2022年新教材高中數學第八章立體幾何初步51直線與直線平行練習（含解析）

直線與直線平行【基礎全面練】(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．下列四面體中，直線EF與MN平行的是()【解析】選C.根據過平面內一點和平面外一點的直線，與平面內不過該點的直線異面，可判定A，B中EF，MN異面；C中直線EF與MN平行；D中，若EF∥MN，則過EF的平面與底面相交，EF就跟交線平行，則過點N有兩條直線與EF平行，不可能．2．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分別是棱AB，BC，A1B1，BB1，C1D1，CC1A.直線GH和MN平行，GH和EF相交B．直線GH和MN平行，MN和EF相交C．直線GH和MN相交，MN和EF異面D．直線GH和EF異面，MN和EF異面【解析】選B.易知GH∥MN，又因為E，F，M，N分別為所在棱的中點，由平面基本性質3可知EF，DC，MN交于一點．3．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是平面AA1D1D，平面CC1D1A．相交B．異面C．平行D．垂直【解析】選C.如圖，連接AD1，CD1，AC，則E，F分別為AD1，CD1的中點．由三角形的中位線定理，知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH，故選C.4．(2021·鄂州高一檢測)若異面直線a，b分別在平面α，β內，且α∩β＝l，則直線l()A．與直線a，b都相交B．至少與a，b中的一條相交C．至多與a，b中的一條相交D．與a，b中的一條相交，另一條平行【解析】選B.由題意知：直線l與a，b可都相交，也可只與一條相交，故A、C、D錯誤；但直線l不會與兩條都不相交，若l與a，b都不相交，因為l與a都在α內，所以l∥a，同理l∥b，所以a∥b，這與a，b異面直線矛盾，故直線l至少與a，b中之一相交．故B正確．二、填空題(每小題5分，共10分)5．已知棱長為a的正方體ABCD-A′B′C′D′中，M，N分別為CD，AD的中點，則MN與A′C′的位置關系是________．【解析】MNeq\f(1,2)AC，又因為ACA′C′，所以MNeq\f(1,2)A′C′.答案：平行6．已知E，F，G，H為空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上的點，若eq\f(AE,AB)＝eq\f(AH,AD)＝eq\f(1,2)，eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(1,3)，則四邊形EFGH形狀為________．【解析】在△ABD中，因為eq\f(AE,AB)＝eq\f(AH,AD)＝eq\f(1,2)，所以EH∥BD且EH＝eq\f(1,2)BD.在△BCD中，因為eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(1,3)，所以FG∥BD且FG＝eq\f(1,3)BD，所以EH∥FG且EH>FG，所以四邊形EFGH為梯形．答案：梯形三、解答題(每小題10分，共20分)7．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中的平面A1C【解析】如圖，在平面A1C1內過點P作直線EF∥B1C1，交A1B1于點E，交C1D1于點F，則直線EF即為所求．理由如下：因為EF∥B1C1，BC∥B8．在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分別是CC1，B1C1，C1D求證：∠NMP＝∠BA1D.【證明】如圖，連接CB1，CD1，因為CDA1B1，所以四邊形A1B1CD是平行四邊形．所以A1D∥B1C.因為M，N分別是CC1，B1C1的中點，所以MN∥B所以MN∥A1D.因為BCA1D1，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1B∥CD1.因為M，P分別是CC1，C1D1的中點，所以MP∥CD1，所以MP∥A1B，因為∠NMP和∠BA1D的兩邊分別平行且方向都相反，所以∠NMP＝∠BA1D.【綜合突破練】(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1．已知在空間四邊形ABCD中，若M，N分別是AB，CD的中點，且AC＝4，BD＝6，則()A．1<MN<5B．2<MN<10C．1≤MN≤5D．2<MN<5【解析】選A.取AD的中點H，連接MH，NH(圖略)，則MH∥BD，且MH＝eq\f(1,2)BD＝3，NH∥AC，且NH＝eq\f(1,2)AC＝2，且M，N，H三點構成三角形，由三角形的三邊關系，可得MH－NH<MN<MH＋NH，即1<MN<5.2．(多選題)如圖，在四面體A-BCD中，M，N，P，Q，E分別是AB，BC，CD，AD，AC的中點，則下列說法中正確的是()A.M，N，P，Q四點共面B．∠QME＝∠CBDC．△BCD∽△MEQD．四邊形MNPQ為梯形【解析】選ABC.由中位線定理，易知MQ∥BD，ME∥BC，QE∥CD，NP∥BD.對于A，有MQ∥NP，所以M，N，P，Q四點共面，故A說法正確；對于B，根據等角定理，得∠QME＝∠CBD，故B說法正確；對于C，由等角定理，知∠QME＝∠DBC，∠MEQ＝∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故C說法正確；由三角形的中位線定理，知MQeq\f(1,2)BD，NPeq\f(1,2)BD，所以MQNP，所以四邊形MNPQ為平行四邊形，故D說法不正確．二、填空題(每小題5分，共10分)3．一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結論：①AB∥CM；②EF與MN是異面直線；③MN∥CD.以上結論中正確結論的序號為________．【解析】把正方體平面展開圖還原到原來的正方體，如圖所示，EF與MN是異面直線，AB∥CM，MN⊥CD，只有①②正確．答案：①②4．已知點E，E′分別是正方體ABCD-A′B′C′D′的棱AD，A′D′的中點，則四邊形BB′E′E的形狀為________，∠BEC與∠B′E′C′________．(填相等或互補)【解析】如圖所示，因為點E，E′分別是AD，A′D′的中點，所以AE∥A′E′，且AE＝A′E′.所以四邊形AEE′A′是平行四邊形．所以AA′∥EE′，且AA′＝EE′.又因為AA′∥BB′，且AA′＝BB′.所以EE′∥BB′，且EE′＝BB′.所以四邊形BB′E′E是平行四邊形．所以BE∥B′E′，同理可證CE∥C′E′.又因為∠BEC與∠B′E′C′的兩邊方向相同，所以∠BEC＝∠B′E′C′.答案：平行四邊形相等三、解答題(每小題10分，共20分)5．在如圖所示的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分別是棱AB，AD，B1C1，C1D求證：(1)EF∥E1F1；(2)∠EA1F＝∠E1CF【證明】(1)連接BD，B1D1，圖略．在△ABD中，因為E，F分別為AB，AD的中點，所以EF∥BD，同理E1F1∥B1D1在正方體ABCD-A1B1C1D1因為AA1DD1，AA1BB1，所以B1BDD1，所以四邊形BDD1B1是平行四邊形，所以BD∥B1D1，所以EF∥E1F1(2)取A1B1的中點M，連接BM，F1M因為MF1B1C1，B1C1BC，所以MF1BC，所以四邊形BCF1M所以MBCF1，因為A1MEB，所以四邊形EBMA1是平行四邊形，所以A1E∥MB，所以A1E∥CF1，同理可證：A1F∥E1又∠EA1F與∠F1CE1所以∠EA1F＝∠E1CF16．如圖，△ABC和△A′B′C′的對應頂點的連線AA′，BB′，CC′交于同一點O，且eq\f(AO,OA′)＝eq\f(BO,OB′)＝eq\f(CO,OC′)＝eq\f(2,3).(1)求證：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；(2)求eq\f(S△ABC,S△A′B′C′)的值．【解析】(1)AA′∩BB′＝O，且eq\f(AO,OA′)＝eq\f(BO,OB′)＝eq\f(2,3)，所以A′B′∥AB，同理，A′C′∥AC，B′C′∥BC.(2)因為A′B′∥AB，A′C′∥AC，且A′B′和AB，A′C′和AC方向相反，所以∠BAC＝∠B′A′C′.同理，∠ABC＝