2025年中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：幾何圖形中求線段線段和面積等最值問題（4題型）（原卷版）

搶分秘籍11幾何圖形中求線段，線段和，面積等最值問題

（壓軸通關(guān)）

目錄

【中考預(yù)測】預(yù)測考向，總結(jié)?？键c(diǎn)及應(yīng)對的策略

【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見的易錯點(diǎn)

【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含新考法、新情境等）

中考預(yù)測

幾何圖形中求線段、線段和、面積最值題是全國中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，更是全國中考的必考內(nèi)容。每年都

有一些考生因?yàn)橹R殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?/p>

1.從考點(diǎn)頻率看，幾何圖形中的性質(zhì)綜合問題，是高頻考點(diǎn)、也是必考點(diǎn)。

2.從題型角度看，以解答題的最后一題或最后二題為主，分值12分左右，著實(shí)不少！

搶分通關(guān)

題型一線段最值問題

典例精講

【例1X2024?四川成都?一模）如圖1,在四邊形48FE中，/b=90。，點(diǎn)C為線段E尸上一點(diǎn)，使得ZC/8C,

AC=2BC^4,此時(shí)防=CF,連接BE,BE1AE,S.AE=BE.

圖1圖2圖3

⑴求CE的長度；

⑵如圖2,點(diǎn)。為線段/C上一動點(diǎn)（點(diǎn)。不與A,C重合），連接50,以為斜邊向右側(cè)作等腰直角三

角形8GD.

①當(dāng)DG〃/B時(shí)，試求/。的長度；

②如圖3,點(diǎn)H為的中點(diǎn)，連接〃G,試問用是否存在最小值，如果存在，請求出最小值；如果不存在,

請說明理由.

通關(guān)指導(dǎo)

本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，解直角三

角形.

【例2】（2024?天津紅橋?一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)0（0,0）,2（2,0）,川2,28））,C,。分別為04,

08的中點(diǎn).以點(diǎn)。為中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)AOCD,得AOC'D',點(diǎn)C,。的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)C',DM

⑴填空：如圖①，當(dāng)點(diǎn)步落在y軸上時(shí)，點(diǎn)。，的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為

⑵如圖②，當(dāng)點(diǎn)C'落在05上時(shí)，求點(diǎn)步的坐標(biāo)和的長；

⑶若M為C'。'的中點(diǎn)，求四的最大值和最小值（直接寫出結(jié)果即可）.

名校模擬

1.（2024?山東濟(jì)寧?模擬預(yù)測）已知，四邊形48co是正方形，由EF繞點(diǎn)、D旋轉(zhuǎn)（DE<4B）,ZEDF=90°,

DE=DF,連接CF.

⑴如圖1,求證：AADE*CDF；

⑵直線ZE與C尸相交于點(diǎn)G.

①如圖2,于點(diǎn)M,BN1CF于點(diǎn)、N,求證：四邊形8WGN是正方形；

②如圖3,連接8G,若48=6,DE=3,直接寫出在力防旋轉(zhuǎn)的過程中，線段8G長度的最小值為

2.（2024?重慶,一模）在AABC中,點(diǎn)。為線段8C上一動點(diǎn)，點(diǎn)￡為射線/C上一動點(diǎn)，連接AD,BE.

點(diǎn)尸為8E中點(diǎn).

①如圖1,若BF=歷,BD=3,AD=1，求NE的長度;

②如圖2,點(diǎn)G為線段外上一點(diǎn)，連接GE并延長交的延長線于點(diǎn)H.若點(diǎn)￡為G”中點(diǎn),

ZB/C=60°,NDAC=2NEBC,求證：AG+DF=-AB.

2

⑵如圖3,若ZC=48=3,NBAC=60。.當(dāng)點(diǎn)￡在線段/C的延長線上時(shí)，連接將△口?￡沿DC所

在直線翻折至AABC所在平面內(nèi)得到△DCN,連接當(dāng)取得最小值時(shí)，AABC內(nèi)存在點(diǎn)K,使得

AABK=ZCAK,當(dāng)KE取得最小值時(shí)，請直接寫出NK?的值.

3.(2024?陜西西安?一模)問題提出：

(1)如圖①，在AA8C中，點(diǎn)M,N分別是48,ZC的中點(diǎn)，若BC=2在,則兒W的長為.

問題探究：

(2)如圖②，在正方形/BCD中，/。=6,點(diǎn)E為AD上的靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)下為N5上的動點(diǎn)，

將△/跖折疊，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G,求CG的最小值.

問題解決：

(3)如圖③，某地要規(guī)劃一個五邊形藝術(shù)中心/3CDE,已知/48C=120。，ABCD=60°,AB=AE=40m,

8C=CD=80m,點(diǎn)C處為參觀入口，的中點(diǎn)尸處規(guī)劃為“優(yōu)秀"作品展臺，求點(diǎn)C與點(diǎn)P之間的最小距

離.

4.（2024?陜西西安?一模）【問題提出】

（1）如圖1,點(diǎn)。為的邊8C上一點(diǎn)，連接=絲=|■，若△/血的面積為4,則ANCD

AB3

的面積為;

【問題探究】

RF6

（2）如圖2,在矩形/BCD中，AB=6,BC=5,在射線3c和射線CO上分別取點(diǎn)E、F,使得亍=凄，

Cr5

連接/￡、AF相交于點(diǎn)P,連接C尸，求C尸的最小值；

【問題解決】

（3）如圖3,菱形是某社區(qū)的一塊空地，經(jīng)測量，48=120米，ZABC=60°.社區(qū)管委會計(jì)劃對該

空地進(jìn)行重新規(guī)劃利用，在射線上取一點(diǎn)E,沿BE、CE修兩條小路，并在小路BE上取點(diǎn)”，將S段

鋪設(shè)成某種具有較高觀賞價(jià)值的休閑通道（通道寬度忽略不計(jì)），根據(jù)設(shè)計(jì)要求，2BHC=NBCE,為了節(jié)

省鋪設(shè)成本，要求休閑通道”的長度盡可能小，問S的長度是否存在最小值？若存在，求出CH長度的

最小值；若不存在，請說明理由.

題型二線段和的最小值問題

典例精講.

【例11（2024?四川達(dá)州?模擬預(yù)測）【問題發(fā)現(xiàn)】

（1）如圖1,在AOAB中，08=3,若將AOAB繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得OA'B',連接BB'，則BB'=.

【問題探究】

（2）如圖2,已知是邊長為4人的等邊三角形，以BC為邊向外作等邊△BCD,P為AABC內(nèi)一點(diǎn)、,

連接4P,BP,CP,將△BPC繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得△D0C,求尸N+P5+尸。的最小值；

【實(shí)際應(yīng)用】

（3）如圖3,在長方形Z3CD中，邊48=10,40=20,尸是8C邊上一動點(diǎn)，。為尸內(nèi)的任意一點(diǎn)，

是否存在一點(diǎn)尸和一點(diǎn)。，使得/。+。。+尸。有最小值？若存在，請求出此時(shí)P。的長，若不存在，請說

明理由.

圖1圖2圖3

通關(guān)指導(dǎo)

本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，含30

度角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造等邊三角形，從而把三條不在一條直線的線段

之和的問題，轉(zhuǎn)換成幾點(diǎn)共線求線段的最值問題是解題的關(guān)鍵.

L_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

【例2】（2024?貴州畢節(jié)?一模）在學(xué)習(xí)了《圖形的平移與旋轉(zhuǎn)》后，數(shù)學(xué)興趣小組用一個等邊三角形繼續(xù)進(jìn)

行探究.已知“8C是邊長為2的等邊三角形.

圖1圖3

(1)【動手操作】如圖1,若。為線段3c上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線

段NE,連接CE,則CE的長為；

⑵【探究應(yīng)用】如圖2,。為“3C內(nèi)一點(diǎn)，將線段ND繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段/E，連接CE,若民RE

三點(diǎn)共線，求證：EB平分/4EC；

(3)［拓展提升］如圖3,若。是線段8C上的動點(diǎn),將線段繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE，連接CE.請

求出點(diǎn)。在運(yùn)動過程中，ADEC的周長的最小值.

名校模擬

1.(2024?陜西?二模)在平面直角坐標(biāo)系中，/為y軸正半軸上一點(diǎn)，2為x軸正半軸上一點(diǎn)，且。4=OB=4,

連接.

⑴如圖1,C為線段AB上一點(diǎn)，連接OC,將0c繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到OD,連接4D,求NC+4D

的值.

⑵如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在x軸上，點(diǎn)。位于第二象限時(shí)，NADC=90°,且ND=CD,￡為A8的中點(diǎn)，連接?！?

試探究線段是否存在最小值？若存在，求出4D+DE的最小值；若不存在，請說明理由.

2.(2024?陜西西安?二模)(1)如圖1,半徑為4的。。外有一點(diǎn)尸，且PO=7,點(diǎn)A在。。上，則尸/的最

大值和最小值分別是和；

(2)如圖2,在矩形ZBCD中，48=4,/。=6,點(diǎn)P在/。上，點(diǎn)。在8c上，且4P=C0,連接CP、

QD,求PC+QD最小時(shí)4P的長；

(3)如圖3,在Y/BCD中，/3=10,40=20,點(diǎn)。到48的距離為loG，動點(diǎn)、E、尸在/。邊上運(yùn)動,

始終保持跖=3,在8c邊上有一個直徑為四的半圓O,連接與半圓。交于點(diǎn)N,連接CE、FN,求

CE+EF+FN的最小值.

3.（2024?陜西西安?三模）【問題提出】

（1）如圖①，N5為半圓。的直徑，點(diǎn)尸為半圓O的筋上一點(diǎn)，8c切半圓。于點(diǎn)B,若=10,BC=12,

則CP的最小值為二

【問題探究】

（2）如圖②，在矩形/8CD中，AB=3,BC=5,點(diǎn)尸為矩形48CD內(nèi)一點(diǎn)，連接尸3、PC,若矩形/8CD

的面積是APBC面積的3倍，求尸3+尸。的最小值；

【問題解決】

（3）如圖③，平面圖形NBCDM為某校園內(nèi)的一片空地，經(jīng)測量，AB=BC=20拒米,23=60。，

ZBAF=ZBCD=150P,DELDC,CD=20米，劣弧防所對的圓心角為90。，防所在圓的圓心在"的延

長線上，AF=10米.某天活動課上，九（1）班的同學(xué)準(zhǔn)備在這塊空地上玩游戲，每位同學(xué)在游戲開始前,

在8C上選取一點(diǎn)P,在弧而上選取一點(diǎn)。，并在點(diǎn)尸和點(diǎn)。處各插上一面小旗，從點(diǎn)A出發(fā)，先到點(diǎn)尸處

拔下小旗，再到點(diǎn)。處拔下小旗，用時(shí)最短者獲勝.已知曉雯和曉靜的跑步速度相同，要使用時(shí)最短，則

所跑的總路程（/尸+尸0）應(yīng)最短，問/尸+P。是否存在最小值？若存在，請你求出/P+尸。的最小值；若不

存在，請說明理由.

4.（2024?江西一模）如圖1,在矩形N3CD中，CD=4^BC=金,點(diǎn)E,G分別是40,48上的中點(diǎn)，過點(diǎn)

E,G分別作EF1AD,FG1AB,FG與E尸交于點(diǎn)尸，連接CF.

特例感知

（1）以下結(jié)論中正確的序號有;

①四邊形ZGFE是矩形；②矩形/3CD與四邊形月GFE位似；③以ED,CE,5G為邊圍成的三角形不是直

角三角形；

類比發(fā)現(xiàn)

（2）如圖2,將圖1中的四邊形4GFE繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接3G,觀察CF與BG之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)

系，并證明你的發(fā)現(xiàn)；

拓展應(yīng)用

（3）連接CE,當(dāng)CE的長度最大時(shí)，

①求8G的長度；

②連接尸，若在內(nèi)存在一點(diǎn)尸，使CP+4P+后戶的值最小，求。尸+/尸+回尸的最小

值.

題型三面積的最小值問題

典例精講

【例1】（新考法，拓視野）（2024?陜西西安?一模）【問題提出】

（1）如圖1,已知在邊長為5的等邊AA8C中，點(diǎn)。在邊3C上，BD=3,連接N。，貝UANCA的面積為二

【問題探究】

（2）如圖2,已知在邊長為6的正方形ABCD中，點(diǎn)￡在邊BC上，點(diǎn)F在邊CD上，且NEAF=45。，若EF=5,

求△4EP的面積；

【問題解決】

（3）如圖3是某座城市廷康大道的一部分，因自來水搶修在/8=4米，米的矩形區(qū)域內(nèi)

開挖一個△/￡下的工作面，其中3、尸分別在8C、CD邊上（不與2、C、D重合），且4&4尸=60。，為了減

少對該路段的擁堵影響，要求△/所面積最小，那么是否存在一個面積最小的△/￡/"?若存在，請求出

△/￡尸面積的最小值；若不存在，請說明理由.

B

圖1圖3

通關(guān)指導(dǎo)

本題主要考查了圓周角定理，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，正方形的性質(zhì)，等邊三角

形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，通過作出輔助線構(gòu)造直角三角形，

i全等三角形是解題的關(guān)鍵.

I_________________________________________________________________________________________________

【例2】（2024?陜西西安?二模）圖形旋轉(zhuǎn)是解決幾何問題的一種重要方法.如圖1,正方形/BCD中，E、F

分別在邊/3、3C上，且NEO尸=45。，連接"，試探究NE、CF、跖之間的數(shù)量關(guān)系.解決這個問題可將

V4DE繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到△CDH的位置（易得出點(diǎn)打在3c的延長線上），進(jìn)一步證明9E尸與

⑴如圖1,正方形48CD中，ZEDF=45°,AE=3,CF=2,則防=；

（2）如圖2,正方形N8CD中，若NEDF=30°,過點(diǎn)石作EN〃8C交。B于W點(diǎn)，請計(jì)算4E+CF與的

比值，寫出解答過程；

（3）如圖3,若NEDF=60°,正方形ZBCD的邊長N8=8,試探究SE尸面積的最小值.

名校模擬

1.（2023?陜西西安?一模）問題發(fā)現(xiàn)

(1)在“3C中，48=2,ZC=60°,則“3C面積的最大值為二

(2)如圖1,在四邊形/BCD中，AB=AD=6,ZBCD=ZBAD=90°,AC=8,求8C+CD的值.

問題解決

(3)有一個直徑為60cm的圓形配件。。，如圖2所示.現(xiàn)需在該配件上切割出一個四邊形孔洞CU3C,要

求NO=NB=60。，OA=OC,并使切割出的四邊形孔洞。43c的面積盡可能小.試問，是否存在符合要求的

面積最小的四邊形。4BC?若存在，請求出四邊形CM3C面積的最小值及此時(shí)0/的長；若不存在，請說明

理由.

2.問題提出：

(1)如圖①，已知是面積為4G的等邊三角形，是/A4c的平分線，則2B的長為.

問題探究：

(2)如圖②，在中，ZC=90°,4C=BC,48=4,點(diǎn)。為N3的中點(diǎn)，點(diǎn)、E,尸分別在邊/C,

8C上，且/即/=90。.證明：DE=DF.

問題解決：

(3)如圖③，李叔叔準(zhǔn)備在一塊空地上修建一個矩形花園/BCD,然后將其分割種植三種不同的花卉.按

照他的分割方案，點(diǎn)P,。分別在4。，BC上，連接尸。、PB、PC,NBPC=60。,E、尸分別在尸8、PC

上，連接0E、QF,QE=QF,Z￡0F=12O。，其中四邊形尸骸下種植玫瑰，乂行和△尸CD種植郁金香，

剩下的區(qū)域種植康乃馨，根據(jù)實(shí)際需要，要求種植玫瑰的四邊形尸￡。尸的面積為64Gm%為了節(jié)約成本，

矩形花園/BCD的面積是否存在最小值？若存在，請求出矩形/BCD的最小面積，若不存在，請說明理由.

圖①圖③

3.（2024?陜西榆林?二模）（1）如圖1,AB//CD,AB=\,CD=2,AD,交于點(diǎn)E,若NO=4,則/E=_；

（2）如圖2,矩形N8C。內(nèi)接于O。，AB=2,BC=2d尸在而上運(yùn)動，求APBC的面積的最大

值;

（3）為了提高居民的生活品質(zhì)，市政部門計(jì)劃把一塊邊長為120米的正方形荒地4BCD（如圖3）改造成一

個戶外休閑區(qū)，計(jì)劃在邊3C上分別取點(diǎn)P,。，修建一條筆直的通道尸。，要求CQ=2AP,過點(diǎn)B

作5￡，2。于點(diǎn)￡,在點(diǎn)E處修建一個應(yīng)急處理中心，再修建三條筆直的道路BE,CE,DE,并計(jì)劃在

△CDE內(nèi)種植花卉，&DEP內(nèi)修建老年活動區(qū)，ABCE內(nèi)修建休息區(qū)，在四邊形/建P內(nèi)修建兒童游樂園.問

種植花卉的ACDE的面積是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由.

圖1圖2

題型四面積的最大值問題

典例精講：

【例1】（新考法，拓視野）（2024?陜西咸陽?一模）問題提出：

（1）如圖①，OO的半徑為4,弦48=4。，則點(diǎn)。到NB的距離是

問題探究：

（2）如圖②，的半徑為5,點(diǎn)/、B、C都在O。上，4B=6,求面積的最大值.

問題解決：

（3）如圖③，是一圓形景觀區(qū)示意圖，。。的直徑為60m,等邊尸的邊A8是O。的弦，頂點(diǎn)尸在。。

內(nèi)，延長/P交。O于點(diǎn)C,延長BP交。。于點(diǎn)。，連接5.現(xiàn)準(zhǔn)備在APNB和△尸。區(qū)域內(nèi)種植花卉，

圓內(nèi)其余區(qū)域?yàn)椴萜?按照預(yù)算，草坪的面積盡可能大，求草坪的最大面積.（提示：花卉種植面積盡可能

小，即花卉種植面積（%/B+S/CD）的最小值）

通關(guān)指導(dǎo)

此題是圓的綜合題，考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、二次

函數(shù)的性質(zhì)等知識，靈活運(yùn)用這些知識并數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

【例2】（2024?陜西咸陽?一模）

⑴.【問題情境】（1）點(diǎn)/是。。外一點(diǎn)，點(diǎn)尸是。。上一動點(diǎn).若。。的半徑為2,且。4=5,則點(diǎn)尸到

點(diǎn)A的最長距離為；

⑵.【直接運(yùn)用】（2）如圖2,在RtA4BC中，ZACB=90。,AC=BC=2,以BC為直徑的半圓交N8于點(diǎn)

D,尸是弧CD上的一個動點(diǎn)，連接AP,求/P的最小值；

⑶.【靈活運(yùn)用】（3）如圖3,。。的直徑為8,弦/8=4百，點(diǎn)C為優(yōu)弧N3上的一動點(diǎn)，AMLAC,交

直線C2于點(diǎn)求ANBM面積的最大值.

M

圖1圖2圖3

名校模擬

1.（2024?陜西寶雞?一模）提出問題:

圖3

6,則3c邊上的高/。的長為.

問題探究:

（2）如圖2,“3C內(nèi)接于O。，弦3C=10,半徑為6,求“3C面積的最大值;

問題解決:

（3）如圖3,某園區(qū)內(nèi)有一塊直角三角形48c的空地，在空地邊3C的中點(diǎn)。處修建了一個兒童游樂場,

為了吸引更多人來園區(qū)，在空地外E處修建一個大型商場，且滿足游樂場。到商場￡的路線與商場E到點(diǎn)

C處的路線垂直（即。ELCE）,連接NE,在VNDE處種植綠植，其中N4BC=90。，測得48=300米,

3c=800匹米，請問綠植面積能否取到最大？若能，請求出VNDE面積的最大值，若不能，請說明理由.

2.（2024?廣東深圳?一模）如圖1,在等腰三角形4BC中，乙4=90。，AB=AC,點(diǎn)、D、E分別在邊48,AC

上，AD=AE,連接BE,點(diǎn)"，N,P分別為DE,BE,3c的中點(diǎn).