安徽省卓越縣中聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024-2025學(xué)年上學(xué)期高三年級(jí)期中聯(lián)考

數(shù)學(xué)

考生注意：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘

貼在答題卡上的指定位置.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在

本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

(八c)B=\x-<2X<4>

1.已知集合"={"°I2J,則An5=()

A.[0,2]B.[1,2]C.[0,3]D,[2,3]

【答案】A

【解析】

【分析】解指數(shù)不等式求出3={x|-IV2},利用交集概念求出答案.

【詳解】B={x|2-'<2"<22}={X|-1<X<2},

故AD5=[0,3]1,2]=[0,2].

故選：A

2.若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,-JI),則不；=()

ZZ+1

A.一也+匕B,31C一立+匕D.二烏

22224444

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，求出復(fù)數(shù)z及其共物，再利用復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算計(jì)算即得.

【詳解】依題意，z=l—?jiǎng)t三=1+4，zz=(l-V2i)(l+V2i)=3,

1-V2i1V2.

所以----------=-----------1

ZZ+13+144

故選：D

3.已知向量方=(—1,2),B=(2,2),則a在方上的投影向量為()

A.B.(1,1)C.(-1,2)D.(-2,4)

【答案】A

【解析】

【分析】由投影向量的定義代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)橄蛄糠?(—1,2),3=(2,2),

a-bb_-2+4b_O

則,在5上的投影向量為利.付=正義云萬(wàn)=W6=W(2'2)=[5,5j.

故選：A

4.記S“為正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，若$3=3,品=21,則$6=()

A.6B.9C.12D.15

【答案】B

【解析】

【分析】運(yùn)用等比數(shù)列前，項(xiàng)和的性質(zhì)，即：等比數(shù)列依次加項(xiàng)的和仍為等比數(shù)列求解即可.

【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛%,｝的公比為4,

由題意知，＜7*1,

所以乞，S6-S3,原-反成等比數(shù)列，

所以⑸-S3)2=§3⑸一$6),即⑸-3)2=3(21-§6),

解得A=9(舍負(fù)).

故選：B.

,、sinfx-y)-2sinxcosy

5.若tan(x—y)=3,--~。,------~-=-5,貝!Jtan2y=()

/cos(x-y)—2slnxsiny

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)兩角差的正余弦公式化簡(jiǎn)分式，可求得tan(%+y)的值，再根據(jù)

tan2y=tan[(x+y)-(x-y)]結(jié)合兩角差的正切公式求解出結(jié)果.

sinn(x-y)-2sin%cosy-sinxcosy-cosxsiny_-sin(x+y)

【詳解】因?yàn)?/p>

cos(x—y)—2sinxsinycosxcosy-sin%sinycos(x+y)

所以tan(x+y)=5,

又因?yàn)閠an2y=tan[(x+y)—(x—y)]=t：(：，)=5-3=

L」l+tan(x+y)tan(x-y)1+5x38

故選：C.

6.在VABC中，BD=2BC，AE=//AD,AF=juAC,其中4〃e(0,l),若屜=萬(wàn)戶(hù)，則

)

c.1-1=1111

A.A/~juB.2+〃=1

2〃口廠(chǎng)尸

【答案】C

【解析】

【分析】由向量的加減及數(shù)乘運(yùn)算即可求解.

【詳解】

而=麗+樂(lè)=麗+〃布=麗+〃圍+麗)=麗+〃(通+彳冠卜麗+〃(通+2函-砌)

=A/uAC+(〃一4〃-1),

1)F=DB+^+AF=-XBC-AB+/AAC=-A.^AC-AB^-AB+ILIAC=^-\)AB+^-A)AC,

—VI—2

因?yàn)槠?而，所以“

〃—A/1_]=4_]

所以Aju—u—A,,即7;----=1,

A〃

故選：C

7.若/(%)=log2(4"+l)—〃(X2—%+i)為偶函數(shù)，則/(%)()

77

A.有最大值一B.有最小值一C.有最大值2D.有最小值2

44

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義列出等式即可求解。，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，進(jìn)而可知其最值.

【詳解】/(%)的定義域?yàn)镽,因?yàn)?(%)為偶函數(shù)，所以/(-%)=/(%),

即log,(4'+1)_a(尤2+%+1)=log,(4、+1)_a(尤2_尤+1),

整理得2ax+log24*=0,

即2at+2x=0對(duì)任意R均成立，所以。=一1,

A2

所以/(x)=log2^4+l)+x-x+l,

1244X-1

當(dāng)xe(0,+oo)時(shí)，/'(%)=-4xln4+2x-l=+2x-l=+2x

(4l+I)ln24、+14T+1

因?yàn)閤e(0,+oo),所以4*—1>0，所以/(x)>0在(0,+8)恒成立,

所以/(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，又/(幻為偶函數(shù)，所以/(%)在(-8,。]單調(diào)遞減,

所以/(X)min=/(0)=lOg22+l=2,

故選：D.

8.設(shè)min｛x,y｝表示實(shí)數(shù)尤,y中的最小值，若函數(shù)=min"/+4%+2,2-尤｝,函數(shù)

g(x)=[/(切2一叭力+1有六個(gè)不同的零點(diǎn)，則。的取值范圍是()

A.(0,2)B.JB]C.(2,4)D.(2,+s)

【答案】B

【解析】

【分析】畫(huà)出“X)的圖象，令〃尤)=心分析出函數(shù)>=產(chǎn)一0+1有兩個(gè)不相等零點(diǎn),且

/(%)=%和/(x)=/2均有三個(gè)根，且根各不相同，所以0益e(O,2),由韋達(dá)定理分析得到

由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性得到。的取值范圍，驗(yàn)證后得到答案.

令/(%)=/,則函數(shù)y=「-0+1至多兩個(gè)零點(diǎn)”2，

而/(%)=%至多三個(gè)根，同理%)=G至多三個(gè)根，

要想g(x)=[/(x)T-W(x)+1有六個(gè)不同的零點(diǎn),

需y=/一m+1有兩個(gè)不相等零點(diǎn)九，不妨設(shè)4<L，

且/(%)=%和/(力=t2均有三個(gè)根，且根各不相同,

所以.右e(0,2),由韋達(dá)定理得GJ=1，八+=a,

顯然故

1

故a=q+與+一,e

1

由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)得。%+7在4e上單調(diào)遞減,

h

1r,1c

所以〃=%]■!€1+1,—+2

%I2

△=4—4＞。

故aeQg

此時(shí)滿(mǎn)足<

故選：B

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題處理思路：①利用換元思想，設(shè)出內(nèi)層函數(shù)；②分別作出內(nèi)層

函數(shù)與外層函數(shù)的圖象，分別探討內(nèi)外函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)或范圍；③內(nèi)外層函數(shù)相結(jié)合確定函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù),

即可得到復(fù)合函數(shù)在不同范圍下的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.要得到函數(shù)/(x)=sin2x的圖象，可將函數(shù)g(x)=cos12x+^J的圖象(

)

A,以X軸為對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行翻轉(zhuǎn)B.以y軸為對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行翻轉(zhuǎn)

C.繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。D.繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。

【答案】ABD

【解析】

【分析】先化簡(jiǎn)g(x).對(duì)于A(yíng),以X軸為對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行翻轉(zhuǎn)，則在g(x)的表達(dá)式中，X不變，y相反，由

此判斷A；對(duì)于B,以y軸為對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行翻轉(zhuǎn)，則在g(x)的表達(dá)式中，y不變，X相反，由此判斷B；

對(duì)于C,繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，則在g(x)的表達(dá)式中，X相反，y也相反，由此判斷C；對(duì)于D,假設(shè)

假設(shè)g(%)關(guān)于點(diǎn)C的對(duì)稱(chēng)函數(shù)為旗%),則八⑺上任意一點(diǎn)(X,丁)關(guān)于點(diǎn)C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在g(x)

上，通過(guò)化簡(jiǎn)即可判斷D.

【詳解】g(x)=cosl2x+^I=-sin2x,

對(duì)于A(yíng),將g(x)的函數(shù)圖象以x軸為對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行翻轉(zhuǎn)，得到函數(shù)丁=5吊2%=/(%)的圖象，故A正

確；

對(duì)于B,將g(%)的函數(shù)圖象以V軸為對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行翻轉(zhuǎn)，得到函數(shù)y=-sin(-2x)=sin2尤=f(x)的圖

象，故B正確；

對(duì)于C,將g(x)的函數(shù)圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，得到函數(shù)，=5由(一2幻=-5由2%//(無(wú))，故C錯(cuò)

誤；

對(duì)于D,假設(shè)g(x)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)函數(shù)為h(x),

則h(x)上任意一點(diǎn)(x,y)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)['一羽一丁]在g(x)上，

則—y=—sin2(胃—x]],化簡(jiǎn)得了=-5也2%=/(%),故D正確；

故選：ABD.

10.對(duì)任意正整數(shù)〃，設(shè)a”是使2左-12〃成立的正整數(shù)上的最小值，數(shù)列｛%,｝的前〃項(xiàng)和為S”，則

()

A.V”wN*,=%B.VneN*,%“=4〃+1

C.a2n-n+1D.S2n=n~+n+l

【答案】BC

【解析】

【分析】由題意可知｛4｝的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可判斷A項(xiàng)、B項(xiàng)、C項(xiàng)，由分組求和及等差數(shù)列前九項(xiàng)和公

式計(jì)算可判斷D項(xiàng).

【詳解】由題意知，VneN*，氏是使得左2勺」成立的正整數(shù)人的最小值，

2

H+1n-I-1n+1

所以當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，——為正整數(shù)，所以(in=f，所以為=一，

2mln22

〃+1n-I-1nri

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，一不是正整數(shù)，所以/in=I"」]+1=3+1，所以?！?一+1,

2mln222

叫，〃為奇數(shù)

2

所以4=，

巳+1,偽偶數(shù)

12

,__T2Tl-1+12nYY…,T3、L

對(duì)于A(yíng)項(xiàng)，的〃-1=-------------="，a2n=--+l=n+l,所以1。％〃，故A項(xiàng)錯(cuò)慶；

0

2Tl+1+1rLLrt,.

對(duì)于項(xiàng),-2at

B+1=n+1a2?+1=——-——=n+l,所以出〃=2n+i，故B項(xiàng)正確;

0

-

對(duì)于C項(xiàng),2+1=n+1,故C項(xiàng)正確;

a

對(duì)于D項(xiàng)，S2n=a｛+a2+a3-\-------1-ct2n-\+a2n=(4+%+Q5H---------1~in-\)+(。2+&+4------a2n)

=(1+2+3+…+“)+[2+3+4+…+(“+l)]="("+l)+"(2+"+D="+2”,故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

22

故選：BC.

11.已知函數(shù)/(%)=爐+加—](。>。)的圖像在點(diǎn),/(%))和5(%2，/(%))(石<七)處的切線(xiàn)斜

率互為相反數(shù)，且這兩條切線(xiàn)交于點(diǎn)C,則()

A./(x)>1B.+x2>0C./(%)>/(%)D.[4。|>忸(7|

【答案】ACD

【解析】

【分析】選項(xiàng)A,直接判斷了(力的單調(diào)性，求最值判斷即可；

選項(xiàng)B,利用兩條切線(xiàn)的斜率之和為相反數(shù)建立等式,然后利用基本不等式得到，1-?(%1+犯)>乃鉉，

然后根據(jù)恒成立求得西的范圍即可；

選項(xiàng)c,直接求差并判斷差值的正負(fù)即可；

選項(xiàng)D,根據(jù)弦長(zhǎng)公式，然后根據(jù)題意比較wa，忸。的長(zhǎng)度即可.

【詳解】由題可知，f'(x)=e+2ax-1,

當(dāng)a>0時(shí)，顯然/'(為單調(diào)遞增，r(O)=O,

所以,當(dāng)x<0時(shí)，f'M<0,/(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)x>0時(shí)，/⑺>0,〃龍)單調(diào)遞曾

所以/(力》"0)=1,故選項(xiàng)A正確；

由題可知，/,(X,)+/,(X,)=O,即9+2%一1+e”+2睡一1=0,

由基本不等式可知，爐+e*z>2,e,|+也，因?yàn)檎?lt;%，所以e"+6^>2)e為+為，

即1—+%2)>4廣+-2,

不妨令M+%2=t,

得1-a%>V?-n”+-1<0，

t

令//(?)=e2+at-1,

因?yàn)閍>0,顯然M"=e；+G_l單調(diào)遞增，〃(0)=0，

所以要使1+必_1<0,貝卜<0,即藥+々<0,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

xi%2

1e+e

因?yàn)閑*+2咐-l+e*+2ax2-1=0,所以。(％+工2)=1-----——，

X|X2x

所以/(jq)-/(x,)=e+竭一石—e一巡+x2=e'-e^+a(%+x,)-(x1-x2)

xx,/e』+/八(、xx/、e'+e而

—c1―e2+(萬(wàn)一%2)1--------(%—%2)=e1—e2一(石一x?)-------

I2J2

x,

%-ixT/、l+e巧

=e1

'1一e、2i-(玉一%)

令M—Xi=m>0,

「1+e-l

則/'(七)一"々)=爐l-em+m—^—,

xx

令g(O=1-e+^e+^,x>0,

顯然g(O)=O,g\x)=—^+l,

xx

令G(x)=xe-e+l,x>0,

則G'(x)=xe*,

所以當(dāng)x>0時(shí)，G'(x)>0,G(x)單調(diào)遞增，所以G(x)NG(0)=0,

Vx_Xi-I

即“(x)=e>0,

所以g(x)=l—在x>0時(shí)單調(diào)遞增，

所以g(x)>g(O)=。,

1+e'"

即1—e"'+mtJ〉0,

2

顯然爐>0,

所以1-e機(jī)+6子］>0,

即/(%)>/(%),故選項(xiàng)C正確;

設(shè)。(％,%)，AC,5C的斜率分別為左左,

則““1+：2一%|，忸［="+:

x2

由于/(x)-e+ax-x(a>0)在(一8,0)單調(diào)遞減，在(0,+8)單調(diào)遞增;

所以看<0<%2，

故AC單調(diào)遞減，單調(diào)遞增,

顯然石<x0<x2,

所以/'(久i)>y0lf(x2')>y0,

所以""1+*

因?yàn)?(石)>/(9)，

所以|4C|>|BC|,故選項(xiàng)D正確.

故選：ACD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：選項(xiàng)B,我們需要的是兩個(gè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和的范圍，所以需要根據(jù)題意建立等

式，

然后出現(xiàn)了爐+e*，利用基本不等式得9+e*22，百工，然后原等式數(shù)據(jù)代入，即可判斷兩切點(diǎn)橫

坐標(biāo)之和的范圍；

選項(xiàng)C,我們直接求差，里面有參數(shù)。，然后利用兩切線(xiàn)的斜率關(guān)系消參，

1?e也一藥

然后化簡(jiǎn)得/"(xj-/(9)=9l-e當(dāng)-％)---，然后只需要討論后面中括號(hào)中的正負(fù)即

可，換元求解即可；

選項(xiàng)D,弦長(zhǎng)公式可以用于計(jì)算平面上兩點(diǎn)的距離，注意需要斜率存在或者斜率的倒數(shù)存在.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

2羽%>1,

12.已知函數(shù)/(%)=<2若=則實(shí)數(shù)機(jī)=_____.

-,x<1,

—1

【答案】-1

【解析】

【分析】分〃Z21和相<1兩種情況討論即可.

【詳解】當(dāng)加21時(shí)，/(機(jī))=2根=根顯然不成立；

2

當(dāng)“2<1時(shí)，f(m)=----=m,解得機(jī)=-1或加=2(舍)，

m-1

綜上所述：m=-l,

故答案為：-1

13.已知函數(shù)/(x)=2sintyx(?>0)在［0,兀］上的最小值為-1,則①=.

7

【答案】一

6

【解析】

7

【分析】求出。無(wú)根據(jù)最小值得到0兀=；兀，求出答案.

6

【詳解】a>>0,xe［o,兀|時(shí),coxG［0,an］,

7

/(%)=251110%3>0)在［0,兀］上的最小值為-1,故。71=_g,

6

7

解得。二一.

6

7

故答案為：—

6

14.已知集合4=｛(陽(yáng),)|無(wú)3+,3+2?=4｝,集合3=｛(x,y)|N<x+y<"｝,若貝?。?的

最小值為，N的最大值為.

2

【答案】0.2②.-

3

【解析】

【分析】令》+丁=，，孫=應(yīng)將d+V+z盯=4用，,a表示，由M/求出/的取值范圍即可得解.

【詳解】令x+y=%，Zy=〃，由％3+,3+2盯=4,得(x+y)3—3町(%+y)+2孫=4,

a2/3—4X+Vo1o

貝U(3f—2)“=/一4,顯然/w—,則M=^~而1/=孫<(--)-=-?2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等

33t—224

號(hào),

戶(hù)一4'/戶(hù)一42戶(hù)+2戶(hù)一16,八(7—2)(〃+由+8),八

因此-----<—=--------?--<00—：----------V00-——-------------<0,

3t—243t—244(3?-2)4(3/-2)

a-2)(3?-2)<02

而「+4/+8=(/+2)，+4〉0,因此<:八，解得

352/03

22

即§<x+y<2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=l時(shí)取等號(hào)，由得NWg,MN2,

2

所以M的最小值為2,N的最大值為一.

3

故答案為：2；—

3

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：令x+y=/，孫=〃，將給定等式用表示，再結(jié)合基本不等式建立不等關(guān)系是

求解關(guān)系.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.己知數(shù)列｛a“｝滿(mǎn)足2aa+i-2an=%,且%=3,其前〃項(xiàng)和記為5“.

(1)求｛qJ的通項(xiàng)公式;

111

(2)記數(shù)列(丁］的前〃項(xiàng)和為7；,求證：Tn<—.

【答案】(1)4=〃+1

(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意可得｛4｝是公差為1■的等差數(shù)列，由%=3可得4=2,進(jìn)而可知公差為1,進(jìn)而

可寫(xiě)出通項(xiàng)公式;

1

(2)由(1)可寫(xiě)出S〃，進(jìn)而不的表達(dá)式可知，利用裂項(xiàng)求和的的方法即可證明不等式.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?q,所以a,.一%=^，

所以｛““｝是公差為多的等差數(shù)列.

又出=%+與=3,所以q=2,從而公差為1,

所以］〃=2+〃-1=〃+1.

【小問(wèn)2詳解】

5〃=2"+；仆―1)=^^

1_2_2_2<j___1_

2*

Snn+3n〃(〃+3)3(〃〃+3

1111

所以，=------1--------1--------F???H------

H$2S3Sn

11111111111

亂」+工—?------------1-------------...十---------1-------------------1-----------------

3(4253647n-2〃+In—1〃+2n〃+3

21---M

i+l+l-

323〃+1〃+2〃+3)

111UTI+1I1

~9〃+2〃+3

112(111\11

因?yàn)椤ā闚*，所以-----------+-----+-----<—不等式得證.

93(〃+1〃+2n+3)9

16.已知函數(shù)/(%)=猊*+*.

(1)求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

⑵設(shè)實(shí)數(shù)私〃滿(mǎn)足加z<0,求/(加)/(“)的最小值.

【答案】()單調(diào)遞減區(qū)間為■和)

1-8,-1(1,+8,單調(diào)遞增區(qū)間為

1-2

(2)--e4

2

【解析】

【分析】(1)求導(dǎo)，分另懈r(x)<0,/'(X)>0進(jìn)而可得/(X)的單調(diào)性.

(2)結(jié)合單調(diào)性分別可求得/(〃)、/(m)的范圍，再結(jié)合不等式的性質(zhì)即可求得結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

由己知得/(%)=+%(—2%+1)尸2+,=(—2/+%+小*+工，

令/'(*)=°，得一2/+%+1=0，解得X]=—g,%=1,.

當(dāng)x<—g或1>1時(shí)，/'(力<0,當(dāng)—g<x<l時(shí)，/,(%)>0,.

所以“X)的單調(diào)遞減區(qū)間為[-00，-；)和(1，+8),單調(diào)遞增區(qū)間為

【小問(wèn)2詳解】

不妨令機(jī)>0,孔〈。.

因?yàn)楫?dāng)x<0時(shí)，〃尤)<0,所以/(〃)<0,

且由(1)可知/(n)>f

1-2

所以—4</(H)<0,

因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，f(x)>0,所以〃根)>0,

且由(1)可知/(m)</(1)=1.

所以0</(加)<1,

1.2

所以-萬(wàn)匕4<f(m)f⑻<0,

1_3

故〃冽)/⑺的最小值為—共4.

17.如圖，在平面四邊形ABC。中，AC與。B的交點(diǎn)為E,DB平分/ADC，AB=BC=CD=2,

AD>2.

E

AfC

B

（1）證明：BD2=2（AZ）+2）；

37rDF

(2)若=叫，求——.

4BE

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵A/3+I

【解析】

【分析】（1）由NADB=NCD3可得cos，ADB=cos，CDfi,結(jié)合余弦定理證明即可.

(2)由NCD6=NC3。、/ADB=NCBD&AB=CD,AD>5C可證得四邊形ABCD是等腰梯形,

AT）

進(jìn)而可得ZABC=ZBCD,進(jìn)而可求得NADB,在4ABD中，由正弦定理可得——，再結(jié)合AD//BC.

AB

43=5?？傻闷?包即可.

BEAB

【小問(wèn)1詳解】

如圖,

由題意知NADB=NCDB,貝Ucos，AnB=cos/GDB,

人少+旅-AB?CD。+BD°-BC°

由余弦定理得

2ADBD2CDBD

AD-+BD--4

m即--------------4+：：〉4，整理得池-2）.*=2（A￡>2_4）,

2ADBD

因?yàn)锳D>2,所以5。2=2（，4。+2）.

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)?C=CD,所以NCDB=NCBD,

因?yàn)镹ADB=NCD5,所以NADfi=NCB￡),所以AD〃BC.

又因?yàn)锳3=CE>,AD>BC,所以四邊形ABC。是等腰梯形，所以NABC=NBCD.

3冗7T

設(shè)/ADB=/CDB=/CBD=a,則一+。=兀—2。，解得a=一.

412

.兀.兀兀V6-V2

sin—=sin

123~44

.3兀也

sin

-qzADsin^ABDT

在△ABD中，由正弦定理可得二大=.--2=用1,

ABsin/ADB.兀

sin——V6-V2

124

r)pAriAr)「

又因?yàn)锳D//BC,所以--------=----=A/3+1.

BEBCAB

18.己知函數(shù)〃x)=(x+l)ln(x+l)-ar,aeR.

(1)求曲線(xiàn)y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線(xiàn)方程;

(2)若求。的值;

(3)若/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)xrx2,且"―王|〉e—1,求。的取值范圍.

【答案】(1)y=(l-a)x

(2)a=l

e

(3)a>——

e-1

【解析】

【分析】(1)求出/(o)=o,求導(dǎo)得到/'(0)=1-a,利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求出切線(xiàn)方程;

(2)求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性和最小值，要使小)對(duì)恒成立，則需“―e“T20,設(shè)姒X)="廣。求

導(dǎo)得到其單調(diào)性，求出0(x)W0(l)=O,求出解a=l,

(3)易知/(0)=0,不妨設(shè)%=0,故/<l-e或馬〉e—l,由(2)知，/(尤)的極小值點(diǎn)和單調(diào)

性，分。<1和?！?兩種情況，a<1不合要求，?！?時(shí)，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理和單調(diào)性得到只需

/(e-l)<0,得到不等式，求出答案.

【小問(wèn)1詳解】

由已知得/'(x)=ln(x+l)+l—a,.

所以/'(0)=1—a,且/(0)=0,

所以曲線(xiàn)y=/(x)在點(diǎn)(0"(0))處的切線(xiàn)方程為y=(l—a)x.

【小問(wèn)2詳解】

/(兀)=(%+1)111(%+1)-依的定義域?yàn)?-1,+8),

因?yàn)?f(x)=ln(x+l)+l-a,

al

由/■'(%)=(),^x=e--1.

當(dāng)—l<x<e“T—l時(shí)，r(x)<0,當(dāng)x>e“T—l時(shí)，/'(x)>0,

故/(%)(—l,e“T—1)上單調(diào)遞減，在(e°T—i,y)上單調(diào)遞增，

所以/OLn=f(e“TT)=(aT)e--a(e"-1)=a-e1.

要使恒成立，則需a—eoT^O.

設(shè)0(x)=x-e"T,則0'(x)=1-e'T,

當(dāng)XG(—CO,1)時(shí)，。(九)>0,

當(dāng)xe(l,+oo)時(shí),

故0(x)在xe(YO,1)上單調(diào)遞增，在xe(1,+8)上單調(diào)遞減，

所以0(x)W0(l)=O,即a—/一1<0,僅當(dāng)a=1時(shí)等號(hào)成立.

所以a—e"T20的解為a=l，

故a=1.

【小問(wèn)3詳解】

易知/(0)=0,不妨設(shè)玉=0,

則,_%J>e_l,即同〉e-l,所以％2<l—e或馬>e—l.

由⑵知，〃尤)的極小值點(diǎn)為x0=e"T-l,“X)在(―1,%)上單調(diào)遞減，

在(％,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)a<l時(shí)，不<0,此時(shí)若馬存在，則必有We(一l,%o),不符合題意.

當(dāng)a>l時(shí)，/〉0,所以/■(%0)</(0)=0,/(e"—l)=ae“—a(e"—l)=a>0,

所以/(%)在(%,+8)上一定存在一個(gè)零點(diǎn)馬.

要使X2〉e—1,由單調(diào)性可知，只需/(e-l)<0,

即e—a(e—1)<0,解得a〉---.

e-1

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問(wèn)，先觀(guān)察出/(。)=0,去掉一個(gè)參數(shù)，得到％<l-e或％2〉e-1.再結(jié)

合函數(shù)的極值點(diǎn)和單調(diào)性，分。<1和a>l兩種情況進(jìn)行分析，求出結(jié)果.

19.過(guò)點(diǎn)（1,0）作曲線(xiàn)。：y=/?>1）的切線(xiàn)，切點(diǎn)為A，A在x軸上的射影為耳，過(guò)耳作c的切線(xiàn),

切點(diǎn)為a，4在X軸上的射影為與，再過(guò)當(dāng)作c的切線(xiàn)……每次作的切線(xiàn)斜率均大于0,像這樣重復(fù)

操作，得到一系列點(diǎn)A,a，4,…，設(shè)AS=123,…）的橫坐標(biāo)為%.

（1）若/=