2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)綜合強(qiáng)化訓(xùn)練（45題）（解析版）

導(dǎo)數(shù)綜合強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題

1.已知函數(shù)/（工）=1+2/，（0）工+1,則/（2）的值為（）

A.-1B.-2

C.e2-lD.e2-2

【答案】D

【詳解】根據(jù)題意，/（%）=，+2廣（0）工+1。/（力=7+2廣（0）。廣（0）e°+2r（0）^

/'(O)=-10/'卜)=/-20八2)=?2-2.

故選：D.

?12023?12024I12025皿

2.已矢口。=In----+-------,67=In-------+-------c=\n----+----,貝Ub,c的大小關(guān)系是（）

202420242025202520262026

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

11—x

[詳解]構(gòu)造函數(shù)/（x）=lnx+l_x,/V）=--l=—,

當(dāng)0<x<l時(shí)，r（x）>0,“X）單調(diào)遞增，

所以力一'一a>b>c.

（2024）1,2025）（2026）

故選：A.

3.設(shè)曲線>=*在點(diǎn)（0,1）處的切線與直線2x-y+3=0平行，則”=（）

1

A.1B.2C.-D.—

2:

【答案】B

【詳解】由函數(shù)y=e）可得y'=ae'則八=%

因?yàn)橹本€2%-了+1=0的斜率為2,可得”2.

故選：B.

4.若對(duì)任意的X1,x2e（1,3],當(dāng)X]<x?時(shí)，再-X2>萬(wàn)1%-51nx2恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.[3,+8）B.（3,+oo）C.[6,+oo）D.（6,+oo）

1

【答案】C

【詳解】當(dāng)王<4時(shí)，玉-々>glmi-51m^2怛成立，即當(dāng)王<々時(shí)，玉-5I11X1>%2-萬(wàn)3^2恒成立，

設(shè)/(x)=x-/nx,xe(l,3］,則/(x)單調(diào)遞減，

而/'(x)=1W0在(1,3］上恒成立，即a?2x在(L3］上恒成立，

所以。26.

故選：C.

5.己知函數(shù)/'(x)=x(e*+a),aeR有大于-1的極值點(diǎn)，則。的取值范圍為()

A.(—:，+［B.1一00，-小C.(0,+3)D.(-?,0)

【答案】D

【詳解】因?yàn)椤癤)的定義域?yàn)镽,且/'(x)=e，+a+xe，=(x+l)e'+a,

令/''(x)=0,可得(x+l)e'=-a,

構(gòu)建g(x)=(x+l)e,

由題意可知：y=g(x)與y=-a在(T,+OO)有交點(diǎn),

則g'(x)=(x+2)e、＞0對(duì)任意xe(-l,+co)內(nèi)恒成立,

可知了=g(x)在(一1,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，則g(x)>g(-l)=0,

可得-a>0,即a<0,

所以Q的取值范圍為(-8,0).

故選：D.

6.已知函數(shù)〃x)=-—?，xe［l,+s),/'(X)是〃x)的導(dǎo)函數(shù)，且/'(x)40,則a的最小值為(

x+2

2211

A.-B.—C.一D.—

3939

【答案】B

22一2"

計(jì)用?！刻锓柑幇捍?(。、則

12a=u,42

(x+2)(x+2)_(x+2)_max

1

注意到y(tǒng)=(x+2)29在［1,+?)上單調(diào)遞增,y=GW在［1,+8)上單調(diào)遞減.

2

222??

則:~-T=77^=6,所以0^3,即。的最小值為大.

9

L(x+2)Jmax(1+2)99

故選：B

7.如果/'(x)=G-e'在區(qū)間(-1,0)上是單調(diào)函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(-oo,-]U[l,+co)B.[-,1]C.(-<?,-]D.[1,+8)

eee

【答案】A

【詳解】由已知/(x)=ax-e*/'(x)=a-e",

因?yàn)?（?。?依--廣€（-1,0）是單調(diào)函數(shù),

所以xe(-1,0)J'(x)=a-e-0恒成立或Xe(-1,0)J'(x)="-eV0恒成立,

所以a2e”恒成立或a<ex恒成立，

所以a2e°=l或ad,

e

所以或a

e

故選：A.

8.已知直線歹=-2X+Q與函數(shù)/（x）=——41nx的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.（3,+⑹B.[3,+S）C.D.（2,3）

【答案】A

【詳解】因?yàn)?（x）=2x-"空三，所以〃x）在（0,⑹上單調(diào)遞減，在（在+回上單調(diào)遞增.

令廣（力=-2,得x=l,所以直線k-2x+a與的圖象相切時(shí)的切點(diǎn)為（1,1）,此時(shí)a=3,

所以當(dāng)a>3時(shí)，直線y=-2x+a與/（x）的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

故選：A.

9.已知函數(shù)=/+肉+3辦+6的圖象在點(diǎn)（1J（D）處的切線方程為了=-12x+%.若函數(shù)“X）至少有兩

個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（）

A.（-5,27）B.[-5,27]

C.（-1,3]D.[-1,3]

3

【答案】B

【詳解】由題意，得/'(X)=3—++3。，/./'⑴=3+5。=-12,。=一3,f(x)=x3-3x2-9x+ft

2

f\x)=3x-6x-9=0,得再=-1,x2=3.

當(dāng)x<-l或x>3時(shí)，/'(x)〉0,.二/⑴在(-”,-1),(3,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)-1<x<3時(shí)，/'(%)<0,f(x)在(-1,3)上單調(diào)遞減

.?.當(dāng)x=T時(shí)，/⑴有極大值/(-1)=6+5；當(dāng)％=3時(shí)，/(幻有極小值〃3)=6-27.

仿+520

若要使/(')至少有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，只需'”,八(等號(hào)不同時(shí)成立)，解得-5<6<27.

[p-27<0

故選：B

io.已知函數(shù)/(、)的導(dǎo)函數(shù)是7,a),且/'(%)=丁,"=山3應(yīng)=1。&]3,則下列命題正確的是()

A.八-p)<f(q)B.f(p)>fQq)

C./(-)>/(-)D./(-+1)>/(-)

pqpq

【答案】B

【詳解】依題意，〃x)=，4+c(c為常數(shù))，/(X)是偶函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞增，

4

又夕=ln3>l,0<q=logH3<1,則0<q<l<p,

對(duì)于A,=A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,夕-2q=ln3-21ogi]3=ln3-k)gii9〉lne—k)giill=0,

p>2q>°,f(p)>fQq),B正確；

對(duì)于c,—>—>o,/(—)>/(—),C錯(cuò)誤；

qpqp

113e

對(duì)于D,—+1——=log3e+l-log311=log3—<log31=0,

Pq11

—+—,/(—+1)</(—),D錯(cuò)誤.

pqpq

故選：B

11.已知函數(shù)/(x)=e""2—b有三個(gè)零點(diǎn)，則b的取值范圍是()

A.10B.[o，3

C.mD-[°4

【答案】B

4

【詳解】因?yàn)?3=口/-6有三個(gè)零點(diǎn)，

所以3,2_6=0有三個(gè)根，所以y=6和g(x)=e，?無(wú)2有三個(gè)交點(diǎn)，

而g<x)=x(x+2)e",令g，(x)<0,xe(-2,0),

令g'(x)>0,xe(-oo,-2)u(0,+co),

所以g(x)在(-?,-2),(0,+曳)上分別單調(diào)遞增，在(-2,0)上單調(diào)遞減,

所以g(x)極小值為g(0)=0,g(x)極大值為g(-2)=，，

當(dāng)％f+oo時(shí)，g(x)f+8,時(shí)，g(x)f0,

所以故B正確.

故選：B

12.設(shè)函數(shù)/(%)=(>-a)sin〃x,若存在與使得/既是/⑸的零點(diǎn)，也是/(%)的極值點(diǎn)，貝的可能取值

為()

A.0B.yfHC.兀D.712

【答案】B

【詳解】由/(x)=(x—a)sin〃x,得/'(x)=sin〃x+(〃x-Q2)cos〃x,

令f(xo)-_Q)sinaXo=0,貝lj/=Q或sinax。=0,

2

當(dāng)時(shí)，f(xQ)=sinaxQ+(axQ-a)cosaxQ=0,得sin/u。，

所以。2=M(￡EN),貝!JQ=左￡N)

2

當(dāng)sin。%=0時(shí)，由/，(工0)=sinax。+(ax。―/)cosax。=0,(axQ-a)cosaxQ=0,

由COSQ/WO,得a=0或%=Q,

5

當(dāng)。=0時(shí)，/(x)=0不存在極值點(diǎn)，

當(dāng)％=。時(shí)，得.=癡(左eN),

綜上，a='fht(keN),

所以當(dāng)人=1時(shí)，a=&

故選:B

13.設(shè)a=e°a_i,fe=2(e001-l),c=sin0.01+tan0.01,則()

A.c>a>bB.a>b>cC.c>b>aD.b>a>c

【答案】B

【詳解】依題意，a-Z)=e002-2e001+l=(e001-l)2>0,則。>6,

rr

b-c=2(e001-1)-sin0.01-tan0.01,令/(x)=2ex-sinx-tanx-2,xe(0,—),

6

11兀

求導(dǎo)得/r(x)=2e%-cosx-------,令〃(％)=2e“—cosx-------,XG(0,—),

cosxcosx6

求導(dǎo)得〃(無(wú))=21+而》-變竽，而2e'+sinx>2,0<2sinx<l,1<—〈巡，

COSXcos3x9

于是空里<遞<2,即〃(x)>0,函數(shù)/'(x)在(0,少上單調(diào)遞增，

cosx96

則/(x)>/'(0)=0,因此函數(shù)/(x)在(0,芻上單調(diào)遞增，有“0.01)>"0)=0,即八c,

所以Q〉b〉c.

故選：B

14.已知/⑺是定義在(0,+。)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足礦(x)+/(x)40,對(duì)任意的正數(shù)Q,b,若

a<b,則必有()

A.bf(b)<af(a)B.bf(a)<af[b}C.af(a)<bf(b)D,af(b)<bf(a)

【答案】A

【詳解】令g(無(wú))=獷(無(wú))，%G(0,+00),則g，(x)=V(x)+/(x)vo,

所以g(x)在久e(0,+8)上單調(diào)遞減，

若。<a<b,則g(b)="0)Wg(a)=如⑷,故A正確，C錯(cuò)誤;

因?yàn)榈V(x)+〃x)W0,且“X)是定義在(0,+8)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，

6

所以才(x)M-/(x)40,

令力=xe(0,+00),則“3=對(duì)(x)；〃x)40,

XX

所以九(%)在第6(0,+8)上單調(diào)遞減,

若0<a<b,則〃(a)=/(")>h(b)='僅)

ab

即爐⑷＞叭6),故BD錯(cuò)誤.

故選：A.

15.若正實(shí)數(shù)。，b,。滿足/=6c,ab\na=c,則()

A.a>bB.a>cC.b>cD.c>b

【答案】B

bb

【詳解】a=beia\na=c,貝！Jbclna=c,則61nq=1,貝!Cl—V

則ab=(e%y=e，則d=(e%)'=e=bcf則。=g

先比較a,b：作差［一臺(tái)二&一”設(shè)/(%)=鏟-x(x>0)，

i1i

求導(dǎo)廣(x)=—7e、—l<0,(x>0),則〃x)=5_x(x>0)在?+◎單調(diào)遞減.

/(l)=e-l>0,/(2)=血—2=血—/<0,故/(%)=/—x(x〉0)有正負(fù)還有零，

即。-b值有正負(fù)還有零，故不能比較。力大小.故A錯(cuò)誤.

1e1e11p11

再比較a,c：作差a-c=e*——，設(shè)/(x)=e*——(x>0),求導(dǎo)/<x)=——-ex+—=—(e-ex)=0,則

bxxxx

x=1

i1

由于0<%<1n->1ne-e%<0nf\x)<0,則/W在(0,1)單調(diào)遞減.

x

i1—

x>ln—vine—ex〉0n/(x)〉0,則/W在(1,+co)單調(diào)遞增.

且〃1)=0,則/(x)N0,即a-c=3-±20,即aNc.故B正確.

b

最后比較6,c,由于c=5,假設(shè)b=c=點(diǎn)滿足題意，

b

假設(shè)6>c,即b>：,即〃>e，即6>在也滿足題意，

b

假設(shè)6<c,即b<。，即^<e,即0<6〈孤也滿足題意.

b

則仇c無(wú)法比較大小，故CD錯(cuò)誤.

7

故選：B.

16.已知不恒為0的函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽J(x+j)=e"(x)+e"(y),則不正確的()

A./(0)=0B.翌是奇函數(shù)

e

C.x=0是/'(x)的極值點(diǎn)D./(3)--3e4/(-l)

【答案】C

(詳解)函數(shù)解》)的定義域?yàn)镽,/(x+j)=eV(x)+e"(力,

對(duì)于A,令x=y=O,則〃0)=2〃0),解得/(0)=0,A正確；

對(duì)于B,x&R,取片一個(gè)則〃O)=e-"(x)+e"(-x),

因此△?=-止口，令g(x)=/學(xué)，即有g(shù)(-x)=-g(x),

eee

因此函數(shù)g(x)是奇函數(shù)，即￡包是奇函數(shù)，B正確；

e*

對(duì)于C,選項(xiàng)B中，令g(x)=x,則丁尤)=疣*,求導(dǎo)得/G)=(x+l)e"

因?yàn)榘?)=1片0,因此x=0不是〃x)的極值點(diǎn)，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,43)=e2/(l)+叭2)=e2/(l)+e[ef(l)+ef(l)]=3e2/(l),

由用=-2,得幽=-勺，即/⑴一人-1),

eeee

因此〃3)=-3//(一1),D正確.

故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于選項(xiàng)C：直接判斷不容易說(shuō)明時(shí)，可以通過(guò)舉反例的方式說(shuō)明，簡(jiǎn)化分析推理過(guò)

程.

二、多選題

17.已知函數(shù)/。)=夫3+；/-1,若函數(shù)/(x)在(2a,2。+3)上存在最小值，則。的可能取值為()

11

A.——B.-C.-1D.0

22

【答案】AD

【詳解】/(x)=jx3+；--2x+l,f\x)=x2+x-2=(x+2)(x-1),

當(dāng)-2<xvl時(shí)，/r(x)<0,故/(x)在(-2,1)上單調(diào)遞減；

當(dāng)-2或%>1時(shí),Ax)>0,故/(、)在(-02),(1,+8)上單調(diào)遞增,

8

?.?函數(shù)/(x)在x=1處取得極小值，在x=-2處取得極大值.

7

令=解得了=1或x=、，

???函數(shù)/(x)在(2a,2a+3)上存在最小值,且(2a,2。+3)為開(kāi)區(qū)間,

71

/.—-<2Q<1<2Q+3,角牟得—1<Q<5.

故選：AD.

18.已知函數(shù)〃x)=hu-(x-a『(aeR)在區(qū)間［1,+s)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)?？梢允?)

]_

A.0B.V2-1C.1D.

2

【答案】ABD

【詳解】)'(月=：-2(-)40在區(qū)間［1,+8)上恒成立，即在區(qū)間［1,+⑹上恒成立,

令無(wú)一則+《

g(x)=g[x)=l>0,所以g(x)在區(qū)間［1,+⑹上單調(diào)遞增,

所以g(x)的最小值為g⑴=；,所以。的取值范圍是awg,

對(duì)比選項(xiàng)可知，只有ABD符合題意.

故選：ABD.

19.設(shè)函數(shù)/0)=/一/+"_］,則()

A.當(dāng)Q=-1時(shí)，/(x)有三個(gè)零點(diǎn)

B.當(dāng)azg時(shí)，f(x)無(wú)極值點(diǎn)

C.3aeR,使/'(x)在R上是減函數(shù)

D.VaeRJ(x)圖象對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)不變

【答案】BD

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)。=一1時(shí)，f(x)=x3-x2-x-l,求導(dǎo)得/'(x)=3x2-2x-l,

令"x)=0得x=-；或x=l,由/V)>。，得或x>l,由((x)<0,

得一<x<l,于是〃x)在(-叱-；)，(1,+⑹上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

〃x)在x=-g處取得極大值-1<0,因此/'(x)最多有一個(gè)零點(diǎn)，A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,f(x)=3x2-2x+a,當(dāng)時(shí)，A=4-12a<0,即/'(x)N0恒成立，

函數(shù)〃x)在R上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)，B正確;

9

對(duì)于C,要使/(X)在R上是減函數(shù)，則于。=3工2_2工+建0恒成立,

而不等式3/一2x+aV0的解集不可能為R,C錯(cuò)誤；

4丁cy/2、//、，2、3,2度，2、，32,258

對(duì)'D,由/-x)+f(x)—(――X)-(—―X)+6Z(--x)-1+X-X+CLX_1——4Z_,

得〃X)圖象對(duì)稱中心坐標(biāo)為捐-11),D正確.

故選：BD

20.已知。，“c,dwR,滿足Q>b>c>d>0,則()

A.a-c>b-dB.a-sina>b-sinb

ab7777

C.—>—D.aa+bc>ab+cd

dc

【答案】BC

【詳解】對(duì)于A,若。=6,b=5,c=4,d=l,則。一。=2<b—d=4,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,令/(x)=x-sinx(x>0),貝！J—(x)=1—cosx20,

所以/(x)在xw(O,+°°)上單調(diào)遞增，因?yàn)椤?gt;6>0,

所以/(。)>/(b),即〃-sina>b-sinb,故B正確;

對(duì)于C,因?yàn)椤?gt;6>c>d>0,所以：〉—>0,所以：>—,故C正確；

acac

對(duì)于D,因?yàn)閍>b>c>d>0,

所以ad+bc-ab-cd=(Q-c)(d-b)<0,可得ad+加<ab+cd,

故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

21.己知定義在R上的函數(shù)y=〃x)滿足3d為偶函數(shù)，〃2x+l)為奇函數(shù)，當(dāng)xe0,1時(shí)，/(x)>0,

則下列說(shuō)法正確的是()

A./(0)=0B.函數(shù)y=〃x)為周期函數(shù)

C.函數(shù)y=/(x)為R上的偶函數(shù)D.

【答案】AB

【詳解】因?yàn)?^一3力為偶函數(shù)，/■［一3"=/1+3力0(；-，=/\+^

o/(x)=/(l-x),故函數(shù)圖象關(guān)于直線x=；對(duì)稱，

10

-2%+1)為奇函數(shù)，/(-2x+l)=-〃2x+l)=/(-x+l)=-〃x+l),函數(shù)圖象關(guān)于(1,0)對(duì)稱,

對(duì)于B,〃x)=〃l-x)=-/(l+x)J(x+2)=-/(x+l)=/a),故2是函數(shù)的周期，函數(shù)為周期函數(shù)，故

B正確；

對(duì)于A,/(-2X+1)=-/(2X+1),令x=0J(l)=_/⑴,故/⑴=0,

又/⑼=〃1-1)=〃1)=0,故A正確；

對(duì)于C,/(一￡|=(3=一?，當(dāng)xe10，￡|時(shí)，/'(%)>0,即函數(shù)在/J上遞增，

函數(shù)圖象關(guān)于(1,0)對(duì)稱，故函數(shù)在上遞減，故函數(shù)在-;1上遞增，

所以了,￡[N/[￡|,故函數(shù)不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，唔卜4卜佃，故口錯(cuò)誤，

故選：AB.

【點(diǎn)睛】抽象函數(shù)的判斷一般會(huì)從函數(shù)奇偶性、周期性和對(duì)稱性的定義推得相關(guān)的函數(shù)性質(zhì)；

22.已知函數(shù)/(x)=(x-2)e\g(x)=xlnx+左，(4eR),則下列說(shuō)法中正確的是()

A.函數(shù)〃x)只有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)左〉工時(shí)，函數(shù)g(x)只有1個(gè)零點(diǎn).

e

B.若關(guān)于x的方程/'(x)=a有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)ae(-e,0).

C.Vxj,x2efo,-^,且X1*X2，都有g(shù)/)>0.

Iejxi-x2

D.Vx,eR,3x,e(0,+oo),使得了(xj>g(%2)成立，則實(shí)數(shù)&e.

e

【答案】BD

【詳解】由題意/'(x)=e，+(x-2)e，=(x-l)e，,

故當(dāng)x>l時(shí)，r(x)>0,當(dāng)x<l時(shí)，/，(x)<0,

所以/(x)在(-8,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增；

g(x)=xlnx+后定義域?yàn)?0,+s),g,(x)=ln.x+l,

故當(dāng)x〉"1■時(shí)，g'(x)>0,當(dāng)0cx<1時(shí)，g'(x)<0,

ee

所以g(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

11

對(duì)于A,令/(x)=Onx=2,故函數(shù)/(x)只有1個(gè)零點(diǎn);

當(dāng)上〉工時(shí)，g(x)>g|-L--+^>0,故g(x)沒(méi)有零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,/(x)>/(l)=-e,x<l時(shí)，/(x)<0,x>2時(shí)，/(x)>0,

故〃x)=a有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)ae(-e,O),故B正確；

對(duì)于C,g(x)在(0,［上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,V為eR,3x2e(0,+oo),>g(z)成立，則/(x)=)g(x)1nhi,

所以即一e>一1■+后=故D正確.

yeyee

故選：BD.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：恒成立和有解問(wèn)題通常轉(zhuǎn)化成最值問(wèn)題來(lái)求解，解決本題可先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單

調(diào)性，從而可求出函數(shù)值正負(fù)分布情況和最值，進(jìn)而可依次求解各選項(xiàng).

三、填空題

23.若曲線V=x+lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線與曲線y=/+(〃+2)x+l(aw0)相切，貝1］。=.

【答案】8

【詳解】由y=x+lnx,所以y=x+』，則川z=2,

所以曲線>=x+lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線為〉-l=2(x-l),即了=2x-l；

又y=2%_l與曲線y=〃%2+(a+2)x+1(〃w0)相切，

由〈,可得辦?+辦+2=0(。00),

［y=2x-\

貝lj△=〃-8。=0,角軍得a=8或a=0(舍去)，

故答案為：8

24.設(shè)函數(shù)/(、)="3_3X+1(〃〉1),若對(duì)于任意的都有/(x)20成立，則實(shí)數(shù)。的值為.

【答案】4

【詳解】由題意得，f(x)=3ax2-3(a>l),令廣(無(wú))=3"?-3=0,解得尤=±五，士正?1」］.

aa

①當(dāng)TWx<_正時(shí)，r(x)>0,“X)單調(diào)遞增；

a

②當(dāng)-近<x<四時(shí)，r(x)<o,單調(diào)遞減；

aa

12

③當(dāng)正<X41時(shí)，r(x)>0,/(X)單調(diào)遞增.

a

(r\

所以只需/—>0,且“-1)20即可，

1a

由72^=-2^-+1>0,可得讓4,

Ia)a

由/(-I)=-a+420,可得a<4,

綜上可得，a=4.

故答案為：4.

25.函數(shù)/(x)=x(x-a)2的極小值點(diǎn)為2,則實(shí)數(shù)。的值為.

【答案】2

【詳解】因?yàn)?(x)=x(x-a)2,得至11-(力=3/-4姓+/=(3苫-耳(》一0),

由題知/'(2)=(6-a)(2-a)=0,解得a=6或a=2,

當(dāng)Q=6時(shí)，/'(x)=(3x-6)(x—6)=3(x—2)(x—6),

由/'(x)>0,得到x<2或。>6,由/'(x)<0,得到2<%<6,

則/(x)在(-j2),(6,+8)上單調(diào)遞增，在(2,6)上單調(diào)遞減，

此時(shí)％=2是極大值點(diǎn)，不合題意，

當(dāng)a=2時(shí)，r(x)=(3x-2)(x-2),由八幻>0,得至隈<彳或a>2,由_f(x)<0,9x<2,

則f(x)在H，(2,+⑹上單調(diào)遞增，在(I，2)上單調(diào)遞減，

此時(shí)x=2是極小值點(diǎn)，符合題意，

故答案為：2.

26.已知函數(shù)/(x)=〃e-l),對(duì)任意、￡(0,+8),總有/(x)N2x成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

【答案】［2,+8)

【詳角軍】依題意，VGXG(0,+oo),f(x)>2x<^>a(ex-1)>2x?a(ex-1)-2x>0,

2

顯然e“—1〉0,則有。>0,于是。(e'—1)—2x20oe*—1—x>0,

a

22

令g(x)=e"—l——x,x>0,求導(dǎo)得g1x)=ex-一,

aa

13

2

■>2,即一VI時(shí)，g'(x)>0,函數(shù)g(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增,

g(x)>g(0)=0,即f(x)>2x.

22

當(dāng)0<。<2,即一>1時(shí)，當(dāng)0<x<ln—時(shí),

2

g'(x)<0,函數(shù)g(x)在(01n—)上單調(diào)遞減,

2

xe(O,ln-),g(x)<g(O)=O,此時(shí)/(x)<2x,不符合題意,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為［2,+8).

故答案為：［2,+口)

27.設(shè)函數(shù)/卜)=1"?)。>0)的零點(diǎn)為%,則當(dāng)。的取值為時(shí)，/的最大值為,

【答案】e-

e

【詳解】由題意/(x°)=ln［型］=0,所以吧=1,即y。=°,

\aJa

所以"o=lna,即/=色色,(4>0),

4g(a)=—,(a>0)'貝1Jg?)=匕坐，

Qa

因?yàn)楫?dāng)0<a<e時(shí)，g'(〃)>0,當(dāng)a>e時(shí)，g，(〃)<0,

所以當(dāng)0<Q<e時(shí)，g(“)單調(diào)遞增，當(dāng)Q>e時(shí)，g(〃)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)a=e時(shí)，/有最大值g(e)=:.

故答案為：e,—.

e

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵在于得出尤0=等,(。>0),從而構(gòu)造函數(shù)即可順利得解.

28.定義在(0,+功上的函數(shù)/(x)滿足//(%)+1<0,/(2)=|,則關(guān)于x的不等式〃lnx)>J+2的解集

2Inx

為.

【答案】(l,e2)

【詳解】因xe(0,+s)時(shí)，x2f'(x)+\<0,BP/V)+4<O,也即(7(x)-L)'<0,

XX

14

取g(x)=〃x)-L貝!jg'(x)<0,即g(x)在(0,+◎上單調(diào)遞減，

X

又八2)=1,則g(2)="2)_；=g_；=2,

由---F2可得g(lnx)>g(2),故得，0<lnx<2,解得，xG(l,e2).

mx

故答案為：(1,，).

29.已知函數(shù)〃x)的定義域?yàn)镽,且〃x)>/(x)+l,/(0)=3,則不等式〃x)>2e，+l的解集為

【答案】(一%。)

【詳解】設(shè)8(刈=笑口，則g，(x)」(xf，(x)—l,

e''e

vf(x)>f'(x)+l,：.f(x)-f'(x)-l>0,.?.g'(x)<0,.1g(x)在R上單調(diào)遞減，

f(x)>2e*+1,g(x)=/⑸7>2,

e

Xg(0)=^1^=2,Ag(x)>g(0),.-.x<0,

e

/(x)>2ex+1的解集為(-00,0).

故答案為：(一叫0).

30.已知函數(shù)〃x)=4，+(a-2)x-2、-2a/有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則口的取值范圍為.

【答案】(一8,_2)u(-2,-eln2)

【詳解】解：由題意可得方程(2、+應(yīng)(2,-2x)=0有4個(gè)不同的根，

方程2*—2x=0的2個(gè)根為X]=1,%=2,

則方程2工+辦=0有2個(gè)不同的根，且。*-2,

即函數(shù)了=2工與函數(shù)V=的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).

當(dāng)直線>=與函數(shù)>=2”的圖象相切時(shí)，

設(shè)切點(diǎn)為(x。,28)，因?yàn)?/=2，ln2,所以一2，

[―辦。=2。，

解得％=工=log2e,a=-eln2.

m2

要使函數(shù)y=2*與函數(shù)V=一辦的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

只需直線V=~ax的斜率大于eln2,

15

故。的取值范圍為(-s,-2)u(-2,-eln2).

故答案為：(-8,-2)D(-2,-eln2)

四、解答題

31.已知函數(shù)/'(X)=X，-6X2+9X+1.

⑴求函數(shù)/(x)在x=0處的切線方程；

(2)當(dāng)xe[0,5]時(shí),求函數(shù)/(x)的最大值.

【答案】⑴了=9x+l

(2)21

【詳解】(1)因?yàn)椤▁)=x3-6x2+9x+l,所以/<X)=3X2-12x+9.

八0)=9,〃0)=1

所以切線方程為y-i=9(x-o),即了=9x+l.

(2)令/''(X)=3x?-12x+9=0,玉=1,x2=3,

因?yàn)閤e[0,5],所以在[0,1],[3,5]單調(diào)遞增，(1,3)單調(diào)遞減，

所以/max(x)=max{/(l),/(5)}=max{5,21}=21.

32.已知函數(shù)/(x)=21nx-3x+gx2.

⑴求函數(shù)/(x)的極值；

(2)解不等式：/(x)>61n2+8.

【答案】(1)極大值為-g,極小值為21n2-4

(2)(8,+oo)

【詳解】(1)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)槿w正實(shí)數(shù)，

由f(x\=21nx-3x+—x2==--3+x=———,

,2xx

令/'(%)=0n西=1，%=2,于是有

X(0,1)1(1,2)2(2,+oo)

16

+0-0+

_5

“X)單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增

~221n2-4

因此，當(dāng)X=1時(shí)，/(X)有極大值，并且極大值為了⑴=-坐，

x=2時(shí)，“X)有極小值，并且極小值為〃2)=21n2-4；

(2)由(1)可知:

函數(shù)“X)在xe(O,l)時(shí)單調(diào)遞增，M/(l)=-1<0,所以此時(shí)有

在xe(l,2)時(shí)單調(diào)遞減，所以有〃x)<0,

因此要想/(x)>61n2+8,有則必有x>2,

當(dāng)xe(2,+s)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，而/⑻=21n8-3x8+gx82=61n2+8,

所以由〃x)>61n2+8=>〃x)>〃8)=>x>8,

因此不等式〃x)>61n2+8的解集為(8,+8).

33.已知函數(shù)〃x)=e*,x：l).

⑴求/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)求出方程/(x)=“aeR)的解的個(gè)數(shù).

【答案】(1)(—,0),［產(chǎn)］

(2)答案見(jiàn)解析

【詳解】⑴函數(shù)的定義域?yàn)?)3(1,+功.

/'(x)=e,1J).令/'(x)=0解得x=0或x=g.

則x、尸(無(wú))、的關(guān)系列表如下：

3

X(-0,0)0(0,1)

02(rd

r(x)+0--0+

17

/(X)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

.?.八%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-。,0)[j+°].

(2)方程〃x)="aeR)的解的個(gè)數(shù)為函數(shù)y=/(x)的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

在⑴中可知：在區(qū)間上單調(diào)遞增，在野上單調(diào)遞減,

在x=0處取得極大值/(O)=1,在x=,處取得極小值/(g)=,

令k0,得x=g

當(dāng)x<0時(shí)，>>>0/的圖像過(guò)點(diǎn)(0,1)[；,0].

當(dāng)x--8時(shí)，y-0,但始終在x軸上方；

當(dāng)X從1的左側(cè)無(wú)限近于1時(shí)，>--8；當(dāng)X從1的右側(cè)無(wú)限近于1時(shí)，yf+s；

33

當(dāng)x=彳時(shí)，_2;當(dāng)X-+8時(shí)，y-+00.

2yv-v4e

根據(jù)以上性質(zhì)，作出函數(shù)的大致圖象如圖所示，

‘當(dāng)1<”41時(shí)，V="%)與”"沒(méi)有交點(diǎn)，則方程/3=°的解為°個(gè)；

當(dāng)。<0或。=1或a=4e=時(shí)，丫=/0)與>有1個(gè)交點(diǎn)，則方程/⑴=”的解為1個(gè);

當(dāng)0<a<l或a>41時(shí)，y=/⑶與>=“有2個(gè)交點(diǎn)，則方程〃x)=a的解為2個(gè).

34.設(shè)函數(shù)v=/(x),其中/(尤)=a五一lnx(a>0),

⑴求以x)；

(2)若V=/(x)在[1,+8)是嚴(yán)格增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

18

(3)若V=/(x)在24］上存在單調(diào)遞減區(qū)間,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】;

(2)［2,+oo)；

⑶(0,0).

【詳解】(1)由f^=ay[x-}nx=ax^-\nx(<a>0)?

1_11

得廣(x)=a-—x2—,

所以廣(X)二華工

(2)由題意得，/'(》”0在［1,+?))上恒成立,

、2

即。2—j=在［L+8)恒成立，

7x

222

因?yàn)椤?正在［1,+8)上遞減，所以〉=式的最大值為方=2,

所以。22,即實(shí)數(shù)。的取值范圍為［2,+W)；

2

(3)由題意得，/'(%)<0在［2,4］上有解,即。<一尸在［2,4］上有解,

7x

2

因?yàn)閂=-尸在［2,4］上遞減，

y/x

所以后，

y/X

所以0<a<a,

即實(shí)數(shù)0的取值范圍為(0,⑹.

35.已知函數(shù)了=/(X),其中/'(x)=x3+ax2+(a+6)x+b(a,6eR).

(1)若函數(shù)V=/(x)的圖象過(guò)原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線斜率是3,求ab的值;

(2)若>=/(x)在R上是嚴(yán)格增函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)。=-3,6=0；

⑵ae［-3,6］.

【詳解】(1)由/(x)=》3+OX、+(a+6)x+6(a,6eR),

得/'(x)=3x2+2ax+a+6,

19

由題意得,苗［/(0。))==03b=0

即

(2+6=3

解得a=—3,b=0；

(2)f[x)—3x2+2ax+a+6,由題意得，/'(%)20在R上恒成立,

則A=4a2-12(a+6)W0,

化簡(jiǎn)得/一3〃一18W0,解得aw[-3,6].

36.已知/(%)=-;Q/+%-]n(l+x),其中Q>0.

⑴若函數(shù)/(x)在x=3處的切線與1軸平行，求。的值;

(2)求/(%)的極值點(diǎn);

(3)若/(%)在［。,+8)上的最大值是0,求。的取值范圍.

【答案】⑴a=J；

4

(2)答案見(jiàn)解析;

(3)口，+⑹.

【詳解】(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?T,+8),

/，(x)——ax+\--^--,

因?yàn)楹瘮?shù)在x=3處的切線與x軸平行，

所以廣⑶=一30+1-工=0,解得。=J.