對數(shù)與對數(shù)函數(shù)（原卷版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考專用）

第06講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

目錄

第一部分：基礎(chǔ)知識.................................................2

第二部分：高考真題回顧.............................................4

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過...........................................4

高頻考點(diǎn)一：對數(shù)的運(yùn)算..........................................4

高頻考點(diǎn)二：換底公式............................................5

高頻考點(diǎn)三：對數(shù)函數(shù)的概念......................................5

高頻考點(diǎn)四：對數(shù)函數(shù)的定義域....................................6

高頻考點(diǎn)五：對數(shù)函數(shù)的值域......................................6

角度1：求對數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的值域..............................6

角度2：求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域.................................6

角度3：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的值域求參數(shù)值或范圍......................7

高頻考點(diǎn)六：對數(shù)函數(shù)的圖象......................................8

角度1：對數(shù)（型）函數(shù)與其它函數(shù)的圖象........................8

角度2：根據(jù)對數(shù)（型）函數(shù)的圖象判斷參數(shù)......................9

角度3：對數(shù)（型）函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題.........................10

高頻考點(diǎn)七：對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性....................................11

角度1：對數(shù)函數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性...........................11

角度2：由對數(shù)函數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)...................12

角度3：由對數(shù)函數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性解不等式.................12

角度4：對數(shù)（指數(shù)）綜合比較大小.............................13

高頻考點(diǎn)八：對數(shù)函數(shù)的最值......................................14

角度1：求對數(shù)（型）函數(shù)的最值................................14

角度2：根據(jù)對數(shù)（型）函數(shù)的最值求參數(shù).......................14

角度3：對數(shù)（型）函數(shù)的最值與不等式綜合應(yīng)用.................15

第四部分：典型易錯(cuò)題型.............................................17

備注：對數(shù)型復(fù)合函數(shù)容易忽略定義域.............................17

備注：分段函數(shù)單調(diào)性容易忽視分段點(diǎn)的大小比較...................17

第五部分：新定義題（解答題）.......................................18

第一部分：基礎(chǔ)知識

1、對數(shù)的概念

（1）對數(shù)：一般地，如果4=N（a>0,且awl），那么數(shù)x叫做以。為底N的對數(shù)，記作x=log.N,

其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).

（2）牢記兩個(gè)重要對數(shù)：常用對數(shù)，以10為底的對數(shù)IgN；自然對數(shù)，以無理數(shù)e=2.71828…為底數(shù)的

對數(shù)InN.

（3）對數(shù)式與指數(shù)式的互化：優(yōu)=Nox=log〃N.

2、對數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算性質(zhì)與換底公式

（1）對數(shù)的性質(zhì)

根據(jù)對數(shù)的概念，知對數(shù)log。N（a〉0,且aw1）具有以下性質(zhì)：

①負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)，即N>0；

②1的對數(shù)等于0,即log01=0；

③底數(shù)的對數(shù)等于1，即log0a=1；

④對數(shù)恒等式=N(N>0).

(2)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

如果。>0,且aHl,〃>0,N>0,那么：

①log。(M?N)=logaM+\ogaN；

M

②1嗚—=log/Tog“N；

③loga〃"=n[ogaM(neR).

(3)對數(shù)的換底公式

對數(shù)的換底公式：log。b=獸配(a>o,且aW1；C>0,且C#>0).

log9

換底公式將底數(shù)不同的對數(shù)轉(zhuǎn)化為底數(shù)相同的對數(shù)，進(jìn)而進(jìn)行化簡、計(jì)算或證明.換底公式應(yīng)用時(shí)究竟換成

什么為底，由已知條件來確定，一般換成以10為底的常用對數(shù)或以e為底的自然對數(shù).

換底公式的變形及推廣：

①logbn=—logb(a>0且aw1/>0)；

ama

②log/=--—(a>0且al;b>0且6豐1).

一log/,a

③匕且力心g/心8/^心且篦由中。，b,c均大于0且不等于1,d>0).

3、對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(1)對數(shù)函數(shù)的定義

形如y=log：(a>0,且awl)的函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)，其中％是自變量，函數(shù)的定義域是(0,+s).

(2)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>\0<〃<1

y-二,y

i1

圖象00

定義域：(0,+s)

值域：R

性質(zhì)

過點(diǎn)(1,0),即當(dāng)％=1時(shí)，y=0

在(0,+8)上是單調(diào)增函數(shù)在(0,+8)上是單調(diào)減函數(shù)

第二部分：高考真題回顧

1.（2022?全國?（新高考I卷））設(shè)。=0.卜°」,6=，c=-ln0.9,則（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

2.（多選）（2023?全國?（新高考I卷））噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強(qiáng)弱，

定義聲壓級4=20x1g巨，其中常數(shù)為（為>0）是聽覺下限閾值，〃是實(shí)際聲壓.下表為不同聲源的聲壓

級:

聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB

燃油汽車1060?90

混合動(dòng)力汽車1050?60

電動(dòng)汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車10m處測得實(shí)際聲壓分別為R，P2，P3,則（）.

A.P1*2B.p2>10p3

C.p3=100A）D.Pi<100p2

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過

高頻考點(diǎn)一：對數(shù)的運(yùn)算

典型例題

例題1.（2024上?福建龍巖?高一校聯(lián)考期末）已知1082。=1083。=1。865,則必=.

例題2.（2024上?江蘇鹽城?高一校考期末）計(jì)算下列各式的值：

1,、2/、_,

(“2「一(一9.6)。一周［1卜

(2)|log8+3陶4+210g673-|log81.lo

62S當(dāng)27??

練透核心考點(diǎn)

1.(2024上?安徽蚌埠?高一統(tǒng)考期末)計(jì)算(log32+log34)x(log1615-log165)=________

2.（2024上?廣西百色?高一統(tǒng)考期末）計(jì)算下列各式的值:

1

⑴0.001《+「（到

b2

（2）log5175-log57+e+210gl及

2

高頻考點(diǎn)二：換底公式

典型例題

例題1.（2024上?安徽安慶?高一統(tǒng)考期末）Iog231og34-l（yg3=（）

A.2B.1C.-1D.0

例題2.（2024上?山東黃澤?高一校聯(lián)考期末）已知log?々=log%%h"=bg",。Ao=2，則

iog0-3a…偽°）=.

練透核心考點(diǎn)

1.（2024上?陜西咸陽?高一統(tǒng)考期末）若2工=，坨2。0.3010,則x的值約為（）

A.1.322B.1.410C.1.507D.1.669

lg3

2.（2024上?廣東深圳?高一?？计谀┯?jì)算：1log^100-log54+log29xlog38-10=

高頻考點(diǎn)三：對數(shù)函數(shù)的概念

典型例題

例題1.（2024?江蘇?高一假期作業(yè)）下列函數(shù)，其中為對數(shù)函數(shù)的是（）

lo

A.y=log;（-x）B.y=21og4（l-x）c.y=lnxD.J=g（a2+fl）

練透核心考點(diǎn)

1.（2024?江蘇?高一假期作業(yè)）已知函數(shù)/0）=（2加一"）log”尤+根一1是對數(shù)函數(shù)，則a=

高頻考點(diǎn)四：對數(shù)函數(shù)的定義域

典型例題

例題1.（2024下?河南?高一信陽高中校聯(lián)考開學(xué)考試）函數(shù)/（"=10814^^7^的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.{x|x>l且xw2}B.{x|l<x<2}C.{x\x>2}D.{x|xwl}

例題2.（2024上?山東荷澤?高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)〃對=1?2/+丘+：的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)上的

取值范圍是.

練透核心考點(diǎn)

1.（2024上?江西景德鎮(zhèn)?高一統(tǒng)考期末）函數(shù)/（x）=ln（Tx+12）的定義域是.

2.（2024上?上海寶山?高一上海交大附中?？计谀┮阎瘮?shù)y=log“（區(qū)2一疵+1-4的定義域?yàn)閰^(qū)，則

實(shí)數(shù)％的取值范圍是.

高頻考點(diǎn)五：對數(shù)函數(shù)的值域

角度1：求對數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的值域

典型例題

例題L（2023上?高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)y=2+log5X（xNl）的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.（2,+oo）B.（-oo,2）

C.[2,+co）D.[3,+00）

例題2.（2023上?高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=2+log31的定義域?yàn)閇1,9],則函數(shù)/（%）的值域

是.

角度2：求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域

典型例題

1.（2024下?河南周口?高一周口恒大中學(xué)校考開學(xué)考試）函數(shù)y=log°-5（4x-x2）的值域?yàn)?

2.（2024上?上海青浦?高一統(tǒng)考期末）函數(shù)y=（2+k?g2X>log2L的值域?yàn)?

角度3：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的值域求參數(shù)值或范圍

典型例題

例題1.（2024上?貴州畢節(jié)?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)/（x）=log.x+w1）的定義域和值域都是（1,2）,

則ab=.

例題2.（2024上?江西上饒?高一婺源縣天佑中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)=log?（ar2-ar+4）,若/（x）

的值域是R,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

練透核心考點(diǎn)

1.（2024?上海?高一假期作業(yè)）函數(shù)/（力=研-犬+4。的值域是

2.（2024上?湖南株洲,高一校考期末）若函數(shù)〃x）=log2（3-辦）在[-1,3]上的最大值為2,則實(shí)數(shù)。=.

3.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知/（x）=l+log3X（”xW9）,設(shè)g（x）=/（尤）+/（尤?），則函數(shù)y=g（x）

的值域?yàn)?

4.（2024上?河北唐山?高一統(tǒng)考期末）己知定義在R上的函數(shù)〃x）為偶函數(shù).當(dāng)x?0時(shí)，/（x）=-log2（x+1）.

⑴求/X-3）；

（2）求函數(shù)的解析式；

⑶若xe[-3,1],求函數(shù)“X）的值域.

5.（2024?全國?高一假期作業(yè)）已知函數(shù)〃同=1。8小（4>0且"1）.

⑴當(dāng)0<a<l時(shí)，若〃2a+2）<〃5a）,求。的取值范圍；

（2）若y=/（x2+x+￡|的最大值為2,求在區(qū)間1,4上的值域

6.（2024?全國?高一專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=log2（〃a2-4X+2）

⑴若/（X）的定義域?yàn)镽，求，"的取值范圍.

（2）若“X）的值域?yàn)镽,求加的取值范圍.

高頻考點(diǎn)六：對數(shù)函數(shù)的圖象

角度1：對數(shù)（型）函數(shù)與其它函數(shù)的圖象

典型例題

例題1.（2024上?黑龍江齊齊哈爾?高一統(tǒng)考期末）已知lga+lg/=0,貝(=(a>0,且awl)與

g（x）=log/3>0,且*1）的圖象可能為（）

例題2.（2023上?內(nèi)蒙古赤峰?高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)丫=/（。€1<）的圖象如圖所示，則函數(shù)y=a'與

，=log°x在同一坐標(biāo)系中的圖像是（）

角度2：根據(jù)對數(shù)（型）函數(shù)的圖象判斷參數(shù)

典型例題

例題1.（2022下?湖南?高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)/（x）=log/x-3（〃〉0且"1,人為常數(shù)）的圖

象如圖，則下列結(jié)論正確的是（）

B.〃>0,-1<Z?<O

C.0<<1jZ?<-1D.0<?<1,-1<Z?<O

例題2.（2021?江蘇?高一專題練習(xí)）如圖是三個(gè)對數(shù)函數(shù)的圖象，則。、b、。的大小關(guān)系是（）

B.c>b>a

C.c>a>bD.a>c>b

角度3：對數(shù)（型）函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題

典型例題

例題L（2024上?湖北武漢?高一校聯(lián)考期末）若角a的終邊經(jīng)過函數(shù)y=log“（2x-1）+2（a>0且awl）

的圖象上的定點(diǎn)尸，則2sina+costz=（）

A.—B.V10C.y/5D.

510

例題2.（2024上?山東濱州?高一?？计谀┖瘮?shù)y=log”（x-l）+l（a>0且awl）的圖象恒過定點(diǎn)A,且A點(diǎn)

在直線"氏+芍=1上，（771>0,?>0）,則32m3+1+42的最小值為（）

mn

A.6+20B.10C.8+272D.8

練透核心考點(diǎn)

1.（2022上?江西上饒?高一統(tǒng)考期末）函數(shù)〃x）=log2（NT）的圖像為（）

-

X

2.（2023上?山東濰坊?高三?？计谥校┮阎笖?shù)函數(shù)y=爐，對數(shù)函數(shù)y=iog/的圖象如圖所示，則下列

A.0<a<b<\B.Q<a<l<b

C.0<b<l<aD.a<O<l<b

3.（2024?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)y=log/+a"T+2（a〉0且的圖象恒過定點(diǎn)（左力），若m+n=b—k

91

且機(jī)>0,〃>0,則一+一的最小值為（）

mn

95

A.9B.8C.-D.-

22

4.（多選）（2022上?遼寧?高一鳳城市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知〃>0,b>0,且而=1,awl,bwl,

則函數(shù)/（%）=/與函數(shù)g（%）=log?%在同一坐標(biāo)系中的圖像可能是（）

5.（多選）（2024上?湖南張家界?高一慈利縣第一中學(xué)期末）已知函數(shù)/（%）=log/x-2）+1（，>。且awl）的

圖象過定點(diǎn)（s/）,正數(shù)機(jī)，〃滿足根+〃=§+，，則（）

c77,911.

A.m+n=3B.m2+n2>8C.mn<—D.—F—>1

4mn

6.（多選）（2021下?河北邢臺?高一統(tǒng)考開學(xué)考試）若lna=lgb,則下列選項(xiàng)可能成立的是（）

A.a=bB.l<a<bC.a<b<lD.b<a<l

高頻考點(diǎn)七：對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

角度1:對數(shù)函數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性

典型例題

例題1.（2024上?河北石家莊?高一石家莊外國語學(xué)校?？计谀┖瘮?shù)〃x）=log2（x2-4）的單調(diào)遞增區(qū)間為

（）

A.（0,+a?）B.（一8,0）

C.(2,+co)D.

例題2.（2024上?廣東廣州?高一華南師大附中校考期末）函數(shù)y=ln（尤?+5X-6）的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

5■1+00

A.y,-6)B.—00,-------C.D.(1,+<?)

2

角度2：由對數(shù)函數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

典型例題

例題1.（2024上?河南商丘?高一睢縣回族高級中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù)=1暇（爐-2履+5）在區(qū)間[1,2]

上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)%的取值范圍是（）

9-2,2

A.—00—B.C.D.[2,+00)

44

—JQ.—丫<]

例題2.（2024上?陜西寶雞?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)/（%）=<'4"一是R上的單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)。

loga.r-l,%>l

的取值范圍是（

J_111

A.B.C.D.1

4；24,2°4I

角度3：由對數(shù)函數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性解不等式

典型例題

例題1.（2023上?北京海淀?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)〃x）=log2（x+l）+x-2,則不等式〃x）<0的解集

為（）

A.(-8,1)B.(-1,1)C.(0,1)D.(1,+<?)

例題2.（2023上?安徽?高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)7'（元）=log2（4i+l）-X,則不等式〃3x）<〃尤+3）

的解集為（）

33

A.—00,—B.—,+00

22

j_333

C.D.

4524,2

角度4：對數(shù)（指數(shù)）綜合比較大小

典型例題

0908

例題1.（2024下?海南省直轄縣級單位?高三嘉積中學(xué)?？奸_學(xué)考試）^a=1.3,&=1.2,C=log180.9,則

（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.a>c>bD.b>a>c

例題2.（2024?山西臨汾?統(tǒng)考一模）若a=1嗚：，^=log23,c=31,則（）

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.c>b>a

練透核心考點(diǎn)

1.（2024上?河北石家莊?高一石家莊一中?？计谀┮阎猘=log36,b=log2V^，c=L22,則a,瓦。的大小關(guān)

系是（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

2.（2024上廣東深圳?高一深圳市高級中學(xué)校考期末）設(shè)。=logo.20.3,/?=log23,c=log34,則a,b,。

的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.b>c>a

3.（2024上?重慶渝中?高一重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┖瘮?shù)〃》）=1。82（-/+2%）的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.（F,1）B.（0,1）C.（1,2）D.（1收）

4.（2024?全國?高一專題練習(xí)）若函數(shù)〃元）=bg/V+依-2〃）在上包）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

2

是（）.

A.（-oo,-2]B.[-2,+co）

C.[—2,1）D.[—2,—1]

5.（2024上?河北滄州?高一統(tǒng)考期末）函數(shù)y=l°gi（-f+以+5）的單調(diào)遞增區(qū)間是.

2

6.（2024上廣西?高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)〃。=1。82（62+2%-50）在（2,+8）上是增函數(shù)，貝Ua的取值

范圍是.

7.（2023上?廣東惠州?高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，（x）=log2（l-x）-log2（l+x）

（1）求函數(shù)的定義域并用定義法判斷函數(shù)的奇偶性；

⑵求不等式/。）>1的解集

高頻考點(diǎn)八：對數(shù)函數(shù)的最值

角度1:求對數(shù)（型）函數(shù)的最值

典型例題

例題L（2024?全國?高一專題練習(xí)）已知函數(shù)〃x）="+b（a>0且awl,6為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)尸（1,5）,

2（2,11）.

⑴求6的值;

⑵設(shè)函數(shù)g（無）=log0（2x+1）+log/,求g（元）在［1,4］上的值域.

例題2.（2024下?上海?高一開學(xué)考試）已知函數(shù)/（x）=9,-28x3"+243,g（x）=log2y-log2^.

（1）設(shè)集合A={xeR"⑺40},求集合A；

（2）當(dāng)xeA時(shí)，求g（x）的最大值和最小值.

角度2：根據(jù)對數(shù)（型）函數(shù)的最值求參數(shù)

典型例題

例題1.（2024上?江西撫州?高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)/（力=1。8鵬（。>0且"1）在區(qū)間［4,4/］上的最大值比

最小值多2,則。=（）

—1fl

A-4或赤B.4或i

C.2或,D.2或g

例題2.（2024?全國?高三專題練習(xí)）若函數(shù)/（x）=log“（x2-ax+l）有最小值，則。的取值范圍是

角度3：對數(shù)（型）函數(shù)的最值與不等式綜合應(yīng)用

典型例題

例題L（2024上?黑龍江佳木斯?高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)/（x）=log21^.

⑴判斷并證明函數(shù)的奇偶性；

（2）當(dāng)xe（3,”）時(shí)，/（%）+1082（%+1）＞加恒成立.求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

例題2.（2024上?浙江嘉興?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)/（x）=log2（x+l）-log2（l-x）.

（1）求函數(shù)/（X）的定義域，并根據(jù)定義證明函數(shù)/（X）是增函數(shù)；

（2）若對任意xe0,1,關(guān)于x的不等式/（1-恒成立，求實(shí)數(shù)f的取值范圍.

練透核心考點(diǎn)

1.（2024上廣東清遠(yuǎn)?高一統(tǒng)考期末）已知塞函數(shù)〃尤）=（/一。-1）尤"T（aeR）在包+⑹上是增函數(shù).

⑴求〃尤）的解析式；

⑵設(shè)函數(shù)g（x）=logfl（x+2）-loga（x-1）,求g（無）在［2,4］上的最小值.

2.(2024?全國?高一專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=log“(l-x)-log?(b+x)+7”(a>0且awl)為奇函數(shù).

(1)求函數(shù)〃x)的定義域及解析式；

(2)若xe,函數(shù)f(x)的最大值比最小值大2,求。的值.

尤-2九2

3.(2024下?河南,高一信陽高中校聯(lián)考開學(xué)考試)⑴已知一+尤=3,求3\的值;

x-3+x3

(2)已知函數(shù)〃x)=|ln(x-2時(shí)在區(qū)間［-1,2］上的最大值為2,求實(shí)數(shù)機(jī)的值.

4.(2024上?江西景德鎮(zhèn)?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(x)=log”(x+2)+log.(l-x),(a>0,且”1).

⑴當(dāng)4=2時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；