2025年中考數(shù)學(xué)大題與幾何壓軸題：圓壓軸 （講練）（原卷版）

專題12圓壓軸

目錄

考情分析

考點(diǎn)圓壓軸

【真題研析?規(guī)律探尋】

題型01與圓有關(guān)的多結(jié)論問題（選/填）

題型02與圓有關(guān)的平移問題

題型03與圓有關(guān)的翻折問題

題型04與圓有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問題

題型05與圓有關(guān)的最值問題

題型06與圓有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題

題型07與圓有關(guān)的新定義問題

題型08阿氏圓

題型09圓、幾何圖形、銳角三角函數(shù)綜合

題型10與圓有關(guān)的存在性問題

題型11與圓有關(guān)的定值問題

【核心提煉?查漏補(bǔ)缺】

【好題必刷?強(qiáng)化落實(shí)】

考點(diǎn)要求命題預(yù)測

在中考中，涉及圓壓軸題的相關(guān)題目單獨(dú)出題的可能性還是比較大的，多以解答

實(shí)數(shù)的分類題形式出現(xiàn)，常結(jié)合其它幾何圖形、銳角三角函數(shù)出成壓軸題的幾率特別大，所占分

值也是比較多，屬于是中考必考的中等偏上難度的考點(diǎn).

考點(diǎn)圓壓軸

真題研析-規(guī)律探尋

題型01與圓有關(guān)的多結(jié)論問題（選/填）

1.（2022?湖北武漢?中考真題）如圖，點(diǎn)尸是。。上一點(diǎn)，4B是一條弦，點(diǎn)C是APB上一點(diǎn)，與點(diǎn)。關(guān)

于2B對稱，4）交。。于點(diǎn)E,CE與4B交于點(diǎn)R5.BD||CE.給出下面四個(gè)結(jié)論：①CD平分NBCE；②

BE=BD；③AE2=aFx4B；④BD為。。的切線.其中所有正確結(jié)論的序號是.

2.（2021?廣東廣州?中考真題）如圖，正方形4BC。的邊長為4,點(diǎn)K是邊3c上一點(diǎn)，且BE=3,以點(diǎn)/

為圓心，3為半徑的圓分別交AB、4D于點(diǎn)尸、G,DF與4E交于點(diǎn)H.并與。4交于點(diǎn)K,連結(jié)8G、

C”.給出下列四個(gè)結(jié)論.（1），是尸K的中點(diǎn)；（2）△"GD三△HEC；（3）SAAHG：SAD//C=9：16；

（4）DK=l，其中正確的結(jié)論有（填寫所有正確結(jié)論的序號）.

3.（2021?湖南岳陽?中考真題）如圖，在Rt^ABC中，zC=90°,AB的垂直平分線分別交4B、AC于點(diǎn)D、

E,BE=8,。。為△BCE的外接圓，過點(diǎn)E作。。的切線EF交力B于點(diǎn)F,則下列結(jié)論正確的是.（寫

出所有正確結(jié)論的序號）

?AE=BC；②乙AED=MBD；③若ND8E=40。，則朝的長為笫（1第=夢⑤若屐=6,則

CE=2.24.

4.（2020?湖南岳陽?中考真題）如圖，4B為半。0的直徑，M,C是半圓上的三等分點(diǎn)，71B=8,BD與半

OO相切于點(diǎn)B,點(diǎn)P為麗上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)4M重合），直線PC交BD于點(diǎn)D,351。。于點(diǎn)5,延長BE

交PC于點(diǎn)F,則下列結(jié)論正確的是.（寫出所有正確結(jié)論的序號）

①PB=PD；②前的長為凱；③NDBE=45。；@ABCFSJ\PFB；⑤CF?CP為定值.

題型02與圓有關(guān)的平移問題

1.（2022?湖北宜昌?中考真題）己知，在△ABC中，^ACB=90°,BC=6,以BC為直徑的。。與交于

點(diǎn)、H,將△ABC沿射線AC平移得到△DEF,連接BE.

BEBE

（1）如圖1,DE與。。相切于點(diǎn)G.

①求證：BE=EG；

②求BE?CO的值；

（2）如圖2,延長HO與。。交于點(diǎn)K,將△DEF沿DE折疊，點(diǎn)F的對稱點(diǎn)尸恰好落在射線BK上.

①求證：HKWEF1；

②若KF'=3,求/C的長.

2.（2023?四川樂山?中考真題）已知01，月）,（久2，、2）是拋物。1：、=-1%2+加：（6為常數(shù)）上的兩點(diǎn)，當(dāng)小+

久2=。時(shí)，總有力=>2

⑴求6的值；

（2）將拋物線Ci平移后得到拋物線。2：丫=一式尤一加2+l（m>0）.

探究下列問題：

①若拋物線Ci與拋物線C2有一個(gè)交點(diǎn)，求他的取值范圍；

②設(shè)拋物線。2與x軸交于N,B兩點(diǎn),與〉軸交于點(diǎn)C,拋物線。2的頂點(diǎn)為點(diǎn)△4BC外接圓的圓心為點(diǎn)

F,如果對拋物線加上的任意一點(diǎn)P,在拋物線C2上總存在一點(diǎn)Q,使得點(diǎn)P、Q的縱坐標(biāo)相等.求EF長的

取值范圍.

3.（2021?湖南株洲?中考真題）將一物體（視為邊長為5米的正方形4BC。）從地面PQ上挪到貨車車廂

內(nèi).如圖所示，剛開始點(diǎn)8與斜面EF上的點(diǎn)E重合，先將該物體繞點(diǎn)B（E）按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至正方形4/。氏

的位置，再將其沿EF方向平移至正方形42B2c2。2的位置（此時(shí)點(diǎn)B2與點(diǎn)G重合），最后將物體移到車廂平

臺(tái)面MG上.已知MG〃PQ,AFBP=30°,過點(diǎn)F作尸H1MG于點(diǎn)H,F”=：米，￡尸=4米.

（1）求線段FG的長度；

（2）求在此過程中點(diǎn)力運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)42所經(jīng)過的路程.

題型03與圓有關(guān)的翻折問題

1.（2021?湖北武漢?中考真題）如圖，A8是。。的直徑，BC是。。的弦，先將前沿BC翻折交4B于點(diǎn)D.再

將前沿4B翻折交BC于點(diǎn)E.若篇=南，設(shè)乙48C=a,貝M所在的范圍是（）

A.21.9°<a<22.3°B.22,3°<?<22.7°

C.22.7°<a<23.1°D.23.1°<cr<23.5°

2.（2020?四川自貢?中考真題）如圖，在矩形48CD中，E是4B上的一點(diǎn)，連接DE,將44DE進(jìn)行翻折，恰

好使點(diǎn)4落在8C的中點(diǎn)F處，在。F上取一點(diǎn)0,以點(diǎn)。為圓心，。尸的長為半徑作半圓與CD相切于點(diǎn)G;若

4。=4,則圖中陰影部分的面積為一.

Bf-----C

3.（2018?云南曲靖?中考真題）如圖，4B為。。的直徑，點(diǎn)C為。。上一點(diǎn)，將前沿直線BC翻折，使沅

的中點(diǎn)。恰好與圓心。重合，連接。C,CD,BD,過點(diǎn)C的切線與線段BA的延長線交于點(diǎn)尸，連接4D,

在PB的另一側(cè)作NMPB=AADC.

（1）判斷PM與。。的位置關(guān)系，并說明理由；

Q）若PC=W,求四邊形。CDB的面積.

D

C

題型04與圓有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問題

1.(2023?浙江嘉興?中考真題)一副三角板4BC和DEF中，zC=zD=90°,48=30。，NE=45。，

BC=EF=12.將它們疊合在一起，邊8c與EF重合，CD與4B相交于點(diǎn)G(如圖1),此時(shí)線段CG的長

是,現(xiàn)將△DEF繞點(diǎn)C(F)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(如圖2),邊EF與力B相交于點(diǎn)”，連結(jié)在旋

轉(zhuǎn)0。到60。的過程中，線段掃過的面積是.

2.(2023?四川?中考真題)如圖1,已知線段48,AC,線段AC繞點(diǎn)4在直線AB上方旋轉(zhuǎn)，連接BC,以BC

為邊在BC上方作RtZXBDC,且ND8C=30。.

(1)若NBDC=90。，以AB為邊在力B上方作RtaBAE,且乙4EB=90。，AEBA=30°,連接DE,用等式表示

線段2C與DE的數(shù)量關(guān)系是；

(2)如圖2,在(1)的條件下，若DE14B,AB=4,AC=2,求BC的長；

(3)如圖3,若NBCD=90。，AB=4,4C=2,當(dāng)4。的值最大時(shí)，求此時(shí)tan/CBA的值.

3.(2022?山東濰坊?中考真題)筒車是我國古代利用水力驅(qū)動(dòng)的灌溉工具，車輪縛以竹簡，旋轉(zhuǎn)時(shí)低則舀

水，高則瀉水.如圖，水力驅(qū)動(dòng)筒車按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，竹筒把水引至/處，水沿射線4。方向?yàn)a至水渠

DE,水渠DE所在直線與水面PQ平行；設(shè)筒車為。0,。。與直線PQ交于P,。兩點(diǎn)，與直線DE交于8,

C兩點(diǎn)，恰有=連接AB/C.

(1)求證：AD為。。的切線；

(2)筒車的半徑為3m,AC=BC,AC=30°.當(dāng)水面上升，A,O,0三點(diǎn)恰好共線時(shí)，求筒車在水面下的最大

深度(精確到0.1m,參考值：V2?1.4,V3?1.7).

題型05與圓有關(guān)的最值問題

1.(2023?陜西?中考真題)(1)如圖①，在△04B中，。4=。8,^AOB=120°,4B=24.若。。的半

徑為4,點(diǎn)P在。。上，點(diǎn)M在4B上，連接PM,求線段PM的最小值；

(2)如圖②所示，五邊形2BCDE是某市工業(yè)新區(qū)的外環(huán)路，新區(qū)管委會(huì)在點(diǎn)B處，點(diǎn)E處是該市的一個(gè)交

通樞紐.已知：^A=AABC=AAED=90°,AB=AE=10000m,BC=DE=6000m.根據(jù)新區(qū)的自然環(huán)

境及實(shí)際需求，現(xiàn)要在矩形4FDE區(qū)域內(nèi)(含邊界)修一個(gè)半徑為30m的圓型環(huán)道。。；過圓心。，作

OMLAB,垂足為M,與。。交于點(diǎn)N.連接BN,點(diǎn)P在。。上，連接EP.其中，線段BN、EP及MN是要

修的三條道路，要在所修道路BMEP之和最短的情況下，使所修道路MN最短，試求此時(shí)環(huán)道。。的圓心。

到力B的距離OM的長.

圖②

在RtMBC中，AACB=90°,NB=60。，點(diǎn)D為線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接CD.

(1)如圖1,若2C=9,BD=W，求線段4。的長.

(2)如圖2,以CD為邊在CD上方作等邊點(diǎn)尸是DE的中點(diǎn)，連接并延長，交CD的延長線于點(diǎn)G.若

ZG=Z.BCE,求證：GF=BF+BE.

(3)在CD取得最小值的條件下，以CD為邊在CD右側(cè)作等邊△CDE.點(diǎn)M為CD所在直線上一點(diǎn)，將△BEM沿

所在直線翻折至△4BC所在平面內(nèi)得到△BNM.連接4N,點(diǎn)P為4V的中點(diǎn)，連接CP,當(dāng)CP取最大值

時(shí)，連接BP,將aBCP沿所在直線翻折至△4BC所在平面內(nèi)得到△BCQ,請直接寫出此時(shí)箸的值.

3.(2022?北京?中考真題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)對于點(diǎn)P給出如下定義：將點(diǎn)P向右

(a20)或向左(a<0)平移|可個(gè)單位長度，再向上(620)或向下(b<0)平移網(wǎng)個(gè)單位長度，得到點(diǎn)P',點(diǎn)P

關(guān)于點(diǎn)N的對稱點(diǎn)為Q,稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“對應(yīng)點(diǎn)”.

⑴如圖，點(diǎn)點(diǎn)N在線段OM的延長線上，若點(diǎn)P(—2,0),點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“對應(yīng)點(diǎn)”.

①在圖中畫出點(diǎn)Q；

②連接PQ,交線段。N于點(diǎn)T,求證：NT《OM;

(2)。。的半徑為1,M是。。上一點(diǎn)，點(diǎn)N在線段。M上，且。N=t6<t<1),若P為。。外一點(diǎn)，點(diǎn)Q為

點(diǎn)P的“對應(yīng)點(diǎn)”，連接PQ.當(dāng)點(diǎn)M在。。上運(yùn)動(dòng)時(shí)直接寫出PQ長的最大值與最小值的差(用含t的式子表

示).

4.(2021?貴州遵義?中考真題)點(diǎn)/是半徑為28的O。上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)3是OO外一定點(diǎn)，03=6.連接

OA,AB.

圖①

(1)【閱讀感知】如圖①，當(dāng)A48C是等邊三角形時(shí)，連接OC,求OC的最大值；將下列解答過程補(bǔ)充

完整.

解：將線段。8繞點(diǎn)3順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。到08,連接O。，CO'.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：4030=60。，B0'=B0=6,即△050是等邊三角形.

.?.0。'=30=6

又???AABC是等邊三角形

山3。=60°,AB=BC

：/OBO'=UBC=60°

：./.OBA^/.O'BC

在△0A4和△。心。中,

(OB=O'B

\^OBA=^O'BC

IAB=CB

(S/S)

■■.OA^O'C

在△OOC中，OC<OO'+O'C

當(dāng)。，(7,C三點(diǎn)共線，且點(diǎn)C在。。，的延長線上時(shí)，0。=。。+。。

即OC<OO'+O'C

.?.當(dāng)。，O',C三點(diǎn)共線，且點(diǎn)C在。。的延長線上時(shí)，OC取最大值，最大值是.

(2)【類比探究】如圖②，當(dāng)四邊形N8CO是正方形時(shí)，連接。C,求OC的最小值；

(3)【理解運(yùn)用】如圖③，當(dāng)A4BC是以A8為腰，頂角為120。的等腰三角形時(shí)，連接OC,求0c的最

小值，并直接寫出此時(shí)―以？的周長.

題型06與圓有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題

1.(2023?內(nèi)蒙古呼和浩特?中考真題)己知在Rt^ABC中，AACB=90°,BC=6,AC=8,以邊4C為直徑

作。。，與力B邊交于點(diǎn)D,點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，連接DM.

(1)求證：DM是。。的切線；

(2)點(diǎn)P為直線BC上任意一動(dòng)點(diǎn)，連接4P交。。于點(diǎn)Q,連接CQ.

①當(dāng)tanzBAP*時(shí)，求8P的長；

②求生的最大值.

2.(2023?浙江?中考真題)小賀在復(fù)習(xí)浙教版教材九上第81頁第5題后，進(jìn)行變式、探究與思考：如圖1,

O。的直徑CD垂直弦48于點(diǎn)E,且CE=8,DE=2.

圖2圖3

（1）復(fù)習(xí)回顧：求力B的長.

（2）探究拓展：如圖2,連接4C,點(diǎn)G是就上一動(dòng)點(diǎn)，連接AG,延長CG交力B的延長線于點(diǎn)?

①當(dāng)點(diǎn)G是近的中點(diǎn)時(shí)，求證：^GAF=ZF；

②設(shè)CG=x,CF=y,請寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并說明理由；

③如圖3,連接DF,BG,當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請計(jì)算BG的長.

3.（2023?湖南婁底?中考真題）如圖1,點(diǎn)G為等邊△ABC的重心，點(diǎn)。為BC邊的中點(diǎn)，連接GD并延長至

點(diǎn)。，使得DO=DG,連接GB,GC,OB,OC

（1）求證：四邊形80CG為菱形.

⑵如圖2,以。點(diǎn)為圓心，OG為半徑作O。

①判斷直線4B與。。的位置關(guān)系，并予以證明.

②點(diǎn)M為劣弧8c上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、點(diǎn)C不重合），連接并延長交AC于點(diǎn)E,連接CM并延長交2B于點(diǎn)尸,

求證：AE+AF為定值.

4.（2023?湖南?中考真題）如圖，點(diǎn)B,C在O。上運(yùn)動(dòng)，滿足482=8。2+4。2,延長力c至點(diǎn)。，使

得ADBC=NC4B,點(diǎn)E是弦力C上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)N,C重合），過點(diǎn)￡作弦4B的垂線，交于點(diǎn)尸，交BC

的延長線于點(diǎn)N,交。。于點(diǎn)M（點(diǎn)M在劣弧前上）.

(1)BD是。。的切線嗎？請作出你的判斷并給出證明；

(2)記△BDC,AABC,△4DB的面積分別為Si，S2,S,若S「S=(S2)2,求(tanD)2的值；

(3)若。。的半徑為1,設(shè)=FE-FN-/—^―+-i-=y,試求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變

'BC-BNAE-AC

量X的取值范圍.

題型07與圓有關(guān)的新定義問題

1.(2023?北京?中考真題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O。的半徑為1.對于O。的弦4B和O。外一點(diǎn)C

給出如下定義：

若直線C4C8中一條經(jīng)過點(diǎn)O,另一條是。。的切線，則稱點(diǎn)C是弦4B的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.

(1)如圖，點(diǎn)4(—1,0),Bi(—容約,%停")

①在點(diǎn)的(—1,1),C2(-V2,0),。3(0,我)中，弦的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是.

②若點(diǎn)C是弦的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，直接寫出。C的長；

(2)已知點(diǎn)M(0,3),N(等,0).對于線段MN上一點(diǎn)S,存在O。的弦PQ,使得點(diǎn)S是弦PQ的‘關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，記PQ

的長為3當(dāng)點(diǎn)S在線段MN上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫出/的取值范圍.

2.(2023?甘肅蘭州?中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義：P為圖形M上任意一點(diǎn)，如果點(diǎn)P到

直線EF的距離等于圖形M上任意兩點(diǎn)距離的最大值時(shí)，那么點(diǎn)P稱為直線EF的“伴隨點(diǎn)”.

⑴如圖2,已知點(diǎn)4(1,0),B(3,0),P是線段48上一點(diǎn)，直線EF過G(—1,0),T(0,冬)兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P是直線EF

的“伴隨點(diǎn)”時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)如圖3,x軸上方有一等邊三角形ABC,BCly軸，頂點(diǎn)/在y軸上且在上方，。。=遮，點(diǎn)P是△A8C

上一點(diǎn)，且點(diǎn)P是直線EF：x軸的“伴隨點(diǎn)”.當(dāng)點(diǎn)P至此軸的距離最小時(shí)，求等邊三角形2BC的邊長；

(3)如圖4,以4(1,0),B(2,0),C(2,l)為頂點(diǎn)的正方形2BCD上始終存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)P是直線EF：y=-x+b

的“伴隨點(diǎn)”.請直接寫出b的取值范圍.

3.(2020?湖北咸寧?中考真題)定義：有一組對角互余的四邊形叫做對余四邊形.

理解：

(1)若四邊形4BCD是對余四邊形，則NA與NC的度數(shù)之和為；

證明：

(2)如圖1,MN是。。的直徑，點(diǎn)4B,C在O。上，AM,CN相交于點(diǎn)。.

求證：四邊形48CD是對余四邊形；

探究：

(3)如圖2,在對余四邊形4BCD中，AB=BC,AABC=60°,探究線段AD,CD和BD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)

系？寫出猜想，并說明理由.

題型08與圓有關(guān)的閱讀理解問題

1.(2021?四川遂寧?中考真題)已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、P(Xo.yo)和直線/x+sy+c=o(其中/,B

不全為0),則點(diǎn)P到直線Nx+2y+C=0的距離d可用公式d=靄°來計(jì)算.

例如：求點(diǎn)尸（1,2）到直線y=2x+l的距離，因?yàn)橹本€＞=2x+l可化為2x—y+l=O,其中4=2,B=~

1,C=l,所以點(diǎn)尸（1,2）到直線y=2x+l的距離為：d==京=浮

Jy/A2+B2y/2z+{—l）zV55

根據(jù)以上材料，解答下列問題：

（1）求點(diǎn)M（0,3）到直線y=遮尤+9的距離；

（2）在（1）的條件下，的半徑r=4,判斷OM與直線y=VIx+9的位置關(guān)系，若相交，設(shè)其弦長

為小求〃的值；若不相交，說明理由.

2.（2019?山西?中考真題）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)地任務(wù)：

萊昂哈德?歐拉包eo"/?an/E"/er）是瑞士數(shù)學(xué)家，在數(shù)學(xué)上經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù)，公式和定理,

下面是歐拉發(fā)現(xiàn)的一個(gè)定理：在aABC中，R和r分別為外接圓和內(nèi)切圓的半徑，O和I分別為其外心和內(nèi)

心，則。/2=/?2一2立

如圖1,OO和。1分別是aABC的外接圓和內(nèi)切圓，OI與AB相切分于點(diǎn)F,設(shè)OO的半徑為R,。1的

半徑為r,外心O（三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)）與內(nèi)心I（三角形三條角平分線的交點(diǎn)）之間的距離01

=d,則有d2=R2-2Rr.

下面是該定理的證明過程（部分）：

延長AI交。0于點(diǎn)D,過點(diǎn)I作。0的直徑MN,連接DM,AN.

■.?zD=zN,NDMI=NNAI（同弧所對的圓周角相等），

.?.△MDI'-AANL

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.-.IA-ID=IM-IN?,

如圖2,在圖1（隱去MD,AN）的基礎(chǔ)上作OO的直徑DE,連接BE,BD,BLIF,

?.DE是OO的直徑，；.NDBE=90。，

???OI與AB相切于點(diǎn)F,ZAFI=9O。,

.?.ZDBE=Z.IFA,

?./BAD=NE（同弧所對圓周角相等），

???△AIF-AEDB,

=.■-1A-BD=DE-IF@,

任務(wù)：（1）觀察發(fā)現(xiàn)：IM=R+d,/可=_（用含區(qū)，d的代數(shù)式表示）；

⑵請判斷BD和ID的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）請觀察式子①和式子②，并利用任務(wù)（1）,（2）的結(jié)論，按照上面的證明思路，完成該定理證明的剩余部分；

（4）應(yīng)用：若4ABC的外接圓的半徑為5cm,內(nèi)切圓的半徑為2cm,則aABC的外心與內(nèi)心之間的距離為_

cm.

E

3.（2018?四川達(dá)州?中考真題）閱讀下列材料：

已知：如圖1,等邊4AiA2A3內(nèi)接于OO,點(diǎn)P是4送2上的任意一點(diǎn),連接PA〉PA2,PA3,可證:

PA1+PA2=PA3,從而得到：卷募函=2是定值.

參考數(shù)據(jù)：如圖等腰△數(shù)。

中，若頂角乙4=108°,貝|JBC=W^4C；

T+64

若頂角NH=36。，則80三但/。人

（1）以下是小紅的一種證明方法，請?jiān)诜娇騼?nèi)將證明過程補(bǔ)充完整;

證明：如圖1,作NPAiM=60。，AiM交A2P的延長線于點(diǎn)M.

???△AiA2A3是等邊三角形，

?*.z.A3A1A2=60°,

A3Alp=z_A2A1

又A3Al=A2Al,ZAIA3P=ZAIA2P,

「.△A1A3P三△AiA2NI

.?.PA3=MA2=PA2+PM=PA2+PA1.

???PZXX3=P是定值?

PAt+PA2

(2)延伸：如圖2,把Q)中條件等邊4A1A2A3”改為正方形A1A2A3A/,其余條件不變,請問:P241+PA2+PA3+PZ4

還是定值嗎？為什么？

(3)拓展:如圖3,把(1)中條件“等邊4AiA2A3”改為“正五邊形AiA2A3A4A5”，其余條件不變，則

_____一14+一一2____________

(只寫出結(jié)果).

P/i+PAz+P/s+PZd+P/s____

題型09阿氏圓

1.(2021?四川宜賓?中考真題)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸分別交于/、2兩點(diǎn),與y軸

交于點(diǎn)C(0,6),拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為E(2,8),連結(jié)BC、BE、CE.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)判斷△8CE的形狀，并說明理由；

(3)如圖2,以C為圓心，夜為半徑作OC,在OC上是否存在點(diǎn)P,使得尸的值最小，若存在，

請求出最小值；若不存在，請說明理由.

2.(2023?湖北黃石?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a/+族+c與x軸交于兩點(diǎn)2(—3,0)

,8(4,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,4).

(1)求此拋物線的解析式；

(2)已知拋物線上有一點(diǎn)P(>o，yo),其中均<0,若NCAO+NABP=90。，求%()的值；

(3)若點(diǎn)。，E分別是線段4C,4B上的動(dòng)點(diǎn)，且4E=2CD,求CE+2BD的最小值.

3.(2023?山東煙臺(tái)?中考真題)如圖，拋物線y=a/+法+5與x軸交于4B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)

C,AB=4.拋物線的對稱軸x=3與經(jīng)過點(diǎn)4的直線y=kx-1交于點(diǎn)。，與x軸交于點(diǎn)E.

111/1/

C：/C\/

(1)求直線4。及拋物線的表達(dá)式；

(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)M,使得△力DM是以4。為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；

若不存在，請說明理由；

(3)以點(diǎn)B為圓心，畫半徑為2的圓，點(diǎn)P為OB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請求出PC+?4的最小值.

題型10圓、幾何圖形、銳角三角函數(shù)綜合

1.(2022?浙江寧波?中考真題)如圖1,。。為銳角三角形4BC的外接圓，點(diǎn)。在前上，2D交BC于點(diǎn)E,

點(diǎn)下在4E上，滿足N力FB—NBFD=N4CB,FG||4C交BC于點(diǎn)G,BE=FG,連結(jié)BD,DG.設(shè)N4CB=a.

⑴用含a的代數(shù)式表示4BFD.AA

(2)求證：ABDE三4FDG.ZA\

(3)如圖2,a。為oo的直徑.\

①當(dāng)麗的長為2時(shí)，求前的長.

②當(dāng)0尸:。￡=4:11時(shí)，求cosa的值.

2.(2023?浙江臺(tái)州?中考真題)我們可以通過中心圖2

投影的方法建立圓上的點(diǎn)與直線上點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系，用直線上點(diǎn)的位置刻畫圓上點(diǎn)的位置，如圖，4B是。。

的直徑，直線Z是。。的切線，B為切點(diǎn).P,Q是圓上兩點(diǎn)(不與點(diǎn)4重合，且在直徑的同側(cè))，分別作

射線4P,4Q交直線I于點(diǎn)C,點(diǎn)。.

AAA

圖1圖2圖3

(1)如圖1,當(dāng)2B=6,BP的長為TT時(shí)，求BC的長.

(2)如圖2,當(dāng)?shù)?*加=所時(shí)，求老的值.

(3)如圖3,當(dāng)sinNB4Q=9,BC=CD時(shí)，連接2尸，PQ,直接寫出售的值.

3.(2021?廣西柳州?中考真題)如圖，四邊形4BCD中，4D〃BCHD14BHD=4B=1,DC=V^,以/為

圓心，4。為半徑作圓，延長CD交。4于點(diǎn)尸，延長。力交04于點(diǎn)￡,連結(jié)BF,交0E于點(diǎn)G.

E

(1)求證：8c為04的切線；

(2)求cosNEDF的值；

(3)求線段BG的長.

題型11與圓有關(guān)的存在性問題

1.(2023?廣東廣州?中考真題)已知點(diǎn)P(zn,n)在函數(shù)y=—?!(><0)的圖象上.

(1)若m=—2,求〃的值；

(2)拋物線丫=(無一山)0—口與苫軸交于兩點(diǎn)“，N(M在N的左邊)，與y軸交于點(diǎn)G,記拋物線的頂點(diǎn)

為E.

①〃?為何值時(shí)，點(diǎn)￡到達(dá)最高處；

②設(shè)△GMN的外接圓圓心為C,OC與夕軸的另一個(gè)交點(diǎn)為尸，當(dāng)m+n力0時(shí)，是否存在四邊形FGEC為

平行四邊形？若存在，求此時(shí)頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

2.(2022?江蘇鹽城?中考真題)【發(fā)現(xiàn)問題】

小明在練習(xí)簿的橫線上取點(diǎn)。為圓心，相鄰橫線的間距為半徑畫圓，然后半徑依次增加一個(gè)間距畫同心圓,

描出了同心圓與橫線的一些交點(diǎn)，如圖1所示，他發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)的位置有一定的規(guī)律.

【提出問題】

小明通過觀察，提出猜想：按此步驟繼續(xù)畫圓描點(diǎn)，所描的點(diǎn)都在某二次函數(shù)圖像上.

(1)【分析問題】

小明利用己學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，以圓心。為原點(diǎn)，過點(diǎn)。的橫線所在直線為“軸，過點(diǎn)。且垂直于橫線的直線為y

軸，相鄰橫線的間距為一個(gè)單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2所示.當(dāng)所描的點(diǎn)在半徑為5的同心

圓上時(shí)，其坐標(biāo)為.

⑵【解決問題】

請幫助小明驗(yàn)證他的猜想是否成立.

(3)【深度思考】

小明繼續(xù)思考：設(shè)點(diǎn)P(OM),血為正整數(shù)，以。P為直徑畫OM,是否存在所描的點(diǎn)在OM上.若存在，求

機(jī)的值；若不存在，說明理由.

3.(2020?四川綿陽?中考真題)如圖，在矩形ABCD中，對角線相交于點(diǎn)O,OM為aBCD的內(nèi)切圓，切

點(diǎn)分別為N,P,Q,DN=4,BN=6.

⑴求BC,CD；

(2)點(diǎn)H從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AD向點(diǎn)D以每秒3個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)停止,

過點(diǎn)H作HIIIBD交AC于點(diǎn)I,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

①將△AHI沿AC翻折得△A/H,是否存在時(shí)刻3使點(diǎn)次恰好落在邊BC上？若存在，求t的值；若不存在，

請說明理由；

②若點(diǎn)F為線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△OFH為正三角形時(shí)，求t的值.

(備用圖)(備用圖)

題型12與圓有關(guān)的定值問題

1.(2023?海南?中考真題)如圖1,在菱形4BCD中，對角線AC,BD相交于點(diǎn)。，AB=6,^ABC=60°,

點(diǎn)P為線段B。上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B,。重合），連接CP并延長交邊4B于點(diǎn)G,交D4的延長線于點(diǎn)

（1）當(dāng)點(diǎn)G恰好為4B的中點(diǎn)時(shí)，求證：AAGH三△BGC；

（2）求線段BD的長；

（3）當(dāng)為直角三角形時(shí)，求皆的值；

（4）如圖2,作線段CG的垂直平分線，交BD于點(diǎn)N,交CG于點(diǎn)M,連接NG,在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，NCGN的度

數(shù)是否為定值？如果是，求出這個(gè)定值；如果不是，請說明理由.

2.（2021?江蘇泰州?中考真題）如圖，在。。中，48為直徑，尸為N8上一點(diǎn)，PA=1,PB=m（加為常數(shù),

且"?>0）.過點(diǎn)尸的弦C01/8,。為戴上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)8不重合），AH1QD,垂足為連接

BQ.

（1）若加=3.

①求證：4。/。=60。；

②求器的值；

（2）用含〃z的代數(shù)式表示器，請直接寫出結(jié)果；

Lfn

（3）存在一個(gè)大小確定的。。，對于點(diǎn)。的任意位置，都有8。2-2。〃2+2￥的值是一個(gè)定值，求此時(shí)N0

的度數(shù).

核心提煉?查漏補(bǔ)缺

1.垂徑定理及推論

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

推論：1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.

方法技巧垂徑定理模型（知二得三）

如圖，可得①AB過圓心@AB1CD③CE=DE④部=俞⑤前=俞

【總結(jié)】垂徑定理及其推論實(shí)質(zhì)是指一條直線滿足：（1）過圓心（2）垂直于弦（3）平分弦（被平分

的弦不是直徑）（4）平分弦所對的優(yōu)?。?）平分弦所對的劣弧，若已知五個(gè)條件中的兩個(gè)，那么可推

出其中三個(gè)，簡稱“知二得三”，解題過程中應(yīng)靈活運(yùn)用該定理.

常見輔助線做法（考點(diǎn)）：1）過圓心，作垂線，連半徑，造RtA,用勾股，求長度;

2）有弦中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分.

【易錯(cuò)點(diǎn)】求兩條弦間的距離時(shí)要分類討論兩條弦與圓心的相對位置：兩弦在圓心的同側(cè)，兩弦在圓心的

異側(cè).

2.弧、弦、圓心角的關(guān)系

定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等.

推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們

所對應(yīng)的其余各組量分別相等.

【解題思路】在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么這兩條弧所對的弦相等，所對的圓心角、圓周角也

都相等.運(yùn)用這些相等關(guān)系，可以實(shí)現(xiàn)線段相等與角相等之間的相互轉(zhuǎn)化.

3.圓周角定理

圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.（即：圓周角=：圓心角）

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等.

推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦是直徑.

【補(bǔ)充】圓的一條?。ㄏ遥┲粚χ粋€(gè)圓心角，對應(yīng)的圓周角有無數(shù)個(gè)，但圓周角的度數(shù)只有兩個(gè)，這兩

個(gè)度數(shù)和為180°

【解題思路】

1）在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半，在同圓中可以利

用圓周角定理進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化.

2）在證明圓周角相等或弧相等時(shí)，通?！坝傻冉钦业然　被颉坝傻然≌业冉恰?

3）當(dāng)已知圓的直徑時(shí)，常構(gòu)造直徑所對的圓周角.

4）在圓中求角度時(shí)，通常需要通過一些圓的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.比如圓心角與圓周角間的轉(zhuǎn)化；同弧或等弧的

圓周角間的轉(zhuǎn)化；連直徑，得到直角三角形，通過兩銳角互余進(jìn)行轉(zhuǎn)化等.

4.圓內(nèi)接四邊形

性質(zhì)：1）圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ).

2）圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對角.

5.切線的性質(zhì)與判定

定義線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，這條直線叫圓的切線，這個(gè)公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).

圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.（實(shí)際上過切點(diǎn)的半徑也可理解為過切點(diǎn)的直徑或經(jīng)過切點(diǎn)與圓

心的直線.）

性質(zhì)解題方法：當(dāng)題目已知一條直線切圓于某一點(diǎn)時(shí)，通常作的輔助線是連接切點(diǎn)與圓心（這是圓中

作輔助線的一種方法）.根據(jù)切線的性質(zhì)可得半徑與切線垂直，從而利用垂直關(guān)系進(jìn)行有關(guān)的計(jì)

算或證明.

1）定義法：直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，我們說這條直線是圓的切線.

2）數(shù)量關(guān)系法：圓心到這條直線的距離等于半徑時(shí)，直線與圓相切.

3）判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

常見輔助線作法：判定一條直線是圓的切線時(shí)，

判定

1）若已知直線與圓的公共點(diǎn)時(shí)，把圓心和這個(gè)公共點(diǎn)連接起來，然后證明直線垂直于這條半徑，

簡稱“連半徑，證垂直”；

3）若直線與圓的公共點(diǎn)沒有明確，可過圓心作直線的垂線段，再證明圓心到直線的距離等于半徑，

簡稱“作垂直，證半徑”.

6.切線長定理

定義在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長.

定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角.

切線長定理的應(yīng)用問題解題方法：切線長定理經(jīng)常用來證明線段相等，通常要連接圓心與切點(diǎn)構(gòu)造直角

三角形來求解.

一、單選題

1.（2023?吉林?二模）如圖，將半徑為4的圓形紙片折疊使弧4B經(jīng)過圓心0,過點(diǎn)。作直徑CD14B于點(diǎn)E,

點(diǎn)P是半徑。。上一動(dòng)點(diǎn)，連接4P,貝的長度不可能是（）

D

C.6D.7

2.（2023?湖北武漢?模擬預(yù)測）“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圓的內(nèi)接四邊形中，兩條對角線的乘

積等于兩組對邊乘積之和.如圖，O。中有圓內(nèi)接四邊形/BCD,已知BD=8,CD=5,AB=6,

ABDC=60°,貝IJAD=(

8V^I-6C8V^-7D87^-8

-7-

3.（2023?河北保定?二模）嘉嘉與淇淇在討論下面的問題:

如圖，RtaABC中，AB=60,AC=45,^BAC=90°.D,E分別是力C,AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，DE=52,以DE

為直徑的。。交BC于點(diǎn)P,。兩點(diǎn)，求線段PQ的最大值.

嘉嘉：當(dāng)點(diǎn)。，￡分別在AC,4B上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)。到點(diǎn)/的距離為定值;

淇淇：當(dāng)PQ為圓。的直徑時(shí)，線段PQ的長最大.

關(guān)于上述問題及兩人的討論，下列說法正確的是（）

A.兩人的說法都正確，線段PQ的最大值為52

B.嘉嘉的說法正確，淇淇的說法有問題，線段PQ長度的最大值為48

C.淇淇的說法有問題，當(dāng)DEIIBC時(shí)，線段PQ的長度最大

D.這道題目有問題，PQ的長度只有最小值，沒有最大值

4.（2023?河北保定?模擬預(yù)測）如圖，在△力BC中，BC=10,點(diǎn)。為4B上一點(diǎn)，以5為半徑作。。分別

與BC,4C相切于。，E兩點(diǎn)，OB與。。交于點(diǎn)M,連接OC交。。于點(diǎn)尸，連接ME,FE,若點(diǎn)。為BC的中點(diǎn),

給出下列結(jié)論：①CO平分ZJ1CB；②點(diǎn)E為4C的中點(diǎn)；@^AME=22.5°；④標(biāo)的長度為疑.其中正確結(jié)

論的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空題

5.（2023?四川成都?模擬預(yù)測）如圖，A,B,。為。。上的三個(gè)點(diǎn)，C為通的中點(diǎn)，連接。4OB,AC,

BC,以C為圓心，4C長為半徑的弧恰好經(jīng)過點(diǎn)O,若要在圓內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影部分的概率

6.（2023?河北石家莊?模擬預(yù)測）如圖所示，己知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)力（15,8）,點(diǎn)M是橫軸正半

軸