2025年中考數(shù)學(xué)大題與幾何壓軸題：三角形壓軸（講練）（原卷版）

專題10三角形壓軸

目錄

一、考情分析

二、知識建構(gòu)

考點三角形壓軸

【真題研析?規(guī)律探尋】

題型01與三角形有關(guān)的多結(jié)論問題（選/填）

題型02與三角形有關(guān)的平移問題

題型03與三角形有關(guān)的翻折問題

題型04與三角形有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問題

題型05與三角形有關(guān)的全等/相似問題

題型06與三角形有關(guān)的最值問題

題型07與三角形有關(guān)的動點問題

題型08與三角形有關(guān)的新定義問題

題型09與三角形有關(guān)的閱讀理解問題

題型10與三角形有關(guān)的存在性問題

題型11三角形與幾何圖形綜合

題型12三角形與函數(shù)綜合

【核心提煉?查漏補缺】

【好題必刷?強化落實】

考點要求命題預(yù)測

在中考中，涉及三角形壓軸題的相關(guān)題目單獨出題的可能性還是比較大的，多以

三角形壓軸選擇、填空題型出現(xiàn)，但是三角形結(jié)合其它幾何圖形、函數(shù)出成壓軸題的幾率特別大，

所占分值也是比較多，屬于是中考必考的中等偏上難度的考點.

考點三角形壓軸

真題研析-規(guī)律探尋

題型01與三角形有關(guān)的多結(jié)論問題（選/填）

1.（2023?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題）如圖，把一個邊長為5的菱形ABCD沿著直線DE折疊，使點C與延長

線上的點0重合.DE交BC于點F,交延長線于點￡.DQ交BC于點尸，DM148于點XM=4,則下

列結(jié)論，①DQ=EQ,②BQ=3,@BP=^,@BD||FQ.正確的是（）

A.①②③B.②④C.①③④D.①②③④

2.（2023?四川宜賓?中考真題）如圖，△力BC和△2DE是以點4為直角頂點的等腰直角三角形，把△4DE

以4為中心順時針旋轉(zhuǎn)，點M為射線B。、CE的交點.若AB=VI,AD=1.以下結(jié)論：

①BD=CE；@BD1CE；

③當(dāng)點E在B4的延長線上時，MC=與&

④在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)線段MB最短時，△MBC的面積為《

其中正確結(jié)論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.（2023?湖北?中考真題）如圖，△a4&2\。斯和44第都是等腰直角三角形，

^BAC=乙DEB=^AEF=90。，點E在△力8c內(nèi),BE>AE,連接DF交2E于點G,DE交4B于點H,連接CF.給

出下面四個結(jié)論：①乙DBA=4EBC；②4BHE=4EGF；@AB=DF；（4）AD=CF.其中所有正確結(jié)論的

序號是.

4.（2022?黑龍江牡丹江?中考真題）如圖，在等腰直角三角形A8C和等腰直角三角形ADE中，

AB2C=4D4E=90。，點。在8c邊上，與/C相交于點足AHIDE,垂足是G,交BC于點、H.下列

結(jié)論中：@AC=CD；@y[2AD2=BC-AF；③若AD=3再，DH=5,則BD=3；（4）AH2=DH-AC,正確

的是.

題型02與三角形有關(guān)的平移問題

1.（2023?四川攀枝花?中考真題）如圖1,在△ABC中，AB=8C=24C=8,△ABC沿BC方向向左平移得

到△DCE,4、C對應(yīng)點分別是D、E.點F是線段BE上的一個動點，連接力F,將線段4F繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)

至線段4G,使得NB4D=NF4G,連接FG.

(1)當(dāng)點尸與點C重合時，求FG的長；

(2)如圖2,連接BG、DF.在點尸的運動過程中：

①BG和DF是否總是相等？若是，請你證明；若不是，請說明理由；

②當(dāng)BF的長為多少時，a/lBG能構(gòu)成等腰三角形？

2.(2022?廣西貴港?中考真題)已知：點C,。均在直線/的上方，AC與BD都是直線/的垂線段，且8。在

力C的右側(cè)，BD=2AC,AD與BC相交于點。

(1)如圖1,若連接CD,則△BCD的形狀為,而的值為;

(2)若將BD沿直線I平移，并以力D為一邊在直線/的上方作等邊△ADE.

①如圖2,當(dāng)4E與AC重合時，連接。E,若4C=*求OE的長；

②如圖3,當(dāng)乙4cB=60。時，連接EC并延長交直線/于點/，連接。F.求證：。尸128.

3.2023?湖北宜昌?中考真題)如圖，已知4(0,2),8(2,0).點￡位于第二象限且在直線y=-2x±,乙EOD=90°,

OD=OE,連接AB,DE,AE,DB.

圖1圖2

⑴直接判斷△力OB的形狀：△力。B是三角形；

(2)求證：△AOEmABOD；

⑶直線E4交x軸于點C(t,0),t>2.將經(jīng)過5,C兩點的拋物線%=a/+6久—4向左平移2個單位，得到

拋物線九.

①若直線及4與拋物線yi有唯一交點，求f的值；

②若拋物線丫2的頂點尸在直線瓦4上，求f的值；

2

③將拋物線>2再向下平移，用百個單位，得到拋物線若點。在拋物線為上，求點。的坐標(biāo).

kL-1-7

題型03與三角形有關(guān)的翻折問題

1.(2022?浙江紹興?中考真題)如圖，在A48C中，乙48。=40。，乙4c3=90。，4E平分乙B4c交BC于點、

E.尸是邊3C上的動點(不與B,C重合),連結(jié)/P,將△NPC沿NP翻折得A4PO,連結(jié)。C,記

Z-BCD=a.

備用圖

(1)如圖，當(dāng)尸與E重合時，求a的度數(shù).

(2)當(dāng)尸與E不重合時，記乙BAD=B，探究a與尸的數(shù)量關(guān)系.

2.(2023?寧夏?中考真題)綜合與實踐

問題背景

數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)國旗上五角星的五個角都是頂角為36。的等腰三角形，對此三角形產(chǎn)生了極大興趣并展開探究.

探究發(fā)現(xiàn)

如圖1,在△4BC中，ZX=36°,AB=AC.

A

（1）操作發(fā)現(xiàn)：將△ABC折疊，使邊BC落在邊B力上，點C的對應(yīng)點是點E,折痕交力C于點D,連接DE,

DB,則=°,設(shè)4C=1,BC=x,那么4E=（用含x的式子表示）；

（2）進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)：慧=浮，這個比值被稱為黃金比.在（1）的條件下試證明：黑=浮；

/ALZ牘ALZ

拓展應(yīng)用：

當(dāng)?shù)妊切蔚牡着c腰的比等于黃金比時，這個三角形叫黃金三角形.例如，圖1中的△4BC是黃金三角

形.如圖2,在菱形4BCD中，/.BAD=72°,AB=1.求這個菱形較長對角線的長.

圖2

3.（2023?遼寧大連?中考真題）綜合與實踐

問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，王老師給同學(xué)們每人發(fā)了一張等腰三角形紙片探究折疊的性質(zhì).

已知23=4&乙4>90。，點E為4C上一動點，將a/lBE以BE為對稱軸翻折.同學(xué)們經(jīng)過思考后進(jìn)行如下探

究：

獨立思考：小明：“當(dāng)點。落在BC上時，4EDC=2乙ACB.”

小紅：“若點E為AC中點，給出力C與DC的長，就可求出BE的長.”

實踐探究：奮進(jìn)小組的同學(xué)們經(jīng)過探究后提出問題1,請你回答：

圖3

問題1：在等腰△A8C中，48=4。,乙4〉90。,2\3￡>￡1由448￡1翻折得至1].

(1)如圖1,當(dāng)點。落在BC上時，求證：乙EDC=24ACB；

(2)如圖2,若點E為力C中點，AC=4,CD=3,求BE的長.

問題解決：小明經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：若將問題1中的等腰三角形換成乙4<90。的等腰三角形，可以將問題進(jìn)一

步拓展.

問題2：如圖3,在等腰△ABC中，ZX<90°,AB=AC=BD=4,2zZ)=AABD.若CD=1,則求BC的長.

題型04與三角形有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問題

1.(2023?遼寧丹東?中考真題)在△48C中，ABAC=90°,乙48。=30。，AB=6,點。是8C的中點.四

邊形DEFG是菱形(D,E,F,G按逆時針順序排列)，^EDG=60°,且DE=2,菱形DEFG可以繞點。旋

轉(zhuǎn)，連接4G和CE,設(shè)直線4G和直線CE所夾的銳角為a.

DECB

(1)在菱形DEFG繞點。旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)點E在線段DC上時，如圖①，請直接寫出力G與CE的數(shù)量關(guān)系及a

的值；

(2)當(dāng)菱形DEFG繞點。旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的位置時，(1)中的結(jié)論是否成立?若成立，請寫出證明過程；

若不成立，請說明理由；

(3)設(shè)直線4G與直線CE的交點為P,在菱形DEFG繞點。旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當(dāng)EF所在的直線經(jīng)過點B時，

請直接寫出△NPC的面積.

2.(2023?湖南益陽?中考真題)如圖，在Rt^ABC中，乙4cB=90。，4C>BC,點。在邊4C上，將線段

繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到D4,線段D4交力B于點E,作4F1AB于點尸，與線段4C交于點G,連接

FC.GB.

DGC

(1)求證：△ADE三△4DG；

(2)求證:AFGB=AG-FC；

(3)若力C=8,tan4=",當(dāng)4G平分四邊形DCBE的面積時，求4D的長.

3.(2022?山西?中考真題)綜合與實踐

問題情境：在瓦A43C中，NA4c=90。，48=6,AC=8.直角三角板皮>尸中乙磯）尸=90。，將三角板的直角頂

點。放在必A43C斜邊2C的中點處，并將三角板繞點。旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊DE,。廠分別與邊AB,AC

交于點M,N,猜想證明：

E

（1）如圖①，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點加?為邊48的中點時,試判斷四邊形/MDN的形狀，并說明理

由；

問題解決：

（2）如圖②，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)NB=NMOB時，求線段CN的長；

（3）如圖③，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時，直接寫出線段NN的長.

4.（2022?湖南湘潭?中考真題）在△力BC中，ZBXC=90°,AB=AC,直線I經(jīng)過點4過點B、C分別作/的

垂線，垂足分別為點。、E.

⑴特例體驗：

如圖①，若直線4IBC,AB=AC=正,分別求出線段BD、CE和DE的長；

⑵規(guī)律探究：

①如圖②，若直線I從圖①狀態(tài)開始繞點4旋轉(zhuǎn)a（0<a<45。），請?zhí)骄烤€段BD、CE和DE的數(shù)量關(guān)系并說明

理由；

②如圖③，若直線1從圖①狀態(tài)開始繞點/順時針旋轉(zhuǎn)吹45。<&<90。），與線段8c相交于點H,請再探線

段80、CE和。E的數(shù)量關(guān)系并說明理由；

（3）嘗試應(yīng)用：

在圖③中，延長線段BD交線段力C于點F,若CE=3,DE=1,求S刈FG

題型05與三角形有關(guān)的全等/相似問題

1.（2023?四川成都?中考真題）探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，某興趣小組擬做以下探究.

在近△ABC中，ZC=90°,4C=BC,。是4B邊上一點，且鐵一("為正整數(shù))，E是2C邊上的動點，過點

Dun

D作DE的垂線交直線BC于點F.

圖1圖2圖3

【初步感知】

(1)如圖1,當(dāng)n=l時，興趣小組探究得出結(jié)論：AE+BF=^-AB,請寫出證明過程.

【深入探究】

(2)①如圖2,當(dāng)n=2,且點尸在線段BC上時，試探究線段4E,BF,48之間的數(shù)量關(guān)系，請寫出結(jié)論并證

明；

②請通過類比、歸納、猜想，探究出線段AE,BF,4B之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論(直接寫出結(jié)論，不必證

明)

【拓展運用】

(3)如圖3,連接EF,設(shè)EF的中點為若AB=2a,求點E從點/運動到點C的過程中，點〃運動的路

徑長(用含〃的代數(shù)式表示).

2.(2023?福建?中考真題)如圖1,在△A8C中，NB2C=90。/8=4C,D是48邊上不與4B重合的一個定

點.力。1BC于點。，交CD于點￡DF是由線段。。繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90。得到的，F(xiàn)QC2的延長線相交于點M.

(1)求證：LADEFFMC；

⑵求N2BF的度數(shù)；

(3)若N是2F的中點，如圖2.求證：ND=NO.

3.(2023?湖北黃岡?中考真題)【問題呈現(xiàn)】

△G4B和△CDE都是直角三角形，ZXCB=^DCE=90°,CB=mCA,CE=mCD,BE,探究力D,BE

的位置關(guān)系.

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,當(dāng)m=l時，直接寫出AD,BE的位置關(guān)系：；

(2)如圖2,當(dāng)m力1時，(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由.

【拓展應(yīng)用】

(3)當(dāng)巾=舊/8=477,。5=4時，將△CDE繞點C旋轉(zhuǎn)，使4。,E三點恰好在同一直線上，求BE的長.

題型06與三角形有關(guān)的最值問題

1.(2023?湖北隨州?中考真題)1643年，法國數(shù)學(xué)家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直

線上的三個點B,C,求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里

拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題.

(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：(其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空,

②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三

角形的某個頂點)

當(dāng)△4BC的三個內(nèi)角均小于120。時，

如圖1,將△4PC繞，點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到△兒「￡,連接PP,

由PC=P￡,/-PCP'=60°,可知為①三角形,故PP，=PC,又P4=P4,i^PA+PB+PC=PA'

+PB+PP'>A'B,

由②可知,當(dāng)B,P,P1,/在同一條直線上時，PA+PB+PC取最小值，如圖2,最小值為4B,此時的

P點為該三角形的“費馬點”，且有乙4PC=Z-BPC=UPB=③；

已知當(dāng)△ABC有一個內(nèi)角大于或等于120。時，“費馬點”為該三角形的某個頂點.如圖3,若NB力CN120。,

則該三角形的“費馬點”為⑷點.

(2)如圖4,在△力BC中，三個內(nèi)角均小于120。，且4c=3,BC=4,^ACB=30°,已知點尸為△48的中費

馬點”，求P4+PB+PC的值；

AA

A

(3)如圖5,設(shè)村莊/,B,C的連線構(gòu)成一個三角形，且已知AC=4km,BC=2V3km,^ACB=60°.現(xiàn)欲

建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向/，B,C三個村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站尸到村莊B,C的鋪設(shè)成本分別為。

元/km,。元/km,魚。元/km,選取合適的尸的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為元.(結(jié)果

用含。的式子表示)

2.(2023?重慶?中考真題)如圖，在等邊△ABC中，4D1BC于點D,E為線段力。上一動點(不與4。重

合)，連接BE,CE,將CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段CF,連接4F.

(1)如圖1,求證：乙CBE=￡CAF；

(2)如圖2,連接BF交力C于點G,連接DG,EF,EF與DG所在直線交于點“，求證：EH=FH；

⑶如圖3,連接BF交4c于點G,連接DG,EG,將△4EG沿4G所在直線翻折至△ABC所在平面內(nèi),得至IJ△APG,

將△DEG沿OG所在直線翻折至△4BC所在平面內(nèi)，得到△DQG,連接PQ,QF.若AB=4,直接寫出PQ+QF

的最小值.

3.(2022?北京?中考真題)在平面直角坐標(biāo)系工。了中，已知點對于點P給出如下定義：將點P向右

(a20)或向左(a<0)平移⑷個單位長度，再向上(b20)或向下(6<0)平移網(wǎng)個單位長度，得到點P',點P'

關(guān)于點N的對稱點為Q,稱點Q為點P的“對應(yīng)點”.

⑴如圖，點點N在線段OM的延長線上，若點P(—2,0),點Q為點P的“對應(yīng)點”.

①在圖中畫出點Q；

②連接PQ,交線段。N于點T,求證：NT=|0M;

(2)。。的半徑為1,M是。。上一點，點N在線段0M上，且。N=t&<t<1),若P為。。外一點，點Q為

點P的“對應(yīng)點”，連接PQ.當(dāng)點“在。。上運動時直接寫出PQ長的最大值與最小值的差(用含t的式子表

示).

4.(2022?江蘇徐州?中考真題)如圖，在△yiSC中，4BAC=90°,4B=NC=12,點尸在邊上，D、E

分別為BC、PC的中點，連接。E.過點E作8C的垂線，與BC、NC分別交于尸、G兩點.連接DG,交

PC于點、H.

備用圖

⑴&DC的度數(shù)為二

(2)連接尸G,求A4PG的面積的最大值；

(3)PE與。G存在怎樣的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系？請說明理由;

(4)求箸的最大值.

題型07與三角形有關(guān)的動點問題

1.(2023?遼寧鞍山?中考真題)如圖，在△ABC中，AB=AC,ABAC=a，點。是射線BC上的動點(不與

點、B,C重合)，連接2D,過點。在4D左側(cè)作DE14D,使AD=kDE,連接4E,點、F,G分別是4E,BD

的中點，連接DF,FG,BE.

圖2

備用圖

(1)如圖1,點。在線段BC上，且點。不是BC的中點，當(dāng)a=90。，k=l時，AB與BE的位置關(guān)系是

FG_

-----------------''CD~------------------

(2)如圖2,點D在線段BC上，當(dāng)a=60。，k=g時，求證：BC+CD=2^3FG.

(3)當(dāng)a=60。，k=g時，直線CE與直線AB交于點N.若BC=6,CD=5,請直接寫出線段CN的長.

2.(2023?湖南郴州?中考真題)己知△ABC是等邊三角形，點。是射線上的一個動點，延長BC至點E,

使CE=AD,連接DE交射線2C于點F.

(1)如圖1,當(dāng)點。在線段48上時，猜測線段CF與BD的數(shù)量關(guān)系并說明理由；

(2)如圖2,當(dāng)點。在線段48的延長線上時，

①線段CF與8。的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請說明理由；

②如圖3,連接4E.設(shè)4B=4,若乙AEB=LDEB,求四邊形BDFC的面積.

3.(2022?重慶?中考真題)如圖，在銳角△A8C中，乙4=60。，點D,E分別是邊AB,4C上一動點，連接8E

交直線CD于點F.

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,若力B>AC,且BD=CE,乙BCD=LCBE,求NCFE的度數(shù)；

(2)如圖2,若4B=2C,且B0=4E,在平面內(nèi)將線段AC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到線段CM,連接MF,

點N是MF的中點，連接CN.在點。，E運動過程中，猜想線段BF,CF,CN之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你

的猜想；

(3)若且BD=4E,將△ABC沿直線A8翻折至△力BC所在平面內(nèi)得到aaBP,點H是4P的中點,

點K是線段P尸上一點，將沿直線翻折至所在平面內(nèi)得到△QHK,連接PQ.在點D,E運

動過程中，當(dāng)線段PF取得最小值，且QK1PF時，請直接寫出震的值.

題型08與三角形有關(guān)的新定義問題

1.(2022?山東青島?中考真題)【圖形定義】

有一條高線相等的兩個三角形稱為等高三角形.

例如：如圖①.在△4BC和夕O中，分別是BC和邊上的高線，且4。=4。，則△ABC和

△4BC是等高三角形.

圖①圖②圖③

【性質(zhì)探究】

如圖①，用S^BC，SMBC分別表示△ABC和夕。的面積.

則S"BC=］BC?AD,S—^B'C-A'D',

■:AD=A'D'

-'-^AABC-^AA,B'C=BC'.B'C.

【性質(zhì)應(yīng)用】

（1）如圖②，。是△ABC的邊8C上的一點.若BD=3,DC=4,貝IJSA4BO：S"DC=；

（2）如圖③，在△力BC中，D,￡分別是BC和4B邊上的點.若BE:48=1:2,CD-.BC=1-.3,SAABC=1,貝U

SABEC—，SACDE—；

（3）如圖③，在aABC中，D,E分別是BC和邊上的點，若BE:4B=1:機，CD-.BC=l-.n,S^ABC=a,貝|

S^CDE=-

2.（2021?山東東營?中考真題）已知點O是線段的中點，點尸是直線/上的任意一點，分別過點/和

點2作直線/的垂線，垂足分別為點C和點D.我們定義垂足與中點之間的距離為“足中距”.

（1）［猜想驗證］如圖1,當(dāng)點尸與點。重合時，請你猜想、驗證后直接寫出“足中距”O(jiān)C和。。的數(shù)量關(guān)系

是.

（2）［探究證明］如圖2,當(dāng)點P是線段上的任意一點時，“足中距”O(jiān)C和。。的數(shù)量關(guān)系是否依然成立,

若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.

（3）［拓展延伸］如圖3,①當(dāng)點尸是線段R4延長線上的任意一點時，“足中距”O(jiān)C和。。的數(shù)量關(guān)系是否

依然成立，若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；

②若4。。。=60。，請直接寫出線段/C、BD、。。之間的數(shù)量關(guān)系.

D,DD

O

B

(P)

圖1圖2圖3

題型09與三角形有關(guān)的閱讀理解問題

I.(2022?吉林?中考真題)下面是王倩同學(xué)的作業(yè)及自主探究筆記，請認(rèn)真閱讀并補充完整.

【作業(yè)】如圖①，直線川七，ZiABC與△D8C的面積相等嗎？為什么？

圖①

解：相等.理由如下：

設(shè)與%之間的距離為八，貝!JSA4B2SADBC=qBC?h.

?'△ABC=SADBC-

【探究】

(1)如圖②，當(dāng)點。在k，6之間時，設(shè)點4D到直線％的距離分別為h，h',則瓷=￡

圖②

證明：：SA4BC_

S^ABCAM

(2)如圖③，當(dāng)點D在%之間時，連接力。并延長交％于點則:

M,S4DBCDM

圖③

證明：過點/作AEIBM,垂足為E,過點。作。FIBM,垂足為F,則乙4EM==90。，

：.AE\\_.

??.△AEM?

AE_AM

''~DF~~DM'

由【探究】（1）可知產(chǎn)=，

、ADBC~

S&ABC_ZM

,,S4DBCDM'

（3）如圖④，當(dāng)點。在％下方時，連接4D交%于點E.若點4E,。所對應(yīng)的刻度值分別為5,1.5,0,

的值為

圖④

2.（2022?貴州黔東南?中考真題）閱讀材料：小明喜歡探究數(shù)學(xué)問題，一天楊老師給他這樣一個幾何問題:

如圖，△48。和43。石都是等邊三角形，點4在。5上.

求證：以4E、AD,AC為邊的三角形是鈍角三角形.

⑴【探究發(fā)現(xiàn)】小明通過探究發(fā)現(xiàn)：連接DC,根據(jù)已知條件，可以證明DC=4E,乙4DC=120。，從而得

出△2DC為鈍角三角形，故以4E、AD.4C為邊的三角形是鈍角三角形.

請你根據(jù)小明的思路，寫出完整的證明過程.

⑵【拓展遷移】如圖，四邊形48CD和四邊形BGFE都是正方形，點4在EG上.

F

E

D

G

BC

①試猜想：以AE、AG,AC為邊的三角形的形狀，并說明理由.

②若人員+/G?=10,試求出正方形的面積.

題型10與三角形有關(guān)的存在性問題

1.（2020?湖南湘潭?中考真題）閱讀材料：三角形的三條中線必交于一點，這個交點稱為三角形的重心.

（1）特例感知：如圖（一），已知邊長為2的等邊△ABC的重心為點。，求aOBC與△ABC的面積.

（2）性質(zhì)探究：如圖（二），己知△ABC的重心為點0,請判斷穿、衿些是否都為定值？如果是，分別求

出這兩個定值：如果不是，請說明理由.

（3）性質(zhì)應(yīng)用：如圖（三），在正方形力BCD中，點E是CD的中點，連接BE交對角線2C于點M.

①若正方形力BCD的邊長為4,求EM的長度；

②若CME=1,求正方形A8CD的面積.

2.（2023?四川甘孜?中考真題）如圖，在RtaABC中，力。=8。=3魚，點。在48邊上，連接CD,將CD繞

點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到CE,連接BE,DE.

（1）求證：△CAD^△CBE；

（2）若4。=2時,求CE的長;

⑶點。在2B上運動時，試探究力。2+B/）2的值是否存在最小值，如果存在，求出這個最小值；如果不存在,

請說明理由.

3.(2023?北京?中考真題)在△4BC中、NB=NC=a(0。<a<45。)，4M1BC于點M,。是線段MC上的

動點(不與點M,C重合)，將線段DM繞點。順時針旋轉(zhuǎn)2a得到線段。民

圖1圖2

(1)如圖1,當(dāng)點￡在線段4C上時，求證：。是MC的中點；

(2)如圖2,若在線段BM上存在點尸(不與點3,M重合)滿足DF=DC,連接4E,EF,直接寫出N4EF的

大小，并證明.

4.(2023?黑龍江齊齊哈爾?中考真題)綜合與實踐

數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑.通過探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知

識的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，并將其運用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地.

(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖1,在△4BC和△4EF中，AB=AC,AE=AF,^BAC=AEAF=30°,連接BE,CF,

延長BE交CF于點0.則BE與CF的數(shù)量關(guān)系：,乙BDC=°；

(2)類比探究：如圖2,在△4BC和△4EF中，AB=AC,AE=AF,Z.BAC=AEAF=120°,連接BE,CF,

延長BE,FC交于點D.請猜想BE與CF的數(shù)量關(guān)系及NBDC的度數(shù)，并說明理由；

(3)拓展延伸：如圖3,△4BC和aaEF均為等腰直角三角形，ABAC=^EAF=90°,連接BE,CF,且點B,

E,F在一條直線上，過點4作力MlBF,垂足為點M.貝CF,2M之間的數(shù)量關(guān)系：；

(4)實踐應(yīng)用：正方形A8CD中，AB=2,若平面內(nèi)存在點P滿足NBPD=90。，PD=1,貝心。"=

題型11三角形與幾何圖形綜合

1.(2023?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題)【發(fā)現(xiàn)】如圖1,有一張三角形紙片4BC,小宏做如下操作:

圖1圖2圖3

(1)取48,AC的中點。，E,在邊BC上作MN=DE；

(2)連接EM,分別過點。，N作DG1EM,NH1EM,垂足為G,H；

(3)將四邊形BDGM剪下，繞點。旋轉(zhuǎn)180。至四邊形2DPQ的位置，將四邊形CEHN剪下，繞點￡旋轉(zhuǎn)180。

至四邊形力EST的位置；

(4)延長PQ,ST交于點F.

小宏發(fā)現(xiàn)并證明了以下幾個結(jié)論是正確的：

①點0,A,T在一條直線上；

②四邊形尸PGS是矩形；

③△FQ7三△HMN；

④四邊形FPGS與△4BC的面積相等.

【任務(wù)11請你對結(jié)論①進(jìn)行證明.

【任務(wù)2］如圖2,在四邊形力BCD中，ADWBC,P,0分別是AB,CD的中點，連接PQ.求證：PQ=|

(XD+BC).

【任務(wù)3］如圖3,有一張四邊形紙ABCD,ADWBC,AD=2,BC=8,CD=9,sin/DCB=今小麗分別取

AB,CD的中點尸，Q,在邊BC上作MN=PQ,連接MQ,她仿照小宏的操作，將四邊形4BCD分割、拼成了

矩形.若她拼成的矩形恰好是正方形，求BM的長.

2.(2022?浙江金華?中考真題)如圖，在菱形4BCD中，=10,sin8=g，點E從點8出發(fā)沿折線B—C—D

向終點。運動.過點￡作點￡所在的邊(BC或C。)的垂線，交菱形其它的邊于點凡在EF的右側(cè)作矩形

EFGH.

⑴如圖1,點G在4c上.求證：FA=FG.

(2)若EF=FG,當(dāng)EF過AC中點時，求4G的長.

(3)已知FG=8,設(shè)點E的運動路程為s.當(dāng)s滿足什么條件時，以G,C,X為頂點的三角形與△BEF相似

(包括全等)？

3.(2023?貴州?中考真題)如圖①，小紅在學(xué)習(xí)了三角形相關(guān)知識后，對等腰直角三角形進(jìn)行了探究，在

等腰直角三角形4BC中，C4=CB/C=90。，過點B作射線BD14B,垂足為B,點P在CB上.

(1)【動手操作】

如圖②，若點P在線段CB上，畫出射線P4并將射線24繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90。與BD交于點E,根據(jù)題意在圖

中畫出圖形，圖中NP8E的度數(shù)為.度;

(2)【問題探究】

根據(jù)(1)所畫圖形，探究線段P4與PE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

(3)【拓展延伸】

如圖③，若點P在射線CB上移動，將射線P4繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90。與BD交于點E,探究線段之間的

數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

題型12三角形與函數(shù)綜合

1.(2023?黑龍江齊齊哈爾?中考真題)綜合與探究

如圖，拋物線y=—N+6%+c上的點N,C坐標(biāo)分別為(0,2),(4,0),拋物線與x軸負(fù)半軸交于點3,點M

為y軸負(fù)半軸上一點，且。"=2,連接AC,CM.

(1)求點Af的坐標(biāo)及拋物線的解析式；

(2)點尸是拋物線位于第一象限圖象上的動點，連接4P,CP,當(dāng)SAP4C=S》CM時，求點尸的坐標(biāo)；

(3)點。是線段BC(包含點2,。上的動點，過點。作x軸的垂線，交拋物線于點。，交直線CM于點N,若

以點Q,N,C為頂點的三角形與△COM相似，請直接寫出點0的坐標(biāo)；

(4)將拋物線沿x軸的負(fù)方向平移得到新拋物線，點/的對應(yīng)點為點4,點C的對應(yīng)點為點在拋物線平

移過程中，當(dāng)M4+M。的值最小時，新拋物線的頂點坐標(biāo)為,M4+MO的最小值為.

2.(2022?遼寧沈陽?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)丫=卜％+6的圖象與x軸交于點/,

與y軸交于點B(0,9),與直線OC交于點C(8,3).

(1)求直線N8的函數(shù)表達(dá)式；

(2)過點C作CDlx軸于點。，將△4CD沿射線C8平移得到的三角形記為△4。。，點/,C,。的對應(yīng)點

分別為4,C,D',若△40。與△B。。重疊部分的面積為S,平移的距離。。=小，當(dāng)點4與點8重合時停

止運動.

①若直線C7T交直線OC于點￡,則線段(7E的長為(用含有加的代數(shù)式表示)；

②當(dāng)0＜小＜爭寸，S與加的關(guān)系式為；

③當(dāng)S=g時，m的值為.

3.(2022?貴州黔東南?中考真題)如圖，拋物線y=a/+2x+c的對稱軸是直線x=1,與x軸交于點4B

(3,0),與y軸交于點C,連接4C.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)已知點D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，過點D作DM1x軸，垂足為點M,DM交直線BC于點N,是

否存在這樣的點N,使得以4C,N為頂點的三角形是等腰三角形.若存在，請求出點N的坐標(biāo)，若不存在,

請說明理由;

⑶已知點E是拋物線對稱軸上的點，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點F,使以點B、C、E、尸為頂點的四邊形為矩形,

若存在，請直接寫出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

4.(2023?湖南益陽?中考真題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線=a(x+2)(a>0)與x軸交于點力,與拋

物線=a久2交于B,C兩點(8在C的左邊).

⑴求/點的坐標(biāo)；

⑵如圖1,若8點關(guān)于x軸的對稱點為夕點，當(dāng)以點/,B',C為頂點的三角形是直角三角形時，求實數(shù)a

的值；

(3)定義：將平面直角坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點叫作格點，如(一2,1),(2,0)等均為格點.如圖

2,直線/與拋物線E所圍成的封閉圖形即陰影部分(不包含邊界)中的格點數(shù)恰好是26個，求。的取值范

圍.

?核心提煉?查漏補缺

一、全等三角形的判定

找第三邊sss

判找夾角SAS

已知兩邊

定找直角HL

兩

個

三一邊為角的對邊找另一角AAS

角找夾角的另一邊SAS

形己知一邊、一角

一邊是角的鄰邊找夾角的另一角ASA

全

等找邊的對角AAS

的

思

找夾邊ASA

路

已知兩角1找其中一角的對邊AAS

二、相似三角形的性質(zhì)與判定

相似三角形的判定方法：

1）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或其延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.

2）兩個三角形相似的判定定理：

①三邊成比例的兩個三角形相似；

②兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；

③兩角分別相等的兩個三角形相似.

④斜邊和直角邊成比例的兩個直角三角形相似.

相似三角形的性質(zhì)：

1）相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.

2）相似三角形對應(yīng)高，對應(yīng)中線，對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.

3）相似三角形周長的比等于相似比.

4）相似三角形面積比等于相似比的平方.

判定兩個三角形相似需要根據(jù)條件選擇方法.有時條件不具備，需從以下幾個方面探求：

1）條件中若有平行線，可考慮用平行線直接推出相似三角形；

2）兩個三角形中若有一組等角，可再找一組等角，或再找夾這組等角的兩邊成比例；

3）兩個三角形中若有兩邊成比例，可找這兩邊的夾角相等，或再找第三邊成比例；

4）條件中若有一組直角，可再找一組等角或兩邊成比例.

1.（2023?北京?中考真題）如圖，點/、B、C在同一條線上，點8在點C之間，點。，￡在直線NC

同側(cè)，AB<BC,乙4=/。=90。，AEAB=ABCD,連接?！?設(shè)48=a,BC=b,DE=c,給出下面三個

結(jié)論：@a+b<c；@a+b>y/a2+b2；0V2(a+b)>c；

E

D

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

2.（2023?四川遂寧?中考真題）如圖，在△4BC中，AB=10,BC=6,AC=8,點尸為線段4B上的動點,

以每秒1個單位長度的速度從點/向點3移動，到達(dá)點2時停止.過點尸作PM1AC于點M、作PN1BC

于點N,連接MN,線段MN的長度》與點尸的運動時間f（秒）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則函數(shù)圖象最低點E

的坐標(biāo)為（）

A.（5,5）B.（6,令C.e，令D.怎,5）

3.（2023?湖北鄂州?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點，。4=。8=3追，點（:為平面內(nèi)一

動點，BC=-,連接AC,點M是線段ZC上的一點，且滿足CM:MZ=1:2.當(dāng)線段。M取最大值時，點M的坐

標(biāo)是（）

A.(|.|)B.(|星司C.然)D.(|V5,^V5)

4.（2023?湖北武漢?中考真題）如圖，DE平分等邊△ZBC的面積，折疊△得至!J△FDE/C分另lj與。尸萬尸

相交于G,”兩點.若DG-m,EH=n,用含血刀的式子表示G”的長是

A

F

5.（2023?浙江嘉興?中考真題）一副三角板ABC和DEF中，zC=zD=90°,Z5=30°,NE=45。，

BC=EF=12.將它們疊合在一起，邊BC與EF重合，CD與4B相交于點G（如圖1）,此時線段CG的長

是，現(xiàn)將繞點C（F）按順時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖2）,邊EF與力B相交于點連結(jié)在旋

轉(zhuǎn)0。到60。的過程中，線段掃過的面積是.

6.（2023?黑龍江?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，aABC的頂點/在直線A：y=空x上，頂點3

在x軸上，4B垂直無軸，且。B=2調(diào)，頂點C在直線Z2：y=gx上，BUI%;過點力作直線G的垂線，垂足為

G，交x軸于%,過點為作垂直x軸，交八于點40連接4G，得到第一個△4道忑1；過點占作直線

%的垂線，垂足為C2,交x軸于4,過點%作力2B2垂直x軸，交人于點42,連接22c2,得到第二個△/I2B2

。2；如此下去，...，則△"202382023c2023的面積是-

7.（2023?黑龍江大慶?中考真題）如圖，在△ABC中，將4B繞點/順時針旋轉(zhuǎn)a至4B，，將4c繞點/逆時

針旋轉(zhuǎn)0至4C'（0°<a<180。,0。<。<180。），得到使NBAC+=180。，我們稱△4BC是

△ABC的“旋補三角形”，△4q。的中線4D叫做AABC的“旋補中線”，點工叫做“旋補中心”.下列結(jié)論正

確的有

B'、

D

C

a

BC

①△ABC與△ABC面積相同；

@BC=2AD；

③若AB=AC,連接B夕和C。,貝！U/BC+NCC，B'=180。；

④若4B=4C,AB=4,BC=6,則BC=10.

8.(2023?重慶?中考真題)如圖，