2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之二元一次方程組（原卷版）

專題07二元一次方程組

【專題目錄】

技巧1:二元一次方程組的五種特殊解法

技巧2：二元一次方程組中六種類型數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用

技巧3:二元一次方程(組)的解的五種常見(jiàn)應(yīng)用

【題型】一、二元一次方程組的有關(guān)概念

【題型】二、用代入法解二元一次方程組

【題型】三、用加減法解二元一次方程組

【題型】四、用整體消元法解二元一次方程組

【題型】五、同解方程組

【題型】六、列二元一次方程組

【考綱要求】

1、了解二元一次方程的概念，能把二元一次方程化為用一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)未知數(shù)的形式，能

舉例說(shuō)明二元一次方程及其中的已知數(shù)和未知數(shù)；

2、理解二元一次方程組和它的解等概念，會(huì)檢驗(yàn)一對(duì)數(shù)值是不是某個(gè)二元一次方程組的解。

【考點(diǎn)總結(jié)】一、二元一次方程組

(1)概念：具有相同未知數(shù)的兩個(gè)二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組.

b\yci,,,.]

(2)一般形式：，(防，〃2,b\,Z)2均不為零).

定義

(3)二元一次方程組的解

元

一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.

代入法解二元一次方程組的一般步驟：

次

a.從方程組中任選一個(gè)方程，將方程中的一個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出

方

來(lái)；

程解法

b.將這個(gè)代數(shù)式代入另一個(gè)方程，消去一個(gè)未知數(shù)，得到含有一個(gè)未知數(shù)的一元一次方程；

組

c.解這個(gè)一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值；

d.將所求得的這個(gè)未知數(shù)的值代入原方程組的任一方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值，從而得到

方程組的解.

加減法解二元一次方程組的一般步驟：

。方程組的兩個(gè)方程中，如果同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)不互為相反數(shù)又不相等，就用適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘

方程的兩邊，使它們中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)；

b.把兩個(gè)方程的兩邊分別相減或相加，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程；

C.解這個(gè)一元一次方程；

d.將求出的未知數(shù)的值代入原方程組的任意一個(gè)方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)，從而得到方程組

的解.

解應(yīng)用題的步驟：①審清題意;②找等量關(guān)系;③設(shè)未知數(shù);④列方程;⑤解方程;⑥驗(yàn)根;⑦作答.

工作（或工程）問(wèn)題：工作量=工作效率X工作時(shí)間

利息問(wèn)題：禾力息=本金x利J率x期數(shù);本息和=本金+利息

常見(jiàn)行程問(wèn)題：路程=速度x時(shí)間;其中湘遇問(wèn)題:s甲+sjs總；

、-n-i

運(yùn)用追及問(wèn)題：（同地異時(shí)）前者走的路程=追者走的路程;（異地同時(shí)）前者走的路程+兩地間的距離

題型=追者走的路程

利潤(rùn)

利潤(rùn)問(wèn)題：利潤(rùn)=賣價(jià)-進(jìn)價(jià)；利潤(rùn)率=三瞿X100%.

進(jìn)價(jià)

數(shù)字問(wèn)題：兩位數(shù)=10x十位數(shù)字+個(gè)位數(shù)字；三位數(shù)=100x百位數(shù)字+10X十位數(shù)字+個(gè)位數(shù)字

【注意】

1.解二元一次方程組的步驟

（1）代入消元法

①變：將其一個(gè)方程化為y=ax+b或者為x=ay+b的形式

②代：將產(chǎn)ax+b或者為x=ay+b代入另一個(gè)方程

③解：解消元后的一元一次方程

④求：將求得的未知數(shù)值代入尸QX+6或％=即+6,求另一個(gè)未知數(shù)的值

⑤答:寫出答案

（2）加減消元法

①化：將原方程組化成有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等（互為相反數(shù)）的形式，

②加減：將變形后的方程組通過(guò)加減消去一個(gè)未知數(shù)

③解：解消元后的一元一次方程

④求：將求得的知數(shù)的值代入方程組中任意一個(gè)方程求另一個(gè)未知數(shù)的值

2.解二元一次方程組的方法選擇

(1)當(dāng)方程組中某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)是1或者-1時(shí)，選用代入消元法；

(2)當(dāng)方程組中某一個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng)為0時(shí)，選用代入消元法；

(3)方程組中同一個(gè)知數(shù)的數(shù)相同或互為相反數(shù)時(shí)，選用加減消無(wú)法

(4)當(dāng)兩個(gè)方程中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)成整數(shù)倍關(guān)系時(shí)，選用加減消元法

【技巧歸納】

技巧1:二元一次方程組的五種特殊解法

【類型】一、引入?yún)?shù)法解二元一次方程組

1.用代入法解方程組：

2=o,①

.56

3(X—y)—4(3y+x)=85.@

【類型】二、特殊消元法解二元一次方程組

題型1：方程組中兩未知數(shù)系數(shù)之差的絕對(duì)值相等

'2015x+2016y=2017,①

2.解方程組:

2016x+2017y=2018.@

題型2：方程組中兩未知數(shù)系數(shù)之和的絕對(duì)值相等

13x+14y=40,①

3.解方程組:

14x+13y=41.@

【類型】三、利用換元法解二元一次方程組

-3(x+y)+4(x—y)=20,

4.解方程組％+yx—丫―。

,42

【類型】四、同解交換法解二元一次方程組

5.已知關(guān)于x,y的方程組?八一。丫一%與方程組.a、by—16,的解相同，求佰一功2。18的值.

3x—y=514x—7y=l

【類型】五、運(yùn)用主元法解二元一次方程組

6.已知卜一3丫—3z=0,(X,丫，%均不為°),求國(guó)土選的值.

X—3y—z=0x2+y2-z2

技巧2：二元一次方程組中六種類型數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用

【類型】一、整體思想

1.先閱讀，然后解方程組.

X—y—1=0,①，

解方程組?^時(shí)，

4(X—y)—y=5②

由①，得x—y=l,③

然后再將③代入②，得4x1—y=5,解得y=-1,

1一0

從而進(jìn)一步求得x=0.所以方程組的解為?‘這種方法被稱為“整體代入法”.請(qǐng)用這樣的方法解下面

的方程組：

2x—3y—2=0,

?2x—”+5+2y=9.

2.若x+2y+3z=10,4x+3y+2z=15,求x+y+z的值.

【類型】二、化繁為簡(jiǎn)思想

3.閱讀下面解方程組的方法，然后解決問(wèn)題：

解方程組J9x+18y—17二①時(shí)，我們?nèi)绻苯涌紤]消元，會(huì)很繁瑣，而采用下面的解法則是輕而易舉

117x+16y=15②

的.

解：①一②，得2x+2y=2,所以x+y=l.③

③*16,得16x+16y=16,④

②一④，得x=—1,將x=-1代入③，得y=2.

所以原方程組的解是，

ly=2.

2018x+2017y=2016,

請(qǐng)用上述方法解方程組

2O6x+2O5y=2O4.

【類型】三、方程思想

4.已知(5x—2y—3y+|2x—3y+1|=0,求x+y的值.

5.若3x2m+5n+9+4y4m-2廣7=2是二元一次方程，求⑴+1尸+2018的值.

【類型】四、換元思想

f口=6,

6.解方程組.23

4(x+y)—5(x—y)=2.

【類型】五、數(shù)形結(jié)合思想

7.如圖“母親節(jié)那天，很多同學(xué)給媽媽準(zhǔn)備了鮮花和禮盒，從圖中信息可知，買5束鮮花和5個(gè)禮盒共需

多少元？

共143元共121元

【類型】六、分類組合思想

8.若方程組,Xy-5>與.3x+y—9，有公共解，求a,b的值.

ax+by=-113ax—4by=18

技巧3：二元一次方程（組）的解的五種常見(jiàn)應(yīng)用

【類型】一、已知方程（組）的解求字母的值

1.若關(guān)于x,y的方程組,廠'的解是?一'則|m—川的值為（）

x+my=nly=l,

A.1B.3C.5D.2

x2x―4

2.已知，'和?'是關(guān)于x,y的二元一次方程2ax—by=2的兩組解，求a,b的值.

y=3ly=2

【類型】二、已知二元一次方程組與二元一次方程同解求字母的值

3.已知關(guān)于x,y的方程組2y—3m,的解也是方程？x+2y=17的解，求m的值.

X—y=9m

【類型】三、已知二元一次方程組的解滿足某一關(guān)系求字母的值

nixInv60,

4.已知m,n互為相反數(shù)，關(guān)于x,y的方程組?的解也互為相反數(shù)，求m,n的值.

3x-y=8

【類型】四、已知兩個(gè)二元一次方程組共解求字母的值

2xI~5v―63x—5v16

5.關(guān)于x,y的方程組?廠'與,）有相同的解，求（2a+b）2<?8的值.

ax—by=-4|bx+ay=-8

【類型】五、已知二元一次方程組的誤解求字母的值

_7

x-，

2ax丫―5,時(shí)，由于粗心，甲看錯(cuò)了方程組中的得解為2

6.在解方程組乙看錯(cuò)了方程組中的

|2x-by=13

y=-2；

x=3,

b,得解為

ly=-7.

⑴甲把a(bǔ)錯(cuò)看成了什么？乙把b錯(cuò)看成了什么？

（2）求出原方程組的正解.

【題型講解】

【題型】一、二元一次方程組的有關(guān)概念

3

a=2—ax+b7y=5

是二元一次方程組《

例1、若71的解，則x+2y的算術(shù)平方根為（

b=l

ax-by=2

A.3B.3,—3C.V3D.G，-Vs

【題型】二.用代入法解二元一次方程組

x+y=2

例2、二元一次方程組⑵-…的解是()

x=0x-2x=3x=1

A.〈B.〈C.<D.〈

J=Ob=-ib=1

【題型】三、用加減法解二元一次方程組

x+加=4

例3、由方程組《可得出x與y之間的關(guān)系是（

y-3=m

A.x+y=1B.x-\-y=-1C.x+y=7D.x-\-y=-7

【題型】四、用整體消元法解二元一次方程組

2m-3n=7m=22(x+l)-3(j-2)=7

例4、若方程組＜cu1的解是v則方程組V的解是(）

3m+5w=In=-l3(x+

X=1x=lx=3x=3

A.4B.{=C<D.<3

b-ip=lb=-

【題型】五、同解方程組

2x-3y=4[3x-5v=6

例5、已知關(guān)于x,y的方程組\「'，與]'“，有相同的解，則。，6的值為（）

ax+by=2[bx+町=-4

a——2a-\a-\a——I

A.<c.1D.1

〔力=l伍=-2伍=2b=-2

【題型】六、列二元一次方程組

例6、《孫子算經(jīng)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，紙書大約在一千五百年前，其中一道題，原文是：“今三人

共車，兩車空；二人共車，九人步.問(wèn)人與車各幾何？”意思是：現(xiàn)有若干人和車，若每輛車乘坐3人，則

空余兩輛車：若每輛車乘坐2人，則有9人步行，問(wèn)人與車各多少？設(shè)有x人，y輛車，可列方程組為（）

xXXX

T=V+2-=y-2T=V+2-=y-2

3333

A.’B.<C.《D.《

x八x-9x-9x八

-+9=v△-y--y「9=y

12[2[2[2

二元一次方程組（達(dá)標(biāo)訓(xùn)練）

一、單選題

1.（2022?廣東?深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）“綠水青山就是金山銀山”，某地準(zhǔn)備購(gòu)買一些松樹和柏樹綠化荒

山，已知購(gòu)買2棵松樹和3棵柏樹需要120元，購(gòu)買2棵松樹比1棵柏樹多20元，設(shè)每棵松樹x元，每棵

柏樹y元，則列出的方程組正確的是（）

A.1'2x+3y=120]'2x+3〉=120][2x+3尸120D.1[3x+2）=120

2x-y=20B.|2x+y=20']

]2y—x=20、x+2y=2Q

方程組12x+y=8的一解匙）

2.（2022?天津河北?一模）st

A/x=2x=4cjx=\D.（x=2

1B.

J=1J=2J=2>=4

方程組12x+y=-1的解是（）?

3.（2022?天津紅橋?三模）2y+to

A.1x=—1cjx=-2D.1x=2

IB

J=-2J=3J=-3

4.（2022?上海楊浦?二模）下列方程中，二元一次方程的是（）

11

A.Jcy=lB.x2-1^0C.x-y=lD.x+—=l

y

\2ax+by=3\x=\

5.（2022?山東威海?一模）已知關(guān)于x,了的二元一次方程組?,的解為一則。-26的值是

[ax-by=11了=T

（）

A.-2B.2C.3D.-3

二、填空題

6.（2022?湖南婁底?二模）我國(guó)明代數(shù)學(xué)讀本《算法統(tǒng)宗》一書中有這樣道題：一支竿子一條索，索比竿子

長(zhǎng)一托，對(duì)折索子來(lái)量竿，卻比竿子短一托.如果一托為5尺，那么索長(zhǎng)與竿子長(zhǎng)之和為_____尺.

fx+2y—6

7.（2022?江蘇無(wú)錫?二模）已知方程組〈/，貝”+了的值為

[2x+y=21---------

三、解答題

fx-y-1=00

8.（2022?廣東?廣州市第一二三中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組.、好時(shí),

采用了一種“整體代入”的解法：

解：由①得x-y=l③

將③代入②得：4x1-y=5,即y=-1

把歹=-1代入③得x=0,

（x=0

...方程組的解為,

h=-l

2x—3y=2

請(qǐng)你模仿小軍的“整體代入”法解方程組，解方程、.

l2^x-3Ly+5+2尸9n

二元一次方程組（提升測(cè)評(píng)）

—＞單選題

1.（2022?廣東?江門市新會(huì)東方紅中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）若最簡(jiǎn)二次根式3"下訪育和百二T而能合并，則。、b

的值分別是（）

A.2和1B.1和2C.2和2D.1和1

2.（2022?福建?平潭翰英中學(xué)一模）已知[二是二元一次方程組[墨的解，貝U4機(jī)+3〃的立方根

[y=2（nx+my=1

為（）

A.±1B.V2C.土蚯D.-1

（2x—3y=3fx=3

3.（2022??二模）我們知道二元一次方程組，/〈的解是[.現(xiàn)給出另一個(gè)二元一次方程組

[3x—4y=5['=1

2(2x+l)-3(3y-1)=3,

3(2x+l)-4(3yT)=5'匕的解是()

x=-lx=-lx=l（x=l

A.〈2B.《2C.\2D.\2

v=—歹=一二y=—y=——

I3I3

4.（2022?福建寧德?二模）《九章算術(shù)》是人類科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的“算經(jīng)之首”，書中記載：今有二人共車

九人步；三人共車，二車空.問(wèn)：人與車各幾何？譯文：若每輛車都坐2人，則9需要步行：若每輛車都

坐3人，則兩輛車是空的，問(wèn)：車與人各多少？設(shè)有1輛車，y人，根據(jù)題意，列方程組是（）

[y=2x+9fy=2x+9

A?a°B.

[y=3x-2[y=3（x-2）

fy=2x-9fy=2x-9

C[y=3x-2