安徽省蕪湖市某中學(xué)2024-2025學(xué)年高一年級(jí)上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)題（解析版）

蕪湖一中2024-2025學(xué)年第一學(xué)期期中考試

高一數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的）

1.已知xeR,"R,則“x>l且y>l,,是“x+y>2,,的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C,充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)、充分和必要條件等知識(shí)確定正確答案.

【詳解】若"4>1且y>i”，則x+y>2；

若"y>2”,則可能x=O,y=3,不能得至且y>l”.

所以“x>1且y>1”是“x+y>2”的充分不必要條件.

故選：A

2已知集合4=卜上2—120},集合8=<xx—g?0，,

則(\A)U5=()

,1

A.>1}B.4X-1<%<—>

2

1,

x—<%<!>D.{x\x<l]

2

【答案】D

【解析】

【分析】解不等式求得集合A3,進(jìn)而求得（\A）B.

【詳解】x2-l=(x+l)(x-l)>0,解得尤W—1或工>1,所以A={x|xW—1或行1},

所以"A={x|-l<x<l},B=

所以&A)UB={x|x<l}.

故選：D

3.己知函數(shù)y=/（x）的定義域?yàn)閇T4],則y的定義域?yàn)?/p>

A.[-1,4]C.D.(1,9]

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)定義域的求法來求得正確答案.

f-l<2x+l<43

【詳解】依題意，〈解得1<XW—,

%-1>02

f(2x+l]、(3,

所以y=—/的定義域?yàn)?1,—

\x—l\2

故選：B

4.設(shè)。，beR,且a>6,則下列不等式一定成立的是（）.

A.一〈不B.ac2>bc2C.同〉網(wǎng)D.a3>Z?3

ab

【答案】D

【解析】

【分析】舉反例即可求解ABC,利用作差法比較數(shù)的大小可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,取。=2/=—1,可得!=工〉,=—1,故A錯(cuò)誤；

alb

對(duì)于B,當(dāng)c=0時(shí)，可得近2=反2,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,取。=-11=-2,可得同=lv網(wǎng)=2,故C錯(cuò)誤，

b3

對(duì)于D,因?yàn)镼3-b3=(a-b\a2+=(〃_/?)[(〃+—了+-Z?2],

24

A3

又a>b,不能同時(shí)為0,所以(〃—?[(，+—y+―/]>0,所以〃3>。3,故D正確;

24

故選：D.

5.不等式矍，>0的解集為{x|x<—1或x>4},貝U（x+a）3x—1）20的解集為（）

B.□,+“)

1

D.(-oo,-l]—,+oo

4

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)分式不等式的解求得進(jìn)而求得（％+。）（公-1）20的解集.

【詳解】不等式矍j>0o（以+i）（x+b）>0的解集為{x|x<—1或％〉4},

1.-ab+\7I

-I+4—3—------——b—

aa

則a>0,ax2+(^ab+l)x+b>0,所以<

b

-lx4=-4A=一

a

解得。=1（負(fù)根舍去），則b=-4.

所以不等式(x+a)(瓜—1)20,即(x+l)(Tx—l)?0,(x+l)(4x+l)W0,

解得—即不等式（x+a）（Zzx—1）20的解集為

故選：C

6.已知a>0,b>0,a+b=ab-3,若不等式〃+Z?22加？一12恒成立，則加的最大值為（）

A.1B.2C.3D.7

【答案】C

【解析】

【分析】先求得〃的最小值，由此列不等式來求得加的范圍，從而求得加的最大值.

2

a+b

【詳解】a+b=ab—3<I-3,當(dāng)且僅當(dāng)a=/?=3時(shí)等號(hào)成立,

2

a+6)/、/\2/、

所以-——(a+b)-320,(a+Z?)-4(a+Z?)-12N0,

(Q+〃+2)(Q+b-6”0,a+Z?N6,

而不等式〃+2加2—12恒成立，所以2根2—12<6,加2?9,-34加<3,

所以加的最大值為3.

故選：C

7.“曼哈頓距離”是十九世紀(jì)的赫爾曼-閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，用以標(biāo)明兩個(gè)點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系上的絕對(duì)軸距總

和，其定義如下：在直角坐標(biāo)平面上任意兩點(diǎn),3(%，%)的曼哈頓距離

d(A5)=歸一人+|%—若點(diǎn)4(2,1),點(diǎn)尸是直線y=x+3上的動(dòng)點(diǎn)，則d(M,P)的最小值為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)曼哈頓距離列式，利用函數(shù)的單調(diào)性來求得最小值.

詳解]設(shè)尸(/j+3),tZ(Af,P)=|r-2|+|r+3-l|=|r-2|+|r+2|

—2t,t<—2

=<4,-2<t<2,

2t,t>2

y=-2，在—2)上單調(diào)遞減，y=2/在(2,+“)上單調(diào)遞增，均有d(/,P)>4,

所以當(dāng)—2WZW2時(shí)，d(MP)取得最小值為4.

故選：C

8.已知/(x),g(x)是定義域?yàn)镽的函數(shù)，且/(幻是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，滿足

/(x)+g(x)=a/+x+2,若對(duì)任意的1<玉<馬<2,都有g(shù)(")—g(/)>_5成立,則實(shí)數(shù)。的取值

%-x2

范圍是()

A.[0,+oo)B.-C.D.——,0

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)構(gòu)造方程組求出g(x)的解析式，再根據(jù)題意得到MX)=加+3X+2在尤?1,2)

單調(diào)遞增，分類討論即可求解.

【詳解】由題意可得)+g(—x)=av2-x+2,

因?yàn)?(九)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),

所以一/(%)+8(%)=加一%+2,

/(x)+g(x)=ax2+x+2

聯(lián)立<解得g(x)=^+2,

-f(x)+g(x)=ax1-x+2

又因?yàn)閷?duì)于任意的1<占<X,<2,都有屋,)一屋"2)>—5成立，

%一工2

所以g(x,)—g(x2)<-5x,+5x2，即g(xj+5xi<8(%)+5X2成立，

構(gòu)造/z(x)=g(x)+5x=or2+5x+2,

所以由上述過程可得入(％)=加+5x+2在xe(l,2)單調(diào)遞增，

若。<0,則對(duì)稱軸/=—<-22,解得一▲<。<0；

2a4

若〃=0,則/i(x)=5x+2在x?l,2)單調(diào)遞增，滿足題意；

若Q>0,則對(duì)稱軸X=—―<1恒成立；

o2a

「5、

綜上，ae--,+oo.

L4)

故選：B

二、多項(xiàng)選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)得6分，有選錯(cuò)得。分，部分選對(duì)的得部分分)

9.下列說法正確的是()

A.y=yfx+1-。X-1與y=J%'—1表示同一■個(gè)函數(shù)

B."℃<0”是，一元二次方程a/+j%+c=。有一正?—負(fù)根，，的充要條件

C.若命題p：3x>0,2*=3，則->中3x<o,2*/3

D.若命題4：對(duì)于任意xeR,丁+2%—。>0為真命題，則。<—1

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)相同函數(shù)、充要條件、存在量詞命題的否定、一元二次不等式恒成立等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析,

從而確定正確答案.

%-1>0

【詳解】A選項(xiàng)，對(duì)于函數(shù)丁=+,

%+1>0

解得XN1,即函數(shù)的定義域是[1,+8);

對(duì)于函數(shù)丁=—1,犬一120,》<-1或xN],

即函數(shù)的定義域是(f,—1］、［1,+8).

所以兩個(gè)函數(shù)不是同一函數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

B選項(xiàng)，設(shè)/(x)=G?+fer+c(awO),

/(%)有一正一負(fù)兩個(gè)零點(diǎn)oa?/⑼=ac<0,

所以“ac<0”是“一元二次方程改2+公+o=0有一正一負(fù)根”的充要條件，B選項(xiàng)正確.

C選項(xiàng)，命題。閆x2。，2工=3，則2*/3，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

D選項(xiàng)，命題4：對(duì)于任意xeR,X?+2x—a>0為真命題,

則A=4+4a<0,a<—1,所以D選項(xiàng)正確.

故選：BD

10.下列選項(xiàng)正確的有()

A.當(dāng)尤e(l,+?))時(shí)，函數(shù)y==一2;+2的最小值為2

3

B.xe(YQ,l),函數(shù)y=x+——的最大值為一2G

x—1

+5

C.函數(shù)丁=刀=的最小值為2

V%2+4

D.當(dāng)a>0,/?>0時(shí)，若a+b=2ab,則a+2。的最小值為0

2

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)基本不等式知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

22

【詳解】A選項(xiàng)，x>l,x-l>0,^-2%+2=(%-1)+1=^_1+^

x-1x-1x-1

22」(x—l)x」一=2,當(dāng)且僅當(dāng)x—1=—1一,x=2時(shí)等號(hào)成立，所以A選項(xiàng)正確.

Vx-1x-1

=」=

B選項(xiàng)，x<l,x-l<0,yl+3+l—(1)+4+1

x-1x-1[-(x-1)

K一2J-(I)百，

一(尸1)

當(dāng)且僅當(dāng)一(X—1)=/—，X=1-6時(shí)等號(hào)成立，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

2

…工+5x+4+1[―;―-1「I/2.1.

C選項(xiàng)，y=I-=-I=yx+4H—,>2K/x+4■—/==2,

但無解，所以等號(hào)不成立，所以c選項(xiàng)錯(cuò)誤.

VX2+4

D選項(xiàng)，當(dāng)。>0,〃>0時(shí)，若a+b=2ab,則巴吆='-+」-=1,

2ab2b2a

〃(11y3ab

'\2b2a)22ba

b-+V2,當(dāng)且僅當(dāng)上_=2,。="；=變土1時(shí)等號(hào)成立,

a22ba2

所以D選項(xiàng)正確.

故選：AD

|x-l|,0<x<3

11.已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)/(%)，滿足"%)=<4，下列敘述正確的是()

----,x>3

、x-1

A.函數(shù)的值域?yàn)閇-2,2]

B.關(guān)于x的方程〃x)=；的所有實(shí)數(shù)根之和為11

C.關(guān)于x的方程/(尤)=0有且只有兩個(gè)不等的實(shí)根

D.當(dāng)xe[-3,0)時(shí)，"％)的解析式為/■(%)=—忖+1|

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、值域、方程的根、解析式等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

-x+l,0<x<1

【詳解】當(dāng)x>0時(shí)，有/(x)=x—,

—x—1,—1<x<0

當(dāng)x<0時(shí)，—x>0,所以/>(x)=-f(-x)=<x+l,-3Vx<—1,

由于是定義在R上的奇函數(shù)，所以"0)=0.

/(1)=/(-1)=0,/(3)=2,/(-3)=-2,

由此畫出"％)的圖象如下圖所示，

由圖可知/(九)的值域?yàn)閇-2,2],A選項(xiàng)正確.

41

當(dāng)%>3時(shí)，令----=—,解得x=9,

x~l2

所以關(guān)于X的方程/(x)=g的所有實(shí)數(shù)根之和為1x2+9=11,B選項(xiàng)正確.

關(guān)于x的方程/(￡)=0的根為-1,0,1,所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

當(dāng)xe[—3,0)時(shí)，/⑴,=—K+l|,所以D選項(xiàng)正確.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：

奇函數(shù)對(duì)稱性的準(zhǔn)確應(yīng)用：奇函數(shù)的對(duì)稱性是解題的基礎(chǔ)，通過這種對(duì)稱性可以有效判斷函數(shù)的值域和方

程根的性質(zhì).

函數(shù)圖象的輔助分析：通過繪制函數(shù)圖象并結(jié)合代數(shù)分析，可以更直觀地理解函數(shù)的行為，是解題過程中

非常重要的輔助手段.

三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)

12.己知。，eR,A=11,3,?21,B=[l,a+2,b],若A=5，則a+A=

【答案】5

【解析】

【分析】根據(jù)集合相等求得。力，進(jìn)而求得a+b.

3=。+2\3=b

【詳解】依題意，A=B，所以12,或12C.

a=b[a=a+2

3=a+2

由42,解得a=Z?=l，與集合元素的互異性矛盾.

a~=b

3=b

由4,c解得b=3,a=2,a=—1(1=1與集合元素的互異性矛盾，舍去),

a~=a+2

則A=5={1,3,4},所以a+b=5.

故答案為：5

13.已知/■(石+l)=x+2?,求/(九)的解析式為.

【答案】/(x)=x2-l,(x>l)

【解析】

詳解】配湊法：6+1)=1+2&+1)-1=(五+1)-1

故答案為：f(x)=x2-l,(x>l)

換元法：令?+1=△1，則％=(，-丁，代入/■(6+l)=x+2&可得

f(t)=(f-l)2+2(l-l)=l2-l

故答案為：/(x)=x2-l,(x>l)

14.己知方程6x2一x+2a=0的兩根分別為X],%，%產(chǎn)々，若對(duì)于V，?2,3],都有f—；?片+君恒

成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

531

【答案1---<a<—

2448

【解析】

【分析】利用根與系數(shù)關(guān)系、函數(shù)的單調(diào)性以及不等式恒成立等知識(shí)來求得。的取值范圍.

【詳解】方程6%2—x+2a=0的兩根分別為占，%，為/々，

所以A=1—48〃>0,4<,%1+%2~~%％=~，

2

X；+君=(%1+%2)-2^%2=--^.

113

函數(shù)y="：在［2,3］上單調(diào)遞增，當(dāng)/=2時(shí)取得最小值為2-Q=^，

由于對(duì)于V?e[2,3],都有"%x；+x；恒成立,

2a3.,?531

所以X；+%2=------<一,解7得z----<a<—

~36322448

531

故答案為：----<a<――

2448

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：

利用根與系數(shù)關(guān)系確定函數(shù)性質(zhì)：首先通過根與系數(shù)的關(guān)系，找到方程的根之間的聯(lián)系，這一步為后續(xù)的

不等式求解奠定了基礎(chǔ).

分析函數(shù)單調(diào)性并求解最小值：利用函數(shù)的單調(diào)性，找到函數(shù)的最小值，并代入不等式進(jìn)行求解，從而確

定實(shí)數(shù)。的取值范圍.

四、解答題(本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

15.己知集合A={x|a+lWxW2a_l},3={%]-14%46}.

(1)當(dāng)a=4時(shí)，求Ac5；

(2)若“xeA”是“％e8”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1){x|5<x<6}

(7-

(2)-oo,-

I2j

【解析】

【分析】(1)根據(jù)交集的知識(shí)求得正確答案.

(2)根據(jù)充分不必要條件以及對(duì)A是否為空集進(jìn)行分類討論，從而求得。的取值范圍.

【小問1詳解】

當(dāng)a=4時(shí)，A={x|5<x<7},

所以Ac6={x|5WxW6}.

【小問2詳解】

由于“xeA”是“xe的充分不必要條件，所以A是3真子集的，

若a+l>2a-l,即a<2,A=0,滿足A是3真子集的.

若a+lW2a—1,即。22,要使A是3的真子集，

<2+1>—17

則需c,,(且等號(hào)不同時(shí)成立)，?m<a<-.

2tz-l<62

綜上所述，。的取值范圍是1一%：.

16.已知幕函數(shù)/(%)=(m2—3m+3)/+2時(shí)4為定義域上的偶函數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)m的值；

(2)求使不等式/(2/-1)</(r)成立的實(shí)數(shù)t的取值范圍.

【答案】(1)2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)幕函數(shù)的定義和偶函數(shù)的知識(shí)即可得解.

(2)根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性求得不等式的解集.

【小問1詳解】

由于/(九)是幕函數(shù),所以m2-3m+3=1,nr-3m+2=0,=1或機(jī)=2，

當(dāng)m=1時(shí)，/(力=九7是奇函數(shù)，不符合題意.

當(dāng)帆=2時(shí)，/(%)=/是定義在R上的偶函數(shù)，符合題意.

所以m=2.

【小問2詳解】

由(1)得=/是定義在R上的偶函數(shù)，

f(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以等式“2/—1)</⑺即"-1|<W,

兩邊平方并化簡(jiǎn)得3r—4/+1=?！?)(3/—1)<0,

解得;</<1,所以不等式的解集為

17.已知函數(shù)/(4)=加+Zzx+1.

(1)若2Q=Z?+1,且avO,求不等式/(x)>3的解集(結(jié)果用〃表示);

(2)若/⑴=3,且a,6都是正實(shí)數(shù)，求,+上的最小值.

ab+1

【答案】(1)答案見解析

⑵-

3

【解析】

【分析】(1)利用條件將題設(shè)不等式化成一元二次不等式，根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定其解集，最后分類表

述即得；

(2)由條件得到a+〃+l=3,利用1的妙用，運(yùn)用基本不等式，可求最小值.

【小問1詳解】

由2a=b+l,可得Z?=2a—1,

由/(x)〉3,可得以之+(2a—l)x+l>3,即(x+2)(ax—l)>0,

當(dāng)a<—工時(shí)，解得-2<x〈工，當(dāng)。=—工，解集為0,

2a2

當(dāng)—L<a<0時(shí)，解得工<x<—2,

2a

綜上所述：當(dāng)a<-工時(shí)，原不等式的解集為(-2,工)，

2a

當(dāng)。=-工，原不等式的解集為0,

2

當(dāng)—!<a<0時(shí)，原不等式的解集為(工,—2),

2a

【小問2詳解】

若/(1)=3,可得/(l)=axl2+bxl+l=3,所以a+〃+l=3,

111力+1a、4

所以-----二—(----1------)(。+Z?+1)=-(2H-------F-~~-)>—(2+2.-----x------)=——,

a"13ab+13ab+13ab+1--3

當(dāng)且僅當(dāng)—==，即a==L時(shí)，取等號(hào),

a。+122

114

所以一十一的最小值；.

ab+13

18.已知函數(shù)/(x)=Y±l是其定義域上的奇函數(shù)，且/。)=2.

ax+b

(1)求。，b的值；

⑵令函數(shù)/2(%)=—+4-2對(duì)(x)(加eR),當(dāng)xe[l,3]時(shí)，丸⑴的最小值為一8,求加的值.

【答案】(1)a=l力=0

(2)m-A/6

【解析】

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及/。)=2可求得a/.

(2)利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)、最值來列方程，從而求得加的值.

【小問1詳解】

依題意/(l)=—^=2,a+b=l,

J(x)是奇函數(shù),/(%)+/(-%)=0,

X2+1+12Z?(x2+1)

'上+=-,----9_J=0恒成立，所以6=0,則a=l,

ax+b-ax+byax+b)[-ax+bj

此時(shí)〃x)=二生，定義域是{xlxwO},

X

f+1

/(-%)=--=-/(%),符合題意.

—X

X211

所以〃=1,方=0,〃%)=---+-=%+一.

XX

【小問2詳解】

1

函數(shù)丸(》)=,+1-JxlmeR,xe[1,3]),

2+X

函數(shù)y=x+，在區(qū)間[1,3]上單調(diào)遞增，最小值為1+1=2,最大值為3+；=；.

XIJJ

110001

☆r=--G2,--,則廣=x+2d----,

XL3」X2

所以h(久)轉(zhuǎn)化為丁=/一2m/一2[2</<￥),函數(shù)圖象開口向上，對(duì)稱軸為『=機(jī),

當(dāng)機(jī)<2時(shí)，函數(shù)y=〃—2〃“—212V/<wJ在2,y上單調(diào)遞增，

最小值為4-4m-2=2-4m=-8,wz=—,不符合.

2

當(dāng)2<根時(shí)，最小值為根2-2相2-2=-根2-2=-8,根=太(負(fù)根舍去)，

當(dāng)加〉”時(shí)，函數(shù)》=「—2/加—22</<W在2,—上單調(diào)遞減，

3I3；L3J

f10^10c8220m77_.

取B小值為|--2mx-----2=------------=—8o，m=一,不符合.

I3J39330

綜上所述，m=V6.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：

奇函數(shù)的性質(zhì)：利用奇函數(shù)的定義來確定參數(shù)值，是解決小問1的主要方法.

換元法與二次函數(shù)分析：通過換元法將復(fù)雜的函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用二次函數(shù)的最值和單調(diào)

性來解決符合條件的求解，是小問2的關(guān)鍵解法.

邏輯推理與驗(yàn)證：通過邏輯推理來驗(yàn)證最值條件，確保每種情況都得到充分的分析，是確保答案正確的重

要方法.

19.一般地，若函數(shù)〃尤)的定義域是可，值域?yàn)閲杷?則稱［勿，煙為“龍)的"七倍跟隨區(qū)間”，

若函數(shù)的定義域?yàn)椋踑,可，值域也為可，則稱可為〃龍)的“跟隨區(qū)間”.

(1)寫出二次函數(shù)/(x)=gx2的一個(gè)“跟隨區(qū)間”；

(2)求證：函數(shù)g(x)=l-工不存在“跟隨區(qū)間”；

X

(3)已知函數(shù)網(wǎng)力=("+；)1行氐。/0)有“4倍跟隨區(qū)間”［4m,4可，當(dāng)〃一加取得最大值

Cl

時(shí)，求a的值.

【答案】⑴［0,2］⑵證明見解析

(3)a=15

【解析】

【分析】⑴求得值域［0,+8),可得［a,可口0,+8),進(jìn)而可得/(力=3必=工有兩個(gè)非負(fù)根，求解即

可;

⑵假設(shè)［a力仁{x|xwO},利用單調(diào)性可得；，進(jìn)而可得是/—工+1=0的兩個(gè)不等且同

1——=b