2025年新高考數(shù)學復習壓軸題講義：高等解析幾何背景新定義（七大題型）

專題06高等解析幾何背景新定義

【題型歸納目錄】

題型一：特殊空間幾何體新定義

題型二：空間斜坐標系新定義

題型三：結(jié)合解析幾何距離新定義

題型四：空間直線方程

題型五：空間平面方程

題型六：立體幾何與解析幾何結(jié)合新定義

題型七：解析幾何概念新定義

【方法技巧與總結(jié)】

空間立體幾何與解析幾何新定義試題呈現(xiàn)的結(jié)構通常為“給出圖形的新定義一探索圖形的新性質(zhì)一運

用圖形的新性質(zhì)解決問題”，設問的層次通常為從簡單到復雜、從特殊到一般.理解概念重要的不僅是概念

如何定義，而且是概念能夠引出哪些性質(zhì)(具有哪些表征)；研究圖形重要的不僅是發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論，而且是

采用了怎樣的思想方法.這正是數(shù)學課程性質(zhì)中的抽象結(jié)構思想和數(shù)學課程目標中的核心素養(yǎng)導向的體現(xiàn).

【典型例題】

題型一：特殊幾何體新定義

【典例1-1】(2024?高三?河北?階段練習)已知“=(尤”[/J,b=^x2,y2,z2),c=(x3,y3,z3),定義一種運算:

(ax9Jc=x{y2z3+x2y3zx+x3yiz2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2zt,在平行六面體48co-4BC中，48=(1,1,0),

25=(0,2,2),Z4；=(l,-l,l).

(1)證明：平行六面體ABCD-/EGA是直四棱柱；

(2)計算|(萬乂而卜五可，并求該平行六面體的體積，說明|(萬x45).無可的值與平行六面體

48co-4與GO體積的關系.

【解析】⑴證明：由題意石?德=lxl+lx(_l)+0xl=0,Z4；.ZD=0xl+2x(-l)+2xl=0,

二石_L石，AA.A.AD,BPAA11AB,AAtlAD,

；AB,4D是平面4BCD內(nèi)兩相交直線，...441，平面/BCD,

平行六面體N3CD-4旦GA是直四棱柱；

(2)|(A8x2D)-14|=lx2xl+2xlxl+0-lx(-l)x2-0-0=6,

由題意同=拒，]囹=2后,

AB-AD=1x0+1x24-0x2=2、

ABAD

所以sin/氏4。=

AB\x[AD\72X272

SABCD=\A^\-\AE\-smZBAD=47.x272=班，畫=百，

=X

?,ABCD-AXBXCXDXABCD|"41=2^/JXy[?>=6.

X

''|('B，卜^ABCD-A{B[C{DX,

故|(方義通).比"的值表示以/B,AD,/4為鄰邊的平行六面體的體積.

【典例1-2】(2024?高二?上海徐匯?期中)設尸為多面體〃的一個頂點，定義多面體"在點尸處的離散曲率

為1一1(/0田02+/。2P。3+…+/。1尸2+/2尸&)，其中2(，=1，2,…，k,左23)為多面體M的所有

271

與點P相鄰的頂點，且平面。/Q，平面。2尸。3,…，平面。和平面&尸。為多面體”的所有以「為

公共點的面.已知在直四棱柱/BCD-/4G2中，底面/BCD為菱形，且N4=/8=l.

(1)求直四棱柱用G2在各個頂點的離散曲率之和；

(2)若直四棱柱/BCD-48C2在點/處的離散曲率為x,直四棱柱/8CD-/3C，體積為“X),求函數(shù)

了=/(到的解析式及單調(diào)區(qū)間.

【解析】⑴在直四棱柱N3CD-44G。中，幺/。=幺/8=,底面N8CD為菱形，

由離散曲率的定義知：44,c，G的離散曲率相等，氏綜22的離散曲率相等，

所以A處的曲率為1——x(―+—+ZBAD)=——V,而。處的曲率為1——x(―+—+ZADC)=--,

2兀2222兀2兀2222兀

又ZBAD+N4DC=TI,

匚匚…品合力4AD1ZADC?ZBAD+ZADC1

所以A、/)兩處的曲率和為---------1---------------=1----------------------=_,

22兀22兀2兀2

故直四棱柱/8CD-N8G2在各個頂點的離散曲率之和4xg=2.

⑵由題設，A處的曲率1一1-x(二+&+Z8/D)=j一芻2=x,ZBAD=TI(1-2x),

2TI2222兀

所以直四棱柱底面面積為2s&ABD=2X；Xfxsin兀(1一2x)=sin兀(1一2x)=sin2TIX,

故直四棱柱NBC。-高為1,故體積為/(尤)=sin2m,

TTIT111]

令2析—<2.nx<2ATIH—,kwZ,可得上—MxMkT—,keZ,HP\k—,k—],左eZ上/(x)遞增；

224444

令2EH—<2TCV<2ATIH,kwZ,可得左H—MxMkT—,keZ,即[左H—,kH—],斤eZ上/(x)遞減；

224444

1113

所以/(X)增區(qū)間為區(qū)—-水+：],減區(qū)間為區(qū)+—,左+:],keZ.

4444

【變式1-1](2024?遼寧沈陽?二模)蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如圖1所示.蜂房結(jié)構是由正六棱柱

截去三個相等的三棱錐〃-/BC,J-CDE,K-EE4,再分別以/C,CE,瓦4為軸將“CH,KEJ,AEAK

分別向上翻轉(zhuǎn)180。，使H,J,K三點重合為點S所圍成的曲頂多面體(下底面開口)，如圖2所示.蜂房曲頂

空間的彎曲度可用曲率來刻畫，定義其度量值等于蜂房頂端三個菱形的各個頂點的曲率之和，而每一頂點

的曲率規(guī)定等于2兀減去蜂房多面體在該點的各個面角之和(多面體的面角是多面體的面的內(nèi)角，用弧度制表

7TJT

示).例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是所以正四面體在各頂點的曲率為如-3X§=TT.

4BiAiBi

圖1圖2

(1)求蜂房曲頂空間的彎曲度；

(2)若正六棱柱底面邊長為1,側(cè)棱長為2,設BH=x

⑴用x表示蜂房(圖2右側(cè)多面體)的表面積S(x)；

(ii)當峰房表面積最小時，求其頂點S的曲率的余弦值.

【解析】(1)蜂房曲頂空間的彎曲度為頂端三個菱形的7個頂點的曲率之和，

根據(jù)定義其度量值等于7x2兀減去三個菱形的內(nèi)角和3x2以

再減去6個直角梯形中的兩個非直角內(nèi)角和6x7t,

即蜂房曲頂空間的彎曲度為7x2兀-3x2兀-67t=2兀.

⑵⑴如圖所示，連接NC，SH,貝。。=百，設點S在平面/CE的射影為O,

則08=1,貝U=4+4X2

菱形SAHC的面積為S二旦,1+4/,

2

側(cè)面積6,2+（；一X）,I=3（4-X）=12-3X,

所以蜂房的表面積為S(x)=浮?4+4/—3x+12,XG(0,2).

eV、—6島3

S(%)=,--3=

(11)V1+4%2

令S(x)=0得至晨=走,

4

(5、(再)

所以S(x)在0喋,S'(x)<0,S(x)遞增;在|：2,S'(x)>0,S(x)遞增.

所以S(x)在x=1處取得極小值，也即是最小值.

4

此時&4=SC=Jl+d=述,在AS/C中，令NASC=9,由余弦定理得cos6=旦±些二”=一,

42xSAxSC3

又頂點S的曲率為2兀-36,

cos(2兀-30)=cos39=cos(2。+6)=cos20cos0-sin29sin0

二(2cos2^-l)cos^-2sin2OcosO

=(2cos20-1)cos0-2(1-cos26>)cos?

=4COS36*-3COS6?=4X(-1)3-3X(-1)=||.

題型二：斜坐標系新定義

【典例2-1](2024?高二?湖北?階段練習)空間中，兩兩互相垂直且有公共原點的三條數(shù)軸構成直角坐標系.如

果坐標系中有兩條坐標軸不垂直，那么這樣的坐標系稱為“斜坐標系”.現(xiàn)有一種空間斜坐標系，它任意兩條

數(shù)軸的夾角均為60。，我們將這種坐標系稱為“斜60。坐標系”.我們類比空間直角坐標系，定義“空間斜60。坐

標系”下向量的斜60。坐標：二1定分別為“斜60。坐標系”下三條數(shù)軸。軸，＞軸，z軸)正方向上的單位向量,

若向量元=+/+,則為與有序?qū)崝?shù)組[x,y,z]■對應，稱向量萬的斜60。坐標為[x,y,z],記作

n=[x,y,z].

⑴若）=[1,2,3]石=[-1,1,2],求方+B的斜60。坐標；

⑵在平行六面體48co-48CQ中，AB=AD=2,AA1=3,ABAD=ABAAX=ADAAX=60°,建立“空間斜60。

坐標系”如下圖所示.

Bx

①若礪=函，求向量西的斜60。坐標；

②若萬7=卬,0],且加_L為，求p可.

【解析】(l)v5=[1,2,3],&=[-1,1,2],

:.a+b=(i+2/+3不)+卜，+j+2k^=3j+5k=[0,3,5],

.?.3+B的斜60。坐標為[0,3,5].

(2)設分別為與赤，而，麴同方向的單位向量，

貝IJ刀=27,15=21,刀=35，

@EDl=ADi-AE=(AD+AAiy^AB+]

=一存+而+；國'=4+2]+1%=22,

②由題數(shù)=2§+通+怒=2：+2]+3不，

由M=[3j,0],知方？=31+斤，

由而_1,布，知：

AM-AC^^i+2j+3k)\3i+tj)=0,

6z~+2//2+(6+2f)i.J+9k-i+3tk?j—0,

i93/

.■.6+2f+(6+2?)--+-+y=0,解得f=-3,

貝1J畫=W-3/卜J(3f)2=3.

【典例2-2](2024?高二?四川綿陽?階段練習)空間中，兩兩互相垂直且有公共原點的三條數(shù)軸構成直角坐標

系，如果坐標系中有兩條坐標軸不垂直，那么這樣的坐標系稱為“斜坐標系”.現(xiàn)有一種空間斜坐標系，它任

意兩條數(shù)軸的夾角均為60。，我們將這種坐標系稱為“斜60。坐標系”.我們類比空間直角坐標系，定義“空間

斜60。坐標系”下向量的斜60。坐標：分別為“斜60。坐標系”下三條數(shù)軸（無軸、了軸、z軸）正方向的單位

向量，若向量萬=x『+蘇+zE,則萬與有序?qū)崝?shù)組相對應，稱向量力的斜60。坐標為[x,y,z],記作

力=[x,%z].

(1)若方=[1,2,3],K=[-1,1,2],求a+B的斜60。坐標；

(2)在平行六面體ABCD-ABCR中，AB=AD=2,AA1=3,ABAD=ABAAX=ZDAAt=60°,N為線段D?

的中點.如圖，以｛函而，麴｝為基底建立“空間斜60。坐標系”.

①求麗的斜60。坐標；

②若4W=[2,-2,0],求/必與麗夾角的余弦值.

【解析】(1)由)=[1,2,3],6-[-1,1,2],

知。=i+2/+3左，b=-i+j+2k>

所以3+B=(i+2/+)+z+j+2k)=3/+5兄，所以N+B=[0,3,5]；

(2)設f,j,1分別為與焉，AD<您同方向的單位向量，

則方=2;，AD=2j,~AAx=?)k,

@w=sc+cq+Qv=25+Z^-|28=2j-+3^-7=-7+2j-+3^,

BN=[-1,2,32.

②因為為7=[2,-2,0],所以而=2f-2],

則|肉|=\21-2j\=^(27-2J)2=74?+47-87-j=V4+4-4=1，

'-"IBN|=J(2)+3-12=jy,

**?BN-AM=(-z+2j+3i)?(2i-2力=4>j+6i-k-2i~-6k-j+2i-j=-3>

-"BN-AM-3

cos<BN,AM>—■——..-—-j=—

\BN\-\AM\715x210

所以而與麗的夾角的余弦值為-辿

10

【變式2-1]（2024?高二?山東濰坊?期中）空間中，兩兩互相垂直且有公共原點的三條數(shù)軸構成直角坐標系，

如果坐標系中有兩條坐標軸不垂直，那么這樣的坐標系稱為“斜坐標系”.現(xiàn)有一種空間斜坐標系，它任意兩

條數(shù)軸的夾角均為60°，我們將這種坐標系稱為“斜60。坐標系”.我們類比空間直角坐標系，定義“空間斜60。

坐標系”下向量的斜60。坐標：『二》分別為“斜60。坐標系”下三條數(shù)軸（X軸、》軸、z軸）正方向的單位向量，

若向量元=6+W+z不，則萬與有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）相對應,稱向量力的斜60°坐標為[x,y,z],記作行=[x,y,z].

(1)若1=[1,2,3],jj=[-1,1,2],求d+B的斜60°坐標；

(2)在平行六面體/BCD-/BCQi中，AB=AD=1,AAi='3,ABAD=ZBAA}=ZDAAt=60°,如圖，以

{函而，石}為基底建立“空間斜60。坐標系”.若而=[2/0],且而J.為，求|無可

【解析】⑴由)=[1,2,3],i=[-1,1,2],^a=i+2j+3k,b=-i+j+2k,

所以NB=(i+2/+3定)+口+/+水)=3/+5斤，

所以@+*=[0,3,5]；

(2)設f,7，斤分別為與冠，AD，方;同方向的單位向量，

則存=2『，AD=2j,而'=3月，

由題為=方+屈+石=21+2]+3不，

因為1位=[2,1,0],所以商=2『+斤，

由AM_LACl知AM-AC)=(2i+2j+3k}+tjj=0

n4產(chǎn)+2"，+(4+2。f./+6譏孑+3tk-y=0

=>4+2/+(4+2。?；+3+,=0=/=-2

貝l|麗=|27-2j\=J(21_2力2=74?+47-87-7=V4+4-4=1

【變式2-2]（2024?高二?江蘇常州?期中）空間中，兩兩互相垂直且有公共原點的三條數(shù)軸構成直角坐標系，

如果坐標系中有兩條坐標軸不垂直，那么這樣的坐標系稱為“斜坐標系”.現(xiàn)有一種空間斜坐標系，它任意兩

條數(shù)軸的夾角均為60%我們將這種坐標系稱為“斜60。坐標系”.我們類比空間直角坐標系，定義“空間斜60°

坐標系”下向量的斜60。坐標：i,j,k分別為“斜60。坐標系”下三條數(shù)軸（％軸、y軸、z軸）正方向的單位向量,

若向量元=xi+yj+zk,則n與有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)相對應，稱向量力的斜60。坐標為[x,y,z],記作萬=[x,y,z].

(1)若)=[1,2,3],ft=[-1,1,2],求&+B的斜60。坐標；

(2)在平行六面體ABCD—ABC}DX,AB=AD=2,AAi=3,Z.BAD=Z.BAAl=Z.DAAX=60°,如圖，以^AB,AD,AA^

為基底建立“空間斜60。坐標系”.

②若花=[2/,0],且加工而，求|屈

【解析】⑴由3=[1,2,3],*=[-1,1,2],知方=『+2，+35,b=-i+j+2k,

所以2+B=(/+2j+3元)+(-z+j+25)=3j+5k,

所以布=[0,3,5]；

⑵設7分別為與五§,而,戴同方向的單位向量，

則方=27,石=2j,AAt=3k,

=—2z+2jH—k

(2)由題ACy—AB+AD+AA,^=2i+2/+3k,

因為翔=[2,f,0],所以而=2:+),

由AM_LACt知AM-AC1=(2i+27+3左)?(2i+))=0

n412+2z/2+(4+2。i-j+6k'i+3tk-j=0

i3/

=^>4+2/+(4+2z)?-+3+y=0

=>t=—2

則可卜團一2m=“2>2/2

=A/4+4—4=2-

題型三：結(jié)合解析幾何距離新定義

【典例3-1](2024?高二?北京?期中)“曼哈頓幾何”也叫“出租車幾何”，是在19世紀由赫爾曼?閔可夫斯基提出

來的.如圖是抽象的城市路網(wǎng)，其中線段H同是歐式空間中定義的兩點最短距離，但在城市路網(wǎng)中，我們

只能走有路的地方，不能“穿墻”而過，所以在“曼哈頓幾何”中，這兩點最短距離用"(43)表示，又稱“曼哈

頓距離”，即d(48)=|/C|+|C同，因此“曼哈頓兩點間距離公式"：若/(%,為)，B(x2,y2),則

d(43)=「f|+|%一必|

⑴①點/(3,5),5(2-1),求“48)的值.

②求圓心在原點，半徑為1的“曼哈頓單位圓”方程.

⑵已知點8(1,0),直線2x-y+2=0,求2點到直線的“曼哈頓距離”最小值；

⑶設三維空間4個點為4=(x”％zJ,i=l,2,3,4,且%,%,4?{0,1}.設其中所有兩點“曼哈頓距離”的

平均值即2,求2最大值，并列舉最值成立時的一組坐標.

【解析】⑴①d(4B)=|3-2|+|5+1卜7；

②設“曼哈頓單位圓”上點的坐標為(xj),則卜-0|+卜-0|=1,即N+3=L

(2)設直線2x-y+2=0上任意一點坐標為C(x1,2x1+2),則d(C,B)=|^-1|+12再+2|,

當不<-1時，d{C,B^=——1,此時d(C,3)>2；

當一14尤1<1時，d(C,B)=X1+3,止匕時1(0,8)22；

當王>1時，d(C,B)=3尤]+1,此時d(C,B)>4,

綜上所述，"(C,8)的最小值為2.

如圖，A'B'C'D'-E'F'G'H'為正方體，邊長為1,則4對應正方體的八個頂點,

當四個點在同一個面上時，

⑴例如：A,B,C,D,此時d=---------------------=—；

(ii)例如：A',E',G',C'，此時乙=2；

6

當四個點不在同一個平面時，

(iii)例如：4：C：H：D'，此時7=2+2+2：2+2+2=2；

(iiii)例如：/,B；E；D'，此時八2+2+1：1+1+2二；

63

..,,....,,―：1+1+2+2+3+15

(11111)例如：A；B；E',H'，此時d=---------------------=-;

63

......,.,,,,.,1+2+2+3+1+211

(uim)例如：A,B,E,G-止匕時〃=---------------=—

66

綜上所述，7的最大值為2,例如:4(0,0,0),4(1,0/)，4(U，o)，A(04,1).

【典例3-2](2024?高三?上海青浦?開學考試)我們稱點P到圖形C上任意一點距離的最小值為點P到圖形C

的距離，記作"(RC).

⑴求點網(wǎng)3,0)到拋物線C:y2=4x的距離d(P,C)；

(2)設/是長為2的線段，求點集。={P\d(尸,/)<1}所表示圖形的面積.

【解析】(1)設年,%J是拋物線C：/=4x上任意一點，則

%|=13T'(Orj=ef；+9=4丫+8，

因為為eR,所以當為=±2時，歸4nhi=2后.

點網(wǎng)3,0)到拋物線C:y2=4x的距離d(P,C)=2V2.

(2)設線段/的端點分別為/,B,以直線為x軸，的中點為原點建立直角坐標系，

則N(-l,0),3(1,0),點集。由如下曲線圍成:

4：^=1,(|x|<l),(|x|<l),

22

G:(x+l/+y2=],(X<-1),C2:(x-1)+v=1,(x>l),

集合。=｛尸|d(P,/)41｝所表示的圖形是一個邊長為2的正方形和兩個半徑是1的半圓，.?.其面積為

22

【變式3-1](2024?江蘇南通?二模)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓「：\+看=1(。>6>0)的離心率為

ab

S,直線/與加目切，與圓。：工2+y=3°2相交于/,8兩點.當/垂直于X軸時，|/3|=2而.

(1)求「的方程；

(2)對于給定的點集M,N,若M中的每個點在N中都存在距離最小的點，且所有最小距離的最大值存在，

則記此最大值為d(M,N).

3)若“，N分別為線段與圓。上任意一點，尸為圓。上一點，當?shù)拿娣e最大時，求d(M,N)；

(ii)若d(M,N),d(N,M)均存在，記兩者中的較大者為"(MN).已知"(X,Y),H(Y,Z),〃(X,Z)均存在,

證明：〃(x,z)+〃(y,zB〃(x,y).

【解析】⑴

因為當/垂直于x軸時，|/為=2指,而直線/:x=±。與「相切，則243/-/=2#),解得a=6，

又橢圓「的離心率為g,則橢圓「的半焦距c=0,b7a2-c。=1，

所以:T的方程為:+/=l.

(2)(i)當/的斜率存在時，設/的方程為：y=kx+m,

由"2-1fcx消去V得：(3A:2+l)x2+6kmx+3m2-3=0,

x+3y=3

由直線/與橢圓「相切，得A=(6加了-4(3左2+1)(3/-3)=0,整理得加=3r+1,

于是圓心。到直線/的距離d=曾L=\=h工e[1,3)，

yjk2+lNk~+lyk2+l

則APAB的面積為S^PAB——(^+3)'|AB|=—(<7+3)-2,9-/=1(3-d)(d+3)，,

設f(d)=(3-d)(d+3)\1<<V3,求導得_f(d)=2(d+3)2(3-2d),

當1V4<|時，/V)>0,函數(shù)〃")單調(diào)遞增，當|<4<6時，/V)<0,函數(shù)/①)單調(diào)遞減,

因此當時，/■(4)取得最大值，此時(S.B)max=28，

當/的斜率不存在時，由⑴知，S<|x(V3+3)x2V6=372+376,

由(蛀)2一(立+峋2="一4?>7-4正>0，得^^>30+3&，則

41642

對于線段上任意點E,連接OE并延長與圓。交于點尸，則尸是圓上與E最近的點，

當￡為線段的中點時，E尸取得最大值3],所以火M,N)=3j.

P

(ii)因為“(X,r),H(Y,Z),H(X,Z)均存在，

設點瀉,EwKZiZeZ,且H(X,Z)=因4|,〃(匕2)=昭2|田(X,7)臼藹引,

設八是集合y中到乙的最近點，根據(jù)對稱性，不妨設〃(工丫)=4工丫)="訃

令點X]到集合Z的最近點為Zj，點z3到集合Y的最近點為X,

因為因蜀是集合X中所有點到集合Z最近點距離的最大值，則因勾>|^2Z3|,

因為％Z?|是集合y中所有點到集合z最近點距離的最大值，則IXZ2I>|v3|，

因此H(X,Z)+H(Y,Z)=因勾+|了2閆X2Z31+區(qū)Zj,

而在坐標平面中，IX2Z3I+IXZ3以乙耳，又點丹是集合y中到點「2的最近點，則氏胃2區(qū)引,

所以H(X,Z)+H(Y,Z)NH(X,y).

【變式3-2](2024?高二?山東青島?期中)中國結(jié)是一種手工編制工藝品，因其外觀對稱精致，符合中國傳統(tǒng)

裝飾的審美觀念，廣受中國人喜愛.它有著復雜奇妙的曲線，卻可以還原成單純的二維線條，其中的“八字

結(jié)''對應著數(shù)學曲線中的伯努利雙紐線.在xQy平面上，我們把與定點片(-40),心(。,0)(。>0)距離之積等

于/的動點的軌跡稱為伯努利雙紐線，耳，芭為該曲線的兩個焦點.數(shù)學家雅各布?伯努利曾將該曲線作為

橢圓的一種類比開展研究.已知曲線C:（x2+/）2=9（X2-/）是一條伯努利雙紐線.

⑴求曲線C的焦點耳，鳥的坐標；

（2）試判斷曲線。上是否存在兩個不同的點8（異于坐標原點。），使得以為直徑的圓過坐標原點O.如

果存在，求出力,3坐標；如果不存在，請說明理由.

【解析】⑴方法一：設焦點6（->0）,耳（。,0）（。>0）,

曲線C:（x2+必）2=9（x2一/）與x軸正半軸交于點網(wǎng)3,0）,

由題意知|期|忸￥|=（3+°）（3-°）=9"2=。2,

不曰293后

于是。=-,a=---，

22

方法二:設焦點4(-40),耳(a,0)(。＞0),

由題意知[(工+好+必口卜:-4+必卜/,

即[(/+/+y~)+2ax][(/+q-+y")-2ax]=a",

9Q

整理得■、/)=2a2(x2-J2)，于是『=5，a

（2）假設曲線C上存在兩點Z,B,使得以為直徑的圓過坐標原點。，即。4,05,

由題意知直線CM,。5斜率均存在，

不妨設直線。/的方程為y=kxx,直線OB的方程為y=k2x,

將直線OA的方程與曲線C聯(lián)立，得（1+k；）2x4=9x2（1-好》

解得一1</<1,同理一1<&<1，

因此先住=-1不可能成立，于是假設不成立，

即曲線C上不存在兩點HB,使得以為直徑的圓過坐標原點。.

【變式3-3]（2024?高三?全國?專題練習）在平面直角坐標系xQy中，對于直線/:ax+勿+c=0和點耳（國,必），

△（乙,%）,記〃=（g+加+c）（做+6%+c）,若〃<0,則稱點耳，鳥被直線/分離，若曲線c與直線/沒

有公共點，且曲線c上存在點4，鳥被直線/分隔，則稱直線/為曲線c的一條分隔線.

⑴求證：點4（1,2）,8（-1,0）被直線x+y-l=0分隔；

⑵若直線〉=丘是曲線/-4/=1的分隔線，求實數(shù)k的取值范圍；

⑶動點"到點。（0,2）的距離與到了軸的距離之積為1,設點M的軌跡為曲線E,求證：通過原點的直線中，

有且僅有一條直線是￡的分隔線.

【解析】（1）證明：由題得〃=（1+2-1）（-1-0-1）=-4<0

??.點N,5被直線x+y-1=0分隔.

（2）直線*="與曲線--4/=1有公共點的充要條件是方程組彳242=]有解，即H<1.

???'=日是曲線/一4丁=1的分隔線，故它們沒有公共點，即網(wǎng)

當用時，對于直線y=",曲線/_4/=1上的點（-1,0）和（1,0）滿足〃=_左2<0,即點（7,0）和（i,o）被

y=分隔.

故實數(shù)上的取值范圍是:仁-:

（3）證明：設”的坐標為（龍/）,則曲線E的方程為M+（y-2）2.國=1,即F+5-2/卜2=1.

對任意的外,（0,%）不是上述方程的解，即了軸與曲線E沒有公共點.

又曲線￡上的點卜1,2）和（1,2）對于了軸滿足〃<0,

即點卜1,2）和（1,2）被y軸分隔.軸為曲線￡的分隔線.

'y=h,「

若過原點的直線不是y軸，設其為y=依，由：[/+（了_2）2卜2=1得產(chǎn)+（依一2）2卜2-1=0,令

f（x）=[x?+（履

?.?/（0）-/（2）=（-l）.[16（A:-l）2+15]<0,

二方程/（x）=0有實數(shù)解.

即直線、=丘與曲線E有公共點，故直線y=丘不是曲線E的分隔線.

綜上可得，通過原點的直線中，有且僅有一條直線是E的分隔線.

題型四：空間直線方程

____.UUUI

【典例4-1](2024?高二嚀夏銀川?期中)在空間直角坐標系中，三棱錐尸-A8C,^5=(2,-1,3),AC=(-2,1,0)>

制=(3,7,4).

⑴求三棱錐P-43C的體積

(2)用求軌跡方程的思想方法，試求在空間直角坐標系中，以益=(2,-1,3)為方向向量，過點M(W)的直

線方程

【解析】(1)設平面48c的一個法向量為

AB-n=2a-b+3c=0一/、

則有《一.，令6=2,則a=1,c=0,所以〃=(1,2,0),

AC-n=-2a+b=0

萬?/尸

點尸到平面的距離，即棱錐的高〃=

\n\V5

,ABAC-4-1V5/------3

又c°pf^=7F^7=一訪‘所以一cos八赤，

所以S?BC=；|益11%卜inN=gxJ?xJiZx\j=竽，

137511

所以三棱錐的體積/TBC-33?〃=—X---------X

"BC3245~2

(2)取該直線上任意一點0(x,%z)(異于初點)，則甄=

依題意可得由〃君，

所以存在實數(shù)，，使得由=以5,BP(l-x,l-y,l-z)=z(2,-l,3),

\-x=2t

即T-y=V,消去參數(shù)t可得—=1=F，

\-z=3t

將M(1,1,1)代入上式，適合此方程，

所以該直線方程為：lz￡=lzZ=lz￡

2-13

【典例4-2](2024?高二?浙江臺州?期末)我們知道，在平面中，給定一點和一個方向可以唯一確定一條直線.如

點/(1,2)在直線/上，7=(1,3)為直線/的一個方向向量，則直線/上任意一點3(x,y)滿足：ABHa,化簡可

得3x-y-l=0,即為直線/的方程.類似地，在空間中，給定一點和一個平面的法向量可以唯一確定一個

平面.

(1)若在空間直角坐標系中，P(l,3,-l),M(2,l,0),2V(3,2,-l),請利用平面麗的法向量求出平面麗的方程;

⑵試寫出平面及+向，+G+P=O（N,B,C不同時為0）的一個法向量（無需證明），并證明點（%,%,z。）到平

I^XQ+8yo+Cz0+Z)|

面/x+為+Cz=Q的距離為

y/A2+B2+C2

【解析】⑴平面PAW中，PM=(1,-2,1),PN=(2,-1,0).

設平面RW的法向量為拓=（x,y,z）,

PM^n=0x-2y+z=0

所以一即

PN?萬二02x-y=0

令x=l,則j=2,z=3,所以元=(1,2,3).

設平面尸MV任意一點。（x,y,z）,

當。不同于P,有聞_L拓；當。與P重合，則有①=6；...畫?方=0.

/.(x—1,y—3,z+1),(1,2,3)=0,化簡得x+2y+3z—4—0.

所以平面2MV的方程為x+2y+3z-4=0.

(2)平面Ax+By+Cz+D=0的法向量可取而=(A,B,C).

證明如下:

設1（%,必，4）,鳥（乙,%/2）為平面/x+玫+Cz+D=0的任意兩個點,

則Axx+Byx+Czx+。=0,AX2+By2+Cz2+Z)=0

兩式相減得，(％2-再)+8(%—%)+。仁—zj=0即“耳鳥=0,即加J_PXP2,

所以平面4^+為+。2+。=0的法向量可取比=（4民。）.

記〃（Xu，%/。），因為4,B,C不同時為0,所以不妨令CwO,

平面小+砂+0+。=0上可取點G[O,O,-《J,

GH=1%,y0,z0

則點〃到平面/x+坊+Cz+。=0的距離"=\GH-m\=+

\m\y/A2+B2+C2

題型五：空間平面方程

【典例5-1】（2024?高二?上海楊浦?期中）在平面直角坐標系內(nèi)，我們知道ax+力+c=0（a、6不全為0）是直

線的一般式方程.而在空間直角坐標系內(nèi)，我們稱辦+制+cz+d=O（a、b、c不全為0）為平面的一般式方

程.

⑴求由點1（2,0,0）,5（0,3,0）,C（0,0,4）確定的平面的一般式方程；

（2）證明："=4c）為平面ax+6y+cz+d=0（a、b、c不全為0）的一個法向量；

（3）若平面a的一般式方程為ax+6y+cz+d=0（a、6、c不全為0）,尸（%,%,z。）為平面a外一點，求點尸到

平面￡的距離.

【解析】⑴將點4(2,0,0),5(0,3,0),C(0,0,4)代入后得:

2a+d=0

，36+1=0,不妨令d=-L,則0=工,6=，,。=工,

234

4c+d=0

故平面的一般方程為：|+|+|-1=0,即6x+4y+3z—12=0；

(2)記平面a的方程為"+勿+cz+d=0,在平面a上任取一條直線,該直線上任取兩個不同的點河(項,乂臼)

ax+by+cz+d=0

和N（X2，%,Z2）,則Mwa,Nea故有xll

ax2+by2+cz2+d=0

因為禰”（X2-玉/2-必,22-4）,〃=（Q,Z?,C）,

所以〃.MN=a（%一西）+6（%—必）+0匕2—zj=（a/+by2+cz2^-（＜axi+by1+cz^=-d+d=0f

1LlUUL

故""LACV

所以［垂直于平面a上的任意一條直線,

所以】是平面a的一個法向量.

(3)由(2)知：3=(。,A0)為平面辦+力+02+1=0(0、b、c不全為0)的一個法向量,

任取平面a上一點。(國,zj,則axA+byx+czl+d=0,

點P到平面a的距離d是向量丐在1的方向上的投影的模，于是

d="尸耳=」(西一無o)+b(%-%)+c(Zi-Zo)|=|ax0+奶+cz0+4,

1同yja2+b2+c2\la2+b2+c2

所以點P到平面a的距離為畫曹。［cz°}|.

yla2+b2+c2

【典例5-2］(2024?高二?湖南?課時練習)閱讀“多知道一點：平面方程”，并解答下列問題：

⑴建立空間直角坐標系，已知40,0,0),5(0,1,0),C(0,0,l)三點,而尸(x),z)是空間任意一點，求/,B,

C,尸四點共面的充要條件.

(2)試求過點0,0),8(0,仇0),C(0,0,c)的平面/3C的方程，其中a,b,c都不等于0.

⑶已知平面a有法向量3=(1,1,1),并且經(jīng)過點20,0,0),求平面a的方程.

(4)已知平面a的方程為小+為+。2+。=0,證明：)=(4民。)是平面7的法向量.

(5)①求點(1,L1)到平面x+y+z=l的距離；

②求證：點3再,％zj到平面/x+平+Cz+D=0的距離d"/,,,I，并將這個公式與“平面解

yjA2+B2+C2

析幾何初步”中介紹的點到直線的距離公式進行比較.

【解析】⑴由N(I,O,O),5(0,1,0),c(o,o,i),可得2§=(-1,1,0),就=(-i,o,i),

fi?AR——X+u—Q

設平面NBC的法向量為3=(%，九zj,則_1外一八，

n-AC=-1i+Zi=0

取再=1,可得%=4=1,即〃=(1,1,1),

若尸￡平面45C,即/尸u平面力BC,設尸(x,y,z),

則AP-n==x-l+y+z=0f所以x+y+z=l,

即4SG尸四點共面的充要條件為％+y+z=l.

⑵過點0,0),3(0,40),C(0,0,c)的平面的方程±+4+三=1.

abc

(3)設點尸(x,%2)時平面a內(nèi)的任意一點,

因為平面a有法向量”=(1,1,1),所以〃_!_/尸，即"?/尸=x-l+y+z=0,

即平面a的方程為x+y+z=l.

(4)設空間中平面a內(nèi)的任意兩點尸(士,為，4)線區(qū),為/2),

由題意可得耳心=(x2-xl,y2-yl,z2-zl),

貝！|〃.4鳥-A(X2-^)+5(1；2-j1)+C(z2-Z；)=Ax2+By1+Cz1-(Axl+Byl4-Cz；)=0,

所以:，片A,所以EK/1,。)是平面a的法向量.

⑸①點(1,1,1)到平面x+y+z=l的距離為d=尸"IT=攣；

Vl2+12+123

②如圖所示，設平面c的方程為4x+gv+Cz+Z)=0,

向量】為a的法向量，平面外一點耳(演,必4),在平面內(nèi)取一點

則點月到平面a的距離為d=|皈同cosa,其中&為向量［與向量應汨的夾角,

MP-n

貝ijcosa=F4QXR所以“=

而M0Pt-n=|/(w)+B(yl-y0)+C(4,

由于點(x(),%,Zo)在平面a上，因此有Ax0+By0+Cz0+D=0,

即Ax0+By。+CZQ=—D,

,,---???\Ax.+By,+Cz,+D\

由此可得=出+期+CZJ+。，所以d,?

y]A2+B2+C2

空間中點平面距離公式可看成平面內(nèi)點到直線的距離公式的推廣.

題型六：立體幾何與解析幾何結(jié)合新定義

22

，方=1("0,

【典例6-1]（2024?高三?浙江寧波?期末）已知橢圓C：6＞0）的左、右焦點分別為耳、F2,

離心率為經(jīng)過點￡且傾斜角為。（O＜。＜力的直線/與橢圓交于A2兩點（其中點/在x軸上方），△九心

，2

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）如圖，將平面xOy沿x軸折疊，使y軸正半軸和x軸所確定的半平面（平面”三）與7軸負半軸和x軸所

確定的半平面（平面工）互相垂直.

①若6=1,求三棱錐8片乙的體積,

②若8=]，異面直線和5乙所成角的余弦值；

■7T

③是否存在8（0＜。＜三），使得匕折疊后的周長為與折疊前的周長之比為￡1S?若存在，求tan。的值;

216

若不存在，請說明理由.

【解析】⑴

由橢圓的定義知：|/4|+卜回=2°,忸周+忸閶=2°,

所以△45名的周長￡=4〃=8,所以Q=2,

1r1

又橢圓離心率為所以一=;,所以C=l,b2=a2-c2=3,

由題意，橢圓的焦點在x軸上，