等式與不等式（解析版）-2025年天津高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第02講等式與不等式

（6類核心考點(diǎn)精講精練）

1%.考情探究?

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析

2019年天津卷，第10題,5分解不含參數(shù)的一元一次不等式

2017年天津卷，第2題,5分必要條件的判定及性質(zhì)解不含參數(shù)的一元一次不等式

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度為低難度與中檔難度，分值為5分

【備考策略】1.理解、掌握不等式的性質(zhì)，能夠運(yùn)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行比較大小

2.能掌握一元二次不等式的性質(zhì)

3.掌握一元二次不等式根與系數(shù)的關(guān)系

4.會(huì)解一元二次不等式、能夠解決一元二不等式的恒成立與存在成立等問(wèn)題

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般考查不等式的性質(zhì)，一元二次不等式的性質(zhì)等。

卜飛?考點(diǎn)梳理?

1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法考點(diǎn)一、等式與不等式的性質(zhì)

「知識(shí)點(diǎn)一.等式與不等式的性質(zhì)Y2.等式的性質(zhì)《考點(diǎn)二、比較大小

3.不等式的性質(zhì)考點(diǎn)三、最值與取值范圍問(wèn)題

等式與不等式r

1一.元二次不等式的概念「

2.二次函數(shù)與一元二次方程的根、一元二次不考點(diǎn)四、一元二次不等式

1知識(shí)點(diǎn)二.一元二次不等式《等式的解集的對(duì)應(yīng)關(guān)系Y考點(diǎn)五、一元二次方程跟的分布

3.一元二次不等式的解法考點(diǎn)六、一元二次不等式恒成立

4.三個(gè)“二次”間的關(guān)系1

知識(shí)講解

知識(shí)點(diǎn)一.等式與不等式的性質(zhì)：

1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法

(1)作差法

a-b>0Qd>b,

a-b=0=a-b,

a-b〈0=a<b.

(2)作商法

E>l(a￡R,b>0)oa>b(a￡R,b>0),

￡=l(a,bH0)=a=b(a,bW0),

三<l(ae/?,b>0)<=>a<b{aER,b>0),

2.等式的性質(zhì)

⑴對(duì)稱性:若a=b,則心a.

(2)傳遞性:若a=b,b=c,則a=c.

⑶可加性：若。二力，貝！Ja+c=b+c.

(4)可乘性:若a=b,則ac=be;若a=b,c=d,則ac二bd

3.不等式的性質(zhì)

⑴對(duì)稱性：cOb=b<a;

(2)傳遞性：a>b,b>c=a>c;

⑶可加性a>b=>a+c>b+c;a>b,c〉d=a+c>b+d

(4)可乘性：a〉b,c>0?ac>bc;a>b,c<0<=>ac<cb;a>b>0,c〉d>0"acybd;

(5)可乘方：a>b>0<=>an>bn(nGN,n>l);

(6)可開方a>b>0oyja>VF(nGN,n>2).

知識(shí)點(diǎn)二.一元二次不等式

1.一元二次不等式的概念

只含有一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是工的不等式，叫做一元二次不

定義

等式

ax+bx+c>0,axbx+c<.Q,af+6x+c20,其中〃W0,

一般形式

a,b,c均為常數(shù)

2.二次函數(shù)與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的對(duì)應(yīng)關(guān)系

判別式A=l）—^acA>0zl=0A<Q

心

二次函數(shù)y=ax+bx

+c（a〉0）的圖象1LV

有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)

一元二次方程ax+有兩個(gè)不相等的實(shí)

沒(méi)有實(shí)數(shù)根

根不=*=—5

bx+c=0（a>0）的根數(shù)根Xi,X2（X1<X2）

ax+bx~\-c>0(乃>0)b

>

{xX〈矛1,或X>E}x豐FR

的解集

ax+bx~\-c<0(a>0)

{xXl〈水用}00

的解集

3.一元二次不等式的解法

1.將不等式的右邊化為零，左邊化為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的不等式ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a

>0).

2.求出相應(yīng)的一元二次方程的根.

3.利用二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)確定一元二次不等式的解集.

方程的根一函數(shù)草圖一觀察得解，對(duì)于a<0的情況可以化為a>0的情況解決

注：對(duì)于二次型一元二次不等式應(yīng)首先考慮二次項(xiàng)系數(shù)的情況，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)，按照一次不等式來(lái)

解決，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)的情況一般將二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)之后再解。

注：對(duì)于含參一元二次不等式內(nèi)容首先考慮能不能因式分解，然后就二次方程根進(jìn)行分類討論，同時(shí)注意

判別式韋達(dá)定理的應(yīng)用。

4.三個(gè)“二次”間的關(guān)系

判別式A=b2—4acA>0A=0A<0

二次函數(shù)y=ax2+bx

+c(a>0)的圖象4^

有兩相等實(shí)根X1=X2

一元二次方程ax2+bx有兩相異實(shí)根Xi,

___L沒(méi)有實(shí)數(shù)根

+c=0(a>0)的根X2(X1<X)

22a

2

ax+bx+c>0(a>0){xX>X2

R

的解集或xVxJ

ax2+bx+c<0(a>0)

{xXiVxVxz}00

的解集

考點(diǎn)一、等式與不等式的性質(zhì)

典例引領(lǐng)

1.(2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè))若a>b,則下列說(shuō)法正確的是()

A.a2>b2B.lg(a—h)>0C.a5>b5D.|a3|>|b3|

【答案】C

【分析】利用特殊值判斷A、B、D,根據(jù)幕函數(shù)的性質(zhì)判斷C.

【詳解】對(duì)于A：當(dāng)a=0、b=—1,滿足a>b,但是a2Vb2,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：當(dāng)a=0、b=—1,滿足a>b,但是lg（a—b）=Igl=0,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：因?yàn)閥=%，在定義域R上單調(diào)遞增，若。>b,則a，>〃，故C正確

對(duì)于D：當(dāng)a=1、b=—1,滿足a>b,但是=g3|,故D錯(cuò)誤.

故選:C

2.（2024,山東濱州?二模）下列命題中，真命題的是（）

A.若a>b,則ac>beB.若a>b,則標(biāo)>b2

C.若。。2之力。2,則Q之力D.若Q+2b=2,則2a+4°24

【答案】D

【分析】由不等式的性質(zhì)可判斷A,B,C,利用基本不等式。+5之2而，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立，即可

判斷D.

【詳解】對(duì)于A,由a>b,c=0可得ac=be,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由a>0,h<0,\a\<\b\,可得a2Vb2,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若ac2Nbc2,且當(dāng)。=0時(shí)，可得Q,b為任意值，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因?yàn)?a+d=2。+22b2272a?例=2,2a+2匕=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=1時(shí)，等號(hào)成立，

即2a+4&>4,故D正確.

故選：D.

即時(shí)啰!）

1.（22-23高三上?甘肅定西?階段練習(xí)）已知a〉b>0,c<0,則下列正確的是（）

A.ac>beB.ac>bcC.芻>三D.ab—be>0

c2c2

【答案】D

【分析】對(duì)于ACD,利用作差法判斷，對(duì)于B,利用幕函數(shù)的性質(zhì)比較.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)閍>b>0,cV0,所以ac-be=（a-b）cV0,所以ac<bc,所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)閥=V0）在（0,+8）上遞減，且a>b>0,所以a。V所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)閍〉b>0,c<0,所以名一號(hào)=哼<0,所以與（芻所以C錯(cuò)誤；

C乙czc乙czcz

對(duì)于D,因?yàn)閍>b>0,c〈0,所以ab-bc=b（a-c）>0,所以D正確.

故選：D

2.（2024?安徽淮北?二模）已知見(jiàn)beR,下列命題正確的是（）

A.若ab=1,則a+b>2

B.若工<士則a>b

ab

C.若a>b,則ln（a—h）>0

D.若a>b>0,則H—>bH—

Qba

【答案】D

【分析】舉反例即可推出A,B,C錯(cuò)誤，D利用反比例函數(shù)單調(diào)性和不等式可加性即可證得.

【詳解】當(dāng)。二-1"二一1時(shí)，a+b=—2,所以A錯(cuò).

當(dāng)aVO,b>0時(shí)，a<b,所以B錯(cuò).

當(dāng)Q=2,b=l時(shí)，ln（a—6）=0,所以C錯(cuò).

若a>6>0,貝壯〉工>0,則a+工>6+工成立，所以D正確.

baba

故選：D

3.（2024?天津?一模）已知a”eR,則“b>|a|"是“a?<爐”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義分析判斷即可.

【詳解】因?yàn)閍,beR,當(dāng)b>|a|時(shí)，有6>|a|20,則a?<成立，即充分性成立：

當(dāng)｛/二二時(shí)，。2<（一1）2,即。2<爐成立，而—即6>|a|不成立，進(jìn)而必要性不成立.

所以a,6eR,"b>|a|"是ua2<b2n的充分不必要條件.

故選：A.

4.（2023?山西臨汾?模擬預(yù)測(cè)）若a,beR,則“a<6”是“。3—a2b<?！钡模ǎ?/p>

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【分析】

利用不等式的性質(zhì)，結(jié)合充分必要條件的定義即可得解.

【詳解】當(dāng)a<b時(shí)，取a=0,則a3—a2b=0,即充分性不成立；

當(dāng)—口26<0時(shí)，有a2（a—6）<0,則aKO,故a2>0,

所以a-b<0,即a<b,即必要性成立；

綜上，"a<"'是"a3-a2b<0"的必要不充分條件.

故選：B.

考點(diǎn)二、比較大小

典朋風(fēng)

1.（22-23高三上?天津河?xùn)|?期中）若a=巴2b=In21n3,c=見(jiàn)012,則a,b,c的大小關(guān)系是（）

44

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>b］）.b>a>c

【答案】C

【分析】根據(jù)a>b=a-b>0,因此要比較a,b的大小，作差，通分，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可求得a,

b的大?。焕脤?duì)數(shù)函數(shù)y=lnx的單調(diào)性，可知In2n>ln6>0,然后利用不等式的可乘性，即可得出a,c

的大小.

【詳解】解：a—6=蛇—In21n3=3g乂蟲=些應(yīng)>0,：.a>b,

444

而ln(2n)>ln6>0,即c>a,

44

因此c>a>b.

故選：C.

2.(2024?四川成都-模擬預(yù)測(cè))已知a,5為實(shí)數(shù)，則使得“a>b>0”成立的一個(gè)必要不充分條件為

()

A.i>|B.ln(a+l)>ln(h+1)

C.a3>b3>0D.Va—1>Vb—1

【答案】B

【分析】利用不等式的性質(zhì)、結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)、塞函數(shù)單調(diào)性，充分條件、必要條件的定義判斷即得.

【詳解】對(duì)于A,工>《，不能推出a>b>0,如工〉反之a(chǎn)>b>0,則有工<

ab-3-2ab

即工是a>b>0的既不充分也不必要條件，A錯(cuò)誤；

ab

對(duì)于B,由ln(a+1)>ln(/?+1),得a+l>h+l>0,即a>b>—1,

不能推出a>b>0,反之a(chǎn)>h>0,則。>b>—1,

因此ln(a+1)>ln(6+1)是a>b>0的必要不充分條件，B正確；

對(duì)于C,a3>b3>0a>b>0,a3>b3>。是a>b>0的充分必要條件，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由—1>得a>b之1>0,反之a(chǎn)>b>0不能推出a>b>1,

因此>VF］彳是a>b>0的充分不必要條件，D錯(cuò)誤.

故選：B.

??即時(shí)啊

1.(22-23高三上?天津河西?期末)若a,b,ceR,a>b,則下列不等式成立的是()

A.—<—B.a?<b?C.——>——D.a|c|>b\c\

abc2+lc2+l1111

【答案】c

【分析】舉反例排除ABD,利用不等式的性質(zhì)判斷C即可得解.

【詳解】對(duì)于A,取a=l,b=—1,滿足a>b,但%>；，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,取a=l,b=-l,滿足a>b,但小=墳，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于D,取c=0,則a|c|=b|c|,故D錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)?+1>1>0,則？—>0,

又a>b,所以白>；,故C正確.

c2+lc2+l

故選：C.

2.(2023-天津-一模)設(shè)a>0,b>0,則“a>b"是△<北的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】利用作差法結(jié)合得出工<；的等價(jià)條件，即可得出結(jié)論.

ab

【詳解】因?yàn)镼>0,b>0,由工<工可得工一工=火二>0,則a—6>0,即a>b,

abbaab

因此，若a>0,b>0,貝「'a>b"是‘口<J”的充要條件.

故選：C.

3.(23-24高三上?天津和平?開學(xué)考試)已知a是實(shí)數(shù)，則“a>1”是“a+工>2”的().

a

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】判斷“a>1”和“a+工>2”之間的邏輯推理關(guān)系，即得答案.

a

【詳解】當(dāng)a>l時(shí)，a+工一2=%理="比>0,

aaa

故a+二>2,即a>1成立，則a+2>2成立；

aa

當(dāng)。=工時(shí)，。+工=工+2>2,但推不出a>1成立，

2a2

故"a>r是"a+工>2”的充分不必要條件，

a

故選：A

4.(2024?北京西城?一模)設(shè)。=t—=t+}c=t(2+t),其中—1<t<0,貝！I()

A.b<a<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

【答案】c

【分析】借助正負(fù)性、對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可得.

【詳解】由一l<t<0,故：6(-8,-1),故a=t>0,

由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得b=t+|<-(1+1)=-2,

c—t(2+t)<0,且c—t,(2+t)=產(chǎn)+2t=(t+1)2—1>—1,

綜上所述，有b<c<a.

故選：C.

考點(diǎn)三、最值與取值范圍問(wèn)題

典例引領(lǐng)

1.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知12<a<60,15<b<36,則a-b的取值范圍是,藍(lán)的取

值范圍是.

【答案】（-24,45）Q,4）

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解.

【詳解】因?yàn)?5<b<36,所以一36<-b<-15.

又12<a<60,

所以12-36<a-/?<60-15,

所以一24<a-b<45,

即a-b的取值范圍是（一24,45）.

、匕匚[、]]

因?yàn)閕一1V-1V1一所以一2<-CLV—60,

36b1536b15

即二<巴<4,

3b

所以?的取值范圍是C，4）

答案：（—24,45）,?,4）

2.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)x,y滿足—l<x<y<l,貝b+y的取值范圍是.

【答案】（—2,2）

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解.

【詳解】由一1cx<y<1可得一1<x<1,-1<y<1,所以-2<x+y<2,

故答案為:（-2,2）

即時(shí)檢測(cè)

1.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)x,y滿足lWxy2W4,3（x2y<5,則xy5的取值范圍是.

【答案】。y]

【詳解】

111-L164

因?yàn)椋▁y2）3￡[l,64],—F可，所以xy5=（xy2）3?丹￡[V,?].

x2y5

2.（2024?河北石家莊?二模）若實(shí)數(shù)x,y,z20,且x+y+z=4,2%-y+z=5,則”=4%+3丫+52的

取值范圍是.

【答案】[15,19]

【分析】先得到x=3-拳y=l—耳并根據(jù)”,z20得到0WzW3,從而求出M=半+15e[15,19].

【詳解】因?yàn)榫?y=4-z,2x-y=5-z,故x=3-拳y=l-$

P-T-0,

由尤,y,z>。得J-[_￡>（）,解得0<z<3,

Iz>0

故M=4x+3y+5z=4（3—日）+3（1—§+5z=￡+15e[15,19].

故答案為：[15,19]

3.（23-24高三下?重慶渝北?階段練習(xí)）已知三個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c,其中c>0,bW2a+3c且6c=a?,則*

b

的最大值為.

【答案】I

【分析】依題意可得《W2a+3c,進(jìn)而得a2—2ac-3c2wo,即可求出￡的范圍，于是字=竺孝=￡一

cabaza

2（￡f,令（=t,f?=t-2t2,利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可求解最值.

【詳解】當(dāng)c>0時(shí)滿足b42a+3c且尻=層，

/.—<2a+3c,即小-2ac-3c2工0,進(jìn)而仁丫一2x2一340,解得一14且<3.

C\C/CC

所以:N[或?4-1,

令：=t,tGt，+8）U（—00—1],

2

令/（t）=-2土2+1=-2（t+'te[^+°°）u（-°°-1]>

所以f（t）在（-8,-1]上單調(diào)遞增，在L+8）上單調(diào)遞減，

又/（卻，f（T）=_3,所以

即三名的最大值為"

b9

故答案為：a

4.（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）已知正數(shù)a,b,c滿足a?+c?=16,b2+c2=25,則k-a2+b?的取值范圍

為_____

【答案】9<fc<41

【分析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解.

【詳解】

22

;正數(shù)a、b、c滿足a2+c2=16,b+c=25,

c2=16—a2,a2>0所以0<c?<16

同理：有c2=25-爐得到o<C2<25,所以0<c2<16

兩式相加：a2+b2+2c2=41

即a?+Z）2=41—2c2

又-16<-c?<0,即一32<—2c之<0

???9<41-2c2<41

即9<k<41.

故答案為：9<fc<41

5.（2024?廣東?三模）設(shè)實(shí)數(shù)x、y、z、t滿足不等式1<x<y<z<t<100,則三+乙的最小值為.

yt-------

【答案】|/0.2

【分析】令x=1，t=100,根據(jù)分母最大分子最小時(shí)分式的值最小可得工2工+烹，結(jié)合基本不等式

yty100

和221計(jì)算即可.

y

【詳解】因?yàn)?<x<y<z<t<100,所以三>1,

y

所以三+三之工+三22昆=工，

yty100JlOOy71005

當(dāng)且僅當(dāng)工=之即yz=100時(shí)等號(hào)成立，

y100,

即三+2的最小值為！

yt5

故答案為：

考點(diǎn)四、一元二次不等式

典例引領(lǐng)

1.（2024?上海?高考真題）己知xGR,則不等式/-2x-3<0的解集為.

【答案】{x|-l<x<3}

【分析】求出方程/—2%一3=0的解后可求不等式的解集.

【詳解】方程/-2x-3=0的解為x=-1或x=3,

故不等式/—2%-3<。的解集為{x|-1<久<3},

故答案為：{x|-l<x<3}.

2.（23-24高三上?河北石家莊?階段練習(xí)）不等式黑<0的解集是（）

A.^x|—|<x<jjB.{比|―|<無(wú)<|}

C.{x[x<-|或x〉|}D.{x|x<—|或%>1}

【答案】B

【分析】化分式不等式為一元二次不等式求解即得.

【詳解】不等式言<0化為：（2x+3）（3x-2）<0,解得一|<%<|,

所以不等式含<。的解集是|“

故選：B

即時(shí)

1.(23-24高三下?陜西安康?階段練習(xí))在區(qū)間[0,5]內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)a,則關(guān)于x的不等式/+

(2-a)%-2a<0僅有2個(gè)整數(shù)解的概率為()

A.-2B.2—C.1與.1—

510510

【答案】C

【分析】利用一元二次不等式解得X6(-2,a),可得區(qū)間(-2,a)內(nèi)僅包含-1,0兩個(gè)整數(shù)，再利用幾何概型

概率公式可得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意可得不等式/+(2-a)x-2a<0等價(jià)于(x+2)(x-a)<0；

因?yàn)閍e[0,5],所以不等式的解集為(—2,a)；

依題意可得區(qū)間(-2,a)內(nèi)僅有兩個(gè)整數(shù)，即包含-1,0兩個(gè)整數(shù)，可得0<aWl；

由幾何概型概率公式可得其概率為P=二=±

5—U5

故選：C

2.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知a,匕€R且abH0,若(％—a)(%-b)(%-2a—b)20在％20上恒

成立，則()

A.a<0B.a>0C.b<0D.b>0

【答案】C

【分析】對(duì)?！钡姆?hào)分正負(fù)兩種情況討論，結(jié)合穿根法及三次函數(shù)的性質(zhì)分析即可得到答案.

【詳解】由abH0得aW0,bW0,/(%)=(x—a)(%—b)(x—2a-6)=0=>=a,x2=b,x3=2a+b

①若a>0,b>0,貝!J2a+b>0,且2a+b>a,2a+b>b,

根據(jù)穿根法可知》G(a,2a+b)或％e(h2a+b)時(shí)不符合題意，舍去；

②若a>0,5VO,要滿足題意則a=2a+b>bna+b=0,符合題意，如圖所示；

③當(dāng)a<0,b>0時(shí)，同理要滿足題意需2a+b=b>a=a=0,與前提矛盾；

④當(dāng)a<0,b<0,此時(shí)2a+b<0,則/(%)=(%-a)(%-b)(%-2a-b)的三個(gè)零點(diǎn)都是負(fù)數(shù)，由穿根法

可知符合題意；

綜上可知滿足(％-a)(%-h)(x-2a-b')>。在％>0恒成立時(shí)，只有b<0滿足題意.

故選：C.

3.(23-24高三下?上海?階段練習(xí))設(shè)。>0,若關(guān)于x的不等式/一。工<0的解集是區(qū)間(0,1)的真子集，

則a的取值范圍是.

【答案】(0,1)

【分析】

解一元二次不等式結(jié)合真子集的概念即可得解.

【詳解】

因?yàn)閍>0,所以/-ax<0^0<x<a,

又不等式/-ax<0的解集是區(qū)間(0,1)的真子集，則ae(0,1).

故答案為：(0,1).

4.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))定義：若集合4B滿足4CBK0,存在a€4且aCB,且存在%eB且6W4

則稱集合4B為嵌套集合.已知集合4={x|2x—%2<0且xeR+},B={x\x2—(3a+l)x+2a2+2a<0},

若集合4B為嵌套集合，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(2,3)B.(-oo,1)C.(1,3)D.(1,2)

【答案】A

【分析】作出函數(shù)丫=//=2工的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象即可求出集合4,分類討論求出集合B,再根據(jù)嵌套

集合的定義即可得解.

【詳解】因?yàn)?CB芋0,所有力彳0,870,

由得2工</,

如圖，作出函數(shù)y==2》的圖象，

由圖可知,不等式2*-產(chǎn)竟0(刀>0)的解集為[2,4],

所以4={%|2X一/<o且％eR+}=[2,4],

由/—(3a+l)x+2a2+2a<0,得(x—2a)[x—(a+1)]<0,

當(dāng)2a=a+L即a=l時(shí)，則B=0,不符題意；

當(dāng)2a>a+1,即a>1時(shí)，則B=(a+1,2a),

由a>1,得a+1>2,

a>1

根據(jù)嵌套集合得定義可得a+l<4,解得2<a<3；

<2a>4

當(dāng)2aVa+l,即aV1時(shí)，則B=（2a,a+1）,

由a<1,得2a<2,

a<1

根據(jù)嵌套集合得定義可得a+K4,無(wú)解，

a+1>2

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（2,3）.

故選：A.

考點(diǎn)五、一元二次方程跟的分布

典例引領(lǐng)

1.（23-24高三上?四川?階段練習(xí)）若關(guān)于久的方程/一2a久+a+2=0在區(qū)間（一2,1）上有兩個(gè)不相等的

實(shí)數(shù)解，貝b的取值范圍是（）

A（-g,T）B.（一川

C.（一8,一§U（-1,+00）D.（-8,一§U（1,+00）

【答案】A

【分析】

/A>0

令g(x)="—2ax+a+2,依題意可得IJ,解得即可.

I9(1)>0

【詳解】

令g(x)=x2-2ax+a+2,因?yàn)榉匠?一2ax+a+2=0在區(qū)間(一2,1)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解,

(△>。fA=4a2-4(a+2)>0

所以上即1.12<(1<^n，解得一?<a<-l，

g^-2)>04+4a+a+2>05

Ig⑴>0Il-2a+a+2>0

所以a的取值范圍是1).

故選：A.

2.（21-22高三上?江蘇南通?期中）已知關(guān)于x的不等式a/+2bx+4<0的解集為其中m<0,

則9+2的最小值為（）

4ab

A.-2B.1C.2D.8

【答案】C

【分析】由不等式的解集結(jié)合基本不等式得到a=1,622,從而利用基本不等式求出二+：的最小值.

4ab

【詳解】由題意可知，方程a/+2bx+4=0的兩個(gè)根為m,—,則m±=士，解得：a=1,故m+—=-2b,

mmam

m<0,

所以2b=-mN2=4,當(dāng)且僅當(dāng)一血=一，即m=-2時(shí)取等號(hào)，則b22,

所以?+：=?+：22n=2,當(dāng)且僅當(dāng)?=!即b=4時(shí)取等號(hào)，

4ab4b74b4b

故二+:的最小值為2.

4ab

故選：C.

即時(shí)檢測(cè)

1.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）關(guān)于％的方程a/+（a+2）x+9a=。有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根%第2,且%1<

1<%2,那么a的取值范圍是（）

222

A.—Va<—B.a>—

755

C.a<—2D.--2-<a<0

711

【答案】D

【分析】說(shuō)明a=0時(shí)，不合題意，從而將a/+（a+2）%+9a=0化為%2+（1+：）%+9=0,令y=/+

（1+￡）%+9,結(jié)合其與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且分布在1的兩側(cè)，可列不等式即可求得答案.

【詳解】當(dāng)a=0時(shí)，a/+（0+2）%+9a=0即為2%=0,不符合題意；

故aW0,ax*12*7+（a+2）x+9a=0即為％2+（i+：）%+9=。，

令y=/+（1+：）%+9,

由于關(guān)于％的方程a/+（a+2）x+9a=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根無(wú)力外，且%i<1<%2，

則y=ax2+（a+2）x+9a與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且分布在1的兩側(cè)，

故％=1時(shí)，y<0,即1+（1+，XI+9V0,解得2V—11,故一2<。<0,

故選：D

2.（2023?北京海淀-模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的不等式％2+ax+b>0（a>0）的解集是{用工Hd},,則下列

四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.a2=4b

r1

B.a?H—24

b

C.若關(guān)于x的不等式%2+一b<0的解集為（%「%2）,則%i%2>0

D.若關(guān)于x的不等式%2+0%+匕<c的解集為（汽1，%2），且I%1—I2l=4,貝Uc=4

【答案】C

【分析】利用一元二次不等式的解法與一元二次方程之間的關(guān)系以及韋達(dá)定理，基本不等式進(jìn)行求解即可.

2

【詳解】由題意△=十一4匕=0,a=4bf所以A正確；

對(duì)于B:Q24-1=a2+^->2JQ2.京=4,當(dāng)且僅當(dāng)小=/即。=應(yīng)時(shí)成立，

所以B正確；

對(duì)于C,由韋達(dá)定理，可知%1血=一力=一？V0，所以C錯(cuò)誤；

4

n2

對(duì)于D,由韋達(dá)定理，可知%1+%2=-。，X1X2=^—C=——C,

2

則|%i—x2\=+犯尸—4%I%2=Ja-4G—c)=2y[c=4,解得c=4,

所以D正確，

故選：C.

3.(21-22高三上-上海浦東新-階段練習(xí))如果二次方程/-px-q=0(p,qGN*)的正根小于3,那么這

樣的二次方程有一個(gè).

【答案】7

【分析】令/(%)=/一p%一qQ,q￡N*),則由題意可得很祟；：，再結(jié)合p,q€N*可求出結(jié)果.

【詳解】設(shè)/(%)=x2-px-q(p,qGN*),

因?yàn)?(0)=-Q<0,/(3)=9-3p-q>0，

所以3p+qV9,又p,q€N*,

當(dāng)p=l時(shí)，q=1,234,5,當(dāng)p=2時(shí)，q=1,2.

所以共7種可能.

故答案為：7

考點(diǎn)六、一元二次不等式恒成立

典例引領(lǐng)

1.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0對(duì)一切xeR恒成立，則實(shí)數(shù)a的

取值范圍是()

A.(-oo,2]B.[-2,2]

C.(—2,2]D.(—oo,-2)

【答案】C

【分析】對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行分類討論可得a=2符合題意，當(dāng)a大2時(shí)利用判別式可求得結(jié)果.

【詳解】當(dāng)a—2=0,即a=2時(shí)，不等式為—4<0對(duì)一切x6R恒成立.

當(dāng)“2時(shí)，需滿足｛A=4(a-，)M；6；a.2)<0，

即HWo,解得一2<"2.

綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-2,2］.

故選：C

2.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))當(dāng)1W比W2時(shí)，不等式/—ax+lW0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是.

【答案】［|,+8).

【分析】根據(jù)題意分離參數(shù)進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)求定區(qū)間的最值即可.

【詳解】當(dāng)1<久42時(shí)，不等式%2一+140恒成立，

所以當(dāng)14%m2時(shí)，。之匚^1=%+三恒成立，則。2(％+工),

令g(%)=%+|,則g(%)在［1,2］單調(diào)遞增，

所以g(%)max=9(2)=2+［=|,所以QN|.

故答案為：亭+8).

1.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知力>0,若對(duì)任意的XG(0,+oo),不等式4a%3,|_8/——2b<0

恒成立，則小+2a+4b+ab的最小值為.

【答案】16-8V2

【分析】先把原不等式分解為二次不等式，分類討論后運(yùn)用整體代換和基本不等式即可.

【詳解】原不等式4a/+8/_abx-2b<0?(4%2—h)(ax+2)<0,

22

由b>0,知OVxV.時(shí),4x—b<0,上>［時(shí),4x—b>Of

故由原不等式知。<%<苧時(shí)a%+2>0,x>乎時(shí)a%+2<0,

由恒成立知a<0且Qx曰+2=0,即。=高

故所求式M+2a+4b+ab=(工+4b)—得+47。

設(shè)力=赤+則tZ2Xyj~b=2^2,

22

則所求式=4(t-t-4)=4［(t-0-遞增，

故最小值在力=2班時(shí)取得：4X(8-2V2-4)=16-8位.

故答案為：16-8V2.

2.(22-23高三上?河北衡水?階段練習(xí))已知對(duì)任意實(shí)數(shù)第>0,不等式(2/-ax-10)ln->0恒成立，

a

則實(shí)數(shù)a的值為.

【答案】VTo

【分析】對(duì)In'正負(fù)分情況討論，得出x=a是其唯一零點(diǎn).不等式(2久2-ax-10)ln->0對(duì)任意的久>0恒

aa

成立.得到％=Q也是2/—Q%—10=0的根,求解即可.

【詳解】由題知，顯然Q>0,當(dāng)汽>a時(shí)In2>0；當(dāng)％=a時(shí)In'=0；當(dāng)0<x<a時(shí)In土<0；

aaa

因?yàn)椴坏仁?In%—lna)(2%2—ax—10)>0對(duì)任意的％>0恒成立.

當(dāng)汽>a時(shí)，2/—ax—10>0；當(dāng)0<x<a時(shí)，2/—ax—10<0.

結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，x=。是方程2/-ax-10=0的根，即2a2-a2-10=0,

因?yàn)镼>0,所以a=

故答案為：V10.

3.(2024?陜西榆林?三模)已知aE(0,2兀)，若當(dāng)工€[0,1]時(shí)，關(guān)于％的不等式($111a+。05/+1)%2—

(2sina+1)%+sina>0恒成立，則a的取值范圍為()

A-(■)B.信心C.(,9D,信心

【答案】A

【分析】令/'(x)=(sina+cosa+1)/—(2sina+1)比+sina,易得/(”)的對(duì)稱軸為％=三sin/a+高-6

/(0)>0

/(1)>0

(0,1),則〈/,進(jìn)而可得出答案.

sina+|'

>0

sina+cosa+l

【詳解】令以x)=(sina+cosa+l)x2—(2sinct+l)x+sincr,

-/(0)>0

由題意可得?則囂武

./(I)>0'

又因?yàn)閍€(0,2兀)，所以a6(°，萬(wàn))，

.,1

sma+-

函數(shù)/(%)的對(duì)稱軸為％=2e(0,1),

sina+cosa+l

sina>0

cosa>0

/.1\21

{(sincr+cosa+1)/\-si-n-s-ai-+n-a-c-+o-s--a..+..l\./—(2sina+1)--si-n-sa-i-+n-ac--+o-s--a-+--l--1-sina>0

'sina>0

即cosa>0,

、(2sina+l)2—4sina(sina+cosa+1)<0

sina>0

cosa>0,結(jié)合&解得三<a<—.

?c\1e\2z1212

(sin2a>-

故選：A.

4.(2024?湖北?二模)已知等差數(shù)列｛時(shí)｝的前n項(xiàng)和為%,且％=n2+m,neN*,若對(duì)于任意的ae[0,1],

不等式也<x2—(1+a)x—2a2—a+2恒成立，則實(shí)數(shù)x可能為()

n

A.-2B.0C.1D.2

【答案】A

【分析】由上與時(shí)的關(guān)系且?。秊榈炔顢?shù)列，求出冊(cè)，由詈<2,得/一(1+。)％-2小一。+222,構(gòu)造

函數(shù)g(a)=2a2+(1+x)a-x2+x,由g(a)<0在aG[0,1]時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

【詳解】因?yàn)镾九=濃+m，兀=1時(shí)，ar=Sr=1+m,

22

n>2時(shí)，an=Sn-Sn_1=n+m—[(n—I)+m]=2n—1,

以a1=1+TH,,a?=3,(Z3=5,

因?yàn)椋?J為等差數(shù)列，所以的=1，m=0,

從而a九=2n—1,—=2—V2,

〃nn

所以%之一(1+a)%—2a2—a+222,即一2a?一(1+-%之0,

則當(dāng)0<a<1時(shí)，g(a)=2a2+(1+%)a—x2+x<0恒成立，

g(0)=-x2+%<0

解得久<一1或%>3,

.g⑴=2+l+x—x2+x<0

只有選項(xiàng)A符合題意,

故選：A

|時(shí).好題沖關(guān)?

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)

1.(2021?天津和平?一模)設(shè)aeR,則“2<a<3”是“(a+l)(a—6)<0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.