廣東署山市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次段考試題10月

第=page88頁(yè)，共=sectionpages88頁(yè)P(yáng)age82024~2024學(xué)年度高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次段考試題一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．對(duì)于空間一點(diǎn)O和不共線三點(diǎn)A，B，C，且有，則(

)A.O，A，B，C四點(diǎn)共面 B.P，A，B，C四點(diǎn)共面

C.O，P，B，C四點(diǎn)共面 D.O，P，A，B，C五點(diǎn)共面點(diǎn)P’與P關(guān)于平面xOy對(duì)稱，點(diǎn)P”與P’關(guān)于z軸對(duì)稱，則點(diǎn)P”與P關(guān)于(

)對(duì)稱.A.x軸 B.平面yOz C.原點(diǎn)O D.不是以上答案假如A，B是互斥事務(wù)，那么(

)A.是必定事務(wù) B.與肯定是互斥事務(wù) C.與肯定不是互斥事務(wù) D.是必定事務(wù)已知兩個(gè)不重合的平面與平面ABC，若平面的法向量為，，，則(

)A.平面平面ABC B.平面平面ABC

C.平面、平面ABC相交但不垂直 D.以上均有可能甲、乙兩人每人可以用手出0，5，10三種數(shù)字，同時(shí)可以喊0，5，10，15，20五種數(shù)字。某人若所喊數(shù)字等于兩人所出數(shù)字之和則勝。若甲喊10，乙喊15，則(

)A.甲勝的概率大B.乙勝的概率大C.甲、乙勝的概率一樣大 D.不能確定一次數(shù)學(xué)測(cè)試某班成果的頻率分布直方圖如圖所示；則此次測(cè)試成果的班級(jí)平均數(shù)與中位數(shù)分別為(

)A.115、115B.117.7、117.5C.114、117.5D.117.5、117.7如圖，在一個(gè)的二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)A，B，AC，BD在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱AB，且，，則CD的長(zhǎng)為(

)A.2aB.C.aD.如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，沿對(duì)角線BD將折起到的位置，使得平面平面BCD，過(guò)BC的平面與PD交于M，則面積的最小值為(

)A.B.C.D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．若，，，則事務(wù)A與B的關(guān)系錯(cuò)誤是(

)A.事務(wù)A與B相互獨(dú)立 B.事務(wù)A與B對(duì)立

C.事務(wù)A與B互斥 D.事務(wù)A與B既互斥又獨(dú)立下列說(shuō)法正確的是(

)A.用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣的方法從含有50個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為5的樣本，則個(gè)體m被抽到的概率是

B.已知一組數(shù)據(jù)1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的方差是

C.數(shù)據(jù)13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位數(shù)是23

D.若樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為32已知正三棱柱，，P點(diǎn)滿意，其中則下列說(shuō)法正確的是(

)A.當(dāng)時(shí)，的面積是定值B.當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)是定值

C.當(dāng)時(shí)，的面積是定值D.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值如圖，在正四面體ABCD中，M，N分別是線段AB，不含端點(diǎn)上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.對(duì)隨意點(diǎn)M，N，都有MN與AD異面

B.存在點(diǎn)M，N，使得MN與BC垂直

C.對(duì)隨意點(diǎn)M，存在點(diǎn)N，使得與，共面

D.對(duì)隨意點(diǎn)M，存在點(diǎn)N，使得MN與AD，BC所成的角相等三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．若平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，且，則__________.將一個(gè)骰子先后拋擲兩次，事務(wù)A表示“第一次出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，事務(wù)B表示“其次次的點(diǎn)數(shù)不小于5”，則__________.如圖，三棱錐中，，，的面積為8，則三棱錐外接球的表面積的最小值為__________.正方體棱長(zhǎng)為1，M,N為該正方體外接球球O表面上的兩點(diǎn)，P在正方體表面且不在直線MN上，若，則的最小值為__________.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．（本小題滿分10分）如圖，在四面體OABC中，，N是棱BC的中點(diǎn)，P是線段MN的中點(diǎn)．設(shè)，，．(1)用，，表示向量；(2)已知，，求的大?。ū拘☆}滿分12分）在某社區(qū)舉辦的《“環(huán)保我參加”有獎(jiǎng)問(wèn)答競(jìng)賽》活動(dòng)中，甲、乙、丙三個(gè)家庭同時(shí)回答一道有關(guān)環(huán)保學(xué)問(wèn)的問(wèn)題.已知甲家庭回答正確這道題的概率是，甲、丙兩個(gè)家庭都回答錯(cuò)誤的概率是，乙、丙兩個(gè)家庭都回答正確的概率是.若各家庭回答是否正確互不影響.（1）求乙、丙兩個(gè)家庭各自回答正確這道題的概率；（2）求甲、乙、丙三個(gè)家庭中恰有2個(gè)家庭回答正確這道題的概率.（本小題滿分12分）如圖，在底面為菱形的平行六面體中，分別在棱上，且，．(1)用向量法求證：共面；(2)當(dāng)時(shí)，求異面直線MN與BC所成角的余弦值．（本小題滿分12分）如圖所示，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的eq\r(2)倍，點(diǎn)P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)．(1)求證：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面PAC，則側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面PAC，若存在，求SE∶EC的值；若不存在，試說(shuō)明理由．（本小題滿分12分）小王、小李兩位同學(xué)玩擲骰子（骰子質(zhì)地勻稱）嬉戲，規(guī)則：小王先擲一次骰子，向上的點(diǎn)數(shù)記為a，小李再擲一次骰子，向上的點(diǎn)數(shù)記為b，(a,b)表示一次嬉戲的結(jié)果.（1）已知向量，,求滿意的概率；（2）規(guī)定：若方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)根，則小王贏；否則小李贏。試問(wèn)這個(gè)嬉戲規(guī)則公允嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.（本小題滿分12分）如圖，四棱錐中，底面是直角梯形，（1）若M,N分別是PD，AB中點(diǎn)，求證：（2）已知，，，若，求二面角的余弦值.2024~2024學(xué)年度上學(xué)期第一次段考數(shù)學(xué)參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第一部分選擇題、填空題答案與解析題號(hào)123456789101112答案BCDAAC

ADBCDABACDACD題號(hào)13141516答案712.【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，對(duì)隨意點(diǎn)M，N，假設(shè)MN與AD共面，則M、N、A、D四點(diǎn)共面，

因?yàn)?，則平面ADNM，同理得到平面ADNM，

則平面ADNM，又平面ADNM，

則A、B、C、D四點(diǎn)共面，不符合條件，故MN與AD異面，故A正確；

將正四面體放入正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，，，，因?yàn)镸，N分別是線段AB，不含端點(diǎn)上的動(dòng)點(diǎn)，可設(shè)，，其中，，

則，，，

，故與不垂直，故B錯(cuò)誤；

假設(shè)與，共面，則存在實(shí)數(shù)x，y滿意，

即，解得，

即對(duì)于隨意實(shí)數(shù)b且，當(dāng)時(shí)，總有，

即對(duì)于隨意點(diǎn)M，存在點(diǎn)N，使得與，共面，故C正確；

設(shè)與的夾角為，與的夾角為，

則，，

可知、均為銳角，則直線MN與BC所成角為，直線MN與AD所成角為，

當(dāng)時(shí)，，即，

即，可得，即MN與AD，BC所成的角相等，故D正確.故選16.【解析】其次部分解答題答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)17.【解】(1)連接，因?yàn)镹是棱BC的中點(diǎn)，所以，1分因?yàn)镸是棱OA上靠近A的三等分點(diǎn)，所以.5分(2)7分因?yàn)?，，所以，?10分18.【解】（1）記A=“甲家庭回答正確這道題”,B=“乙家庭回答正確這道題”,C=“丙家庭回答正確這道題”1分由于相互獨(dú)立，所以由于和相互獨(dú)立，2分則，所以所以乙、丙兩個(gè)家庭各自回答正確這道題的概率分別為6分（2）因?yàn)橄嗷オ?dú)立，且相互互斥，8分所以恰有2個(gè)家庭回答正確這道題的概率為.12分19.【解】(1)證明：，2分，，4分又，共面．6分(2)設(shè)，當(dāng)時(shí)，7分8分，9分10分11分異面直線MN與BC所成角的余弦值為12分20.【解】(1)證明：連接BD，設(shè)AC交BD于點(diǎn)O，則AC⊥BD.1分連接SO，由題意知SO⊥平面ABCD.2分以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))，eq\o(OS,\s\up8(→))所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，則高SO＝eq\f(\r(6),2)a，于是Seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(\r(6),2)a))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)a，0，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a，0，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)a，0))，eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)a，0))，eq\o(SD,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)a，0，－\f(\r(6),2)a))，5分則eq\o(OC,\s\up8(→))·eq\o(SD,\s\up8(→))＝0.故OC⊥SD.從而AC⊥SD.6分(2)棱SC上存在一點(diǎn)E，使BE∥平面PAC.7分理由如下：由已知條件知eq\o(DS,\s\up8(→))是平面PAC的一個(gè)法向量，且eq\o(DS,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a，0，\f(\r(6),2)a))，8分eq\o(CS,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(\r(2),2)a，\f(\r(6),2)a))，eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)a，\f(\r(2),2)a，0)).設(shè)eq\o(CE,\s\up8(→))＝teq\o(CS,\s\up8(→))，則eq\o(BE,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CE,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋teq\o(CS,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)a，\f(\r(2),2)a（1－t），\f(\r(6),2)at))，10分而eq\o(BE,\s\up8(→))·eq\o(DS,\s\up8(→))＝0?t＝eq\f(1,3).即當(dāng)SE∶EC＝2∶1時(shí)，BE⊥DS.11分而BE?平面PAC，故BE∥平面PAC.12分21.【解】Ω={(x，y)|x，y∈{1，2