2025年中考數(shù)學思想方法復習【猜想歸納】數(shù)式規(guī)律中的猜想歸納思想（原卷版）

數(shù)式規(guī)律中的猜想歸納思想

知識方法精講

1.規(guī)律型：數(shù)字的變化類

探究題是近幾年中考命題的亮點，尤其是與數(shù)列有關(guān)的命題更是層出不窮，形式多樣，它要

求在已有知識的基礎上去探究，觀察思考發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

(1)探尋數(shù)列規(guī)律：認真觀察、仔細思考，善用聯(lián)想是解決這類問題的方法，通常將數(shù)字

與序號建立數(shù)量關(guān)系或者與前后數(shù)字進行簡單運算，從而得出通項公式.

(2)利用方程解決問題.當問題中有多個未知數(shù)時，可先設出其中一個為x,再利用它們

之間的關(guān)系，設出其他未知數(shù)，然后列方程.

2.猜想歸納思想

歸納猜想類問題也是探索規(guī)律型問題，這類問題一般給出一組具有某種有規(guī)律的數(shù)、式、

圖形，或是給出與圖形有關(guān)的操作變化過程，或某一具體的問題情境，通過認真觀察、分析

推理，探究其中蘊含的規(guī)律，進而歸納或猜想出一般性的結(jié)論?？疾閷W生的歸納、概括、類

比能力。有利于培養(yǎng)學生思維的深刻性和創(chuàng)造性。

解決歸納猜想類問題的基本思路是“觀察一歸納一猜想一證明(驗證)”，具體做法：

(1)認真觀察所給的一組數(shù)、式、圖等，發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系；

(2)根據(jù)它們之間的關(guān)系分析、概括，歸納它們的共性和蘊含的變化規(guī)律，猜想得出一個

一般性的結(jié)論；

(3)結(jié)合題目所給的材料情景證明或驗證結(jié)論的正確性。

歸納猜想類問題可以分成四大類：

(1)數(shù)式歸納猜想題

這類題通常是先給出一組數(shù)或式子，通過觀察、歸納這組數(shù)或式子的共性規(guī)律，寫出一個一

般性的結(jié)論。找出題目中規(guī)律，即不變的和變化的，變化的部分與序號的關(guān)系是解這類題的

關(guān)鍵。

(2)圖形歸納猜想題

此類題通常給出一組圖形的排列(或操作得到一系列的圖形)探求圖形的變化規(guī)律，以圖形為

載體考查圖形所蘊含的數(shù)量關(guān)系。其解題關(guān)鍵是找出相鄰兩個圖形之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)

系。

(3)結(jié)論歸納猜想題

結(jié)論歸納猜想題常考數(shù)值結(jié)果、數(shù)量關(guān)系及變化情況。發(fā)現(xiàn)或歸納出周期性或規(guī)律性變化，

是解題的關(guān)鍵。

（4）類比歸納猜想題

類比歸納猜想題通常是指由兩類對象的具有某些相同或相似的性質(zhì)，和其中一類對象的某些

己知的性質(zhì)，推斷出另一類對象也具有這些性質(zhì)的一種題型，有時也指兩個對象在研究方法、

學習過程上類比，考查類比歸納推理能力。

一.選擇題（共8小題）

1.（2021秋?天橋區(qū)期末）己知S=2+4+6+...+2020,T=1+3+5+...+2021,貝!—T的

值為（）

A.-1010B.-1011C.1010D.1011

2.（2021秋?遷安市期末）如圖，某“學子餐廳”把用"7密碼做成了數(shù)學題.小紅在餐廳

就餐時，思索了一會，輸入密碼，順利地連接到了餐廳網(wǎng)絡.則他輸入的密碼（）

賬號：XueZiCanTing

304*5=120917

205*7=101217

903*1=270428

學子餐廳歡迎你!407*2=密碼

A.28140B.110908C.280930D.280908

3.（2021秋?鼓樓區(qū)校級期末）有依次排列的3個數(shù)：2,9,7,對任意相鄰的兩個數(shù)，都

用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)，所得之差寫在這兩個數(shù)之間，可產(chǎn)生一個新數(shù)串：2,7,9,-2,

7,這稱為第1次操作；做第2次同樣的操作后也可產(chǎn)生一個新數(shù)串：2,5,1,2,9,-11,

-2,9,7,繼續(xù)操作下去，從數(shù)串2,9,7開始操作第2022以后所產(chǎn)生的那個新數(shù)串的所

有數(shù)之和是（）

A.20228B.10128C.5018D.2509

4.（2021秋?長壽區(qū)期末）觀察：世界上著名的萊布尼茨三角形，如圖所示:

請仔細觀察排列規(guī)律，則排在第10行從左邊數(shù)第3個位置上的數(shù)是（）

22

111

--

3-63

21

41

11

-

55

201

111—1

--

￡6

63106030

11111

-一-

77

421010542

5.（2021秋?嵩縣期末）計算1+2-3-4+5+6-7-8+...+2017+2018-2019-2020+2021

的值為（）

A.1B.0C.2021D.-2021

6.（2021秋?費縣期末）已知網(wǎng)，%,馬，…J都是不等于0的有理數(shù)，若乂=㈤，則%

-再

等于1或一1；若%=況+⑷，貝1］為等于2或一2或0；若%。=況+兇+包+…+皿，

演x2xxx2x3x20

則外o所有可能等于的值的絕對值之和等于（）

A.0B.110C.210D.220

7.（2021?云南模擬）-組按規(guī)律排列的多項式：a-b,a2+b3,a3-b5,…，

其中第〃個式子是（）

A.an+(—1)"+%2〃一3B.an+

C.優(yōu)+(—D.優(yōu)+(—

8.(2021?任城區(qū)二模)記=%+&+…+〃〃，令北二邑+“+…+%,則1為a2,…,

n

an9這列數(shù)的“凱森和”.已知《,a2,…Goo的"凱森和”為2004,那么18,%,%,...a500

的“凱森和”為()

A.2018B.2019C.2020D.2021

二.填空題（共14小題）

9.（2021秋?邵陽縣期末）如圖是一個運算程序的示意圖，若開始輸入x的值為50,我們發(fā)

現(xiàn)第I次輸出的結(jié)果為25,第2次輸出的結(jié)果為32,…，則第2022次輸出的結(jié)果為.

二x為偶數(shù)四

輸

輸入x

x為奇數(shù)|x+7

10.（2021秋?青神縣期末）根據(jù)下列各式的規(guī)律，在橫線處填空:

11.（2021秋?魯?shù)榭h期末）一列關(guān)于a的單項式：a3,a5,a1,a9,,按上述規(guī)律，

第"個單項式為—.

12.（2021秋?石景山區(qū)期末）一組按規(guī)律排列的代數(shù)式：a+b,a2-b3,a3+b5,a4-b1,

則第5個式子是—；第2022個式子是—.

13.（2021秋?新邵縣期末）如圖所示，在這個數(shù)據(jù)運算程序中，若開始輸入的x的值為2,

結(jié)果輸出的是1,返回進行第2次運算則輸出的結(jié)果是6,第3次運算則輸出的結(jié)果是3,……,

則第2021次輸出的結(jié)果是.

14.（2021秋?成都期末）小海在學習之余喜歡做智力闖關(guān)游戲，如圖所示的游戲中，各正

方形中的四個數(shù)之間都具有同一種規(guī)律，按此規(guī)律得出c-6的值為—.

abcdefghijkImnopqrstuvwxyz,如果規(guī)定a又接在z的后面，使26個

字母排成一個圈.代數(shù)式“x+2”代表把一個字母換成字母圈中從它開始逆時針移動2位

的字母，例如：密碼“k”表示“i”，翻譯成漢語就是“我。又如密碼“rgp”表示“pen”,

翻譯成漢語就是“鋼筆”，此時代數(shù)式“x+2”就是破譯此密碼的“鑰匙”，如果密碼

"Fxjxpqrabkq"的鑰匙是"x-3",則此密碼翻譯成漢語就是.

16.（2021秋?房山區(qū)期末）如圖，階梯圖的每個臺階上都標著一個數(shù)，從下到上的第1個

至第4個臺階上依次標著-3,-2,-1,0,且任意相鄰4個臺階上數(shù)的和都相等.

（1）第5個臺階上的數(shù)x是—；

（2）若第“個-2出現(xiàn)在第2022個臺階上，貝IJ”的值為.

1,-4,9,-16,25,-36,...；

-1,—6,7,-18,23,—38,…；

-2,8,-18,32,-50,72,…；

那么取每行數(shù)的第10個數(shù)，則這三個數(shù)的和為—.

18.（2021秋?成華區(qū)期末）已知a2=—a1-1,a3=—,6Z4=—a3—1?a5=—,.......

2a2a4

（即當〃為大于1的奇數(shù)時，an=—；當〃為大于1的偶數(shù)時，an=-anl-l）f按此規(guī)律,

%

a2022=------?

19.（2021秋?汕尾期末）在2022年迎新聯(lián)歡會上，數(shù)學老師和同學們做了一個游戲.她在

A,B,C三個盤子里分別放了一些小球，小球數(shù)依次為4,瓦，c0,記為Go=（a（）,b0,

c0）.游戲規(guī)則如下：三個盤子中的小球數(shù)/片為則從小球最多的一個盤子中拿出兩

個,給另外兩個盤子各放一個，記為一次操作；〃次操作后的小球數(shù)記為G'=（%，"，c"）.若

G0=(3,5,19),貝I]G3=,G2022=.

20.(2021秋?慶陽期末)觀察以下等式：

第1個等式：Ix2x3x4+1=52=(12+3xl+l)2,

第2個等式：2x3x4x5+1=11?=02+3x2+1)2,

第3個等式：3x4x5x6+1=19?=(32+3x3+iy,

第4個等式：4x5x6x7+1=29?=(42+3x4+l)2,

按照以上規(guī)律，寫出第〃個等式：—.（用含〃的代數(shù)式表示）

21.（2021秋?七星關(guān)區(qū)期末）觀察下列等式:

@---=-1-x-；?---=-x-；

23234545

111111

計算:---------1------------1------------1------------1-+H--的----結(jié)----果----為---------

1x22x33x44x5…2019x20202020x2021

22.（2021秋?唐縣期末）我國宋朝數(shù)學家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三

角”（如圖），此圖揭示了（。+6）"（〃為非負整數(shù)）展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關(guān)規(guī)律：楊

輝三角兩腰上的數(shù)都是1,其余每個數(shù)為它的上方（左右）兩數(shù)之和.

例如：（°+斤=。+6,它有兩項，系數(shù)分別為1,1,系數(shù)和為2；

（a+by^a2+2ab+b2,它有三項，中間項系數(shù)2等于上方數(shù)字1加1,系數(shù)分別為1,2,

1,系數(shù)和為4；

（?+Z））3=（z3+3a26+3（zZ>2+Z）3,它有四項，中間項系數(shù)3等于上方數(shù)字1加2,系數(shù)分別為

1,3,3,1,系數(shù)和為8；

則（。+6）4的展開式中系數(shù)和為

1

11

121

1331

三.解答題（共8小題）

23.(2021秋?思明區(qū)校級期末)觀察下面等式：

,122132,142,152

]---------?1]-----=----*]----=----?]-----=----?

1x31x3'2x42x4'3x53x5'4x64x6''

根據(jù)你觀察到的規(guī)律，解決下列問題：

(1)寫出第〃個等式，并證明；

(2)計算：

(1+—)x(1+^—)x(1+—)x(1+^—)x...x(l+---------)x(1+---------).

1x32x43x54x62020x20222021x2023

24.（2021秋?中山市期末）仔細觀察下列三組數(shù):

第一組：1,-4,9,-16,25,

第二組：0,-5,8,-17,24,

第三組：0,10,-16,34,-48,

根據(jù)它們的規(guī)律，解答下列問題:

（1）取每組數(shù)的第10個數(shù)，計算它們的和;

（2）取每組數(shù)的第"個數(shù)，它們的和能否是-1,說明理由.

25.（2021秋?任城區(qū)期末）觀察下列等式，探究其中的規(guī)律并回答問題:

1+8=3"

1+8+16=5"

1+8+16+24=7?,

1+8+16+24+32=/.

（1）第4個等式中正整數(shù)左的值是；

（2）第5個等式是：—；

（3）第力個等式是：.（其中”是正整數(shù)）

26.(2021秋?蘇州期末)觀察下列等式:

11I

第1個等式：

11x22

111

第2個等式：

22x323

111

第3個等式：

33x434

111

第4個等式：

44x545

請解答下列問題:

(1)按以上規(guī)律寫出：第〃個等式為=—("為正整數(shù));

(2)%+2+%+。4+...+%00的值^；

1111

(3)探究計算:-------F-------+---------+...H-------------------

1x44x77x102020x2023

27.(2021?安徽模擬)觀察以下等式:

第1個等式：，=!x(i-3，

1x323

第2個等式：_L=lx(l-i),

3x5235

第3個等式：-^=-x(l-l),

5x7257

按照以上規(guī)律，解決下列問題:

(1)寫出第4個等式:

(2)寫出你猜想的第〃個等式：—(用含"的式子表示)，并證明;

計算貴+/7+￡+…+1

(3)應用:的值.

2019x2021

28.(2021?德州模擬)閱讀下面的材料：

按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.排在第一位

的數(shù)稱為第一項，記為生,排在第二位的數(shù)稱為第二項，記為。2,依次類推，排在第〃位

的數(shù)稱為第〃項，記為巴.所以，數(shù)列的一般形式可以寫成：%,%,%，…，％，????

一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列

叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用d表示.如：數(shù)列1,3,5,7,

…為等差數(shù)列，其中q=1,%=7，公差為d=2.

根據(jù)以上材料，解答下列問題：

(1)等差數(shù)列5,10,15,...的公差d為,第5項是.

(2)如果一個數(shù)列%,%,生，…，冊…，是等差數(shù)列，且公差為d,那么根據(jù)定義可

至U?a?-%=d,—。2=d,—=d,...9一1=d，....

所以出=%+d，

%=2+d=(%+d)+d=%+2d，

%%+Q=(%+2d)+d=%+3d，

由此，請你填空完成等差數(shù)列的通項公式：%=%+(—)d.

(3)-4040是不是等差數(shù)列-5,-8,-11...的項？如果是，是第幾項？

(4)如果一個數(shù)列%,a2,%，???，明…，是等差數(shù)列，且公差為d