若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.解:(1)設(shè)樣本的中位數(shù)為x,則21000+2501000解得x≈51,所得樣本中位數(shù)為51.(2)由已知,得μ=51,σ=15,μ+2σ=81,所以旅游費用支出在8100元以上的概率為P(X>μ+2σ)=1-P(μ-2σ(3)Y的全部可能取值為0,1,2,3,P(Y=0)=C53C83=528P(Y=2)=C32C51C83所以Y的分布列為Y012