2025年中考數(shù)學(xué)技巧專(zhuān)項(xiàng)突破：八種隱圓類(lèi)最值問(wèn)題圓來(lái)如此簡(jiǎn)單（解析版）

專(zhuān)題2-3八種隱圓類(lèi)最值問(wèn)題，圓來(lái)如此簡(jiǎn)單

在中考數(shù)學(xué)中，有一類(lèi)高頻率考題，幾乎每年各地都會(huì)出現(xiàn)，明明圖形中沒(méi)有出現(xiàn)“圓”，但是解題中

必須用到“圓”的知識(shí)點(diǎn)，像這樣的題我們稱(chēng)之為“隱圓模型

正所謂：有“圓”千里來(lái)相會(huì)，無(wú)“圓”對(duì)面不相逢?！半[圓模型”的題的關(guān)鍵突破口就在于能否看出這個(gè)

“隱藏圓”。一旦“圓”形畢露，則答案手到擒來(lái)！

題型?解讀/

知識(shí)點(diǎn)梳理

題四O定點(diǎn)定長(zhǎng)得圓

2023年湖北省鄂州市中考數(shù)學(xué)真題

2023?邵陽(yáng)市中考真題

2023?廣西南寧市二模

2022?遼寧撫順?中考真題

2022?長(zhǎng)春?中考真題

題包目直角的對(duì)邊是直徑

2023?荷澤市中考真題

2022?通遼?中考真題

2023?汕頭市金平區(qū)一模

2023?廣州市天河區(qū)三模

2022?成都市成華區(qū)二診

題色目對(duì)角互補(bǔ)得圓

2023年?廣元市一模

題園國(guó)定弦定角得圓

2023?成都市新都區(qū)二模

2023?成都市金牛區(qū)二模

2023?達(dá)州?中考真題

題四運(yùn)四點(diǎn)共圓

題包式相切時(shí)取到最值

2023?隨州市中考真題

2022?江蘇無(wú)錫?中考真題

2022揚(yáng)州中考真題

題幽電定角定高面積最小、周長(zhǎng)最小問(wèn)題

題圓加米勒角（最大張角）模型

徐州中考

MR/滿分?技巧/

知識(shí)點(diǎn)梳理

一、定點(diǎn)定長(zhǎng)得圓

在幾何圖形中,通過(guò)折疊、旋轉(zhuǎn)，滑梯模型得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡為繞定點(diǎn)等于定長(zhǎng)的圓，從而畫(huà)出動(dòng)點(diǎn)軌跡,

并進(jìn)行計(jì)算

二、直角的對(duì)邊是直徑

前世：在。0中，AB為直徑，則始終有AB所對(duì)的NC=90°

今生：若有是固定線段，且總有N4CB=90°,則C在以ZB為直徑徑的圓上.（此類(lèi)型本來(lái)屬于定

弦定角，但是因?yàn)楸容^特殊，故單獨(dú)分為一類(lèi)）

三、對(duì)角互補(bǔ)

前世：在。。上任意四點(diǎn)力，B,C,。所圍成的四邊形對(duì)角互補(bǔ)

今生：若四邊形4BCZ）對(duì)角互補(bǔ)，則/,B,C,。四點(diǎn)共圓

四、定弦定角模型

定角模型是直危模型的一種變形形式，其依據(jù)是已知定角，則根據(jù)“同弧所對(duì)的圓周角相等''得到動(dòng)點(diǎn)

的軌跡為圓弧，再畫(huà)出對(duì)應(yīng)圖形進(jìn)行計(jì)算.

前世：在。0中，若弦AB長(zhǎng)度固定則弦AB所對(duì)的圓周角都相等（注意：弦AB在劣弧AB上也有圓

周角，需要根據(jù)題目靈活運(yùn)用）

今生：若有一固定線段ZB及線段4B所對(duì)的NC大小固定，根據(jù)圓的知識(shí)可知C點(diǎn)并不是唯一固定的

點(diǎn)，C在。。的優(yōu)弧ZCB上均可（至于是優(yōu)弧還是劣弧取決于NC的大小，小于90°,則C在優(yōu)弧上運(yùn)

動(dòng)；等于90°,則。在半圓上運(yùn)動(dòng)；大于90°則C在劣弧運(yùn)動(dòng)）

五、四點(diǎn)共圓模型

D

前世:在。0中，ABCD是圓的內(nèi)接四邊形，則有N1=N2,N3=N4,ZiBPC?4APD（同理4BPA?4CPD）

今生:若四邊形ABCD中有N1=N2（通常情況下N5=N6對(duì)頂角相等，故不需要N3=N4,實(shí)際應(yīng)用中

長(zhǎng)用N1=N2,N5=N6）則ABCD四點(diǎn)（某些不能直接使用四點(diǎn)共圓的地區(qū)，可以通過(guò)證明兩次三角形

相似也可），選填題可以直接使用

六、定角定高（探照燈模型）

什么叫定角定高，如右圖，直線3c外一點(diǎn)/到直線BC距離為定值（定高），N3/C為定角。則

△/3C的面積有最小值。又因?yàn)椋裉秸諢粢粯铀砸步刑秸諢裟Ｐ汀?/p>

問(wèn)題解決：如果頂角和高，都為定值，那么三角形48c的外接圓的大小，也就是半徑，是會(huì)隨著/點(diǎn)

的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化的。從而弦3c的長(zhǎng)也會(huì)發(fā)生變化，它會(huì)有一個(gè)最小值，由于它的高40是定值，因

此三角形4BC的面積就有一個(gè)最小值。

所謂定角定高是指三角形的一條邊和這條邊上的高是定值.一般是考查直角三角形，此時(shí)我們可

以取斜邊中點(diǎn)，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)及斜垂關(guān)系來(lái)解決面積最小值問(wèn)

題；通過(guò)構(gòu)造平行線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)來(lái)解決周長(zhǎng)最小值的問(wèn)題.這類(lèi)問(wèn)題都是在等腰時(shí)取得最小值.

當(dāng)定角不是直角時(shí)，通過(guò)構(gòu)造平行線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)來(lái)解決周長(zhǎng)最小值的方法仍然適用，而面積最小值

可以通過(guò)構(gòu)造三角形的外心或外接圓來(lái)解決.

七、米勒角（最大張角）問(wèn)題

【問(wèn)題提出】己知點(diǎn)4B是/MON的邊。N上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P是邊0M上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P在何處時(shí)，ZAPB

最大？

米勒問(wèn)題在初中最值的考察過(guò)程中，也成為最大張角或最大視角問(wèn)題.

米勒定理：

已知點(diǎn)AB是NMON的邊ON上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P是邊OM上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)且僅當(dāng)三角形ABP的外接

圓與邊OM相切于點(diǎn)P時(shí)，NAPB最大。

知識(shí)鋪墊：對(duì)于同一個(gè)圓來(lái)說(shuō)，同弧所對(duì)的圓周角＞圓外角，即=尸

問(wèn)題解決

證明：在直線/上任取一點(diǎn)Q（不與P點(diǎn)重合），連接4Q、BQ,/力QB即為圓。的圓外角

ZAPB>ZAQB,NAPB最大

.?.當(dāng)圓與直線/相切時(shí)，/APB最大

Q

p

0

0

ABN

*y核心?題型/

題園。定點(diǎn)定長(zhǎng)得圓

1.如圖，在矩形N3CO中，已知N8=3,8C=4,點(diǎn)尸是8C邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)尸不與8,C重合），連接

AP,作點(diǎn)8關(guān)于直線/尸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M,則線段MC的最小值為（）

A.2B.—C.3D.VTo

2

【答案】A

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得到動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是在以N圓心，3為半徑的圓上，根據(jù)點(diǎn)圓模型，在矩形中利

用勾股定理求出線段長(zhǎng)即可.

【詳解】解：連接如圖所示：

?.?點(diǎn)8和朋■關(guān)于N尸對(duì)稱(chēng)，

二用■在以/圓心，3為半徑的圓上，

...當(dāng)N,M,C三點(diǎn)共線時(shí)，CA/最短，

在矩形ABCD中，/C=^32+42=5,

AM=AB=3,，CA/=5-3=2

2.如圖,在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,點(diǎn)E,F分別為AD、DC邊上的點(diǎn)，且EF=2,G為斯的

中點(diǎn)，P為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PG的最小值為？

【答案】4

【簡(jiǎn)析】簡(jiǎn)單：G的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓，求AP+PG典型的“將軍飲馬”問(wèn)題，故做A關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A，，則

AP+PG=AP+PG,當(dāng)A'、P、G三點(diǎn)共線時(shí)，最短，又因?yàn)?為固定點(diǎn)，G在圓上運(yùn)動(dòng)，可知當(dāng)A'、

G、D三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)A'G最短，為4

2023年湖北省鄂州市中考數(shù)學(xué)真題

3

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點(diǎn)，3=08=3右，點(diǎn)C為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，BC.，連接/C,

點(diǎn)M的坐標(biāo)是（

【答案】D

O/o/c\

【思路點(diǎn)撥】由題意可得點(diǎn)。在以點(diǎn)5為圓心，—為半徑的08上，在％軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)。-三一，°,

2I2J

連接BD,分別過(guò)C、M作b_LCM,MELOA,垂足為尸、E,先證ACMMSA.C,

CD4D3

從而當(dāng)CD取得最大值時(shí)，0M取得最大值，結(jié)合圖形可知當(dāng)。，B,。三點(diǎn)共線，且點(diǎn)5在線段。。上時(shí),

5取得最大值，然后分別證△BDOS^CDT"八AEMS公AFC,利用相似三角形的性質(zhì)即可求解.

3

【詳解】解：,?,點(diǎn)。為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，BC.,

3

.,?點(diǎn)。在以點(diǎn)8為圓心，,為半徑的。8上，

(3后、

在％軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)。一——,0,連接AD,分別過(guò)。、M作CF_LCM,MELOA,垂足為尸、E,

?OA=OB=3出,

.AD=OD+OA=2^1

2

OA2

~AD~3

*CM:MA=1:2,

OA2CM

'AD~3~14Cf

,/NOAM=NDAC,

：.AOAM^DAC,

.OMOA_2

，9~CD~^4D~3"

???當(dāng)8取得最大值時(shí)，(W取得最大值，結(jié)合圖形可知當(dāng)。，B,。三點(diǎn)共線，且點(diǎn)8在線段。。上時(shí)，CD

取得最大值，

：OA=OB=3y[5,OD=^4-/s

2

：.BD=y/0B2+0D2=

2

：.CD=BC+BD=9,

OM2

.記二

???OM=6,

??,＞軸_1不軸，CFLOA,

：.NDOB=NDFC=90。,

丁NBDO=NCDF,

：.ABDOS^CDF,

OB15

=2

~CF

CF9

解得。尸=身叵

5

同理可得，AAEMSAAFC,

ME2

.MEAM二1■即1875~3

,CF~AC3-------

5

解得ME=坦叵，

5

?.OE=4OM1-ME1=J62=蟲(chóng)“當(dāng)線段（W取最大值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)是僅夕，與5

\I5J5I55

2023?邵陽(yáng)市中考真題

4.如圖，在矩形4BCD中，AB=2,AD=布,動(dòng)點(diǎn)P在矩形的邊上沿8'C-。一/運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)P不與

點(diǎn)48重合時(shí)，將尸沿AP對(duì)折，得到445'尸，連接C8',則在點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段CB'的最小

值為.

【答案】711-2

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出8'在A為圓心，2為半徑的弧上運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而分類(lèi)討論當(dāng)點(diǎn)尸在3c上時(shí),

當(dāng)點(diǎn)P在。C上時(shí)，當(dāng)P在/D上時(shí)，即可求解.

【詳解】解：?..在矩形48co中，AB=2,AD=布,

：?BC=ADM,AC=NBC?+AB?=777Z=Vn,

如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P在2C上時(shí)，

AB'=AB=2

，？在A為圓心，2為半徑的弧上運(yùn)動(dòng),

當(dāng)，,夕,。三點(diǎn)共線時(shí)，CB'最短，

此時(shí)”的=而—2，

當(dāng)點(diǎn)尸在。C上時(shí)，如圖所示，

此時(shí)⑦＞而—2

當(dāng)尸在40上時(shí)，如圖所示，此時(shí)函＞4_2

2023?廣西南寧市二模

5.在矩形MCD中，AB=3,將繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0。＜o(jì)＜90。）得到BE,連接。E,若DE的最小

值為2,則BC的長(zhǎng)為

【答案】4

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形不等式得到BE+DE>？。，當(dāng)點(diǎn)2,點(diǎn)E,點(diǎn)。三點(diǎn)共線時(shí)，3E+DE取得最小

值，得到8。=5,根據(jù)勾股定理計(jì)算3C即可.

【詳斛】?：BE+DE>BD,

二當(dāng)點(diǎn)2,點(diǎn)E,點(diǎn)。三點(diǎn)共線時(shí)，BE+DE■取得最小值，

;BE=AB=3,

：.DE的最小值為2,

/.BD=5,

;矩形NSCD,AB=3,

：.AB=CD=3,/BCD=90°

?**BC=yjBD1-CD2=4

2022?遼寧撫順?中考真題

6.如圖，正方形MCD的邊長(zhǎng)為10,點(diǎn)G是邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊/。上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE,將A/BE沿

BE翻折得到△尸BE,連接GF.當(dāng)GF最小時(shí)，NE的長(zhǎng)是.

D.__________.C

【答案】5/一5

【詳解】解：①分析所求線段G下端點(diǎn)G是定點(diǎn)、尸是動(dòng)點(diǎn)；②動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡：正方形劉CD的邊長(zhǎng)為

10,點(diǎn)E是邊月。上一動(dòng)點(diǎn)，連接3E,將“BE沿BE翻折得到4FBE,連接GF,則8尸=胡=10,因此

動(dòng)點(diǎn)軌跡是以3為圓心，歷1=10為半徑的圓周上，如圖所示：

T\,G_c

國(guó)飛

\/

\/

\X//

、、?一一//

③最值模型為點(diǎn)圓模型；④G尸最小值對(duì)應(yīng)的線段為G3-10:⑤求線段長(zhǎng),連接GB,如圖所示:

qGc

在比A5CG中，ZC=90°,正方形/5CD的邊長(zhǎng)為10,點(diǎn)G是邊。的中點(diǎn)，則CG=5,8C=10,根據(jù)勾

股定理可得BG=^CG1+BC2=A/52+102=56，

當(dāng)G、F、8三點(diǎn)共線時(shí)，G廠最小為56-10,

接下來(lái)，求4E的長(zhǎng)：連接EG,如圖所示

根據(jù)翻折可知EF=EA,ZEFB=ZEAB=90°,設(shè)AE=x,則根據(jù)等面積法可知

S正方形=S空DG+8ABeG+S2AB+S2EG，即

=+++—%）+5xl0+10x+5氐］整理得（布+1）%=20,

20

解得x=AE=

V5+1

7.如圖，在矩形45cZ）中，AB=3,40=4,E、產(chǎn)分別是邊40、5。上的動(dòng)點(diǎn)，且CF=24￡,連接跖,

將四邊形ABFE沿EF翻折，點(diǎn)4、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，、B',連接4。則A'D的最小值為

提示：連接/C交跖于點(diǎn)。，連接。⑷、OD,作于//

BFC

則△4O￡SZ\CO77

,:CF=2AE,：.CO=2AO,：.A,O=AO=-AC=—

33

443

：.AH=^AO=-,OH=—AO=\

535

；.DH=AD-AH=4——=-,0D=\joH2+DH2=山

333

；.A'D》OD—OA'='S3—5

3

8.如圖，半圓O的直徑N3的長(zhǎng)為6,長(zhǎng)度為2的弦CD在半圓上滑動(dòng)，￡是CD的中點(diǎn)，DFLAB于F,

連接/C、EF,當(dāng)線段斯的長(zhǎng)最大時(shí)，/C的長(zhǎng)為.

【答案】2近

提示：連接OD、OE,取O￡）的中點(diǎn)M,連接ME、MF

則OELCD,ME=MF=-OD

2

EF^ME+MF=OD,當(dāng)E、M、尸三點(diǎn)共線時(shí)所最大

此時(shí)四邊形EOFD為矩形，CD//AB

連接OC,作CH工AB于H

則O?=±CD=1,AH=2,CH=2yj2,NC=2\5

2022?長(zhǎng)春?中考真題

9.如圖，在YABCD中，AB=4,AD=BD=&i，點(diǎn)、M為近4B的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)/出發(fā),沿折線/D-D3

以每秒上個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)2運(yùn)動(dòng)，連結(jié).作點(diǎn)/關(guān)于直線尸”的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)出,連結(jié)4P、

A'M.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

(1)點(diǎn)D到邊N8的距離為;

(2)用含/的代數(shù)式表示線段。尸的長(zhǎng)；

(3)連結(jié)4D,當(dāng)線段4。最短時(shí)，求△￡＞口，的面積；

(4)當(dāng)M、4、C三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫(xiě)出f的值.

【答案】(1)3

⑵當(dāng)時(shí)，DP=V13-V13/;當(dāng)1＜/2時(shí)，PD=yli3t-413:

⑶I

/八2,20

(4)§或五

【思路點(diǎn)撥】(1)連接根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得再由勾股定理，即可求解；

(2)分兩種情況討論：當(dāng)0WW1時(shí)，點(diǎn)尸在/￡＞邊上；當(dāng)1＜云2時(shí)，點(diǎn)P在3。邊上，即可求解；

(3)過(guò)點(diǎn)、P作PELDM于點(diǎn)、E,根據(jù)題意可得點(diǎn)4的運(yùn)動(dòng)軌跡為以點(diǎn)M為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓，可得

到當(dāng)點(diǎn)。、/'、Af三點(diǎn)共線時(shí)，線段4。最短，此時(shí)點(diǎn)尸在4D上，再證明可得

2

DE=3-3t,PE=2-2t,從而得到AE=DE-4'D=2-3t,在必A/'PE中，由勾股定理可得/=1,即可求

解；

(4)分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)"位于M、C之間時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在4D上；當(dāng)點(diǎn)/(A")位于CM的延長(zhǎng)線

上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)尸在5。上，即可求解.

【詳解】(1)解：如圖，連接

DM=y/AD2-AM2=3,

即點(diǎn)。到邊48的距離為3;

故答案為：3

(2)解：根據(jù)題意得：當(dāng)把"1時(shí)，點(diǎn)P在4D邊上，

。尸=而-屈/;

當(dāng)1＜正2時(shí)，點(diǎn)尸在3。邊上，PD=H-屈;

綜上所述，當(dāng)03W1時(shí)，￡＞P=V13-VB?;當(dāng)1VE2時(shí)，P￡)=Vi3/-＞/B;

(3)解：如圖，過(guò)點(diǎn)、P作PELDM于點(diǎn)、E,

:作點(diǎn)A關(guān)于直線PM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)4,

：.A'M=AM=2,

二點(diǎn)/的運(yùn)動(dòng)軌跡為以點(diǎn)M為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓，

...當(dāng)點(diǎn)。、A\M三點(diǎn)共線時(shí)，線段4D最短，此時(shí)點(diǎn)尸在/。上,

4D=1,

才艮據(jù)題意得：A'P=AP=413t,DP=413-413t,

由（1）得：DMLAB,

■:PE工DM,

J.PE//AB,

：./\PDE^/\ADM,

.PDDEPE

"AD~DM~AM'

.屈-岳t_DE_PE

■岳=亍=1"'

解得：DE=3-3t,PE=2-2t,

：.A'E=DE-A'D=2-3t,

在Rt^A'PE中，A'P2=PE2+A'E2,

：.（V13?）2=（2-2/）2+（2-3/）2,解得：，=|,

(4)解：如圖,

當(dāng)點(diǎn)M、4、C三點(diǎn)共線時(shí)，且點(diǎn)4位于M、。之間時(shí)，此時(shí)點(diǎn)尸在4。上，

連接44,AB,過(guò)點(diǎn)P作PFL4B于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)4作4G-L45于點(diǎn)G,則44」產(chǎn)初;

■:AB為直徑，

AZA=90°,即

:.PM〃AB,

:?NPMF=NABA,

過(guò)點(diǎn)。作CN±AB交延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,

在Y458中，AB//DC,

u：DM-LAB,

：.DM//CN9

???四邊形cnw為平行四邊形，

:?CN=DM=3,MN=CD=4,

：.CM=5,

?小人「CN

..sm?ZCMN=-----=—3,

CM5

VAfM=2,

A'G=2x—=—

55

Q

：.MG=-

5

BG=BM-MG=-

5

4G

AtanZAfBA=——=3,

BG

tan/PMF=tan/A'BA=3,

PF

：.——=3,PF=3FM

FMf

DMPF3CQSADAM=^-AF

?tanADAM=------=-----=—

AMAF2AD~AP

3

：.PF=-AF,

2

3

A3FM=-AFfAF=2FM,

?.FM=2,

_2

A3_2,解得：％=4；

VBZVB3

如圖，當(dāng)點(diǎn)4（4〃）位于CM的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)尸在5。上，PB=2用-岳t,

過(guò)點(diǎn)4〃作H'GUZB于點(diǎn)G，，則44比4〃=/CW,取44〃的中點(diǎn)〃，則點(diǎn)河、尸、H三點(diǎn)共線，過(guò)點(diǎn)X作

HK1AB于點(diǎn)K,過(guò)點(diǎn)P作PT工AB于點(diǎn)T,

■:HKLAB,AnGrLAB,

:?HK〃A〃G,

???小AHK?WG',

???點(diǎn)，是44〃的中點(diǎn)，

.HK_AKAH

一46，一而一看一萬(wàn)

31

：.HK=-,AK=-,

55

：.MK=~9,

5

HK1

tanZPMT=tan/HMK=-----二—

MK3

PT1o

J—二一，即MT=3尸T,

MT3

DMPTJc°"PBT=^=%=^

tanZPBT=----------二——二

BMBT2"PBBDV13

：.BT=-PT,

3

9

：.MT=-BT,

2

■:MT+BT=BM=2,

4

BT=—,

11

11_____2,解得：t=——;

2713-713^-V1311

綜上所述，1的值為g或患

題園且直角的對(duì)邊是直徑

10.如圖，在“BC中，44c8=30。，/C=4,。為3c上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑的OO與48相切于

點(diǎn)B,交AD于點(diǎn)、E,則CE的最小值為.

【答案】V13-1

【思路點(diǎn)撥】取4B的中點(diǎn)/，連接BE,EF,CF,則CE3CF-EF.由N8與。。相切，可得NN2C=90。,

通過(guò)解直角三角形可得NB=；/C=2,BC=NAC?-AB。=2拒,CF=JBF?+BC?=屈.才艮據(jù)BD是。。

的直徑，可得A/BE是直角三角形，從而EF=；AB=1,因此CE2后-1,即CE的最小值為舊-1.

【詳解】取48的中點(diǎn)/，連接BE,EF,CF,則CE2CF-EF

：.AB1BC,即N48C=90。，

：Z/4CB=3O。，ZC=4,

AB=-AC=-x4=2,

22

BC=y/AC2-AB2="-2?=273.

?點(diǎn)/是45的中點(diǎn),

BF=LAB=LX2=I,

22

.?.在RGBCF中，CF=^BF2+BC2=yjl2+（273J"=VB.

：AD是。。的直徑，

Z./BED=90。,

，ZXE5=180°—Z5ED=180°-90°=90°,

點(diǎn)點(diǎn)是48的中點(diǎn),

：.EF=-AB=-x2=l,

22

ACE>CF-EF=413-1,即CE的最小值為屈-1

11.（2021威海）如圖，在正方形4BCD中，48=2,點(diǎn)、E,尸分別在邊/瓦2c上，AE=BF,連接DE

與NF交于點(diǎn)G,連接BG,則3G的最小值為.

【答案】V5-1

【解析】取AD的中點(diǎn)M,連接BM,GM,

BM=飛AM?+AB。=Vl2+22=石?

?..四邊形ABCD是正方形，

；.DA=AB=2,NDAE=NABF=90°.

；AE=BF,.,.△DAE^AABF,

NADE=NBAF.

:ZBAF+ZDAF=90°,

NADE+NDAF=90。，；.NDGA=90°.

VGM=-^D=1.

2

VBG+GM^BM,ABG^BM-GM,

ABG的最小值為石-1.

12.(2023?嘉興?二模)在RtZ\/3C中，NC=90o,//=3()o,BC=2,點(diǎn)。,E分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)戶是

NC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)。尸，作8。，。尸交。尸于點(diǎn)。，連結(jié)E。.點(diǎn)尸從點(diǎn)。向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的過(guò)程

中，E0的最小值為.

【答案】V3-1

【思路點(diǎn)撥】作EN_L/8于N,取8。中點(diǎn)M,連接M。，ME,由直角三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)，MB

的長(zhǎng)，EN的長(zhǎng),AN的長(zhǎng),得到兒W的長(zhǎng)，由勾股定理求出ME的長(zhǎng)，由EQ2ME-MQ,即可求出E。的

最小值.

【詳解】解：如圖，作ENA.AB于N,取8。中點(diǎn)M,連接血@,ME,

■：ZC=90°,/N=30。，BC=2,

AB=2BC=4,AC=用BC=2C,

■：D是AB中點(diǎn)，

:.BD=gAB=2,

ZBQD=90°,M是8。中點(diǎn)，

:.MQ==BD=1,MB=；BD=1,

是/C的中點(diǎn)，

AE=yAC=百,

:.NE=』AE=2,AN=^NE=-,

222

33

:.MN=AB-MB-AN=4-l--=-,

22

ME=yjMN2+EN2=V3，

-.?EQ>ME-MQ,

EQ>4i-\,；.E。的最小值是6-1

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形O/8C的邊。40c分別在x軸、y軸的正半軸上，。/=6,

。。=4,點(diǎn)。是線段。/上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CD,以CD為邊作矩形CDER使得邊斯經(jīng)過(guò)點(diǎn)3,當(dāng)

點(diǎn)F到原點(diǎn)。的距離最大時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為.

提示：取3c中點(diǎn)連接OROM、FM

則FM=CM=±8C=3,OM^CM2+CO2-5

OFWOM+FM=8,當(dāng)點(diǎn)尸在OM延長(zhǎng)線上時(shí)。尸最大

作CGJ_O尸于G,FHLBC于H

購(gòu)AFMH出ACMG(AAS),:.FH=CG,MH=MG

在△CO河中，由面積法可得CG=1,勾股得

:.FH=-,MH=—,：.F(―,-)

5555

2023?荷澤市中考真題

14.如圖，在四邊形MCD中，乙48。=/840=90。,/8=5,/。=4,/。＜8。，點(diǎn)￡在線段8C上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)

廠在線段/E上，ZADF=ZBAE,則線段3尸的最小值為.

BEC

【答案】V29-2

【思路點(diǎn)撥】設(shè)的中點(diǎn)為0,以AD為直徑畫(huà)圓，連接OB，設(shè)05與。。的交點(diǎn)為點(diǎn)廣，證明ZDFA=90°,

可知點(diǎn)/在以4D為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到03與。。的交點(diǎn)戶'時(shí)，線段B尸有最小值，據(jù)此求

解即可.

【詳解】解：設(shè)ND的中點(diǎn)為。，以為直徑畫(huà)圓，連接08,設(shè)08與。。的交點(diǎn)為點(diǎn)尸，，

J.AD//BC,

：.NDAE=NAEB,

ZADF=NBAE,

NDFA=/ABE=90。,

:.點(diǎn)、F在以AD為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到OB與。。的交點(diǎn)F'時(shí)，線段BF有最小值，

AD=4,

：.AO=OF'=-AD=2,,

2

BO=A/52+22=V29，

BF的最小值為J^-2

15.（2023?武漢?一模）如圖，Rt4/BC中，ZACB=90°,AC=4-,BC=6.點(diǎn)尸為“8C內(nèi)一點(diǎn)，且

滿足PT+pc=/C?.當(dāng)尸8的長(zhǎng)度最小時(shí)，則尸的面積是.

【答案】673

【思路點(diǎn)撥】取/C中點(diǎn)。，連接。P,BO,由尸T+pc2=/c2即可得到/4PC=90°,再由BPNBO-OP,

可得當(dāng)點(diǎn)尸在線段80上時(shí)，AP有最小值，然后利用直角三角形的性質(zhì)可得尸0=/0=C0=；/C=2G,

即可推出ZBOC=60°,則ACOP是等邊三角形，求得4cop的面積，根據(jù)OA=OC可得S^ACP=2邑=班.

【詳解】解：如圖，取/C的中點(diǎn)。，連接。尸，BO,

A

BC

?.?PA2+PC2=AC2,

ZAPC=90°,

???點(diǎn)尸在以4C為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

在尸。中，BP>BO-OP,

，當(dāng)點(diǎn)P在線段3。上時(shí)，有最小值，

:點(diǎn)。是/C的中點(diǎn)，AAPC=90°,

：.PO=AO=CO=^AC=243,

：.tanZJ8OC=—=V3,

oc

：.4OC=60。，

ACOP是等邊三角形，

=^X12=3V3,

?:OA=OC,

S^ACP=2SACOP=66

2022?通遼?中考真題

16.如圖，。。是“3C的外接圓，/C為直徑，若AB=2△，BC=3,點(diǎn)尸從8點(diǎn)出發(fā)，在“BC內(nèi)運(yùn)動(dòng)

且始終保持/C8P=/54P,當(dāng)C,尸兩點(diǎn)距離最小時(shí)，動(dòng)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為

A

【答案】工

3

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題中的條件可先確定點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系確定C尸的長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)P

的位置，進(jìn)而求出點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng).

【詳解】解：?.?/(7為。。的直徑，

ZABC=90°.

:.NABP+NPBC=90°.

QZPAB=/PBC,

NPAB+NABP=90°.

???.?.ZAPB=90°.

???點(diǎn)尸在以45為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，且在的內(nèi)部，

如圖，記以為直徑的圓的圓心為a,連接。。交?。1于點(diǎn)p,連接am.

QCP>OC—O]P,

.??當(dāng)點(diǎn)?,P,C三點(diǎn)共線時(shí)，即點(diǎn)。在點(diǎn)p處時(shí)，C尸有最小值,

*/AB=2百

/.OXB=y[3

Be3r~

在Rt^BCOx中，tanZ.BOXC=——=—j==v3.

ZBOXC=60.

...冊(cè)竺*=&

，C,尸兩點(diǎn)距離最小時(shí)，點(diǎn)p的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為22萬(wàn).

3

17.（2023?廣州?三模）如圖，矩形4BCD中，AB=2,BC=26,點(diǎn)、E、F分別是線段4D,3c上的動(dòng)

點(diǎn)，且過(guò)。作"的垂線，垂足為77.

（2）當(dāng)￡在月。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，C"的最小值為.

【答案】451

【思路點(diǎn)撥】（1）過(guò)點(diǎn)/作WJ_3C于/,由條件可得四邊形4BA/E是矩形，由題意可得從而

問(wèn)題解決；

（2）連接3D交E廳于點(diǎn)。，可證明△DOE會(huì)/XBO尸，易得。。=<8。=2,由DH_LEF知,MH=2,即

點(diǎn)X在以CO中點(diǎn)M為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)/重合時(shí)，CH的值最小，由三角函數(shù)知

識(shí)即可求得此時(shí)最小值.

【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)/作EM_L3C于如圖，

則ABME=ZEMF=90°;

;四邊形4BCD為矩形,

：.ZA=ZB=90°,

：.四邊形ABME是矩形，

:.EM=AB=2,BM=AE=道-1;

?：AE=CF,

：.CF=BM=43-1,

：.MF=BC-BM-CF=2e-2（6-1）=2,

：.ME=MF,

FMIBC,

：.NBFE=45°,

故答案為：45;

（2）連接BD交E尸于點(diǎn)。，如圖,

由矩形性質(zhì)知：AD//CB,AD=BC=2yf3,

：.NDEF=NBFE,AD-AE=BC-CF,

：.DE=BF,

'：AEOD=AFOB,

ADOE^ABOF,

OD=OB,

AE(

由勾股定理得BD=yjAB2+AD2=4，

Z.OD=-BD=2,

2

■:DHLEF,設(shè)中點(diǎn)為

MH=2,

即點(diǎn)〃在以點(diǎn)M為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

由于點(diǎn)￡在4D邊上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)點(diǎn)￡與點(diǎn)N重合時(shí)，即E廠與NC重合時(shí)，CH的值最小，

VAC=BD=4,cosZACD=—=—,

ACCD

CD24

CH=——=—=1,

AC4

即CH的最小值為1

18.（2023?安陽(yáng)?一模）如圖，正方形MCD的邊長(zhǎng)為2后，點(diǎn)￡是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)下是CD邊上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且/￡=b，過(guò)點(diǎn)3作尸于點(diǎn)G,連接/G,則NG長(zhǎng)的最小值為.

【答案】V5-1

【思路點(diǎn)撥】連接力尸，CE,AC,設(shè)ZC與E尸的交點(diǎn)為點(diǎn)。，得到平行四邊形NECF,點(diǎn)。是/C的中

點(diǎn)，連接3D,則3。經(jīng)過(guò)點(diǎn)O,JLOA1OB,G在以BO為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，取05的中點(diǎn)H,連接

根據(jù)三角形三邊不等關(guān)系式，計(jì)算最值即可.

【詳解】如圖，連接NF,CE,AC,設(shè)/C與E尸的交點(diǎn)為點(diǎn)O,

；正方形4BCD,

：.AE||CF,

AE=CF,

：.四邊形AECF是平行四邊形,

AO=CO,OE=OF,

...點(diǎn)。是NC的中點(diǎn)，連接BD,

?.?正方形48CD,

二點(diǎn)。是8。的中點(diǎn)，且CU_LO8,

取08的中點(diǎn)X,連接4H,GH,

?：BGLEF,

：.AH=ylAO1+OH2,GH=-OB,

2

GH+AG^AH,

：.當(dāng)4G,H三點(diǎn)共線時(shí)，ZG取得最小值,

;正方形4BCD的邊長(zhǎng)為2及，

；*4C=BD=⑸+（2司=4,

OA=OB=OC=OD=2,

...G〃=go8=l,3+F=氐

二/G長(zhǎng)的最小值為君-1

19.（2023?深圳?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形MCD中，4B=3,BC=4,E為邊8c上一動(dòng)點(diǎn)，尸為NE中

點(diǎn)，G為。E上一點(diǎn)，BF=FG,則CG的最小值為

【答案】V13-2

【思路點(diǎn)撥】連接/G,根據(jù)矩形的性質(zhì)可得NABC=/3CD=/ADC=90。，DC=AB=3,根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)

和直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半可得回^//E二/尸二斯，推得4F=FG=EF,則

4G￡=AGD=90°,根據(jù)圓周角定理可知：點(diǎn)G在以/。為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，取4。的中點(diǎn)0,當(dāng)O,G,

C三點(diǎn)共線時(shí)，CG的值最小，由此可解答.

【詳解】解：如圖1,連接/G,

圖1

???四邊形/BCD是矩形，

ZABC=/BCD=ZADC=90°,DC=AB=3,

,:F是AE的中點(diǎn),

：.BF=-AE=AF=EF,

2

BF=FG,

：.AF=FG=EF,

：.ZAGE=ZAGD=9Q°,

.?.點(diǎn)G在以4D為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，取2。的中點(diǎn)O,連接。G,如圖2：

圖2

當(dāng)O,G,C三點(diǎn)共線時(shí)，CG的值最小，

OD=OG=2,

，OC=萬(wàn)百=而，，CG的最小值為而-2

2023?汕頭市金平區(qū)一模

20.如圖，為。。的直徑，點(diǎn)C為05中點(diǎn)，弦DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且。E448.點(diǎn)尸為公上一動(dòng)點(diǎn)，連

接。尸./GLD/于點(diǎn)G.若/8=4,在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段OG的長(zhǎng)度的最小值為.

A

【答案】V3-1

【思路點(diǎn)撥】如圖，連接，OD,取4。的中點(diǎn)R,由力G_LDF.可得G在以R為圓心，4。為直徑

的圓上運(yùn)動(dòng)，（圓的一部分）當(dāng)R,O,G三點(diǎn)共線時(shí)，0G最小，再求解CD=卜=拒,

AD=JCD2+AC?=26，可得RA=RG=6,sinZCAD=—尸=一,則大=彳，可得火。=1,從而可得

2432Ao2

答案.

【詳解】解：如圖，連接，OD,取的中點(diǎn)五,

AGLDF.

；.G在以R為圓心，4D為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，（圓的一部分）

當(dāng)A,O,G三點(diǎn)共線時(shí)，0G最小，

VAB=4，點(diǎn)。為OS中點(diǎn)，

OB=OA=OD=2,0C=\,

,：DE1AB,

,,CD=^22—I2=sfi,

AD=VCD2+AC2=2V3,

■?RA=RG--xfi，sinNCAD=—廣——,

2732

.7?O_1

??而一Q，

:.RO=1,：.OG=RG-RO=4i-\

2023?廣州市天河區(qū)三模

21.如圖，矩形MCD中，AB=2,BC=2C，點(diǎn)、E、廠分別是線段40,3C上的動(dòng)點(diǎn)，且/E=CF,過(guò)

。作E尸的垂線，垂足為〃.

(2)當(dāng)E在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，S的最小值為.

【答案】451

【思路點(diǎn)撥】(1)過(guò)點(diǎn)/作9_L8C于由條件可得四邊形48ME是矩形，由題意可得,從而

問(wèn)題解決；

(2)連接AD交E尸于點(diǎn)。，可證明絲△3。尸，易得。。=；50=2,由。H_LE尸知，MH=2,即

點(diǎn)〃在以中點(diǎn)〃為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)N重合時(shí)，S的值最小，由三角函數(shù)知

識(shí)即可求得此時(shí)最小值.

【詳解】解：(1)過(guò)點(diǎn)尸作W_L8C于如圖，

則NBME=NEMF=90。；

:四邊形4BCD為矩形，

二4=/3=90。，

二四邊形4EWE是矩形，

EM=AB=2,BM=AE=0-1：

?：AE=CF,

：.CF=BM=y[2>-\,

AMF=BC-BM-CF=2A/3-2(6-1)=2,

：.ME=MF,

?：FMIBC,

：.NBFE=45。,

故答案為：45;

（2）連接50交E廠于點(diǎn)。，如圖，

由矩形性質(zhì)知：AD//CB,AD^BC=273,

:.NDEF=ZBFE,AD-AE=BC-CF,

：.DE=BF,

AEOD=/FOB,

：.ADOE^ABOF,

OD=OB,

由勾股定理得BD=yjAB2+AD2=4，

：.OD=-BD=2,

2

,:DHLEF,設(shè)0￡>中點(diǎn)為M,

：.MH=2,

即點(diǎn)X在以點(diǎn)M為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

由于點(diǎn)￡在月。邊上運(yùn)動(dòng)，

，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)/重合時(shí)，即E尸與ZC重合時(shí)，CH的值最小,

「口CH

AC=BD=4.cosZ.ACD==---

ACCD

CD24

：.CH=——=一=1,即?！ǖ淖钚≈禐?

AC4

2022?成都市成華區(qū)二診

22.如圖，在A43c中，/。=90。,/8=30。,/。=2百.若點(diǎn)。為平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足ZADC=60。,

則線段長(zhǎng)度的最小值為,最大值為

【答案】2H22V13+2

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意進(jìn)行分類(lèi)討論，即當(dāng)點(diǎn)。在/C右側(cè)時(shí)，點(diǎn)。在就上運(yùn)動(dòng)；當(dāng)點(diǎn)。在/C左側(cè)時(shí),

點(diǎn)。在G上運(yùn)動(dòng)，再分別計(jì)算即可.

【詳解】①如圖，

c

以/C為底邊，在NC的右側(cè)作等腰三角形NOC,^ZOAC=ZOCA=30°

貝，OC=120°

以。為圓心，以C。長(zhǎng)為半徑畫(huà)優(yōu)弧前?，連接8。交公于點(diǎn)E

則當(dāng)點(diǎn)。在NC右側(cè)時(shí)，點(diǎn)D在上運(yùn)動(dòng)

過(guò)點(diǎn)。作。尸_L3C于尸

?1?ZACB=90°,NABC=30°

ACV3

tanN4BC=-----------

BC3

BC=6AC=6

過(guò)點(diǎn)。作（W_L/C于”

OC=OA

:.CM=AM=-AC=43

2

tanNOCA=tan30°=—=—

MC3

h

:.OM=—MC=l

3

CO=2MO=2

...OE=OC=2

ZCMO=ZCFO=ZMCF=90°

:.四邊形MCFO為矩形

：.CF=OM=1,OF=CM=拒

：.BF=6-1=5

在Rt^BOF中，BO=\lBF2+OF2=2J7

:.BE=2幣-OE=2行-2

當(dāng)點(diǎn)。于點(diǎn)￡不重合時(shí)，BD>OB-OD

當(dāng)點(diǎn)。于點(diǎn)E重合時(shí)，BD=OB-OD

:.BD>OB-OD

，當(dāng)B、D、。三點(diǎn)共線時(shí)（此時(shí)，點(diǎn)。與E重合），AD有最小值為26-2

②如圖，

以/C為底邊，在NC的左側(cè)作等腰三角形/O'C,使/O'/C=/O'C4=30。

則4O'C=120°

以。'為圓心，以C。'長(zhǎng)為半徑畫(huà)優(yōu)弧