2025年中考數(shù)學(xué)技巧專項(xiàng)突破：逆等線之乾坤大挪移（解析版）

專題2-6逆等線之乾坤大挪移

歡型?解讀

a

題因o平移，對稱或構(gòu)造平行四邊形

2022年四川省內(nèi)江中考

2022濱州中考

MS構(gòu)造SAS型全等拼接線段

2022?貴州遵義?統(tǒng)考中考真題

2023?日照?二模

2023?咸陽?二模

2023?深圳中學(xué)聯(lián)考

2023?甘肅武威中考真題拆解

2023?黃岡中考真題拆解

題旦且構(gòu)造相似求加權(quán)線段和

2023年成都市天府新區(qū)二模

2022?廣州中考真題（7種解法）

2023?湖北黃石中考拆解

題園畫取到最小值時(shí)對其它量進(jìn)行計(jì)算

湖北武漢?中考真題

滿分.技巧

一、什么是逆等線段。

兩個(gè)動點(diǎn)分別在直線上運(yùn)動，且它們各自到某一定點(diǎn)的距離始終相等，那么這兩條始終相等的線段稱

為逆等線段。

二、解題步驟：

1.找三角形。找一條逆等線段，一條動線段構(gòu)成的三角形。（圖中本身就有的三角形，不要添加輔助

線以后構(gòu)成的三角形）

2.確定該三角形的不變量。在動點(diǎn)移動過程中，該三角形有一個(gè)邊長度不變，有一個(gè)角的大小不變。

3.從另一逆等線段的定點(diǎn)引一條線。使得線段長度等于第二步中的那個(gè)不變的邊長，與這個(gè)逆等線

段的夾角等于第二步中那個(gè)不變的角。

4.問題轉(zhuǎn)化為將軍飲馬問題求最值。

【模型解讀】

△ABC中，D、E分別是AB、AC上的動點(diǎn)，且AD=CE,即逆向相等，則稱AD和CE為逆等線，

就是怎么別扭怎么來。

一般情況下，題目中有兩個(gè)沒有首尾相連的線段相等，即兩定兩動，也歸為逆等線問題。

觀察圖形，我們很容易發(fā)現(xiàn)，AD和CE沒有首尾相連，所以，一般通過平移或者作平行等方法構(gòu)造

全等三角形來實(shí)現(xiàn)線段轉(zhuǎn)移，從而使逆等線段產(chǎn)生關(guān)系，最終解決問題。

這樣解釋很籠統(tǒng)很枯燥，我們以具體例題來描述

如圖，在4ABC中，ZABC=60°,BC=8,AC=10,點(diǎn)D、E分別是AB、AC上的動點(diǎn)，且AD=CE,

求CD+BE的最小值。

分析思路：

①AD在AADC中，那么我們就以CD為一邊構(gòu)造另一個(gè)三角形與之全等，這個(gè)

也叫做一邊一角造全等。

②即過點(diǎn)C作CF〃AB,且CF=AC。（構(gòu)造一邊一角，得全等）

③構(gòu)造出△ADC義ZkCEFlSAS）,證出EF=CD

④CD+BE=EF+BE,根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，連接BF,則BF即為所求

此時(shí)，B、E、F三點(diǎn)共線，本題中，也可以利用三角形三邊關(guān)系去求最值

⑤求BF

核心?胭型

題園O平移，對稱或構(gòu)造平行四邊形

2022年四川省內(nèi)江中考

1.如圖，矩形48co中，AB=6,AD=4,點(diǎn)E、尸分別是/8、DC上的動點(diǎn)，EF〃BC,貝UNb+CE

的最小值是.

【答案】10

【分析】延長8C到G,使CG=EF,連接FG,證明四邊形MGC是平行四邊形，得出CE=bG,

得出當(dāng)點(diǎn)/、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，NB+CE的值最小，根據(jù)勾股定理求出NG即可.

【詳解】解：延長5c到G,使CG=￡F,連接尸G,

,:EF〃CG,EF=CG,

：.四邊形EFGC是平行四邊形，

：.CE=FG,

：.AF+CE=AF+FG,

，當(dāng)點(diǎn)/、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，4F+CE的值最小為/G,

由勾股定理得，AG=^AB2+BG2=762+(4+4)2=10,

C.AF+CE的最小值為10

2.如圖，RtA48C中，ZACB=90°,48=30°,D,￡為邊上的兩個(gè)動點(diǎn)，且AD=BE,連

接CD,CE,若/C=2,則CQ+CE的最小值為.

A

D

【答案】4

則OF=OC,OA=OB,AB=CF,

VAD=BF,/.OD=OE,四邊形CEFD為平行四邊形,

；.DF=CE,；.CD+CE=CD+DF》CF,

「RtZkABC中，ZACB=90°,NB=30°,

；.AB=2AC=4,...CD+CEB4,故答案為：4.

3.如圖,在矩形48co中，N8=l,/。=2,點(diǎn)E在/。上，點(diǎn)尸在3C上，且4E=CF,連結(jié)CE,DF,

則CE+DF的最小值為.

【答案】2逝

【分析】證ABAEADCF得CE+DF=CE+BE,作點(diǎn)8關(guān)于AD的對稱點(diǎn)B',則

CE+BE^CE+B'E>CB',據(jù)此即可求解.

【詳解】解：連接BE,作點(diǎn)8關(guān)于/。的對稱點(diǎn)B',連接CB',EB'

由題意得：AB=CD,ZBAE=DCF=90°

AE=CF

：.ABAE知DCF

：.BE=DF,CE+DF=CE+BE

?：BE=B'E,

：.CE+BE=CE+B'E>CB'

CB'=y/CB2+BB'2=A/22+22=272

，CE+D尸的最小值為2J5

2022濱州中考

4.如圖，在矩形Z8CO中，AB=5,NO=10,點(diǎn)￡是邊/。上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)￡作分

別交對角線/C,直線2C于點(diǎn)。，下,則在點(diǎn)E移動的過程中，/尸+FE+EC的最小值為.

［答案］25+5、

2

【解析】：AB=5,AD=10,.*.AC=752+102=545-

VEFXAC,二由矩形內(nèi)十字架模型可知，

EFABEF5545

—=—,—r=—,;.EF=上.

ACAD5。5102

以EF,EC為鄰邊作口EFGC,則EC=FG,CG=EF=）叵

2

NACG=NEOC=90°.

在RtAACG中，AG=^AC2+CG2=~，

AF+FE+EC=AF+FG+FE>AG+FE=25+5也,

2

AAF+FE+EC的最小值為25+5、.

2

5.如圖，在矩形/BCD中，AB=6,4。=5,點(diǎn)尸在邊40上，點(diǎn)0在邊2C上，且4P=C0,連

接CP,QD,則尸C+0。的最小值為.

【答案】13

【分析】連接8尸，在8/的延長線上截取/￡=48=6,連接尸￡,CE,PC+QD=PC+PB,則尸C+QD

的最小值轉(zhuǎn)化為PC+PB的最小值，在R4的延長線上截取/￡=/2=6,則PC+QD=PC+PB=PC+PE>CE,

根據(jù)勾股定理可得結(jié)果.

【詳解】解：如圖，連接BP,

在矩形48cD中，AD//BC,AD=BC,

'：AP=CQ,

：.AD-AP=BC-CQ,

：.DP=QB,DP//BQ,

：.四邊形DPBQ是平行四邊形，

：.PB//DQ,PB=DQ,

則PC+QD=PC+PB,則PC+QD的最小值轉(zhuǎn)化為PC+PB的最小值,

在BA的延長線上截取AE=AB=6,連接PE,

:R4LBE,

:.PA是BE的垂直平分線，

：.PB=PE,

：.PC+PB=PC+PE,

連接CE,貝IPC+QD=PC+PB=PC+PE>CE,

'：BE=2AB=n,BC=AD=5,

???CE=^BE1+BC2=7122+52=13.

：.PC+PB的最小值為13

6.如圖，正方形/BCD的邊長為2,M是3C的中點(diǎn)，N是上的動點(diǎn)，過點(diǎn)N作E尸_L分別

交4B,CD于點(diǎn)、E,F.

(1)的長為;

(2)EM+AF的最小值為.

［答案］V5M

【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)求得與再由勾股定理求得

(2)過尸作/G_L48于G,證明“BM/AFGE得AM=EF,再將EF沿方向平移至MH,連接FH,

當(dāng)/、F、〃三點(diǎn)共線時(shí)，EM+AF=FH+AF=AH的4支最小,由勾股定理求出此時(shí)的N”的值便可.

【詳解】解：(1)：正方形/BCD的邊長為2,

：.AB=BC=2,^ABC=90°,

;“是8c的中點(diǎn)，

?*-AM=ylAB2+BM2=y［5,

故答案為：V5;

(2)過F作FG-LAB于G,則FG=BC=AB,NABM=NFGE=9Q°,

,:EFLAM,

：.NBAM+NAEN=ZAEN+NGFE=90°,

NBAM=NGFE,

：.AABM9△尸GE(ASA),

：.AM=EF,

將斯沿EM方向平移至MH,連接FH,則EF=MH,N4MH=90°,EM=FH,

當(dāng)/、F、//三點(diǎn)共線時(shí)，EM+AF=FH+AF=AH的值最小，

EM+AF=AH=4AM2+MH-=V5+5=Vi0，,E"+4P的最小值為加

題昌鳥構(gòu)造SAS型全等拼接線段

7.如圖，在△/8C中，NABC=90°,ZA=60°,AB=2,D、￡分別是/C、上的動點(diǎn)，且N。

=BE,尸是3C的中點(diǎn)，則AD+EF的最小值為.

BFC

【答案】V13

提示：作BG//AC且BG=AB,連接GE,作GH-LBC于H

HBFC

則NG8"=NC=30°,GH=1,HB=^3

BF=yj3,HF=2yj3,GF=^13

△ABD義ABGE(SAS),BD=GE

BD+EF=GE+EF、GF=\IB,最小值為\/T3

8.如圖，矩形/BCD中，48=3,4D=33,點(diǎn)、E、尸分別是對角線ZC和邊CD上的動點(diǎn)，且4E

=CF,則3E+3尸的最小值是.

【答案】3s

提示：作/G_L/C且/G=2C,連接3G、EG

則△G/EgZ\BCF,BF=GE

BE+BF=BE+GE'BG

解■△ABG得BG=307,3E+3廠的最小值是3s

9.如圖，在矩形N8CD中，AB=2,AD=4,￡為邊8C上一點(diǎn)，AE=AD,M、N分別為線段/￡、

3E上的動點(diǎn)，且NM=EN,連接DN,則。的最小值為.

【答案】4也

提示：連接ZN

由題意，4D=AE,NDAM=NAEN=30°,AM=EN

:./XADM/AEAN,:.DM=AN

延長至點(diǎn)⑷，^A'B=AB,連接NN、A'D

則AN^A'N,：.DM+DN^AN+DN^A'N+DN^A'D

當(dāng)Z'、N、。三點(diǎn)共線時(shí)DVf+ZW的值最小

此時(shí)A'N=DN,：.AN=^A'D=DN

...點(diǎn)N在線段40的垂直平分線上

：.BN=yBC=2,:.AN=MB=2也

：.DM+DN^A'D=2AN=4^2

即DW+DN的最小值為平也

10.如圖，菱形/BCD中，N/BC=60。，AB=2,E、尸分別是邊8c和對角線AD上的動點(diǎn)，且BE

=DF,則AE+AF的最小值為.

【答案】2g

提示：BG-LABS-BG=AB,連接/G、EG

則AD=BG,NADF=NGBE=30°

又,：DF=BE,:./\ADF咨/\GBE,:.AF=EG

：.AE+AF=AE+EGG=也AB=2也

即AE+AF的最小值為2也

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，點(diǎn)/(0,6),C(4,3),CDLy軸于。，連接。C,E、F

分別是線段CD、OC上的動點(diǎn)，且CE=OF,連接4B、AF,則AE+AF的最小值為,

此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為.

\'A(0,6),C(4,3),CD±y^),：.AD=OD=3

：.AC=5=BO,CD是NO的垂直平分線，：.CA=CO

：.NACE=NOCE=ZBOF

又*：CE=OF,:.△ACE/ABOF(SAS),：.AE=BF

"A(0,6),B(5,0),:.AB=M

；.AE+AF=AF+BF，AB=、Wl,即AE+AF的最小值為倔

此時(shí)點(diǎn)F落在線段AB即直線與。。的交點(diǎn)

易求直線/2:y-dx+6,直線。C:y—x

-54

可得月（也，型），CE=OF=a,DE=CD-CE=4一'=2

1313131313

此時(shí)點(diǎn)￡的坐標(biāo)為（=，0）

13

12.如圖，在RtZ\48C中，Z5=90°,NACB=30。,AB=2,將△/8C繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。到4

AB'C,M、N分別為邊2。上的動點(diǎn)，且/M=CW,連接CM、CN,則CW+CN的最小

值為.

A

【答案】4也

提示：連接/N

由題意，AM=C'N,NU=NNC3=NC4C=30。，AC^AC

：./\ACM^/\C'AN,:.CM=AN

延長N3'至點(diǎn)使?B'=4B',連接N'N、A'C

當(dāng)⑷、N、C三點(diǎn)共線時(shí)CA/+CN的值最小

此時(shí)AN=CN,：.AN=LA，C=CN

2

點(diǎn)N在線段/C的垂直平分線上

:.B'N=-AC^AB^AB',；.期=也4皮=也45=23

2

CM+CN》AC=24N=4/

即CM+CN的最小值為4/

2022?貴州遵義?統(tǒng)考中考真題

13.如圖，在等腰直角三角形43C中，4c=90°,點(diǎn)M,N分別為BC,/C上的動點(diǎn)，且ZN=CM,

AB=6.當(dāng)ZM+BN的值最小時(shí)，CM的長為.

A

【答案】2-V2

【分析】過點(diǎn)A作且4Q=4C,證明可得AM=DN,當(dāng)B,N,D三點(diǎn)、

共線時(shí)，BN+ZM取得最小值，證明=即可求解.

【詳解】如圖，過點(diǎn)A作4D〃BC,且3=zc,連接。N,如圖1所示，

:./DAN=/ACM,

入AN=CM,

.△AND知CMA,

/.AM=DN,

BN+AM=BN+DN>BD,

當(dāng)民N,。三點(diǎn)共線時(shí)，BN+ZM取得最小值，

此時(shí)如圖2所示，

??,在等腰直角三角形45。中，ABAC=90°,AB=6

BC=41AB=2,

v△ANDQACMA,

ZADN=ZCAM,

vAD=AC=AB,

/.ZADN=ZABN,

AD//BC,

ZADN=ZMBN,

AABN=/MBN,

設(shè)NM/C=a,

/.ZBAM=ZBAC-a=90°-a,

/.ZABM=ZABN+ZNBM=2a=45°,

/.a=22.5°,

/.ZAMB=180?！猌BAM-NABM=180?！?0。+a—45。=67.5。，/BAM=90。—22.5。=67.5°,

AB=BM=y[2,

:.CM=BC-BM=2-yl2,

即3N+/M取得最小值時(shí)，CM的長為2-亞，

故答案為：2-6.

圖1圖2

2023-日照?二模

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰Rt4/BC三個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，NBAC=90。，點(diǎn)D,￡分別

為3C,/C上的兩個(gè)動點(diǎn)，^.AE=CD,AC=2^2.當(dāng)/D+3E的值最小時(shí)，則點(diǎn)。的坐標(biāo)

為.

【答案】（2后-2,0）/卜2+2收,0）

【分析】如圖：過點(diǎn)C作CBU6C使=,連接8'。；證A4BE三ACB'D（SAS）可得DB'=BE,

AB=CB'：將ND+BE最小值可轉(zhuǎn)化成4D+CB'最小值，則當(dāng)/、〃、8在同一直線上時(shí)，AD+BE

5

最小，即月8'長度；；再根據(jù)/c=2夜求得4B=C8'=ZC=2&、O^=OC=—X2A/2=2,即

2

/（0,2）,5'（2,-2夜）；再運(yùn)用待定系數(shù)法求得直線AB'表達(dá)式，最后將y=0代入表達(dá)式求得x的值

即可解答.

【詳解】解：如圖：過點(diǎn)C作CB'LBC使C8'=/8,連接夕。，

在“BE和△CS'D中，

AB=CB'

<ZBAE=ZB'CD,

AE=CD

:△ABE=^CB'D（SAS）,

DB'=BE,AB=CB',

：.4D+3E最小值可轉(zhuǎn)化成4D+C3'最小值，

當(dāng)A、D、B在同一直線上時(shí)，4D+8E最小，即長度；

,/AC=2V2,

AB=CB'=AC=2y[2,CM=OC='x2&=2

/(O,2)0(2,-20)

設(shè)48,表達(dá)式為:y=Ax+6（左＜0）,由題意可得:

b=2

2k+b=-242'

b=2

解得:

k=->f2-l'

AB'表達(dá)式為:y=-+l）x+2,

將y=0代入得：0=-（V2+l）x+2,

解得：x=2A/2—2,

點(diǎn)坐標(biāo)為（2行一2,0）.

故答案為：（272-2,0）.

2023?咸陽?二模

15.如圖，在RtZi/BC中，AC=2,BC=\,N/8C=90。，點(diǎn)尸是邊8C上的動點(diǎn)，在邊/C上截

取CQ=BP,連接/尸、BQ,則/P+B0的最小值為.

【答案】V7

【分析】由“SAS”可證A/3尸名可得4P=DQ,則NP+B0的最小值為3D,由勾股定理可

求解.

【詳解】解：過點(diǎn)C作CD_L/C,并截取CD=4B,連接。。、BD,設(shè)BD交AC于點(diǎn)、E,

-：AC=2,BC=1,ZABC=90°,

：?ABZAC-BC?=4^i=6，cosZACB=1,

...NACB=60°,

VAB=CD=43,N4BP=NDCQ=90。,BP=CQ,

；.(SAS),

AP=DQ,

：.AP+BQ=DQ+BQ,

在△BDQ中，BQ+DQ>BD,

：.4P+BQ的最小值為3D,

如圖，過點(diǎn)3作瓦乙LCD于尸,

BF//AC,

：.ZFBC=NACB=60°,

NBCF=30°,

11/?

BF=-BC=~,CF=—,

222

FD2

2

BD=ylBF2+FD2

2023?深圳中學(xué)聯(lián)考

16.如圖，點(diǎn)E是正方形"CD內(nèi)部一個(gè)動點(diǎn)，且/。=￡3=8,BF=2,則DE+Cb的最小值為

()

B

A.10B.3而c.7V2D.V97

【答案】A

【分析】取BG=8F=2,貝CG=8—2=6,證明△BGE也△AFC得出=,進(jìn)而證明

ZFCE=ZGEC,即可證明△尸CE之△GEC,得出EG=CF,則當(dāng)瓦G,Q三點(diǎn)共線時(shí)，。￡+。尸取得

最小值，最小值為。G的長，勾股定理即可求解.

【詳解】解：如圖所示，取BG=BF=2,則CG=8—2=6,連接EG,

?:AD=EB=8,BF=2,

???點(diǎn)￡在以8為圓心8為半徑的圓上運(yùn)動，點(diǎn)廠在以8為圓心2為半徑的圓上運(yùn)動，

在ABGE/BFC中,

BF=BG

<ZEBG=ZCBF,

BE=BC

：.ABGEOBFC,

/BEG=/BCF,/BGE=ZBFC

：.ZFGC=ZCFE,

?：BE=BC=8,

:?/BEC=/BCE,

即ZFEC=ZGCE,

ZFCE=NGEC,

入CG=EF=6,/FGC=NCFE,

：.AFCE芬GEC,

EG=FC,

當(dāng)￡G=尸。時(shí)，則當(dāng)及G,D三點(diǎn)共線時(shí)，0￡+C廠取得最小值，最小值為。G的長,

在RtZXCDG中，DG=^DC2+CG2=10

17.如圖，在RtZ\/5C中，ZACB=90°,AB=6,BC=4,D,E分別是4C,45上的動點(diǎn)，且

=BE,連結(jié)5Q,CE,則5Q+C￡的最小值為

【答案】25

解：過8作AF〃/C,在平行線上取3/=/瓦連接斯，如圖:

:BF=AB,BE=AD,

：./\BEF^/\ADB(SAS),:.EF=BD,：.BD+CE^EF+CE,

當(dāng)C,E,尸共線時(shí)，EF+CE最小,即m+C￡最小，最小值即為CF的長度,

?:BF〃AC,ZACB=90°,

90°,

：.CF=^BC2+BF2=2V13,

最小為2&I,故答案為：2岳.

18.如圖，菱形/BCD中，ZABC^60°,AB=2,E、尸分別是邊3C和對角線8。上的動點(diǎn)，且

BE=DF,則AE+AF的最小值為.

【答案】2亞

【詳解】解：如圖，2C的下方作NC3T=30°,在27上截取BT,使得2T=/。，連接ET,AT.

2

,:AD=BT,/ADF=NTBE=30°,DF=BE,

:.LADF%dTBECSAS),：.AF=ET,

?；NABT=/ABC+/CBT=6Q°+30°=90°,AB=AD=BT=2,

：.AT=ylAB2+BT1=2A/2,：.AE+AF=AE+ET,,:AE+ET，AT,：.AE+AF^272,

J.AE+AF的最小值為26,故答案為2拒.

2023?甘肅武威中考真題拆解

19.如圖1,拋物線>=-片+版與x軸交于點(diǎn)A,與直線>交于點(diǎn)8(4,-4),點(diǎn)C(0,-4)在了軸

上.點(diǎn)尸從點(diǎn)5出發(fā)，沿線段8。方向勻速運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)。時(shí)停止.

(1)求拋物線y=-―+bx的表達(dá)式;

(2)如圖2,點(diǎn)尸從點(diǎn)B開始運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)。同時(shí)出發(fā)，以與點(diǎn)尸相同的速度沿x軸正方向勻速運(yùn)

動，點(diǎn)尸停止運(yùn)動時(shí)點(diǎn)。也停止運(yùn)動.連接8。，PC,求CP+B0的最小值.

【答案】(1)〉=—

(2)473

【分析】(1)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；

(2)由題意得，BP=OQ,連接8c.在。4上方作使得/兒。。=45。，OM=BC,證明

MBP四AMOQ(SAS),根據(jù)CP+B。=MQ+8。2MB得出CP+2。的最小值為MB,利用勾股定

理求得MB,即可得解.

【詳解】(1)解：；拋物線了=-丁+區(qū)過點(diǎn)3(4,-4),

.?.-16+46=-4,

：.b=3,

y=-x1+3x;

(2)如圖2,由題意得，BP=OQ,連接BC.

在。1上方作AOMQ,使得乙欣9。=45°,OM=BC,

'：OC=BC=4,BCIOC,

：.ZCBP=45°,

ZCBP=ZMOQ,

?：BP=OQ,ZCBP=ZMOQ,BC=OM,

：.△C2P2△MOQ(SAS),

CP=MQ,

：.CP+BQ=MQ+BQ>MB(當(dāng)M,Q,B三點(diǎn)共線時(shí)最短)，

CP+8。的最小值為MB,

；NMOB=ZMOQ+ZBOQ=45°+45°=90°,

MB=NOM。+OB。="+,行了=4x/3,

即CP+B。的最小值為4百.

2023?黃岡中考真題拆解

13

20.已知拋物線〉=-'/+萬》+2與x軸交于4次4,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,2),點(diǎn)尸為第一象

限拋物線上的點(diǎn)，連接。/,。8,尸8/。.

如圖2,點(diǎn)。在y軸負(fù)半軸上，8=03,點(diǎn)0為拋物線上一點(diǎn)，/QBD=90。，點(diǎn)E,尸分別為△BDQ

的邊上的動點(diǎn)，QE=DF,記BE+。尸的最小值為小

①求m的值；

②設(shè)APCB的面積為S,若S=J加？-左，請直接寫出發(fā)的取值范圍.

4

【答案】m=2后,13<^<17

【分析】①作。且使DH=BQ,連接尸根據(jù)SAS證明△5。月之△田加，可得

BE+QF=FH+QF>QHf即Q,F,〃共線時(shí)，BE+。下的值最小.作。G_L于點(diǎn)G,設(shè)G(〃,0),

則+根據(jù)。G=BG求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，燃然后利用勾股定理求解即可；

②作尸T〃y軸，交5c于點(diǎn)T,求出3C解析式，設(shè)—+P^a^——a2+-^-(2+2^,利用三

角形面積公式表示出S,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出S的取值范圍，結(jié)合①中結(jié)論即可求解.

【詳解】解：①如圖2,作。且使DH=BQ,連接我.

ZBQD+ZBDQ=90°,ZHDF+ZBDQ=90°,

ZQD=ZHDF,

,:QE=DF,DH=BQ,

：.ABQEAHDF(SAS),

/.BE=FH,

：.BE+QF=FH+QF>QH,

：.Q,F,〃共線時(shí)，BE+0尸的值最小.作。G_L/3于點(diǎn)G,

?：OB=OD,/BOD=90°,

：.NOBD=45。,

?：ZQBD=90°9

：.AQBG=45°,

??.QG=BG.

設(shè)G(%0),則。+g幾+21

13

—n9+-n+2=4-n,解得及=1或〃=4(舍去)，

???2(2,3),

QG=BG=4—1=3,

:?BQ=DH=3叵,QD=5板,

1殳丁—54+2),尸/Q?+2q+2],

則8=[_+2+1.4+2+口_2卜=_(4_2)2+4,

.*.0<5<4,

1,

0<—m92-k<4,

4

A0<17-^<4,

???134左<17.

題園且構(gòu)造相似求加權(quán)線段和

2023年成都市天府新區(qū)二模

21.如圖，在Rt448C中，/區(qū)4。=90。，AB=1,4c=2.D,￡分別是邊48,/C上的動點(diǎn),

且CE=24D,則3E+2CD的最小值為.

【答案】V29

【分析】過C作CF_L/C于尸，使CF=2/C=4,連接￡尸、BF,即可得到EF=2CD,

BE+2CD^BE+EF>BF,即最小值為5尸的長.

【詳解】方法一：過。作CF_L/C于尸，使C尸=2ZC=4,連接EF、BF,

F

：CE=2AD,

.CECF

9AB~7C~

ZDAC=ZFAC=90°f

?.ADACfECF,

余**2,即四2皿

\BE+2CD=BE+EF>BF,

,?當(dāng)5、E、/三點(diǎn)共線時(shí)5E+2C。有最小值，最小值為8廠的長

：ZDAC=ZFAC=90°

?.AB//CFf

.OBOAAB

9~OF~~OC~~CF'

AB=1,AC=2,CF=2AC=4

.OBOAAB

'~OF~~OC~~CF~^y

548

\BF=-OF,OC=-AC=-

455f

,?OF=y/0C2+CF2=+42=^V29,

BF=-OF=429

4

\BE+2c。的最小值為V29

方法二：AD=x,貝弓CE=2/。=2x,AE=AC-CE=2-2x,

A

DE

??BE=yjAE2+AB2=J（2-2x）+12,CD=VAD2+AC2=yjx2+22

設(shè)2y=BE+2CD,

y=；BE+CD=1^（2-2x）2+12+y/x2+22=^（x-l）2+；+&+4

=J（xT）2+[0_g）+J（X-O）2+（O+2）2

...V可以看成點(diǎn)〃（X,o）到點(diǎn)/[1,1和3（0,-2）的距離之和，

1,￡|、8(0,-2)三點(diǎn)共線時(shí)y最小，最小值y=/B=J(o-i)2+[-2-；：=孚

.?.當(dāng)W（x,0）、A

22.如圖，已知BC_L4B,BC=AB=3,E為BC邊上一動點(diǎn),連接4E,。點(diǎn)在48延長線上，且CE

=2BD,則AE+2CD的最小值為

【答案】3國

解：作CF_LCB,且使得CF=6,連接EF

過點(diǎn)A做AG-LCF,交FC延長線于點(diǎn)G

??竺_CE

*CB-'BD~，

AAFCE^ACBD,EF=2CD

???AE+2CD=AE+EF

當(dāng)A、E、F三點(diǎn)一線時(shí)，AE+EF取到最小值，此時(shí)AE+EF=AF

易知：四邊形ABCG為正方形AG=3,CG=3

FG=9在RtAFAG中，由勾股定理得AF=3V10

AE+2CD的最小值為3V1U

23.如圖，菱形ABCD的邊長為1,ZABC=60°.E,F分別是BC,BD上的動點(diǎn)，且CE=DF,

貝ijAE+AF的最小值為o

【答案】V2

【解答】解：如圖，連接AC,過點(diǎn)C作CT_LCA,使得CT=AD=1,連接AT.

???AB=CB=CD=AD,ZABC=ZADC=60°,ZADB=-ZADC=30°,

2

/.△ABC是等邊三角形，

/.ZACB=60°,AC=AB=1,

VAC±CT,

/.ZECT=30°,

ZADF=ZECT,

VCE=DF,CT=DA,

AAADF^ATCE(SAS),

.\AF=ET,

JAE+AF=AE+ET2AT,

VZACT=90°,AC=CT=1,

AT=S]AC2+CT2=7i2+i2=也'

.?.AE+AF》血，.,.AE+AF的最小值為72.

24.如圖，在矩形ABCD中，AD=4,AB=4，LE,F分別是BD,BC上的一動點(diǎn)，且BF=2DE,

則AF+2AE的最小值是

【答案】4V13

【解答】解：連接DF,延長AB到T,使得BT=AB,連接DT.

?.?四邊形ABCD是矩形，

AZBAD=ZABC=90°,BC〃AD,

ADJ3

.*.tanZDBA=——=—,NADE=NDBF,

AB3

AZDBA=30°,

ABD=2AD,

VBF=2DE,

BDBF

-----=------=2,

ADDE

.,.△DBF^AADE,

DFBD

-----=------=2,

AEAD

.\DF=2AE,

???AF+2AE=AF+DF,

VFB±AT,BA=BT,

AFA=FT,

I.AF+2AE=DF+FT2DT,

22

"DT=y]AT+AD=4V13

；.AF+2AE,4g,

.?.AF+2AE的最小值為4V13

25.如圖，等腰直角AABC中，斜邊BC=2,點(diǎn)D、E分別為線段AB和BC上的動點(diǎn)，BE=41AD

求AE+0CD的最小值.

【答案】V10

解：作BF_LBC并且使得BF=2,連接EF

?.?里史二:四/.ABEF^AADC

ADACV2v

/.EF=V2CD.\AE+V2CD=AE+EF

當(dāng)A、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，AE+EF取到最小值，此時(shí)AE+EF=AF

反向延長BF,過點(diǎn)A作AH_LBF于點(diǎn)H

在RtZ\AHF中，由勾股定理易得：AF=V10

.,.AE+V2CD的最小值為“U

2022?廣州中考真題（7種解法）

26.如圖，在菱形4BCD中，4840=120。，AB=6,連接AD.

⑴求的長；

（2）點(diǎn)E為線段上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)3,。重合），點(diǎn)尸在邊4D上，且BE=CDF,當(dāng)四邊形/2所

的面積取得最小值時(shí)，CE+百比的值是否也最?。咳绻?，求CE+百CF的最小值；如果不是，

請說明理由.

【答案】（l）BD=6g;（2）最小值為12

【分析】（1）證明△42。是等邊三角形，可得BO=38，即可求解；

（2）過點(diǎn)￡作/￡）的垂線，分別交和3c于點(diǎn)刊，N,根據(jù)菱形的面積可求出削=3百，設(shè)

]1F\

BE=x,貝|￡W=—x,仄而得到EM=MN-EN=3乖：--x,再由8石=百。下，可得DF=2x,從而得

223

到四邊形ABEF的面積s=S^ABD-SADEF=^卜一3國+-^1,作CH1AD于H,可得當(dāng)點(diǎn)E

和廠分別到達(dá)點(diǎn)。和點(diǎn)〃位置時(shí)，CF和CE分別達(dá)到最小值；再由s=*（x_3G『+專區(qū)，可得

當(dāng)x=3百，即8￡=36時(shí)，s達(dá)到最小值，從而得到此時(shí)點(diǎn)￡恰好在點(diǎn)。的位置，而點(diǎn)尸也恰好

在點(diǎn)〃位置，即可求解.

【詳解】（1）解：連接NC,設(shè)4c與BD的丈點(diǎn)、為O,如圖，

D_________________C

?.?四邊形/BCD是菱形，

J.ACLBD,OA=OC,AB//CD,AC平分NDAB,

'：ABAD=120°,

：.ZCAB=60°,

：.△48。是等邊三角形，

BO=AB*sm6Q0=6x丫―=3出,

2

BD=2BO=6^3;

(2)解：如圖，過點(diǎn)E作/Z)的垂線，分別交和5C于點(diǎn)N,

△ZBC是等邊三角形，

：.AC=AB=6,

由⑴得：BD=643;

菱形ABCD中，對角線5。平分N45C,AB//CD,BC=AB=6,

C.MNLBC,

ZBAD=120°,

：.ZABC=60°f

/./EBN=3。。;

：.EN=^BE

S菱彩ABCD=；AC-BD=MN-BC,

:.MN=3舊,

則EN=：x,

設(shè)BE=%,

:,EM=MN-EN=36-1X,

***S菱形ABCD=ADaMN=6x3G=18^3,

：.SAABD=SXVABCD=9^,

■:BEfDF,

：.DF=華力x,

V33

：.SADEF=YDF-EM=--X(343--X]=--X2+-X,

22312J122

記四邊形4BE尸的面積為s,

：.s=SAABD-S^DEF=9V3-(-—x2+-x)=旦底一3后卡巨巴,

12212'>4

?.?點(diǎn)E在上，且不在端點(diǎn)，：.0<BE<BD,即0Vx<6人；

作CHLAD于H,如圖，

'JCOLBD,CH1.AD,而點(diǎn)E和尸分別在2。和4D上，

，當(dāng)點(diǎn)E和尸分別到達(dá)點(diǎn)。和點(diǎn)X位置時(shí)，C戶和CE分別達(dá)到最小值；

在菱形N8CD中，AB//CD,AD=CD,"：ZBAD=nO°,：.ZADC=60°,

.?.△/CD是等邊三角形，:.AH=DH=3,:.CH=36

,??S=*（尤-3G『+與耳，.??當(dāng)x=3百，即8E=3百時(shí)，s達(dá)到最小值，

'：BE=y/3DF,：.DF=3,此時(shí)點(diǎn)￡恰好在點(diǎn)。的位置，而點(diǎn)P也恰好在點(diǎn)X位置，

當(dāng)四邊形ABEF面積取得最小值時(shí)，CE和CF也恰好同時(shí)達(dá)到最小值，

.,.CE+V3CF的值達(dá)到最小，其最小值為CO+百CH=3+gx36=12.

【其它幾何構(gòu)造方法】

法2：EE+JICR核心是處理，剛好有BE=6DF,還有CE和CF兩個(gè)動點(diǎn)需要拼一起,

所以考慮把△￡■￡）?放大6倍后拼到BE處

過B作8/，BC,BI-BD=43CDnACDF^AlBE\CE+6CF=CE+IE>CI=2BC=12

法3：過。作DG±CD,DG=—CD^ADGFsABCE

3

(n、

則CE+MCF=M^-CE+CF=V3(GF+CF)>V3CG=12

法4：先把DF放大百倍，再把ACBE拼過來，延長CD到G使CG=B。，作GH〃4D交CF于H,作

GOLCG且GO=28=6nACDF?△CGH,下略

法5:CE對稱轉(zhuǎn)化為AE,過8作BI=BD=AB^LCDF^L1BE

由于對稱性，CE=AE,所以拼在上面也可以?這個(gè)算湊數(shù)吧

法6：先把DF放大百倍，再把ACBE拼過來

延長DC到G粳DG=BD,作GH/ICF爻AD于H

作DO_LDC,且D0=4B=6=ACDFSAGD”，

DH=MDF=BE,GH=V3CF今△0?！癵△BCE,CE=OH

則有CE+MCF=OH+GHNOG=12

法7：先把BE縮小放大百倍到出，再把ACDF拼過來

在8C上取CH=273，過H作H1//BD交CE于/，作HG±BC,則HG=AB"CIHsACEB,BE=料HI,

HI=DF=4CDF"△GHI=CF=GH

故CE+MCF=M^-CE+CF=V3(C/+G/)>V3CG=12

2023?湖北黃石中考拆解

27.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線尸-；/+++4與x軸交于兩點(diǎn)/（-3,0）,3（4,0）,與>軸

交于點(diǎn)。（。4）.若點(diǎn)D,E分別是線段ZC,A8上的動點(diǎn)，且/E=2C。，求CE+25D的最小

值.

【答案】7233.

【分析】作/E4G=ZBCD,證明且相似比為1：2,故當(dāng)C、E、G共線時(shí),

CE+2BD=CE+EG=CG為最小,進(jìn)而求解.

【詳解】解：作NEAG=NBCD,

G

設(shè)/G=28C=2x4V^=屹，

???AE=2CD,

:.ABCDsAGAE且相似比為1:2,

則EG=2BD,

故當(dāng)C、E、G共線時(shí)，CE+2BD=CE+EG=CG為最小,

在AASC中，設(shè)/C邊上的高為"，

則S“Bc=^AC-h=^xABxCO,

oo

即5/Z=4X7,解得：〃=￡,

28

則sinZACD=—=g==叵=sin/￡/G'則tan/E4G=7,

BC47210

過點(diǎn)G作GNLx軸于點(diǎn)N,則NG=/G-sinN瓦4G=等，即點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為:56

5

同理可得，點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為：-（，即點(diǎn)

由點(diǎn)C、G的坐標(biāo)得，CG=&o+gj+^4+y^|=V233-

即CE+2BD的最小值為V233.

題園回取到最小值時(shí)對其它量進(jìn)行計(jì)算

28.如圖，4D為等邊“8C的高，M、N分別為線段ND、/C上的動點(diǎn)，且AM=BN,當(dāng)BM+CN

取得最小值時(shí)，ZANC=

A

B匕---------------—C

【答案】105°

【分析】解：如圖，作B￡_LBC,使BE=4B,連接CE交AB于點(diǎn)、F,連接NE,則NBCE=N5EC=45。.

可證/NBE=/MAB,從而得S正ANBE%AMAB(AAS),于是EN=BM,BM+CN=EN+CN>EC.

當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)尸重合時(shí)，BM+CN取最小值.于是NANC=ZAFC=/ABC+NECB=105。.

【詳解】解：如圖，作BELBC,使BE=4B,連接CE交45于點(diǎn)/，連接NE,

???是等邊三角形，

AAABC=60°,AB=BC.

；?BE=BC,

：./BCE=/BEC=45°,

??,ZEBD=ZADC=90°f

：.EB//AD.

：.ZNBE=ZMAB.

又「BE=AB,BN=AM,

/.ANBEAMAB(KAS).

：.EN=BM.

：.BM+CN=EN+CN>EC.

當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)方重合時(shí)，EN+CN=￡C,取最小值，則即/+CN取最小值.

此時(shí)，ZANC=ZAFC=ZABC+ZECB=60。+45。=105。.

故答案為：105°

29.如圖，已知RtA45C,ZC=90°,ZC45=30°,BC=2,點(diǎn)M,N分別為CB,C4上的動點(diǎn),

且始終保持5M=CN,則當(dāng)4M+5N取最小值時(shí)，CN=.

C

N

AB

【答案】V3-1

l分析】過喪、B作BD"AC,使BD=BC=2,連接ND與8c交于點(diǎn)AT,連接DM,可證得

△CBN=dBDM(SAS),得到8N=DW,AM+BN^AM+DM,則有當(dāng)N、M、。在同一直線上時(shí)，

即"在"'點(diǎn)位置時(shí)，即有CN=BM',利用BD〃/C,證得△ADAT~ZkC//',得到當(dāng)

設(shè)CN=BM=x,則CM=2-x,再利用已知的線段長度即可求出x,即問題得解.

【詳解】過點(diǎn)、B作BD//AC,使BD=BC=2,連接/。與BC交于點(diǎn)AT,連接DM,如圖：