對勾函數(shù)、飄帶函數(shù)的應(yīng)用5種?？碱}型總結(jié)（解析版）-人教版高一數(shù)學(xué)習(xí)題

微專題20對勾函數(shù)、飄帶函數(shù)的應(yīng)用5種?？碱}型總結(jié)

高頻考點

題型1對勾函數(shù)在基本不等式中的應(yīng)用題型4利用對勾函數(shù)解決恒成立有解問題

題型2與對勾函數(shù)有關(guān)的單調(diào)性問題題型5飄帶函數(shù)

題型3與對勾函數(shù)有關(guān)的最值問題

解題策略

一、對勾函數(shù)

時，y-2yl~ab

二、飄帶函數(shù)

b

解析式y(tǒng)-ax——[a>0，b>0)y=ax-—(Q<0,b<0)

XX

J

圖像-Ju

r

定義域(-oo,0)U(0,+oo)

漸近線y=ax,x=0

值域R

奇偶性奇函數(shù)

單調(diào)性在(-00,0),(0,+8)上是增函數(shù)在(一*0),(0,+oo)是減函數(shù)

三、對勾函數(shù)的一些妙用

筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，二次函數(shù)和對勾函數(shù)有著天然的聯(lián)系，但限于學(xué)時安排,多數(shù)教師講對勾函數(shù)時著墨不多,

導(dǎo)致學(xué)生只知其“形”而不知其“神”，因此在處理含參的二次不等式恒成立、根的分布等問題時,缺少必要的手

段，只能“硬討論”，又因其繁難，易挫敗學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.若能轉(zhuǎn)為對勾函數(shù)去處理，則可化繁就簡，快速處理有

關(guān)問題.

1.什么是對勾函數(shù)？

形如y=K+g(k>0)的函數(shù)叫作對勾函數(shù)，其圖像和性質(zhì)如圖1所示：

k

函數(shù)y=x+-(k>0)

定義域(-8,0)u(0,+oo)

值域(—oo,—2Vfc]U[2Vk,+oo)

奇偶性奇函數(shù)

單調(diào)性

（0#）工,（返+OO）T

漸近線直線％=0和y=x

圖1

說明：

1.函數(shù)y=ax+^a,b>0）也叫作對勾函數(shù)，由于y=ax+1=a（久+f）,兩者本質(zhì)相同.

2.y=x+<0）不是對勾函數(shù)，其圖像如圖2所示：

圖2

2.對勾函數(shù)的一些妙用

（1）對勾函數(shù)在基本不等式中的應(yīng)用

在均值不等式中,我們通常利用“一正二定三相等”求最值，但當(dāng)“三相等”的條件不滿足時，我們就可以用對勾

函數(shù)的單調(diào)性處理.

示例：求函數(shù)f（x）=久+：在區(qū)間（0,1］的最小值.

分析:由均值不等式，易得久+4,當(dāng)久=?即工=2時等號成立,故不滿足取等的條件.如果用對勾函數(shù),可以求

解.

解:由對勾函數(shù)性質(zhì)可知/(%)=%+g在(0,1］上單調(diào)遞減，故當(dāng)％=1時,/(%)min=5.

示例2：已知正實數(shù)為y滿足汽+y=1,求%y+。的取值范圍.

分析:可先由均值不等式求得xy的取值范圍,再換元，結(jié)合對勾函數(shù)可求解.

解:由均值不等式可得,0<%y<(等丫=:，當(dāng)x=y=的寸取等號.

令硝=t,得對勾函數(shù)/?)=t+［在區(qū)間(0,3上單調(diào)遞減，

所以，當(dāng)t弓時/?min=*從而函數(shù)4)的值域為件,+8),

即沖+專的取值范圍為［?,+00).

(2)對勾函數(shù)在二次不等式恒成立中的應(yīng)用

示例3：若不等式N+ax+1>0對任意Xe(0,2］恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

分析:本題只要函數(shù)最小值大于0即可，但分析單調(diào)性求最小值比較煩瑣，如果分離參數(shù)化為對勾函數(shù),可化腐

朽為神奇，快速求得結(jié)果.

11

解:不等式/+ax+1>0對任意xe(0,2］恒成立，等價于％+->一a對任意x￡(0,2］恒成立，記/(久)=x+9等

價于/OOmin>-a.

由對勾函數(shù)的單調(diào)性知J(x)在區(qū)間(0,1］上單調(diào)遞減,在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞增，

所以，當(dāng)久=1時/Q)min=2,故一a<2,解得a>-2.

示例4：已知/'(X)=久2+2(a-2)x+4,如果對任意工G［-3,l］,/(x)>。恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

解析:本題是一個二次不等式在R的子區(qū)間［-3,1］上的恒成立問題,通常求其最值即可.

本題不妨做一個對比，分類討論和化對勾函數(shù).

解法1：分類討論法“硬討論”

結(jié)合對稱軸久=-(a-2)與區(qū)間位置關(guān)系討論函數(shù)單調(diào)性可得：

(—(a—2)<—3.r(—3<—(a—2)<1,一尸(口—2)>1,

［/(-3)>0,或(/<0,或1/(1)>0,

解得ae0,或1Wa<4,或一g<a<1,綜合可得a的取值范圍為(一1,4).

解法2:分類討論轉(zhuǎn)為對勾函數(shù)

因為/+2(a-2)x+4>0對任意xG［一3,1］恒成立，

當(dāng)久=。時,4>0,止匕時aGR.①

當(dāng)x€［-3,0)時，原問題等價于％+：<-2(a—2)在［-3,0)上恒成立，

而對勾函數(shù)/(*)=x+:在區(qū)間(-叫-2］上單調(diào)遞增,在區(qū)間［-2,0)上單調(diào)遞減，

所以/(x)max=/(-2)=-4<一2(-2),解得。<4.②

當(dāng)久G(0,1］時,原問題等價于x+?>—2(a—2)在(0,1］上恒成立，

而對勾函數(shù)/(久)=x+：在區(qū)間(0,2］上單調(diào)遞減,在區(qū)間［2,+8)上單調(diào)遞增，

所以,f(x)min=/(1)=5>—2(a—2),解得a>—看③

綜合①②③可得，實數(shù)a的取值范圍為4).

通過對比我們看到，兩者都用到了分類討論，法1分類討論最后求并，法2分類討論轉(zhuǎn)對勾后求交.兩種方法對

于培養(yǎng)學(xué)生縝密的思維，專注的計算都是不錯的.其不同之處在于，后一種方法轉(zhuǎn)化后是一個不帶參數(shù)的函數(shù),

計算相對簡單，不易出錯，雖然只是一點點小小的轉(zhuǎn)變,但作用是顯而易見的，這樣學(xué)生能體會到“原來還可以

這樣，，的學(xué)習(xí)之樂,促進學(xué)生更深入地思考以求“變，，，變方法，變思維的深度和廣度.

示例5：若對任意的x￡［一2,0］,使久2+(l-a)x-a+2>0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

分析:本題如分類討論過程繁雜，可分參化對勾函數(shù)處理.

解:因為久2+(l-a)x-a+2=x2+x+2-a(x+1),令％+1-t,te［-1,1］,

原問題即t2-(a+l)t+2>0在te上恒成立.

當(dāng)t=0時,a€R.

StG［-1,0)U(0,1］時，原問題等價于,

t+^>a+1在(0,1］上恒成立，且t+f<a+1在［—1,0)上恒成立.

而對勾函數(shù)在［-1,0)和(0,1］都上單調(diào)遞減，可解得a<2,且a>-4.

綜上可得4<a<2.

3.對勾函數(shù)處理二次函數(shù)根的分布問題

示例6：方程/+(m+l)x+m-1=。有兩個負根，求實數(shù)rn的取值范圍.

分析:二次函數(shù)根的分布問題，通常結(jié)合圖像及韋達定理可求解.這里，我們也看看用對勾函數(shù)處理這些題目的

妙處.

解法1:因為方程合+(m+l)x+m-1=。有兩個負根，所

M>o,

以《一（爪+1）<0,解得小>1.

Im—1>0,

解法2:方程久2+(M+1)%+m-1=0有兩個負根，

等價于無+耍=—(a+1)有兩個負根，

即橫線y=~(m+1)與對勾函數(shù)y=X+中■在(-8,0)上有兩個交點.

數(shù)形結(jié)合可知,一(爪+1)<-26i-l,解得一>1.

圖3

示例7：若函數(shù)/(X)=X2+小久+2在區(qū)間［1,3］上有兩個不同的零點，求實數(shù)機的取值范圍.

p>o,

1々—竺々R

分析:本題結(jié)合二次函數(shù)圖像可得；(：)羨

(f⑶$0：

可解得-3<m<-2近，稍顯煩瑣.

如果轉(zhuǎn)為對勾函數(shù),求解當(dāng)不同.

o9

解:原問題即x+^=-Hi在[1,3]上有兩根，記g(X)=x+]

2___

即對勾函數(shù)g(X)=x+:與橫線y=在[1,3]上有兩個交點.

結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可知,2魚<-m<解得一弓<m<-2V2.

點評:兩法比較可看出，后一解法干脆利落，行云流水，一氣呵成.

考點精析

題型1對勾函數(shù)在基本不等式中的應(yīng)用

4

【例1】【多選】已知函數(shù)/(無)=》+—,下面有關(guān)結(jié)論正確的有()

A.定義域為(-8,0)U(0,+s)B.值域為(-8,-4]U[4,+8)

C.在(-2,0)U(0,2)上單調(diào)遞減D.圖象關(guān)于原點對稱

【答案】ABD

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合定義域的求法，基本不等式，以及函數(shù)單調(diào)性的定義和奇偶性的判定的方法，逐

項判定，即可求解.

4

【詳解】對于A中，函數(shù)〃x)=x+—有意義，貝I]滿足xwO,

x

所以函數(shù)〃X)定義域為(-8,0)U(0,+s),所以A正確；

對于B中，當(dāng)x>0時，可得x+=4,

當(dāng)且僅當(dāng)X=±時，即x=2時，等號成立，所以〃X)24；

X

41I4~

當(dāng)x<0時，可得x+—=-[(-x)+—]W-2j(-x)x-=-4，

xxV-x

當(dāng)且僅當(dāng)-》=-3時，即x=-2時，等號成立，所以-4,

所以函數(shù)〃X)的值域為(-8,-4]u[4,+8),所以B正確；

4

對于C中，函數(shù)〃%)=%+—在(-2,0),(0,2)上單調(diào)遞減，所以C不正確;

x

對于D中，函數(shù)/(x)定義域為(-8,0)U(0,+8),關(guān)于原點對稱,

且滿足/(-乃=-尤-3=-(無+3)=-/(；0,所以函數(shù)〃x)為奇函數(shù)，

函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，所以D正確.

故選：ABD.

2

【變式1】函數(shù)y=x+—(X22)的最小值為()

X

A.2B.2-72C.3D.72

【答案】C

【詳解】由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知y=x+：在[2,+“)上單調(diào)遞增，

2

所以3n=2+]=3,

故選：c

【變式2]設(shè)xe[-2,0),則x+工的取值范圍是.

【答案】(-8,-2]

【詳解】設(shè)函數(shù)〃x)=x+L,則當(dāng)xe[-2,7]時，/(x)=x+，單調(diào)遞增，此時/(x)e[-：,-2]；

xx2

當(dāng)xe(T,0)時，當(dāng)x)=x+.單調(diào)遞減,此時〃力?-叫-2),

故xe[-2,0),則x+工的取值范圍是(-*-2],

故答案為：(-叫-2]

題型2與對勾函數(shù)有關(guān)的單調(diào)性問題

【例2】已知函數(shù)尸”X),其中〃x)=x+￡.

(1)判斷函數(shù)夕=/(x)的奇偶性，并說明理由；

(2)若函數(shù)在區(qū)間[1,+動上是嚴(yán)格增函數(shù)，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)奇函數(shù)

(2)0＜1

【分析】(1)分。=0和?*()兩種情況，根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義討論求解；

(2)設(shè)1＞無61,然后由y=/(x)為［1,+向上的增函數(shù),則/■(石)-/(工2)＜0成立求解.

【詳解】(1)當(dāng)0=0時，函數(shù)/(x)=x的定義域為R,

對VxeR,/(-X)=-X=-/(%),

所以函數(shù)N=/(x)為奇函數(shù)；

當(dāng)"0時，/(x)=x+7的定義域為{x|xwO},

對Vxe{x|xwO},/(—x)=—x+

此時/(-x)=-〃尤),

此時，函數(shù)》=/(》)是奇函數(shù);

(2)設(shè)馬＞為21,

則/(W)一/(苞)=

因為％2＞玉之1,所以玉工2＞1'Xi-X2＜0f

若y=/(x)為［1,+向上的增函數(shù),則〃再)-〃馬)＜。成立，

貝”無小2—。＞0成立，所以。＜再々成立，解得

所以實數(shù)。的取值范圍是aWL

【變式1】對勾函數(shù)是形如了=如+*"＞0)的函數(shù)，其中x為自變量，是一種類似于反比例函數(shù)的一般

雙曲函數(shù)，因其圖象而得名.已知對勾函數(shù)＞=x+?后＞0),在區(qū)間(0,+s)上的單調(diào)性是：在區(qū)間(。,五)上

單調(diào)遞減，在區(qū)間(〃,+8)上單調(diào)遞增.

(1)若對勾函數(shù)/(x)=x+g,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明/(X)在區(qū)間[2,+8)上單調(diào)遞增；

(2)若對勾函數(shù)〃x)=x+：,寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不必證明)并作出函數(shù)〃x)的圖象.

4,

丁

1」」，▲A,?A,1?■-一，▲?，▲▲?

5.4-3-2-IO12345x

：.r

1,'A,'

J…

——f」—…

(3)已知對勾函數(shù)/1(x)=x+g,k>0,二次函數(shù)g(x)=-x2+2x+l,設(shè)g(x)的最大值為M,若Vx>0,

f(x)>M,求實數(shù)人的取值范圍

【答案】(1)證明見解析

⑵單調(diào)增區(qū)間是(-8,-2]和[2,+8)；單調(diào)減區(qū)間是[-2,0)和(0,2];圖象見解析

⑶口，+8)

【分析】(1)利用函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合作差法即可得證；

(2)結(jié)合已知與奇函數(shù)的對稱性寫出單調(diào)區(qū)間，作出圖象；

(3)求出g(x)的最大值為2,將條件轉(zhuǎn)化為Vx>0,〃x)22的恒成立問題，再利用已知函數(shù)的單調(diào)性,

求出函數(shù)的最小值，則由/(初面=2決22可得上的范圍.

4

【詳解】(1)/(%)=%+-,

任取X],%e[2,+oo),不妨設(shè)X]<X2，

因為/'(再)一〃％)=%+"-￡一",

再赴X1X2

XX

因為24再<%2，所以再_工2<0，/%2〉0，l2-4>0,所以&一")("%2__11<0,

所以/(占)-/(%)<0,即

所以/（X）在區(qū)間［2,?。┥蠁握{(diào)遞增.

（2）函數(shù)〃x）的單調(diào)增區(qū)間是（一巴-2］和［2,+初；單調(diào)減區(qū)間是［-2,0）和（0,2］；

函數(shù)的圖象如圖：

(3)由題意g(x)=-%2+2x+l=-(1-1)2+2

當(dāng)X=1時，g(X)max=g(D=2,則M=2,

由Vx>0,/(x)>Af,得Vx>0,X+&22恒成立,

X

由題意知，當(dāng)左＞0時，/■（x）=x+￡在區(qū)間（0,6）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（禰,+8）上單調(diào)遞增,

則/'(x)mm=〃揚=2仄

要使/（x）N2在（0,+8）恒成立,則〃尤焉＞2

則2a22,解得上21.

故實數(shù)上的取值范圍是［1,+8）.

【變式2】已知（雙勾函數(shù)）/（x）=x+—（a＞0）,（xe7?,x^0）.

y

6

4

2

-6-4-2Z：246

x

o--2

--4

--6

(1)

(2)證明了(x)的奇偶性；

4

(3)畫出g(x)=x+1(xeR,xwO)的簡圖，并直接寫出它單調(diào)區(qū)間.

【解析】(1)設(shè)0<玉<x?,

則/(再)-/(*2)=網(wǎng)+-—4廣(…

再

則占一/<0，

當(dāng)0<演<工2<五時，X1X2<a，則再工2-。<0，則0(再)-/(%2)>°，

即/(占)>/卜)，

此時函數(shù)/(x)為減函數(shù),

當(dāng)G<再<馬時，xxx2>a,則再看—a〉0，則/(再)一/(%2)<0,

即〃不)<〃”),

此時函數(shù)〃X)為增函數(shù).

a

(2)/(-X)=-XH-----XH-----=-/(x),

-XX

則函數(shù)”X)為奇函數(shù).

(3)由(1)知結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性作出函數(shù)的圖象如圖:

由圖象和性質(zhì)知g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+8),(-8,-2),

單調(diào)遞減區(qū)間為(-2,0),(0,2).

【變式3］已知勾函數(shù)y=x+2(a>0)在(-*-。)和(。,+8)內(nèi)均為增函數(shù)，在(一。,0)和(0,。)內(nèi)均為

減函數(shù).若勾函數(shù)/(x)=x+L(/>0)在整數(shù)集合Z內(nèi)為增函數(shù)，則實數(shù)，的取值范圍為.

【答案】(0,2)

【解析】根據(jù)題意在卜仁-甸，(〃+對內(nèi)為增函數(shù)；要使〃x)在整數(shù)集合Z內(nèi)為增函數(shù)，則

7>00<Z<4

,〃<2即\/解得0<f<2,???實數(shù)f的取值范圍為(0,2),故答案為(0,2).

1+Z<2+-

I2

題型3與對勾函數(shù)有關(guān)的最值問題

【例3】因函數(shù)/(x)=x+'(/>0)的圖象形狀象對勾，我們稱形如“/(x)=x+-(Z>0)”的函數(shù)為“對勾函數(shù)”

該函數(shù)具有性質(zhì)：在(0,4)上是減函數(shù)，在(4,+8)上是增函數(shù)，若對勾函數(shù)〃x)=x+L(f>0)對于任意的

keZ,都有則實數(shù)/的最大值為.

3

【答案】y/0.75

4

【分析】由/'(左-3?/(左+3,移項后代入〃x)=x+!f>0),構(gòu)造新的關(guān)系式，對無分類討論，轉(zhuǎn)化為

22x

恒成立問題即可解決.

1111k___I1__k---=-____1<0

【詳解】因為〃左一］)</(左+萬)，則〃左一］)-/(左+5"0，2kJ.2A.+l-r_l一，即

當(dāng)左2--<0,---<k<一,因為左eZ,則無=0,t>---.

4224

當(dāng)即左時，恒成立，所以區(qū)(-一；

424I4

13

綜上一/!

所以實數(shù)，的最大值為一3.

4

3

故答案為：—

4

【變式1】形如〃司=無+/(a>0)的函數(shù)被我們稱為“對勾函數(shù)”.“對勾函數(shù)”具有如下性質(zhì)：該函數(shù)在

(0,⑹上是減函數(shù)，在(亞+8)上是增函數(shù).已知函數(shù)/(x)=x+?0<aW2)在卜2,_1］上的最大值比最小值

大;，則。=.

【答案】1

【分析】由奇偶性和單調(diào)性的綜合性得到/(x)在［1,2］上的最大值比最小值大;，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，討論

后相對于區(qū)間的位置關(guān)系來求得最值差構(gòu)建關(guān)于。的方程，求解即可.

【詳解】j/(x)為奇函數(shù)，且/(x)在［-2,-1］上的最大值比最小值大;，

所以“X)在［1,2］上的最大值比最小值大；.

由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得“X)在(0,月上單調(diào)減，在(G,+可上單調(diào)遞增.

當(dāng)4aW1時，即0<aW1時，

/(%)在［1,2］上單調(diào)遞增.

則〃4,-一〃1)=2+/-=1一￡=

解得"=1.

當(dāng)1<&4近時，即1<。42時,

在[1,石)上單調(diào)遞減，在(6.2]上單調(diào)遞增.

/(X)min=/函)=2&,

因為/(2)-"1)=1-$0,所以〃2)2/(1),

所以/5)皿*一/"心=/(2)-/(五)=2+]-2G=g,

解得“=1(舍去)或9(舍去).

綜上a=1,

故答案為：1.

【變式2]已知函數(shù)/(x)=-4x-8——二，xe[O,l],g(x)=x2-4mx-2m(m>1),若對于任意再e[O,l],

總存在Xzepl],使得/(xJ=g(X2)成立，則實數(shù)加的取值范圍為()

A.|',2)B.C.[1,2]D.1,|-

【答案】D

【分析】先利用換元法將函數(shù)〃x),轉(zhuǎn)化為了=-4-16,利用雙勾函數(shù)的性質(zhì)求得了(x)的值域，根據(jù)

二次函數(shù)的性質(zhì)求得g(x)的值域，再根據(jù)對于任意再e[O,l],總存在才2?0,1],使得/(xj=g(￡)成立，

則由g(x)的值域包含fM的值域求解.

QQ

【詳解】/(x)=-4x-8--^-=-4(x-2)-一^--16,xe[O,l],

x—2x—2

xG[0,1],x-2￡[-2,-1],

設(shè)”x-2,貝打斗一2,-1],則函數(shù)/(x)等價為y=-4/-；-16,

由對勾函數(shù)的單調(diào)性可得，

t已—2,-"^時，y=-4/-；—16單調(diào)遞減，

時，了=一4/-；-16單調(diào)遞增，

當(dāng)仁-；時，函數(shù)取得最小值，幾m=-4x1十胃-16=6+6-16=-4,

2

97

當(dāng),二—2時，)=8-----16=—,當(dāng)/=_］時，y=4+9-16=-3,

-22

設(shè)函數(shù)“X)的值域為〃，則函數(shù)“X)的值域"=［-4,-3］；

由g(x)=--4mx-2m(m>l'),；.g(x)在［0,1］上是減函數(shù),

則最大值為g(O)=_2：〃，最小值g⑴=1一4加一2加=1一6%，

設(shè)g(x)的值域為N,則N=［l-6加,-2間，

若對于任意玉總存在工2目0』，使得〃xj=g(xj成立，

-2m>-3

3

則等價為MqN,即y-6加W—4,解得心加

m>1

一3-

所以實數(shù)冽的取值范圍是1,-.

故選：D.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)對于任意占e［0,1］,總存在％e［0』，使得/(芭)=8卜)成立，得出g(x)的值

域包含“X)的值域，是解決本題的關(guān)鍵.

【變式3】【多選】已知函數(shù)〃工)=》+?0>())在［2,4］上的最大值比最小值大1,則。的值可以是()

A.4B.12C.6-472D.6+4及

【答案】AD

【分析】根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性，對。進行分類討論，從而得到。的可能取值.

【詳解】依題意可得/'(x)=x+?a>0)在(0,⑹上單調(diào)遞減，在(G,+可上單調(diào)遞增，

當(dāng)&W2,即0<044時〃x)在［2,4］上單調(diào)遞增，所以/⑺1na="4)=4+(,

〃x)mM=〃2)=2+￡,

所以〃x)a-/(蟲“=4+:［2+)=2-51,解得0=4；

當(dāng)五斗，即。216時，“X)在［2,4］上單調(diào)遞減，所以/(4。=八4)=4+彳，

〃x)1n「〃2)=2+3

所以/(x)max一/(x)1mn=2+￡-14+2］=(-2=1,解得0=12,不符合題意,故舍去;

當(dāng)2〈&<4,即4<“<16時〃x)在［2,可上單調(diào)遞減，在［也可上單調(diào)遞增，

所以〃x)mm=/(&)=2五,/Wmax=max{/(2),/(4)},

若4+(>2+事且4<a<16,即4<。<8,〃無)2="4)=4+亍，

所以/(x)ma、-/(x)疝。=4+/-2&=1,解得。=4或。=36,兩個解均舍去；

若4+亍《2+三且4<Q<16,即84〃<16,/(x)111ax=/(2)=2+5，

所以/(x)max—/(Hmin=2+,-26=1,解得〃=6+4亞或4=6-4行(舍去)；

綜上可得a=6+472或〃=4.

故選：AD

題型4利用對勾函數(shù)解決恒成立有解問題

【例4】設(shè)函數(shù)〃x)=x+fxe［l,3若*eI，3

使得/一。2/(幻成立，則實數(shù)。的取值范圍是

【答案】(_叫-1］32,+8)

【詳解】因為函數(shù)/(x)=x+Lxe：,3

X|_2

而函數(shù)/(X)在pl為減函數(shù)，在［1,3］為增函數(shù)，所以"x*"=/⑴=1+1=2,

即函數(shù)的最小值為2,又*e1,3,使得"一。24X)成立，則/一

即〃一。之2,解得：a>2^a<-l,

即實數(shù)。的取值范圍是a22或aW-l,

故答案為：(-oo,-l]u[2,+co)

【變式1]因函數(shù)>=x+：(/>。)的圖象形狀像對勾，我們稱形如“y=x+；("。)”的函數(shù)為“對勾函數(shù)”,

該函數(shù)具有性質(zhì)：在(0,〃]上是減函數(shù)，在(〃,+可上是增函數(shù).

(1)若函數(shù)"x)=x+}XG[1,2],求/z(x)的最值；

(2)已知〃X)=2X+7J-5,xe[l,3],利用上述性質(zhì)，求函數(shù)了⑺的單調(diào)區(qū)間和值域；

(3)對于(2)中的函數(shù)和函數(shù)g(x)=Y=如c+4,若對任意再?[1,3],總存在[1,3],使得

g(X2)=/(%)成立，求實數(shù)〃，的取值范圍.

【解析】⑴由題意知，函數(shù)""一x+(在[1,2]單調(diào)遞減，

〃(x)min=〃(2)=2+2=4,〃(X)*=力(1)=5;

4

(2)/(x)=2x-l+------4,令21-1=加，

2x—1

4

*.*1<x<3,1<m<5,則/(x)=左(加)=冽+---4,

m

由對勾函數(shù)的性質(zhì)，可得左(加)在口,2]上單調(diào)遞減，在(2,5]上單調(diào)遞增，

“⑺在弓上是減函數(shù)，在仁,3上是增函數(shù)，

"1)=1，/曰""3)=1

-3-

綜上可得，“X)的單調(diào)遞減區(qū)間為,

單調(diào)遞增區(qū)間為,值域為[。，|];

「9~1

(3)由(2)知〃xje0,-時，若存在三馬1,3],

使得g(x2)=/(xj成立，只需g(x)=x2-加x+4在xe[l,3]上值域包含0,|,

則分成以下四種情況:

Y機C

im「

mym-1<—<31<—<3

—<1—>322

22

I,<>2

g⑴40；<g⑶40;g⑴g⑶

55

g(l”：

g用l<0|<o

[(2,[(2,

解集均為空集，所以加不存在.

【變式2】因函數(shù)y=x+!(/>0)的圖象形狀象對勾，我們稱形如“昨％+入》0)”的函數(shù)為“對勾函數(shù)”該函

XX

數(shù)具有性質(zhì)：在(0,d］上是減函數(shù)，在(4,+8)上是增函數(shù).

(1)已知〃x)=2x+7--5,xe［l,3］,利用上述性質(zhì)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域；

(2)對于(1)中的函數(shù)/(x)和函數(shù)g(x)=x2-wx+4,若對任意王€［1,3］,總存在％2引1,3］,使得

g(x2)</(xj成立，求實數(shù)機的取值范圍.

4

【解析】(1)/(x)=2x-l+----4

2.x—1

^2x-l=m,*.*1<x<3,1<m<5.

4

則f(%)=h［m)=m-\----4

m

由對勾函數(shù)的性質(zhì)，可得〃(加)在［1,2］上單調(diào)遞減，在(2,5］上單調(diào)遞增，

...〃》)在［1,。上是減函數(shù)，在3］上是增函數(shù).

"1)=1，佃=。，〃3)=|,

3Q9

綜上可得，/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為［1,單調(diào)遞增區(qū)間為(5,3］,值域為［0,1］.

「9-1