2025中考數(shù)學專項復習：胡不歸問題（含答案）

2025中考數(shù)學專項復習胡不歸問題含答案

胡不歸問題

一、基礎題型

如圖，AABC中，AB=AC=10,tanA=2,BE_LAC于點是線段BE上的一個動點，則。￡>+包8。

1.

5

的最小值是.

2.如圖，平行四邊形ABCZ)中，NZM2=6O。，A2=6,BC=2,尸為邊CZ)上的一動點，則尸2+^尸。

2

的最小值等于

3.如圖，在△ACE中，CA=CE,ZCAE=30°,。。經(jīng)過點C,且圓的直徑在線段AE上.

(1)試說明CE是。。的切線.

⑵若AACE中AE邊上的高為h,試用含h的代數(shù)式表示。O的直徑AB；

(3)設點D是線段AC上任意一點(不含端點)，連接0。，當|c/5+O￡>的最小值為6時，求。。

二、實際應用

4.如圖，△ABC在平面直角坐標系中，AB=AC,A(0,272),C(l,0),D為射線AO上一點，一

動點尸從A出發(fā)，運動路徑為A-O-C,點尸在AD上的運動速度是在C。上的3倍，要使整

個過程運動時間最少，則點。的坐標應為.

5.如圖，矩形ABCD的對角線AC,2D相交于點O,△<%>￡>關于C。的對稱圖形為△CED

(1)求證：四邊形OC即是菱形；

⑵連接AE,若BC=#1cm.

①求sinZEAD的值；

②若點P為線段AE上一動點(不與點A重合)，連接OP,一動點Q從點。出發(fā)，以lcm/s

的速度沿線段OP勻速運動到點尸，再以L5an/s的速度沿線段PA勻速運動到點A,到達點

A后停止運動，當點。沿上述路線運動到點A所需要的時間最短時，求AP的長和點。走完

全程所需的時間.

6.如圖，已知海島A到海岸公路8c的距離AB=50fcm,B、C間的距離為100初7,從A到C必須

先坐船到BC上的某一點D,航速為25kmih,再乘汽車到C,車速為50km/h,記=。.

問當，為多少時，由A到C所用的時間f最少？

2

7.如圖，一條筆直的公路/穿過草原，公路邊有一消防站A,距離公路5千米的地方有一居民點

B,A、B的直線距離是13千米.一天，居民點8著火，消防員受命欲前往救火，若消防車在公

路上的最快速度是80千米/小時，而在草地上的最快速度是40千米/小時，則消防車在出發(fā)后最

快經(jīng)過小時可到達居民點8.（友情提醒：消防車可從公路的任意位置進入草地行駛.）

B

IL.""""

I5

——上-----------------B----------I

AC

三、進階變形

8.如圖，已知。為射線AB上一動點，ZBAC=30°,AC=2。,當AO=時，AD+2CD

取最小值為.

9.如圖，四邊形為。。內接四邊形，NABC=30°,BD^^-ZABC,AB=6,^DB+DA+DC

的最小值.

10.如圖，菱形ABCD的對角線AC上有一動點P,BC=6,ZABC=150°,AP+BP+PD的最小值.

3

11.如圖，在RtzXABC中，/B=90。，ZA=30°,AB=36,在AB邊上有一點E,BE=g,連結

EC,點、D,EG是線段BC,CE,AC邊上的三個動點，連結EO,DF,FG,^-AG+FG+DF+ED

2

的最小值.

12.如圖，A(-l,0),B(0,3),點C是線段03上的動點，四邊形ACDE和四邊形C3PG都是矩形,

且35=1,AE=3,求兩個矩形面積和的最小值.

13.如圖，在坐標平面內點P(a,6)是直線y=&上一動點，點“(0,百)是y軸上一個點，若

14.如圖，已知/XOy=60。，點A在邊OX上，OA=2.過點A作AC_LOY于點C,以AC為一邊在

ZXOY內作等邊三角形ABC,點P是AABC圍成的區(qū)域(包括各邊)內的一點，過點P作PDH

OF交OX于點D,作PE〃OX交OF于點E.設OD=a,OE=b,則a+2b的取值范圍是.

0DAX

4

課后作業(yè)

1.在Rt^ABC中，ZA=30°,BC=2拒,AB=6,。是8c中點，E是AC邊上的一個動點，求

2DE+AE的最小值.

2.如圖，AABC+,AB=4,AC=6,ZA=30°,點。為AC邊上一動點，則的最小值.

2

3.如圖，已知拋物線>=8（尤+2）仁-4）（%為常數(shù)，且%>0）與x軸從左至右依次交于A,B兩點,

8

與y軸交于點C,經(jīng)過點B的直線y=一個x+b與拋物線的另一交點為D.

（1）若點D的橫坐標為-5,求拋物線的函數(shù)表達式；

⑵在（1）的條件下，設廠為線段8。上一點（不含端點），連接AR一動點M從點A出發(fā)，沿線

段AF以每秒1個單位的速度運動到F,再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到D后停

止，當點P的坐標是多少時，點M在整個運動過程中用時最少？

5

胡不歸問題

一、基礎題型

如圖，AABC中，AB=AC=10,tanA=2,BE_LAC于點是線段BE上的一個動點，則。￡>+包8。

1.

5

的最小值是.

【答案】46

c

2.如圖，平行四邊形A3C。中，NZM2=6O。，A2=6,3C=2,尸為邊CD上的一動點，MPB+—PD

2

的最小值等于.

【答案】373

3.如圖，在△ACE中，CA=CE,ZCAE=30°,。。經(jīng)過點C,且圓的直徑在線段AE上.

(1)試說明CE是。。的切線.

⑵若4ACE中AE邊上的高為h,試用含h的代數(shù)式表示。O的直徑AB；

(3)設點D是線段AC上任意一點(不含端點)，連接0。，當gcZ)+O￡>的最小值為6時，求。。

二、實際應用

4.如圖，△ABC在平面直角坐標系中，AB=AC,A（0,2后），C（l,0）,D為射線AO上一點，一

動點尸從A出發(fā)，運動路徑為A-O-C,點尸在AD上的運動速度是在C。上的3倍，要使整

個過程運動時間最少，則點。的坐標應為.

【答案】（0,?）

4

5.如圖，矩形ABCZ）的對角線AC,BD相交于點O,△<%）￡）關于C。的對稱圖形為△CED

（1）求證：四邊形OC即是菱形；

（2）連接AE,若AB=6cm,BC=#>cm.

①求sinZEAD的值；

②若點P為線段AE上一動點（不與點A重合），連接OP,一動點。從點O出發(fā)，以lcm/s

的速度沿線段OP勻速運動到點P,再以1.5c7w/s的速度沿線段PA勻速運動到點A,到達點

A后停止運動，當點。沿上述路線運動到點A所需要的時間最短時，求4尸的長和點Q走完

全程所需的時間.

2

【答案】-53

3

6.如圖，已知海島A到海岸公路BC的距離42=50淅，B、C間的距離為lOOhw,從A到C必須

先坐船到BC上的某一點D,航速為25kmih,再乘汽車到C,車速為5Qkm/h,記ZBDA=0.

問當。為多少時，由A到C所用的時間/最少？

【答案】V3+2

2

3

7.如圖，一條筆直的公路/穿過草原，公路邊有一消防站A,距離公路5千米的地方有一居民點

B,A、B的直線距離是13千米.一天，居民點8著火，消防員受命欲前往救火，若消防車在公

路上的最快速度是80千米/小時，而在草地上的最快速度是40千米/小時，則消防車在出發(fā)后最

快經(jīng)過小時可到達居民點艮（友情提醒：消防車可從公路的任意位置進入草地行駛.）

三、進階變形

8.如圖，已知。為射線AB上一動點，ZBAC=3Q°,AC=2也,當AD=時，AD+2CD

取最小值為.

【答案】2；6

9.如圖，四邊形ABCC為。。內接四邊形，/4BC=30°,BD平分/ABC,AB=6,求DB+ZM+DC

的最小值.

【答案】3^/2

10.如圖，菱形ABCD的對角線AC上有一動點P,BC=6,ZABC=150°,AP+BP+PD的最小值.

【答案】3亞

4

11.如圖，在RtzXABC中，/B=90。，ZA=30°,AB=36,在AB邊上有一點E,BE=g,連結

EC,點、D,EG是線段BC,CE,AC邊上的三個動點，連結EO,DF,FG,^-AG+FG+DF+ED

2

的最小值.

【答案】6

12.如圖，A(-l,0),8(0,3),點C是線段。8上的動點，四邊形ACOE和四邊形CB尸G都是矩形,

且Bb=1,AE=3,求兩個矩形面積和的最小值.

272+3

【答案】

~3~

13.如圖，在坐標平面內點P(a,6)是直線y=6無上一動點，點M(0,6)是y軸上一個點，若MP

的長為c,則a+c的最小值為

5

14.如圖，已知/xoy=60。，點A在邊OX上，OA=2.過點A作AC_LOY于點C,以AC為一邊在

/XOY內作等邊三角形ABC,點P是△ABC圍成的區(qū)域（包括各邊）內的一點，過點P作尸

OF交0X于點。，作PE〃OX交。丫于點E.設OD=a,OE=b,則a+2b的取值范圍是.

【答案】2<a+2b<5

課后作業(yè)

1.在RtZ\ABC中，ZA=30°