2025新高考數(shù)學(xué)計(jì)算題專練：誘導(dǎo)公式的化簡(jiǎn)求值（解析版）

2025新高考數(shù)學(xué)計(jì)算題型精練

誘導(dǎo)公式的化簡(jiǎn)求值

(、sina+——+sin(a+8兀)

1.已知sincr,貝|--T--------------------------------------

I2)5.5TI}.、

sinI^-+crI+sin(/7i+a)

【答案】7

【詳解】因?yàn)閟ina=],且

所以cosa=Vl-sin2a=—,

sincr3

所以tana=-----=—.

coscr4

.(9兀、./0、

sina-\---+sm(a+87i)

所以%兀-----

sin——+a+sin(77T+a)

_cos<7+sincr_1+tancr_4_7

cos6r-sin<71-tancr

~4

故答案為：7.

2.若c°s[a+^1)=g，則sin12a+gj=.

【答案】-1

【詳解】sin^2cr+^^=sin++=cos|^2^6r+^|-

=2cos2{a+—-1=2xf—-1=--.

I12jUJ9

故答案為：

7兀,5兀

cos——sm——

3.計(jì)算一644的結(jié)果為________

4兀

tan——

3

【答案】

44

【詳解】因?yàn)閏os」=cos［兀+二］=—COsP=——:

6\6/62

.5TU.（兀）.兀&

sin——=sin兀+―=-sin—=-----

4I4J42

4兀（兀、71

tan——=tan兀+—=tan—=6,

3{3J3

7兀.5兀（有1（亞〕

cos——sin——12八2人區(qū)

所以_6____4_

4兀

tan——

3

故答案為：字

sin（兀+6）+2cos6_

4.點(diǎn)4（3,4）在角夕的終邊上，則c_

【答案】2

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)4（3,4）在角0的終邊上，貝Ijtan*，,

--+2

sin（兀+e）+2cos。_一sin6+2cos6_一tanS+2_3

、cosg_g）-cose_sin。-cosd-tan0-l-4^

故答案為：2

【答案】-1

【詳解】cosl|+j=-sin6Z=--.

故答案為：-]

cos~+asin（兀一a；

6.已知角a終邊上一點(diǎn)尸（-2,3）,則一出一人不一

cos（兀+a）cot1萬+a

【答案】—巫

13

【詳解】由誘導(dǎo)公式知,

cos■|"+a卜in(兀一a)

一sina?sina.

----------------------=-sincr,

(3兀-cosa?(—tana)

COS71+a)cot|三+a

2

因?yàn)榻恰＝K邊上一點(diǎn)P（-2,3）,

33713

所以sina=

V(-2)2+3213

所以原式=-sina=

13

3^/13

故答案為:

/23TIX23TI「2兀、2K71

【詳解】tan(———)=-tan^—=-tan(77i+-)=-tan——=tan—二6

33

故答案為：5

8.cos660°=

【答案】1/0.5

【詳解】cos660°=cos(2x360°-60°)=cos(-60°)=cos60°=；

故答案為：

sin(-271-6)cos(6兀一

9.化簡(jiǎn):

cos(8—兀)sin(5兀+8)

【答案】-1

sin(-6)cos(-6)(-sin6)cos。

【詳解】原式二=-1

cos(7i+6)?sin(7i+6)(-cos6).(-sin8)

故答案為：-1.

10.若sin(?！猘)=￥，則cos[a+5)=

【答案】一走

3

【詳解】因?yàn)閟in(乃—a)=sina=#,

71,V3

所以cos6Z+—=-sma=------

3

故答案為：-也

3

COS(7T-6Z).(71)(兀、

11.---7----sin——acosa+—=

sin(cr-Tt)［2)1)------------

【答案】-cos?a

(—cosa)/、

［詳解］原式^:~~^cosaq-smajM-cos9a

(—sina)

故答案為：-cos?a.

13

12.已知cos(兀+。)=-5,Q兀<1<2兀，貝Usin(3jr+a)=

【答案】B

2

【詳解】,.,(：05(兀+。)=一3，

:.-cosa=--,即cosa=L,

22

3

?「一兀<1<2兀,

2

/.sina=-y/1-cos2a-

2

sin(3兀+a)=-sina=￥

故答案為：4

tan(2兀-x)sin(一2九-x)cos(6兀-n)cos(TI-X)

【答案】sin尤

［詳解］tan(2TI-x)=-tanx,sin(-2兀-%)=sin(-x)=-sinx,

cos(6兀一%)=cos(-%)=cosx,cos(7i-x)=-cosx,

sin"會(huì)…。sx，M〉J=sin尤,

(-tanx)x(-sinx)xcosxx(-cosx)

原式=-------；-----V--------------=tanxxcosx=sinx,

(-cosx)xsinx

故答案為：sinx.

sin（兀一o）

14.若。的終邊過點(diǎn)（-1,2）,則一7^一；；=______.

\）smI—+I-cos[Ti+a）

【答案】-1

2

【詳解】因?yàn)?。的終邊過點(diǎn)（-1,2）,由三角函數(shù)的定義可得tana=5=-2,

-1

sin（ji-?）sina11z

二匚I、【7\==-tana=-x（-2）=-1

加以.（兀）/、cosa+cosa22.

sinl—+?l-cos（7u+cr）

故答案為：-1

15.已知sin（7i+a）=§,貝Ucos（i+a）=.

【答案】I

【詳解】由已知sin(兀+a)=-sina=g,sin1=-g,

7[1

所以cos(—+cr)=-sincr=—.

故答案為：

16.若角口的終邊過點(diǎn)(1,-2),則sin、/卜.

【答案】一如

5

【詳解】角a的終邊過點(diǎn)(1,-2),

1

由三角函數(shù)的定義得cosa二^

71+(-2)2~5

由誘導(dǎo)公式得sin-costz=

故答案為:若

【答案】V2

=cos^lZZEf4兀+z]+si-4兀+巴

【詳解】cos+sin=cos

44I4）14

兀.兀夜行后

cos—+sin—=----F——=72

4422

故答案為：V2

18.sin?-的值為

【答案】B

2

【詳解】sin=sin[271+-^

故答案為:興

A,則COSa+工71=

19.已知sina=

13I2

【答案】~~

[詳解]由cos[a+]J=_sina=_2.

故答案為：一得

sin(4?-6/)+3cos(一%-a)

20.已知tana=3,求9%.

2sin(--—+a)~sin(7%+a)

【答案】-6

—sini—3cosa-tanex,13—3—3,

【詳解】原式二.........-------二—6

-2cosa+sina—2+tancc—2+3

故答案為：-6.

21.已知角不在第二象限，且cos[%+])=-二,則tan2x=

243

【答案】

77

「兀)444

【詳解】COSx+—,即一sinx=-w，則sin%=k，

「角犬在第二象限，貝|cosx=-Ji^ii?^=-w，則tanx=—§

2tanx24

/.tan2x=

1-tan2x7

24

故答案為：—.

22.若sin(7t+A)=—；,貝cos〔A——1=

【答案】-1/-0.5

【詳解】H>9（7r+A）-U-yU5兀

2

所以cos（A-￡八5兀（兀+*1

=cos71+A）---=--cos=cos■|■一（兀+A）=sin（兀+A）=一

722

1

故答案為:

2

tan|a—

cos（3兀一a）I2

23.化簡(jiǎn):

cot（2兀+a）

sina+—

I2

【答案】1

tan[aT

cos（3兀一a）-cosa-cota

［詳解］-4——<---------------------=1

cot（2K+?）cosacota

sina+—

I2

故答案為：1

24.已知。是第二象限角，sina=g,則sin71

----FCl

2

【答案】一半/一矮

【詳解】因?yàn)閍是第二象限角，sina=1,

7C

所以sin~+6Z=cosa=-Vl-sin2a=一

2A/2

故答案為:

3

COS（7l-6Z）

25.已知tana='，則

2cos-+a

12

【答案】2

cos（兀一a）-cosa

【詳解】因?yàn)閠ana］,所以短—=2

71-sinatana

萬+a

故答案為：2.

]371

26.已知cosa=5，—<a<2TI,則sin（2兀-a）=

【答案】By

22

13兀

【詳解】因?yàn)閏osa=—,—<a<2ji,

22

所以sina=-Vl-cos2a=，

2

所以sin（2?—a）=—sina=

故答案為：B

2

711171

cos（兀+a）cos—+6Zcos——a

27.化簡(jiǎn)：-------------9ii"

cos（兀一a）sin（一兀一a）sin-----Fa

2,

【答案】tanc

1IK

cos（兀+a）cos—+acos-------cc

2J2

［詳解］--------------

9兀、

cos（兀一a）sin（一兀一a）sin-----FCl

2，

一cosa?sina）sina）

----------------------------------tancc.

一cosasinacosa

故答案為：tana.

Jr

sin（6-5兀）cos（6——）cos（8兀-0）

28.化簡(jiǎn)----------------k~~2----------------

S7T

sin（6--）sin（-6-4兀）

【答案】sin?

兀

sin（。-5mcos（"1）cos（87t-8）（而。）sin。cos。

【詳解】sin。.

3兀cos。（一sin0）

sin（6--）sin（一夕-4K）

故答案為：sin。.

2sin（7i+a）cos（兀-a）+cos（2兀-a）

371

?化簡(jiǎn)3兀]Ii-71的結(jié)果為.

291+c”al+cosl—+6ZI-sin2—+a

2

【答案]—

tan<7

2sin（兀+a）cos（兀-a）+COS（2K-a）

371

【詳解】"23兀[I]-2兀

al+cosl萬+aI-sin—+a

2

2(-sina)(—cosa)+cosa

2兀+怎+a2

1+cos7i+——a+COS-cosOf

(2

2sinacosa+cosa2sinacosa+cosa

21.2?2

7171l+sina+sina-cosa

1+-cosa-cosI—+aI-cos2a

~~2

2sinacosa+cosa(2sina+l)cosacoscr1

2sin2a+sina(2sina+l)sinasin。tana'

故答案為：----

tana

30.已知角8的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)

P(-8m,-6m)(m>0).

(1)求sin。，cos。的值;

sin(—。).sin(6—3兀)?cos(兀+8)?cos--e

2

⑵求的值.

sin(2兀一6)?cos(3K-6)?sin

343

【答案】(l)sin""，cos-?、票?/p>

22

【詳解】(1)由題意知，r^(―8m)+(—6m)=10m，

sin6=2-6m3

r10m5

-8m4

COS0=—

r10m5

(-sin6>)-(-sin0]?(-cos0)-(-sin6>)_sin3cos0

(2)原式=22，

(-sin6)?(-cos^)-cos6?(-sinsin0-cos0~’an'

sin。3

由(1)知，tan6二

cos04

sin(—6)?sin(。-3兀1cos(兀+6)?cos--e

23

4

sin(2兀一?cos(3K-6)?sinsin(0-71)

31.已知角夕的始邊為1軸非負(fù)半軸，終邊過點(diǎn)A(-1,&).

,-cosy+6?j+V2sin?+6

⑴求____的值.

sin(2兀-6)-2^2cos(—8)

(2)已知角。的始邊為九軸非負(fù)半軸，角e和。的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，求Sin的值.

【答案】(1)一2⑵3」一-

6

【詳解】(1)由題可知OA=A/3,P}!jsin0=-^-,cos0=tan0=-A/2,

33

-cos-^+9+V2sin—+0廠廠

所以(2)(2—sinO+J2cos6_tan6+j2

sin(27r-6)—2^2cos(-^)-sin-2^2cos6-tan0-2^2

(2)因?yàn)榻?和。的終邊關(guān)于丁軸對(duì)稱，

所以sina=,cosa=史^,

33

所以二立sinQ_」cosQ=3^_g

I6)226

32.已知〃a)=

⑴若角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)(加,2機(jī))，〃7H0,求/(a)的值;

⑵若求

/(a)=2,sin"8sa的值.

sina-cos6/

【答案】⑴2⑵3

sin[a-cos\—+a

(2一cosa?(-sina)

【詳解】(1)〃a)=----------j---------Y=tancr,

3兀一cosa?(-cosa)

cos(兀一a)sin-----FCC

2

因?yàn)榻莂的終邊經(jīng)過點(diǎn)(%2/n),加H0,

，Z77

所以/(a)=tana=——=2.

m

(2)由(1)知/(o)=tana=2,

sina+cosatan+1_2+1

所以^---------

sma-cosatanOL—12—1

71

sin~~asin(一二)tan(兀一a)

33.已知"a)=_

tan(27i-cr)sin(7c+cr)

⑴化簡(jiǎn)〃a).

(2)若a為第三象限角，且cos^-4=g,求〃a)的值.

【答案】⑴〃a)=cosa⑵〃a)=-半

sin(-a)tan(兀-a)

【詳解】(1)/H="

tan(-a)sin(兀+a)

cosa?(—sina)?(-tana)

---------------——-----------=cosa

-tana?(-sina)

3兀1

(2)???。為第三象限角，且cos--cr=-sma=—

5

sina=」/(cr)=cos6Z=-Jl-sin2a=--------.

5

⑴化簡(jiǎn)了(a);

⑵若〃a)=2,求產(chǎn)n%-1的值

sina+2cosa

【答案】⑴〃c)=-tana⑵3

—sina?(-cosa)

【詳解】(1)/(?)=----------Y---------々=-tana；

cosa.(-cosa)

(2)由⑴得一tana=2,/.tancr=-2,

2sin2a-1_2sin2a-(sin2a+cos2G_sir?a-cos2a=taYa-l=4-i=j_

sin2(7+2cos2asin26r+2cos2asin?a+2cos2atan2a+24+22

3K

tan-

35(1)化簡(jiǎn).^cos(2?t-a)sin(-6Z+—)

cos(-a-n)sin(-7i-a)

，~、r小(71,I3sin2x-2sin2x

(2)已知cos|：+x|==,求-------------的值/T.fc

(4)51-tanx

7

【答案】(1)-1：(2)—

3兀

▼、*即、/1、tan(7i-a)cos(2兀-a)sin(-a+--)

L詳解］(I)2

cos(-a-7i)sin(一兀-a)

sina

--------cosa

(-tana)?cosa?(-cosa)

cosa=-l;

(一cosa)?sinasina

sin2x-2sin2x2sinx(cosx-sinx)八.

,c、-------------=---------；------------=2sinxcosx

(2)1-tanx]smx，

cosx

(兀)3行V2..v181o-18

cos—+x=—n——cosx------sinx=—^>(cosx-sinx=——=^>l-2sinxcosx=——

(4^5225v72525

=>c2si-nxcosx=—7,

25

m..sin2x-2sin217

1-tanx25

cos[殳+a]tan(兀一sin[羽+a]

36.已知“0=(2J上

cos(兀+a)tan(37i+a)

⑴若。?0,2兀)，且/(0=—求a的值；

(2)若/(a)—/■+&)=1■,且a求tana的值.

77r11JT4

【答案】(1)[=:或[=丹(2/211々=_；

663

cos(工+a]tan(兀一a)sin(包+a].(、(、

【詳角星】(1)H.=(2J1/(2J__snia(_tana)(_cosa)

cos(7i+a")tan(3TI+?)-cosatana

ere(0,27i),且/(a)=sina=-L貝ija="或a=

266

(2)/(二)一/13+“.1

=sincr-sin|—+cr=sma+cosa=—

I25

則sina=—cosa,所以cos?a+sin2a=cos2a+——cosa=1,

515J

34

解得cosa=—或cosa-——貝ijcosa=~—,得sina=g

4

“…sina54

所以tana=-------=——=--

cosa3

~5

【答案】4

【詳解】因?yàn)閟in—+a=coscr,sin(K+cr)=-sina,

=-sina,cos(5兀+a)=cos(兀+a)=一cosa

cosa-3sina1-3tana

-sincr+cosa-tana+1

sin-+a+3sin(7t+cr)

21-3x3

又tana=3,所以------------=44

-3+1

cos一cos(5兀+a)

故答案為：4.

5兀

sin(兀-a)+sin|a+=

2

38.已知=3

2sinL-^Us;：in(a+7i)

⑴求tana的值；

(2)求4sinacosa+2cos2a的值.

【答案]⑴tana=_：(2)_j1

sin(兀一a)+sinaH-----

[詳解】(i)依題意得，一7~—Lsina+cosatancr+1

=3,解得

-2coscr-sin?-2-tana

2sin[a-,J+sin(a+兀

7

tana=——

4

/c、/.c24sinacosa+2cos2a4tancr+216

(2)4smacosa+2cosa=-----------------------------=--------------=--

sina+cosatana+113

cos(—+Q)-sin(一兀一戊)

39.已知角a終邊上一點(diǎn)P(-4,3),求一1--------------5——的值.

,1171、.,971、

cos匕——a)+sm(《-+a)

【答案】I

【詳解】角a終邊上一點(diǎn)尸(-4,3),

2=_2

無一4

-2x(——)j

—sina-sina-2tana_'<6

則原式=

一sina+cosa-tana+1。+]7

4

故答案為：y

2cos%+sin216+^2cos(-6-兀)2023兀

4。?設(shè)〃0)=，求了的值.

3

2+2COS*2(7K+^)+cos(一6)

【答案】y.

2cos3^*+sin2f+j-^cos(一6一兀)

【詳解】因?yàn)?/p>

2+2COS2(7TC+^)+cos(一6)

_2cos3^+cos2^+2cos0_cos^(2cos2^+cos0+D

=cos6,

2+2COS2^+COS^2+2COS2^+COS^

2023兀2023兀兀1

所以/=cos-=---c-o--s-f337X2K+-1-=cos—=—

3332

41.已知tan*一,求下列各式的值:

2cos20-1

⑴----------；

2sin6cos6

tan(6-7i)sin(7i-0)

⑵.(a,3吟(兀)G?兀1.

I2JI2jI2；

35

【答案】⑴北⑵了

222

2cos^-^sin^+cos8)cos2sin20

【詳解】(1)原式=

2sin。cos。2sincos

_%竺迎_=_^=sin^+cos^J_1Y=5

(-cos6)sin仇-sin6)cos,6cos20I2)4

sin(a—3兀)?cos(2?！猘)?sin[-a+j兀

42.已知

〃a)=

cos(—71一a)?sin(—兀+cr)

⑴化簡(jiǎn)〃a);

31

⑵若&=-1兀，/(a).

【答案】(1)cosa(2)；

【詳解】(1)由題意可得：

sin(6Z-371)-cos(2K-)-sin?+—K|.、/、

/()\7v2)sin^Z-7T+aycosa-(-cosa)

cos(-71-a)?sin(一九+a)(-cosa)?sin(一兀+a)

故〃a)=cosa.

(2)■：a=~—n,則

3131=cos(-g-lO兀兀

/(?)=/—71=cos一_兀=cos=cos—=

32

??./(0)=；.

3兀

,sin(6Z-3K)COS(2K-a)sin(-a+——)

43?已知/(a)=------------------------------------------2_

cos(一兀-a)sin(一兀-a)

⑴化簡(jiǎn)了⑷；

（2）若a是第三象限角,且cos（a-￥）="求"a+三）的值;

256

【答案】（l）/（a）=-cosa；⑵60T

10

37r

…小/、、sin(a-3n)cos(2n-a)sin(-a+--)

［詳解］(1)/(?)=------------------------------------------2

cos(一兀-a)sin(一兀-a)

(-sina)?cosa?(-cosa)

--------------------------------=-cosa

(一cosa)sina

/c、Ed/3兀、1d/3兀、/冗、.

(2)因?yàn)閏os(a----)=-,乂cos(。----)=cos(a+—)=-sma,

2522

所以sin1=-g,又。是第三象限的角，所以cosa=-276

71.71

所以小+"83+令=-cosacos—+sinasm—

66

V316A/2-1

=-(-x----Fx—=-------

2210

sin(2兀-a)sin(兀+a)cos(一兀-a)

44.

sin(37i-a)cos(7i-a)

【答案】sina

【詳解】因?yàn)閟in(2兀-a)=sin(-cr)=-sina,sin(7i+a)=-sina,

cos(一兀-OL)=COS(TI+a)=—cosa,

sin(37i-a)=sin(兀-a)=sina,cos(兀一a)=—cosa,

所-以原式一sin=as?('—.si9na)?s(a—)cosa)=s.ma

兀

sin(2兀一a)cos(7i+cr)cos|三十a(chǎn)|cos

2

45.(1)化簡(jiǎn)：/(?)=--------------

唁+a

cos(兀一a)sin(3兀一a)sin(一兀一a)si】

(2)求值：cos21°-cos240+sinl590-sin204°.

【答案】(1)-tana；(2)受

2

1171-a

sin(2K-a)cos(兀+a)cos\—+acos

(2)2

[詳解](1)〃a)=-----------------------------

9兀

COS71-6Z)sin(3兀一a)sin(一兀一a)sin|三+a

2

71

sin(—a)(-cosa)(-sina)cos6K-~+tz

(-cosa)sin(7t-a)[-sin(7i+a)]sin4兀+(]+a

(一sinicosa)sina)cos

71

(-cosa)sinasinasin5+a

7C

-sin2acosorcosI二十a(chǎn)

2-sin2cifcoscr(-sincr)sina

-tan。

(-cosa)sin?acosa(-cosa)sin?acosacosa

(2)cos21°cos240+sin1590-sin204°=cos21°-cos24°-sin21°sin24°

=cos(21°+24°)=cos45°=^

46.?化簡(jiǎn)下列各式:

29兀+COS與化%

(l)sin

6J5

3

(2)tan(7i+6Z)-COS(2TI+a)-sin(a--7r)

cos(—a-3兀)?sin(一兀-a)

【答案】⑴-;⑵T

.5TI2兀八

【詳解】(1)原式=-sm—+cos——x0

65

.711

=-sin—=——

62

/八hjtana-cosa-cosa〃

(2)原式=----------：--------=-1

-cosasina

J

sin(2兀-x)cos(兀+x)cos

2

47.已知〃x)=

cos|(兀一x)sin|(一兀-%)sin

⑴化簡(jiǎn)“X)；

⑵已知/（a）=2,求sin2a的值.

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