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文檔簡介
陳經(jīng)綸中學(xué)2024-2025第一學(xué)期初二數(shù)學(xué)學(xué)科
期中監(jiān)測試卷
一、選擇題(本題共24分,每小題3分)第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng),符合題意的選項(xiàng)只有一
個(gè).
1.下列四種圖案是2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)中部分運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的示意圖,其中是軸對(duì)稱圖形的是()
母K?繆。囪、
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了軸對(duì)稱圖形“如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠完全重合,那么這個(gè)
圖形叫做軸對(duì)稱圖形”,熟練掌握軸對(duì)稱圖形的定義是解題關(guān)鍵.根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義逐項(xiàng)判斷即可得.
【詳解】解:A、不是軸對(duì)稱圖形,則此項(xiàng)不符合題意;
B、不是軸對(duì)稱圖形,則此項(xiàng)不符合題意;
C、不是軸對(duì)稱圖形,則此項(xiàng)不符合題意;
D、是軸對(duì)稱圖形,則此項(xiàng)符合題意;
故選:D.
2.下列每組數(shù)分別表示三根木棒的長,將它們首尾連接后,能擺成三角形的一組是()
A.1,2,3B.1,2,4C.2,3,4D.2,2,4
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系:三角形兩邊之和大于第三邊,計(jì)算兩個(gè)較小的邊的和,看看是否大于第三
邊即可.
【詳解】A、1+2=3,不能組成三角形,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、1+2<4,不能組成三角形,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、2+3>4,能組成三角形,故C選項(xiàng)正確;
D、2+2=4,不能組成三角形,故D選項(xiàng)錯(cuò)誤;
故選:C.
【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系,關(guān)鍵是掌握三角形的三邊關(guān)系.
3.下列各圖中,作VABC邊AC邊上的高,正確的是()
【分析】本題考查的是三角形的高的概念,從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€,垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做
三角形的高,據(jù)此求解即可.
【詳解】解:由三角形的高的概念可知,四個(gè)選項(xiàng)中只有D選項(xiàng)中的作圖方法是作的VA3C邊AC邊上
的高,
故選:D.
4.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)(-3,-2)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)是()
A.(-3,2)B.(3,-2)C.(3,2)D.(-2,-3)
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)“關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn),橫坐標(biāo)相同,縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”解答即可.
【詳解】解:點(diǎn)(—3,—2)關(guān)于無軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(一3,2).
故選:A.
【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于x軸軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo),解決本題的關(guān)鍵是掌握好關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn),橫坐標(biāo)相
同,縱坐標(biāo)互為相反數(shù).
5.若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是它的外角和3倍,則這個(gè)多邊形是()
A六邊形B.七邊形C.八邊形D.九邊形
【答案】C
【解析】
【分析】首先設(shè)此多邊形是〃邊形,由多邊形的外角和為360°,即可得方程180(〃-2)=3x360,解此方
程即可求得答案.
【詳解】解:設(shè)此多邊形是〃邊形,
:多邊形的外角和為360°,
180(^-2)=3x360,
解得:?=8.
...這個(gè)多邊形是八邊形.
故選:C.
【點(diǎn)睛】此題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和的知識(shí).此題難度不大,注意多邊形的外角和為360°,“邊
形的內(nèi)角和等于(〃-2”80°.
6.如圖,點(diǎn)E在邊上,ZB=70°,則NACD的度數(shù)為()
A.30°B.40°C.45°D.50°
【答案】B
【解析】
【分析】由全等三角形的性質(zhì)推出BC=CE,ZDCE=ZACB,由等腰三角形的性質(zhì)得到
7CEB?B70?,求出ZECB=180°—NCEB—/5=40。,ZACD+ZACE=ZECB+ZACE,
即可得到^ACD=NECB=40P.
【詳解】<AAB8ADEC,
:.BC=CE,/DCE=ZACB,
:./CEB=/B=7『,
/ECB=180P-/CEB—NB=40P,
/ACD+NACE=NECB+/ACE,
NACD=/ECB=40P.
故選:B.
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),關(guān)鍵是由△ABCMADEC,得到
NDCE=ZACB.
7.小麗與爸媽在公園里蕩秋千.如圖,小麗坐在秋千的起始位置A處,與地面垂直,兩腳在地面上用
力一蹬,媽媽在距地面1m高的B處接住她后用力一推,爸爸在C處接住她.若媽媽與爸爸到。4的水平
距離3D、CE分別為1.4m和L8m,ZBOC=90°.爸爸在C處接住小麗時(shí),小麗距離地面的高度是
A.ImB.1.6mC.1.8mD.1.4m
【答案】D
【解析】
【分析】利用全等三角形判定(A4S),證得△OBZ)與ACOE全等,根據(jù)全等三角形性質(zhì)可求出0E和
0。的值,進(jìn)而求出。4的值,最后根據(jù)04-。石=4£,即可求出問題答案.
【詳解】解:;ZBOC=90。,
ZBOD+ZCOE=90°,
?.?NBDO=90。,ZCEO^90°,
ZBOD+ZOBD=90°,ZCOE+ZOCE=90°,
:.NCOE=NOBD,ZBOD=ZOCE,
又?:OB=CO,
:.^OBD=ACOE(AAS),
OE=BD=1.4m,OD=CE=1.8m,
:.AE=OA-OE=OD+DA-OE=l.Sm+lm-lAm=lAm.
故選:D.
【點(diǎn)睛】本題考查了利用三角形全等測距離的問題,理解題意及熟知三角形的性質(zhì)與判定是解題關(guān)鍵.
8.如圖,VA3C中,NABC、ZE4c的角平分線皮AP交于點(diǎn)P,延長B4、BC,PMLBE,
PNLBF,則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)()
①CP平分ZACN;②ZABC+2ZAPC=180。;
③NACB=2NAPB;④S^PAC=+S^NCP.
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了角平分線性質(zhì)定理、直角三角形全等的判定與性質(zhì)、四邊形的內(nèi)角和等知識(shí),通過作
輔助線,構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.過點(diǎn)P作P。,AC于點(diǎn)。,先根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得
PM=PN,PM=PD,從而可得=再證出RMPCDgRuPQV,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得
ZPCD=ZPCN,由此即可判斷①正確;先證出RSRU//RRK4D,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得
ZAPM=ZAPD,從而可得NMPN=2NAPC,再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和即可判斷②正確;先根據(jù)三角形的
外角性質(zhì)可得NEAC=NA6C+NACB,從而可得2NE4P=2NABP+NACB,再根據(jù)三角形的外角性
質(zhì)可得NE4P=NABP+/4PB,由此即可判斷③正確;根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得號(hào)次.=久延?,
SQAP=S“MAP-由此即可判斷④正確?
【詳解】解:如圖,過點(diǎn)尸作于點(diǎn)。,
BCNr
VZABC,ZE4C的角平分線BP、AP交于點(diǎn)P,PM±BE,PNLBF,
:.PM=PN,PM=PD,ZABC=2ZABP,ZEAC=2ZEAP,
:.PN=PD,
在RtAPCD和Rt/XPCN中,
PC=PC
PD=PN'
RtxPCDgRt△尸QV(HL),
:.ZPCD=ZPCN,ZCPD=ZCPN,
.??CP平分/ACT"結(jié)論①正確;
在RiAPAM和RtAPAD中,
PA=PA
PM=PD,
RuPAM^RtAB4D(HL),
/.ZAPM^ZAPD,
/.ZMPN=ZCPD+Z.CPN+ZAPM+ZAPD=2(ZAPD+ZCPD)=2ZAPC,
VPMVBE,PNLBF,
:.ZPMB=ZPNB=90°,
:.ZABC+ZMPN=180°,
:.ZABC+2ZAPC=180°,結(jié)論②正確;
VZEAC=ZABC+ZACB,ZABC=2ZABP,ZEAC=2ZEAP,
:.2ZEAP=2ZABP+ZACB,
又:ZEAP=ZABP+ZAPB,
/.2(ZABP+ZAPB)=2ZABP+ZACB,
:.ZACB=2ZAPB,結(jié)論③正確;
■:RtAPCD^RtAPOV,RtAPAM^RtAjB4£),
?q-vv-v
??Q&DCP-"ANCP'^^DAP-UjWAP'
=
??S^DAP+S/CP=SSMAP+S"CP,即^APAC+^ANCP,結(jié)論④正確;
綜上,結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)4個(gè),
故選:D.
二、填空題(本題共24分,每小題3分)
9.如果等腰三角形的兩邊長分別是2、7,那么三角形的周長是.
【答案】16
【解析】
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),三角形三邊關(guān)系,即兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊解答即
可.
【詳解】解:(1)當(dāng)2為腰長時(shí),三邊分別為2、2、7,因?yàn)?+2=4<7,根據(jù)三角形三邊關(guān)系得,此三邊
不能組成三角形.
(2)當(dāng)7為腰長時(shí),三邊分別為2、7、7,根據(jù)三角形三邊關(guān)系得,此三邊能組成三角形.所以三角形的
周長=7+7+2=16;
綜上,此三角形的周長為16.
故答案為:16
【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形三邊關(guān)系,解題的關(guān)鍵是先分類討論確定腰長,再根據(jù)三角形任意兩邊
之和大于第三邊判斷是否能組成三角形,最后算出周長即可.
10.在VABC中,ZC=90°,ZA-ZB=30°,則ZA=.
【答案】60°
【解析】
【分析】根據(jù)直角三角形兩個(gè)銳角互余得出NA+4=90。,解方程組即可.
【詳解】解:在VABC中,ZC=90°,
???ZA+ZB=90°,
ZA+ZB=90°ZA=60°
解方程組得,\
ZA-ZB=30°ZB=30°
故答案為:60°.
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和和解方程組,解題關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和定理,列出方程組.
11.如圖,在長方形ABCD中,3。是對(duì)角線,將△ABZ)沿直線BD折疊,點(diǎn)A落在點(diǎn)尸處,BF交邊
C7)于點(diǎn)E,若NABD=25。,則NCD/的度數(shù)為°.
【答案】40
【解析】
【分析】本題考查折疊問題,根據(jù)折疊性質(zhì),得到//=/4=90。,44血=//由),三角形的內(nèi)角和定
理,求出NEDB的度數(shù),平行線的性質(zhì),得到NEDB=NABD,再根據(jù)角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】解:???長方形ABCD,
:.AB//CD,ZA=9O°,
:.NEDB=ZABD=25。,
:△ABD沿直線折疊,點(diǎn)A落在點(diǎn)P處,BF交邊CD于點(diǎn)E,
:.NF=NA=90°,ZABD=NFBD=25°,
ZBDF=900-ZFBD=65°,
/CDF=ZBDF-ZCDB=40°,
故答案為:40.
12.如圖,3D是VA3C的角平分線,過點(diǎn)。作D石〃交于點(diǎn)E.若NA=36°,ZBDC=76°,
則NBDE=1
【答案】40
【解析】
【分析】此題主要考查了三角形的外角性質(zhì),平行線的性質(zhì),角平分線的定義,首先根據(jù)三角形的外角定
理求出NABD=40°,再根據(jù)角平分線的定義得NCBD=NASD=40°,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得
/BDE的度數(shù).
【詳解】解::NA=36°,ZBDC=76°,
/.ZBDC=ZA+ZABD,
即76°=36°+NASD,
/.ZABD=76°—36°=40。,
VBD是VA5C的角平分線,
ZCBD^ZABD=4Q°,
?:DE//BC,
:.ZBDE=ZCBD=40°.
故答案為:40.
13.如圖,在VABC中,AB=AC,NC=30°,點(diǎn)。是AB的中點(diǎn),過點(diǎn)。作DE工A3交3。于點(diǎn)
E,DE=2,則CE的長度為.
【答案】8
【解析】
【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì),垂直平分線的性質(zhì),含30度角的直角三角形,掌握30度
角所對(duì)的直角邊等于斜邊一半是解題關(guān)鍵.連接AE,由等邊對(duì)等角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理,得到
ZABC=ZC=30°,ABAC=12Q°,進(jìn)而得到魴=2。石=4,再證明垂直平分,得到
AE=BE=4,ZBAE=ZABC=30°,結(jié)合30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊一半求解即可.
【詳解】解:如圖,連接AE,
VAB=AC,ZC=30°,
ZABC=ZC=30°,ZSAC=120°,
,:DELAB,DE=2,
:.BE=2DE=4,
;點(diǎn)。是AB的中點(diǎn),
.?.OE垂直平分AB,
:.AE=BE=A:,
:.ZBAE=ZABC^30°,
.-.ZCAE=ZBAC-ZBAE=90°,
:.CE^2AE=8,
14.如圖,在等邊VABC中,。是3C的中點(diǎn),DEIAC于點(diǎn)E,EFLAB于點(diǎn)F,已知3C=16,則
BF的長為.
【答案】10
【解析】
【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì),直角三角形兩銳角互余,含30度的角的直角三角形,掌握30度
角所對(duì)的直角等于斜邊的一半是解題關(guān)鍵.根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形兩銳角互余,得到
NCDE=3。。,ZAEF=30°,進(jìn)而得出CE=4,AF=-AE=6,即可求出加'的長.
22
【詳解】解:???等邊VABC中,。是5c的中點(diǎn),3c=16,
.-.AB=AC=BC=16,BD=CD=~BC=8,ZACBZBAC60°,
2
?/DELAC,EFLAB
ZCDE+ZC^90°,AEAF+ZAEF=90°
:.NCDE=30。,ZAEF=30°,
在RtVCDE中,CE=」Cr>=4,
2
:.AE^AC-CE=\2,
在RSAEE中,AF=^AE=6,
:.BF=AB-AF=10,
故答案為:10.
15.如圖1,用尺規(guī)作圖的方法“過直線/外一點(diǎn)尸作直線/的平行線”,現(xiàn)有如圖2中的甲、乙兩種方
法,所用方法正確的是.
圖1圖2
【答案】甲、乙
【解析】
【分析】本題考查了平行線的判定、尺規(guī)作圖、等腰三角形的性質(zhì),熟練掌握尺規(guī)作圖是解題關(guān)鍵.甲:根
據(jù)同位角相等,兩直線平行即可判斷甲所用方法正確;乙:如圖(見解析),先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得
Z1=Z2,再根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖可得/3=/4,從而可得N1=N3,然后根據(jù)同位角相等,兩直線
平行即可判斷乙所用方法正確.
甲
由作圖可知,N1=N2,
則〃/.
如圖,乙所用方法正確.
乙
由作圖可知,PA=PB,PE是角平分線,
,N1=N2,/3=/4,
又:N3+N4=N1+N2,
Nl=N3,
/.PE//1,
綜上,所用方法正確的是甲、乙,
故答案為:甲、乙.
16.在學(xué)習(xí)完“探索三角形全等的條件”一節(jié)后,一同學(xué)總結(jié)出很多全等三角形的模型,他設(shè)計(jì)了以下問
題給同桌解決:如圖,做一個(gè)“U”字形框架PA3Q,其中A3=42cm,AP.BQ足夠長,PA±AB
于A,于8,點(diǎn)M從B出發(fā)向A運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)N從B出發(fā)向Q運(yùn)動(dòng),使M、N運(yùn)動(dòng)的速度之比
3:4,當(dāng)兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到某一瞬間同時(shí)停止,此時(shí)在射線AP上取點(diǎn)C,使ZVICM與ABMN全等,則線段
AC的長為__________
【答案】28cm或18cm
【解析】
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì),一元一次方程的應(yīng)用,利用分類討論的思想解決問題是關(guān)
鍵.由題意可得NG4M=ZMBN=90。,設(shè)即7=3fcm,BN=4tcm,則AM=(42-3r)cm,分兩種情況
討論:①當(dāng)AC=BN,AM=BM,&ACM公BNM;②當(dāng)=AM=BN^,
△ACM學(xué)&BMN,分別列方程求解即可.
【詳解】解:?.?R4_LAB,QB1AB,
ZCAM=ZMBN=90°,
VM,N運(yùn)動(dòng)的速度之比3:4,
...設(shè)BA/=3rcm,BN-4tcm,
AB=42cm,
AM=(42-3。cm,
①當(dāng)AC=BN,AM=BM,AACM^BNM,
貝i]42-3t=3r,
解得:t=7,
.AC=BN=4r=28cm;
②當(dāng)=AM=3N時(shí),AACM咨ABMN,
則42—3t=4f,
解得:t=6,
.AC=BM=3/=18cm;
綜上可知,線段AC的長為28cm或18cm,
故答案為:28cm或18cm.
三、解答題(本題共52分,第17—19題,第21—23題,每題5分;第20題,4分;第24
題-26題,每題6分)解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.
17.小明發(fā)現(xiàn),任意一個(gè)直角三角形都可以分割成兩個(gè)等腰三角形.
已知:在VABC中,ZACB=90°.
求作:線段C£>,使得線段將VABC分割成兩個(gè)等腰三角形.
下面是小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖的作法:
①作直角邊AC的垂直平分線MN,與斜邊相交于點(diǎn)A
②連接CD.
則線段為所求.
完成下面的證明.
證明:?.?直線是線段AC的垂直平分線,點(diǎn)D在直線上,
/.DC^DA.()(填推理的依據(jù))
Z_=N.
?/ZACS=90°,
ZBCD=90°-.
VZB=90°-ZA.
/.ZBCD=ZB.
/.DC=DB.()(填推理的依據(jù))
???ADCB和△£>C4都是等腰三角形.
【答案】垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等;A;DCA;ZDCA;等角對(duì)等邊
【解析】
【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì),等腰三角形的判定和性質(zhì),掌握垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離
相等是解題關(guān)鍵.由垂直平分線可得DC=DA,進(jìn)而得到ZA=ZDCA,再結(jié)合余角,得出ZBCD=ZB,
由等角對(duì)等邊可得DC=DB,即可證明結(jié)論.
【詳解】證明::直線是線段AC的垂直平分線,點(diǎn)。在直線1W上,
???DC=ZM.(垂直平分線上點(diǎn)到線段兩端的距離相等)(填推理的依據(jù))
:.ZA=ZDCA.
?/ZACB=90°,
:.ZBCD=90°-ZDCA.
VZB=90°-ZA.
ZBCD=NB.
DC=DB.(等角對(duì)等邊)(填推理的依據(jù))
ADCB和△DC4都是等腰三角形,
故答案為:垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等;A;DCA-,DCA-,等角對(duì)等邊.
18.如圖,在VABC中,AB>AC,AD是角平分線,AE是高,AE^CE,ZDAE=10°,求
/C4E和N3的度數(shù).
【答案】ZCAE=45°,ZB=25。
【解析】
【分析】本題考查了三角形高與角平分線、三角形的內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì),熟練掌握等腰三角
形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得NC=NC4E=45°,從而可得NC4Z)=55。,再根
據(jù)角平分線的定義可得ZBAC=2ZC4D=110°,然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求解即可得.
【詳解】解:???在VA3C中,AE是高,AE=CE,
:.ZC=ZCAE=45°,
,:ZDAE=10°,
:.ZCAD=ZCAE+ZDAE=55°,
:在VA3C中,AD是角平分線,
ZBAC=2ZCAD=110°,
ZB=1800-ZSAC-ZC=25°.
19.如圖,已知AC平分/8A。,AB=AD.求證:ZB=ZD.
【解析】
【分析】首先根據(jù)角平分線的定義,可證得再根據(jù)SAS即可證得△ABC之△相>(7,據(jù)此
即可證得結(jié)論
【詳解】首先根據(jù)角平分線的定義得到/BAC=/D4C,再利用SAS定理便可證明其全等,進(jìn)而可得結(jié)
論.
證明::AC平分/BAD,
NBAC=ADAC,
在△ABC和△AOC中,
AB=AD
<ABAC=ADAC,
AC=AC
AABC^AADC(SAS),
:./B=ND.
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義及全等三角形的判定和性質(zhì),熟練掌握和運(yùn)用全等三角形的判定方法
是解決本題的關(guān)鍵.
20.在4x4的正方形網(wǎng)格中建立如圖1、2所示的直角坐標(biāo)系,其中格點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別是
(o,i),(T—i)-
(1)請(qǐng)圖1中添加一個(gè)格點(diǎn)C,使得VA5C是軸對(duì)稱圖形,且對(duì)稱軸經(jīng)過點(diǎn)(0,1).
(2)請(qǐng)圖2中添加一個(gè)格點(diǎn)。,使得△人血也是軸對(duì)稱圖形,且對(duì)稱軸經(jīng)過點(diǎn)(1,1).
【答案】(1)圖見解析
(2)圖見解析
【解析】
【分析】(1)根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作圖即可;
(2)根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作圖即可.
【小問1詳解】
解:如下圖,
由對(duì)稱軸的性質(zhì),可知點(diǎn)8的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)C,點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)還是點(diǎn)A,連接A、B、C可知VABC是軸對(duì)
稱圖形,且對(duì)稱軸經(jīng)過點(diǎn)(0,1),點(diǎn)C即為所求;
【小問2詳解】
如下圖,
由對(duì)稱軸的性質(zhì),可知點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)。,點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)還是點(diǎn)8,連接A、B、C可知是軸對(duì)
稱圖形,且對(duì)稱軸經(jīng)過點(diǎn)(1,1),點(diǎn)。即為所求.
【點(diǎn)睛】本題考查了平面直角坐標(biāo)系中軸對(duì)稱圖形的作圖,熟練掌握掌握軸對(duì)稱的作圖方法是解題的關(guān)
鍵.
21.如圖,在VA3C中,P是3C的中點(diǎn),PDLA5于點(diǎn)F>E_LAC于點(diǎn)E,且PD=PE,求證:
VA3C是等腰三角形.
【解析】
【分析】本題考查了等腰三角形的判定,全等三角形的判定與性質(zhì),根據(jù)題意得到5P=CP,再證明
△PDB與WEC,得到4=NC即可求證,掌握等腰三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.
【詳解】解:PD±AB,PE±AC,
:.NPDB=PEC=90。,
是BC的中點(diǎn),
:.BP=CP,
在RtAPDB^DRtAPEC中
PD=PE
BP=CP'
△PDB、PEC(HL),
ZB=ZC,
AB=AC,
???VA5C是等腰三角形.
22.在平面直角坐標(biāo)系中,VA3C的三個(gè)頂點(diǎn)的位置如圖所示.
(1)請(qǐng)畫出VA3C關(guān)于V軸對(duì)稱的△A'3'C'(其中A',B',C分別是A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn),不寫畫
法);
(2)點(diǎn)。在坐標(biāo)軸上,且滿足△BCQ是等腰三角形,則所有符合條件的。點(diǎn)有一個(gè).
【答案】(1)圖見解析
(2)10
【解析】
【分析】本題考查了畫軸對(duì)稱圖形、等腰三角形的定義,熟練掌握軸對(duì)稱圖形的畫法是解題關(guān)鍵.
(1)先根據(jù)軸對(duì)稱的定義分別畫出點(diǎn)A',B',C,再順次連接即可得;
(2)先以點(diǎn)3為圓心、3c長為半徑畫圓得到與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),再以點(diǎn)C為圓心、3c長為半徑畫圓得到
與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),然后將兩圓的交點(diǎn)連接可得3c的垂直平分線,從而可得到與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),由此即可得
出答案.
【小問1詳解】
解:如圖,△A'3'C'即為所求.
解:如圖,以點(diǎn)5為圓心、3c長為半徑畫圓,與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)有4個(gè),則有4個(gè)以3C為腰的等腰
△3CQ;
以點(diǎn)C為圓心、5c長為半徑畫圓,與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)有4個(gè),則有4個(gè)以3c為腰的等腰△BCQ;
將兩圓的交點(diǎn)連接可得3c的垂直平分線,與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)有2個(gè),則有2個(gè)以5c為底的等腰
△3CQ;
綜上,所有符合條件的。點(diǎn)有10個(gè),
故答案為:10.
23.如圖,A、B分別為C£>、CE的中點(diǎn),AELCD于點(diǎn)A,BD±CE于點(diǎn)艮求/AEC的度數(shù).
c
【答案】30°
【解析】
【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì),掌握垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的
距離相等是解題關(guān)鍵.由垂直平分線的性質(zhì),得到CE=/)E=OC,證明ACDE是等邊三角形,即可求出
/AEC的度數(shù).
【詳解】解:如圖,連接。E,
「A、B分別為CD、CE的中點(diǎn),AELCD,BDLCE,
.:AE垂直平分CD,8。垂直平分CE,
CE-DE,DC-DE,
CE=DE=DC,
「.△CD內(nèi)是等邊三角形,
,/CED=60。,
ZAEC=-ZCED=30°.
2
24.如圖,AD為VABC中線,點(diǎn)E在AC上,BE交AD于點(diǎn)孔AE=EF,求證:AC=BF.
【答案】見解析
【解析】
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì),等腰三角形的判定和性質(zhì),延長AD到點(diǎn)G,使
GD=AD,連接GB,證明VGBDAACD(SAS),推出G3=AC,ZG=ZCAF,結(jié)合4石=中
證明NG=N5FG,進(jìn)而得出=即可證明AC=5尸.
【詳解】證明:延長AD到點(diǎn)G,使GD=AZ),連接GB,
G
:AD為VABC中線,
BD=CD,
在AGBD和AACD中,
GD=AD
<ZGDB=ZADC,
BD=CD
:.NGBD^VACD(SAS),
GB=AC,ZG=ZCAF,
;AE=EF,
:.NCAF=/EFA,
;.NG=/EFA,
?/ZEFA=ZBFG,
:.ZG=ZBFG,
:.GB=BF,
:.AC=BF.
25.VA3C為等邊三角形,射線"經(jīng)過點(diǎn)A,ZBAP=a(00<a<90°),畫點(diǎn)B關(guān)于射線AP的對(duì)稱點(diǎn)
D,連接AD、CZ)交直線好于點(diǎn)E.
A
(1)如圖,當(dāng)0°<e<60°時(shí)
①依題意補(bǔ)全圖形;
②用等式表示線段石4、ED、EC的數(shù)量關(guān)系,并證明;
(2)若為等腰三角形,直接寫出々的度數(shù).
【答案】(1)①圖見解析;②EC=ED+EA,證明見解析;
(2)30°或70°.
【解析】
【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí),解題的
關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,構(gòu)造全等三角形解決問題.
(1)①根據(jù)要求畫出圖形即可;
②在上截取66=5石,則△BGE是等邊三角形,證明ABCG且AZME,推出AE=CG,根據(jù)
EG=BE=DE,即可得出EC=ED+E4;
(2)①當(dāng)時(shí),②當(dāng)3£>=CE>時(shí),③當(dāng)BC=CE>時(shí),根據(jù)等邊三角形的性質(zhì),和線段垂直平分
線的性質(zhì)即可得到結(jié)論.
【小問1詳解】
解:①過點(diǎn)3作AP的垂線,交"于點(diǎn)。,截取OD=OB,則點(diǎn)。是點(diǎn)3關(guān)于射線"的對(duì)稱點(diǎn),連接
AD、交直線AP于點(diǎn)E,如圖:
在CD上截取5G=BE,如圖:
:VA3C是等邊三角形,
/.AC^AB,ZBAC^6Q0,
由對(duì)稱可知:AB=AD,ZPAB=ZPAD,
AC=AD,
ZACD=/D,
ZBAP=a,
/PAD=a,
:.ZCAD=ZBAC+ZPAB+ZPAD=600+2af
ZADC=1(1800-ACAD)=60°-tz,
-:ZAEC=ZD+ZBAP=60°-a+a=60°,
:.ZDAE=60°-ZD,NBCG=60°-ZACD,
ZACD=ZD,
/BCG=/DAE,
由對(duì)稱可知:DE=BE,ZPEB=ZPED=60°,
:.ZBEG=60°,
/.ZiBGE是等邊三角形,
:.BG=EG=BE=DE,ZBGC=ZAED=120°,
在ABCG和A/ME中,
ZBCG=ZDAE
<ZBGC=ZAED,
BC=AD
:.△BCGJDAE(AAS),
:.AE=CG,
?:EG=BE=DE,
EC=ED+EA;
【小問2詳解】
解:當(dāng)△DBC是等腰三角形,
①當(dāng)時(shí),如圖:
,/AP垂直平分BD,
/.AB=AD,
AB=AD=BC=BD,
:.△ABD是等邊三角形,
/.tz=30°;
②當(dāng)初二⑺時(shí),如圖:
-.?AC=AB,BD=CD,
:.AD垂直平分3C,
.-.ZDAB=150°,
?/AP垂直平分BD,
AB=AD,
:.a=
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