2025屆新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)一師高級(jí)中學(xué)高三一診考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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2025屆新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)一師高級(jí)中學(xué)高三一診考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是()A. B. C. D.2.國家統(tǒng)計(jì)局服務(wù)業(yè)調(diào)查中心和中國物流與采購聯(lián)合會(huì)發(fā)布的2018年10月份至2019年9月份共12個(gè)月的中國制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)(PMI)如下圖所示.則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A.12個(gè)月的PMI值不低于50%的頻率為B.12個(gè)月的PMI值的平均值低于50%C.12個(gè)月的PMI值的眾數(shù)為49.4%D.12個(gè)月的PMI值的中位數(shù)為50.3%3.已知隨機(jī)變量X的分布列如下表:X01Pabc其中a,b,.若X的方差對(duì)所有都成立,則()A. B. C. D.4.已知整數(shù)滿足,記點(diǎn)的坐標(biāo)為,則點(diǎn)滿足的概率為()A. B. C. D.5.已知為定義在上的奇函數(shù),且滿足當(dāng)時(shí),,則()A. B. C. D.6.設(shè),集合,則()A. B. C. D.7.已知四棱錐中,平面,底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,,為的中點(diǎn),則異面直線與所成角的余弦值為()A. B. C. D.8.設(shè)拋物線上一點(diǎn)到軸的距離為,到直線的距離為,則的最小值為()A.2 B. C. D.39.已知全集U=x|x2≤4,x∈Z,A.-1 B.-1,0 C.-2,-1,0 D.-2,-1,0,1,210.已知雙曲線,過原點(diǎn)作一條傾斜角為直線分別交雙曲線左、右兩支P,Q兩點(diǎn),以線段PQ為直徑的圓過右焦點(diǎn)F,則雙曲線離心率為A. B. C.2 D.11.已知復(fù)數(shù),則的虛部是()A. B. C. D.112.已知,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.展開式的第5項(xiàng)的系數(shù)為_____.14.在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,若,的面積為,則_______,_______.15.已知集合A=,B=,若AB中有且只有一個(gè)元素,則實(shí)數(shù)a的值為_______.16.已知關(guān)于x的不等式(ax﹣a2﹣4)(x﹣4)>0的解集為A,且A中共含有n個(gè)整數(shù),則當(dāng)n最小時(shí)實(shí)數(shù)a的值為_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)求在點(diǎn)處的切線方程;(Ⅱ)求證:在上存在唯一的極大值;(Ⅲ)直接寫出函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為:(為參數(shù)),以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為:.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線與曲線交于,兩點(diǎn),與曲線交于,兩點(diǎn),求取得最大值時(shí)直線的直角坐標(biāo)方程.19.(12分)曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)過原點(diǎn)且傾斜角為的射線與曲線分別交于兩點(diǎn)(異于原點(diǎn)),求的取值范圍.20.(12分)已知曲線:和:(為參數(shù)).以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,且兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程和的方程化為極坐標(biāo)方程;(2)設(shè)與,軸交于,兩點(diǎn),且線段的中點(diǎn)為.若射線與,交于,兩點(diǎn),求,兩點(diǎn)間的距離.21.(12分)已知函數(shù),.(1)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);(2)若在上單調(diào)遞增,且求c的最大值.22.(10分)已知函數(shù).(1)若在上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若,對(duì),恒有成立,求實(shí)數(shù)的最小值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn),求得的坐標(biāo)得出答案.【詳解】解:,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

根據(jù)圖形中的信息,可得頻率、平均值的估計(jì)、眾數(shù)、中位數(shù),從而得到答案.【詳解】對(duì)A,從圖中數(shù)據(jù)變化看,PMI值不低于50%的月份有4個(gè),所以12個(gè)月的PMI值不低于50%的頻率為,故A正確;對(duì)B,由圖可以看出,PMI值的平均值低于50%,故B正確;對(duì)C,12個(gè)月的PMI值的眾數(shù)為49.4%,故C正確,;對(duì)D,12個(gè)月的PMI值的中位數(shù)為49.6%,故D錯(cuò)誤故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查頻率、平均值的估計(jì)、眾數(shù)、中位數(shù)計(jì)算,考查數(shù)據(jù)處理能力,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

根據(jù)X的分布列列式求出期望,方差,再利用將方差變形為,從而可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值為,進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】由X的分布列可得X的期望為,又,所以X的方差,因?yàn)?所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取最大值,又對(duì)所有成立,所以,解得,故選:D.【點(diǎn)睛】本題綜合考查了隨機(jī)變量的期望?方差的求法,結(jié)合了概率?二次函數(shù)等相關(guān)知識(shí),需要學(xué)生具備一定的計(jì)算能力,屬于中檔題.4、D【解析】

列出所有圓內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)共有37個(gè),滿足條件的有7個(gè),相除得到概率.【詳解】因?yàn)槭钦麛?shù),所以所有滿足條件的點(diǎn)是位于圓(含邊界)內(nèi)的整數(shù)點(diǎn),滿足條件的整數(shù)點(diǎn)有共37個(gè),滿足的整數(shù)點(diǎn)有7個(gè),則所求概率為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概率的計(jì)算,意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力.5、C【解析】

由題設(shè)條件,可得函數(shù)的周期是,再結(jié)合函數(shù)是奇函數(shù)的性質(zhì)將轉(zhuǎn)化為函數(shù)值,即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,,則函數(shù)的周期是,所以,,又函數(shù)為上的奇函數(shù),且當(dāng)時(shí),,所以,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的周期性,由題設(shè)得函數(shù)的周期是解答本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

先化簡(jiǎn)集合A,再求.【詳解】由得:,所以,因此,故答案為B【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的化簡(jiǎn)和運(yùn)算,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和計(jì)算推理能力.7、B【解析】

由題意建立空間直角坐標(biāo)系,表示出各點(diǎn)坐標(biāo)后,利用即可得解.【詳解】平面,底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,由題意:,,,,,為的中點(diǎn),.,,,異面直線與所成角的余弦值為即為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的應(yīng)用,考查了空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

分析:題設(shè)的直線與拋物線是相離的,可以化成,其中是點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,也就是到焦點(diǎn)的距離,這樣我們從幾何意義得到的最小值,從而得到的最小值.詳解:由①得到,,故①無解,所以直線與拋物線是相離的.由,而為到準(zhǔn)線的距離,故為到焦點(diǎn)的距離,從而的最小值為到直線的距離,故的最小值為,故選A.點(diǎn)睛:拋物線中與線段的長(zhǎng)度相關(guān)的最值問題,可利用拋物線的幾何性質(zhì)把動(dòng)線段的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線或焦點(diǎn)的距離來求解.9、C【解析】

先求出集合U,再根據(jù)補(bǔ)集的定義求出結(jié)果即可.【詳解】由題意得U=x|∵A=1,2∴CU故選C.【點(diǎn)睛】本題考查集合補(bǔ)集的運(yùn)算,求解的關(guān)鍵是正確求出集合U和熟悉補(bǔ)集的定義,屬于簡(jiǎn)單題.10、B【解析】

求得直線的方程,聯(lián)立直線的方程和雙曲線的方程,求得兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系,根據(jù)列方程,化簡(jiǎn)后求得離心率.【詳解】設(shè),依題意直線的方程為,代入雙曲線方程并化簡(jiǎn)得,故,設(shè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為,由于以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn),故,即,即,即,兩邊除以得,解得.故,故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和雙曲線的交點(diǎn),考查圓的直徑有關(guān)的幾何性質(zhì),考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.11、C【解析】

化簡(jiǎn)復(fù)數(shù),分子分母同時(shí)乘以,進(jìn)而求得復(fù)數(shù),再求出,由此得到虛部.【詳解】,,所以的虛部為.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算,考查共軛復(fù)數(shù)的虛部,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

利用誘導(dǎo)公式得,,再利用倍角公式,即可得答案.【詳解】由可得,∴,∴.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式、倍角公式,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意三角函數(shù)的符號(hào).二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、70【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:第5項(xiàng)為故第5項(xiàng)的的系數(shù)為故答案為:70.【點(diǎn)睛】本題考查的是二項(xiàng)式定理,屬基礎(chǔ)題。14、【解析】

由已知及正弦定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得,從而求得,結(jié)合范圍,即可得到答案運(yùn)用余弦定理和三角形面積公式,結(jié)合完全平方公式,即可得到答案【詳解】由已知及正弦定理可得,可得:解得,即,由面積公式可得:,即由余弦定理可得:即有解得【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用正弦定理、余弦定理和面積公式解三角形,題目較為基礎(chǔ),只要按照題意運(yùn)用公式即可求出答案15、2【解析】

利用AB中有且只有一個(gè)元素,可得,可求實(shí)數(shù)a的值.【詳解】由題意AB中有且只有一個(gè)元素,所以,即.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集運(yùn)算,集合交集的運(yùn)算本質(zhì)是存同去異,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).16、-1【解析】

討論三種情況,a<0時(shí),根據(jù)均值不等式得到a(﹣a)≤﹣14,計(jì)算等號(hào)成立的條件得到答案.【詳解】已知關(guān)于x的不等式(ax﹣a1﹣4)(x﹣4)>0,①a<0時(shí),[x﹣(a)](x﹣4)<0,其中a0,故解集為(a,4),由于a(﹣a)≤﹣14,當(dāng)且僅當(dāng)﹣a,即a=﹣1時(shí)取等號(hào),∴a的最大值為﹣4,當(dāng)且僅當(dāng)a4時(shí),A中共含有最少個(gè)整數(shù),此時(shí)實(shí)數(shù)a的值為﹣1;②a=0時(shí),﹣4(x﹣4)>0,解集為(﹣∞,4),整數(shù)解有無窮多,故a=0不符合條件;③a>0時(shí),[x﹣(a)](x﹣4)>0,其中a4,∴故解集為(﹣∞,4)∪(a,+∞),整數(shù)解有無窮多,故a>0不符合條件;綜上所述,a=﹣1.故答案為:﹣1.【點(diǎn)睛】本題考查了解不等式,均值不等式,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ);(Ⅱ)證明見解析;(Ⅲ)函數(shù)在有3個(gè)零點(diǎn).【解析】

(Ⅰ)求出導(dǎo)數(shù),寫出切線方程;(Ⅱ)二次求導(dǎo),判斷單調(diào)遞減,結(jié)合零點(diǎn)存在性定理,判斷即可;(Ⅲ),數(shù)形結(jié)合得出結(jié)論.【詳解】解:(Ⅰ),,,故在點(diǎn),處的切線方程為,即;(Ⅱ)證明:,,,故在遞減,又,,由零點(diǎn)存在性定理,存在唯一一個(gè)零點(diǎn),,當(dāng)時(shí),遞增;當(dāng)時(shí),遞減,故在只有唯一的一個(gè)極大值;(Ⅲ)函數(shù)在有3個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程,考查零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用,關(guān)鍵是能夠通過導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理確定導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),進(jìn)而確定函數(shù)的單調(diào)性,屬于難題.18、(1)曲線,曲線.(2).【解析】

(1)用和消去參數(shù)即得的極坐標(biāo)方程;將兩邊同時(shí)乘以,然后由解得直角坐標(biāo)方程.(2)過極點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為,代入到和:中,表示出即可求解.【詳解】解:由和,得,化簡(jiǎn)得故:將兩邊同時(shí)乘以,得因?yàn)椋缘玫闹苯亲鴺?biāo)方程.(2)設(shè)直線的極坐標(biāo)方程由,得,由,得故當(dāng)時(shí),取得最大值此時(shí)直線的極坐標(biāo)方程為:,其直角坐標(biāo)方程為:.【點(diǎn)睛】考查直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互相轉(zhuǎn)化以及應(yīng)用圓的極坐標(biāo)方程中的幾何意義求距離的的最大值方法;中檔題.19、(1),;(2).【解析】

(1)先將曲線化為普通方程,再由直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系:,可得極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)由已知可得出射線的極坐標(biāo)方程為,聯(lián)立和的極坐標(biāo)方程可得點(diǎn)A和點(diǎn)B的極坐標(biāo),從而得出,由的范圍可求得的取值范圍.【詳解】(1)曲線的普通方程為,即,其極坐標(biāo)方程為;曲線的極坐標(biāo)方程為,即,其直角坐標(biāo)方程為;(2)射線的極坐標(biāo)方程為,聯(lián)立,聯(lián)立,的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查圓的參數(shù)方程與普通方程互化,圓,拋物線的極坐標(biāo)方程與普通方程的互化,以及在極坐標(biāo)下的直線與圓和拋物線的位置關(guān)系,屬于中檔題.20、(1),;(2)1.【解析】

(1)利用正弦的和角公式,結(jié)合極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)的公式,即可求得曲線的直角坐標(biāo)方程;先寫出曲線的普通方程,再利用公式化簡(jiǎn)為極坐標(biāo)即可;(2)先求出的直角坐標(biāo),據(jù)此求得中點(diǎn)的直角坐標(biāo),將其轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo),聯(lián)立曲線的極坐標(biāo)方程,即可求得兩點(diǎn)的極坐標(biāo),則距離可解.【詳解】(1):可整理為,利用公式可得其直角坐標(biāo)方程為:,:的普通方程為,利用公式可得其極坐標(biāo)方程為(2)由(1)可得的直角坐標(biāo)方程為,故容易得,,∴,∴的極坐標(biāo)方程為,把代入得,.把代入得,.∴,即,兩點(diǎn)間的距離為1.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)化,涉及參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程,以及在極坐標(biāo)系中求兩點(diǎn)之間的距離,屬綜合基礎(chǔ)題.21、(1)見解析(2)2【解析】

(1)將代入可得,令,則,設(shè),則轉(zhuǎn)化問題為與的交點(diǎn)問題,利用導(dǎo)函數(shù)判斷的圖象,即可求解;(2)由題可得在上恒成立,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)可得,則,即,再設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)求得的最小值,則,進(jìn)而求解.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,定義域?yàn)?由可得,令,則,由,得;由,得,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則的最大值為,且當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,由此作出函數(shù)的大致圖象,如圖所示.由圖可

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