湖南省湘南聯(lián)盟2025屆高三下學(xué)期一??荚嚁?shù)學(xué)試題含解析_第1頁
湖南省湘南聯(lián)盟2025屆高三下學(xué)期一??荚嚁?shù)學(xué)試題含解析_第2頁
湖南省湘南聯(lián)盟2025屆高三下學(xué)期一模考試數(shù)學(xué)試題含解析_第3頁
湖南省湘南聯(lián)盟2025屆高三下學(xué)期一模考試數(shù)學(xué)試題含解析_第4頁
湖南省湘南聯(lián)盟2025屆高三下學(xué)期一??荚嚁?shù)學(xué)試題含解析_第5頁
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文檔簡介

湖南省湘南聯(lián)盟2025屆高三下學(xué)期一??荚嚁?shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切,則的值為()A.1 B.2 C. D.42.已知集合A={﹣2,﹣1,0,1,2},B={x|x2﹣4x﹣5<0},則A∩B=()A.{﹣2,﹣1,0} B.{﹣1,0,1,2} C.{﹣1,0,1} D.{0,1,2}3.已知,,,則()A. B. C. D.4.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),是以為焦點(diǎn)的拋物線上任意一點(diǎn),是線段上的點(diǎn),且,則直線的斜率的最大值為()A. B. C. D.15.已知集合,將集合的所有元素從小到大一次排列構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列,則()A.1194 B.1695 C.311 D.10956.已知是虛數(shù)單位,若,,則實(shí)數(shù)()A.或 B.-1或1 C.1 D.7.如圖,在正四棱柱中,,分別為的中點(diǎn),異面直線與所成角的余弦值為,則()A.直線與直線異面,且 B.直線與直線共面,且C.直線與直線異面,且 D.直線與直線共面,且8.雙曲線C:(,)的離心率是3,焦點(diǎn)到漸近線的距離為,則雙曲線C的焦距為()A.3 B. C.6 D.9.已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)是其一條漸近線上一點(diǎn),且以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn),若的面積為,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.10.已知直線過圓的圓心,則的最小值為()A.1 B.2 C.3 D.411.中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”,主要指德育;“樂”,主要指美育;“射”和“御”,就是體育和勞動(dòng);“書”,指各種歷史文化知識;“數(shù)”,數(shù)學(xué).某校國學(xué)社團(tuán)開展“六藝”課程講座活動(dòng),每藝安排一節(jié),連排六節(jié),一天課程講座排課有如下要求:“樂”不排在第一節(jié),“射”和“御”兩門課程不相鄰,則“六藝”課程講座不同的排課順序共有()種.A.408 B.120 C.156 D.24012.拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn),過點(diǎn)作直線與拋物線交于、兩點(diǎn),使得是的中點(diǎn),則直線的斜率為()A. B. C.1 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中,為其前項(xiàng)和,若,且,則公比的值為_____.14.已知函數(shù),則曲線在點(diǎn)處的切線方程是_______.15.已知雙曲線C:()的左、右焦點(diǎn)為,,為雙曲線C上一點(diǎn),且,若線段與雙曲線C交于另一點(diǎn)A,則的面積為______.16.如圖,在直四棱柱中,底面是平行四邊形,點(diǎn)是棱的中點(diǎn),點(diǎn)是棱靠近的三等分點(diǎn),且三棱錐的體積為2,則四棱柱的體積為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓的離心率為,以橢圓C左頂點(diǎn)T為圓心作圓,設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M與點(diǎn)N.(1)求橢圓C的方程;(2)求的最小值,并求此時(shí)圓T的方程;(3)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M,N的任意一點(diǎn),且直線MP,NP分別與x軸交于點(diǎn)R,S,O為坐標(biāo)原點(diǎn),求證:為定值.18.(12分)已知函數(shù),.(1)當(dāng)時(shí),①求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;②比較與的大小;(2)當(dāng)時(shí),若對時(shí),,且有唯一零點(diǎn),證明:.19.(12分)已知函數(shù),不等式的解集為.(1)求實(shí)數(shù),的值;(2)若,,,求證:.20.(12分)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若c=2a,bsinB﹣asinA=asinC.(Ⅰ)求sinB的值;(Ⅱ)求sin(2B+)的值.21.(12分)已知分別是內(nèi)角的對邊,滿足(1)求內(nèi)角的大?。?)已知,設(shè)點(diǎn)是外一點(diǎn),且,求平面四邊形面積的最大值.22.(10分)設(shè)函數(shù)().(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)若關(guān)于x的方程有唯一的實(shí)數(shù)解,求a的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

因?yàn)閳A與拋物線的準(zhǔn)線相切,則圓心為(3,0),半徑為4,根據(jù)相切可知,圓心到直線的距離等于半徑,可知的值為2,選B.【詳解】請?jiān)诖溯斎朐斀猓?、D【解析】

解一元二次不等式化簡集合,再由集合的交集運(yùn)算可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)榧?,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,將數(shù)據(jù)和做對比,即可判斷.【詳解】由于,,故.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,屬基礎(chǔ)題.4、C【解析】試題分析:設(shè),由題意,顯然時(shí)不符合題意,故,則,可得:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號,故選C.考點(diǎn):1.拋物線的簡單幾何性質(zhì);2.均值不等式.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查的是向量在解析幾何中的應(yīng)用及拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程方程,均值不等式的靈活運(yùn)用,屬于中檔題.解題時(shí)一定要注意分析條件,根據(jù)條件,利用向量的運(yùn)算可知,寫出直線的斜率,注意均值不等式的使用,特別是要分析等號是否成立,否則易出問題.5、D【解析】

確定中前35項(xiàng)里兩個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù),數(shù)列中第35項(xiàng)為70,這時(shí)可通過比較確定中有多少項(xiàng)可以插入這35項(xiàng)里面即可得,然后可求和.【詳解】時(shí),,所以數(shù)列的前35項(xiàng)和中,有三項(xiàng)3,9,27,有32項(xiàng),所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列分組求和,掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列前項(xiàng)和公式是解題基礎(chǔ).解題關(guān)鍵是確定數(shù)列的前35項(xiàng)中有多少項(xiàng)是中的,又有多少項(xiàng)是中的.6、B【解析】

由題意得,,然后求解即可【詳解】∵,∴.又∵,∴,∴.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題7、B【解析】

連接,,,,由正四棱柱的特征可知,再由平面的基本性質(zhì)可知,直線與直線共面.,同理易得,由異面直線所成的角的定義可知,異面直線與所成角為,然后再利用余弦定理求解.【詳解】如圖所示:連接,,,,由正方體的特征得,所以直線與直線共面.由正四棱柱的特征得,所以異面直線與所成角為.設(shè),則,則,,,由余弦定理,得.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線的定義及所成的角和平面的基本性質(zhì),還考查了推理論證和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.8、A【解析】

根據(jù)焦點(diǎn)到漸近線的距離,可得,然后根據(jù),可得結(jié)果.【詳解】由題可知:雙曲線的漸近線方程為取右焦點(diǎn),一條漸近線則點(diǎn)到的距離為,由所以,則又所以所以焦距為:故選:A【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線漸近線方程,以及之間的關(guān)系,識記常用的結(jié)論:焦點(diǎn)到漸近線的距離為,屬基礎(chǔ)題.9、B【解析】

根據(jù)題意,設(shè)點(diǎn)在第一象限,求出此坐標(biāo),再利用三角形的面積即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,設(shè)點(diǎn)在第一象限,雙曲線的一條漸近線方程為,所以,,又以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn),則,即,解得,,所以,,即,即,所以,雙曲線的離心率為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的離心率,解決本題的關(guān)鍵在于求出與的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

圓心坐標(biāo)為,代入直線方程,再由乘1法和基本不等式,展開計(jì)算即可得到所求最小值.【詳解】圓的圓心為,由題意可得,即,,,則,當(dāng)且僅當(dāng)且即時(shí)取等號,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查最值的求法,注意運(yùn)用乘1法和基本不等式,注意滿足的條件:一正二定三等,同時(shí)考查直線與圓的關(guān)系,考查運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

利用間接法求解,首先對6門課程全排列,減去“樂”排在第一節(jié)的情況,再減去“射”和“御”兩門課程相鄰的情況,最后還需加上“樂”排在第一節(jié),且“射”和“御”兩門課程相鄰的情況;【詳解】解:根據(jù)題意,首先不做任何考慮直接全排列則有(種),當(dāng)“樂”排在第一節(jié)有(種),當(dāng)“射”和“御”兩門課程相鄰時(shí)有(種),當(dāng)“樂”排在第一節(jié),且“射”和“御”兩門課程相鄰時(shí)有(種),則滿足“樂”不排在第一節(jié),“射”和“御”兩門課程不相鄰的排法有(種),故選:.【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用,注意“樂”的排列對“射”和“御”兩門課程相鄰的影響,屬于中檔題.12、B【解析】

設(shè)點(diǎn)、,設(shè)直線的方程為,由題意得出,將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立,列出韋達(dá)定理,結(jié)合可求得的值,由此可得出直線的斜率.【詳解】由題意可知點(diǎn),設(shè)點(diǎn)、,設(shè)直線的方程為,由于點(diǎn)是的中點(diǎn),則,將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立得,整理得,由韋達(dá)定理得,得,,解得,因此,直線的斜率為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查直線斜率的求解,考查直線與拋物線的綜合問題,涉及韋達(dá)定理設(shè)而不求法的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,屬于中等題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

將已知由前n項(xiàng)和定義整理為,再由等比數(shù)列性質(zhì)求得公比,最后由數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù),舍根得解.【詳解】因?yàn)榧从值缺葦?shù)列各項(xiàng)均為正數(shù),故故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查在等比數(shù)列中由前n項(xiàng)和關(guān)系求公比,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

求導(dǎo),x=0代入求k,點(diǎn)斜式求切線方程即可【詳解】則又故切線方程為y=x+1故答案為y=x+1【點(diǎn)睛】本題考查切線方程,求導(dǎo)法則及運(yùn)算,考查直線方程,考查計(jì)算能力,是基礎(chǔ)題15、【解析】

由已知得即,,可解得,由在雙曲線C上,代入即可求得雙曲線方程,然后求得直線的方程與雙曲線方程聯(lián)立求得點(diǎn)A坐標(biāo),借助,即可解得所求.【詳解】由已知得,又,,所以,解得或,由在雙曲線C上,所以或,所以或(舍去),因此雙曲線C的方程為.又,所以線段的方程為,與雙曲線C的方程聯(lián)立消去x整理得,所以,,所以點(diǎn)A坐標(biāo)為,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與雙曲線的位置關(guān)系,考查雙曲線方程的求解,考查求三角形面積,考查學(xué)生的計(jì)算能力,難度較難.16、12【解析】

由題意,設(shè)底面平行四邊形的,且邊上的高為,直四棱柱的高為,分別表示出直四棱柱的體積和三棱錐的體積,即可求解。【詳解】由題意,設(shè)底面平行四邊形的,且邊上的高為,直四棱柱的高為,則直四棱柱的體積為,又由三棱錐的體積為,解得,即直四棱柱的體積為?!军c(diǎn)睛】本題主要考查了棱柱與棱錐的體積的計(jì)算問題,其中解答中正確認(rèn)識幾何體的結(jié)構(gòu)特征,合理、恰當(dāng)?shù)乇硎局彼睦庵忮F的體積是解答本題的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,以及空間想象能力,屬于中檔試題。三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2);(3)【解析】

(1)依題意,得,,由此能求出橢圓C的方程.(2)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱,設(shè),,設(shè),由于點(diǎn)在橢圓C上,故,由,知,由此能求出圓T的方程.(3)設(shè),則直線MP的方程為:,令,得,同理:,由此能證明為定值.【詳解】(1)依題意,得,,,故橢圓C的方程為.(2)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱,設(shè),,設(shè),由于點(diǎn)在橢圓C上,所以,由,則,.由于,故當(dāng)時(shí),的最小值為,所以,故,又點(diǎn)在圓T上,代入圓的方程得到.故圓T的方程為:(3)設(shè),則直線MP的方程為:,令,得,同理:.故又點(diǎn)與點(diǎn)在橢圓上,故,代入上式得:,所以【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)、圓的軌跡方程、直線與橢圓的位置關(guān)系中定值問題,考查了學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.18、(1)①見解析,②見解析;(2)見解析【解析】

(1)①把代入函數(shù)解析式,求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)得到,再求出,利用直線方程的點(diǎn)斜式求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;②令,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,可得當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.(2)由題意,,在上有唯一零點(diǎn).利用導(dǎo)數(shù)可得當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,當(dāng),時(shí),在,上單調(diào)遞增,得到.由在恒成立,且有唯一解,可得,得,即.令,則,再由在上恒成立,得在上單調(diào)遞減,進(jìn)一步得到在上單調(diào)遞增,由此可得.【詳解】解:(1)①當(dāng)時(shí),,,,又,切線方程為,即;②令,則,在上單調(diào)遞減.又,當(dāng)時(shí),,即;當(dāng)時(shí),,即;當(dāng)時(shí),,即.證明:(2)由題意,,而,令,解得.,,在上有唯一零點(diǎn).當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,當(dāng),時(shí),,在,上單調(diào)遞增..在恒成立,且有唯一解,,即,消去,得,即.令,則,在上恒成立,在上單調(diào)遞減,又,,.在上單調(diào)遞增,.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查邏輯思維能力與推理論證能力,屬難題.19、(1),.(2)見解析【解析】

(1)分三種情況討論即可(2)將,的值代入,然后利用均值定理即可.【詳解】解:(1)不等式可化為.即有或或.解得,或或.所以不等式的解集為,故,.(2)由(1)知,,即,由,得,,當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí)等號成立.故,即.【點(diǎn)睛】考查絕對值不等式的解法以及用均值定理證明不等式,中檔題.20、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)根據(jù)條件由正弦定理得,又c=2a,所以,由余弦定理算出,進(jìn)而算出;(Ⅱ)由二倍角公式算出,代入兩角和的正弦公式計(jì)算即可.【詳解】(Ⅰ)bsinB﹣asinA=asinC,所以由正弦定理得,又c=2a,所以,由余弦定理得:,又,所以;(Ⅱ),.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正余弦定理的應(yīng)用,運(yùn)用二倍角公式和兩角和的正弦公式求值,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.21、(1)(2)【解析】

(1)首先利用誘導(dǎo)公式及兩

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