等式與不等式（原卷版）-2025年天津高考數(shù)學一輪復習

第02講等式與不等式

（6類核心考點精講精練）

12.考情探究

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析

2019年天津卷，第10題,5分解不含參數(shù)的一元一次不等式

2017年天津卷，第2題,5分必要條件的判定及性質(zhì)解不含參數(shù)的一元一次不等式

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度為低難度與中檔難度，分值為5分

【備考策略】L理解、掌握不等式的性質(zhì)，能夠運用不等式的性質(zhì)進行比較大小

2.能掌握一元二次不等式的性質(zhì)

3.掌握一元二次不等式根與系數(shù)的關(guān)系

4.會解一元二次不等式、能夠解決一元二不等式的恒成立與存在成立等問題

【命題預測】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般考查不等式的性質(zhì)，一元二次不等式的性質(zhì)等。

?考點梳理

1.兩個實數(shù)比較大小的方法考點一、等式與不等式的性質(zhì)

r知識點一.等式與不等式的性質(zhì)2.等式的性質(zhì)考點二、比較大小

3.不等式的性質(zhì)考點三、最值與取值范圍問題

等式與不等式

1.一元二次不等式的概念

2.二次函數(shù)與一元二次方程的根、一元二次不考點四、一元二次不等式

知識點二.一元二次不等式等式的解集的對應(yīng)關(guān)系考點五、一元二次方程跟的分布

3.一元二次不等式的解法考點六、一元二次不等式恒成立

4三.個“二次”間的關(guān)系

知識講解

知識點一.等式與不等式的性質(zhì):

1.兩個實數(shù)比較大小的方法

(1)作差法

a-b>00d>b,

a-b=00a=b,

a-b〈00a<b.

(2)作商法

7>l(aeR,b>0)=a>b(aER,b>0),

￡=l(a,bH0)oa=b(a,bW0),

三<l(a￡R,b>0)=a<b(aER,b>0),

2.等式的性質(zhì)

⑴對稱性?.若a二b,則

(2)傳遞性:若a=b,b=c,則a=c.

⑶可加性：若a=b,貝b+c=b+c.

(4)可乘性:若Q=b,則ac=be;若a-b,c=d,則ac=bd

3.不等式的性質(zhì)

⑴對稱性：cOb=b<a;

(2)傳遞性:a>b,b〉cQa>c;

⑶可加性a>b=a+c>b+c;a>b,c>d=a+c>b+d

(4)可乘性：a>bfc>0<=>ac>bc\a>b,c<0<=^ac<cb;a>b>0,c>d>0=ac>bd;

(5)可乘方：a>b>0<=>an>Z?n(neN,n>l);

⑹可開方Q>b>0=>Vb(nGN,n>2).

知識點二.一元二次不等式

1.一元二次不等式的概念

只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，叫做一元二次不

定義

等式

ax+bx+c>0,ax-Ybx+c<.Q,ax+bx+ax+bx+c^O,其中aWO,

一般形式

a,b,c均為常數(shù)

2.二次函數(shù)與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的對應(yīng)關(guān)系

判別式A=]j—\acAyQA=Q/〈0

二次函數(shù)y=ax+bx\j/1/

+c(a>0)的圖象x

O\xi=x2x

有兩個相等的實數(shù)

一元二次方程.3?+有兩個不相等的實

b沒有實數(shù)根

bx+c=0(a>0)的根數(shù)根矛1,生(矛1〈生)根:矛1=加=一丁

ax+bx+c>0(a>0)b'

{x或*>旬*X手FR

的解集

ax+6x+c<0(a>0)

{xXl〈水用}00

的解集

3.一元二次不等式的解法

1.將不等式的右邊化為零，左邊化為二次項系數(shù)大于零的不等式ax'+bx+cXKa>。)或ax2+bx+c<0(a

>0).

2.求出相應(yīng)的一元二次方程的根.

3.利用二次函數(shù)的圖象與x軸的交點確定一元二次不等式的解集.

方程的根一函數(shù)草圖一觀察得解，對于a<0的情況可以化為。〉0的情況解決

注：對于二次型一元二次不等式應(yīng)首先考慮二次項系數(shù)的情況，當二次項系數(shù)為0時，按照一次不等式來

解決，對于二次項系數(shù)為負數(shù)的情況一般將二次項系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)之后再解。

注：對于含參一元二次不等式內(nèi)容首先考慮能不能因式分解，然后就二次方程根進行分類討論，同時注意

判別式韋達定理的應(yīng)用。

4.三個“二次”間的關(guān)系

判別式A=b2—4acA>0A=0A<0

二次函數(shù)y=ax2+bx

+c(a>0)的圖象

有兩相等實根X1=X2

一元二次方程ax2+bx有兩相異實根Xi,

___b_沒有實數(shù)根

+c=0(a>0)的根X2(X1<X2)

2a

2

ax+bx+c>0(a>0){xX>X2

R

的解集或xVxJ

ax2+bx+c<0(a>0)

{xX1VXVX2}00

的解集

考點一、等式與不等式的性質(zhì)

典例引領(lǐng)

1.（2024?遼寧?模擬預測）若a>b,則下列說法正確的是（)

A.a2>b2B.lg(a—h)>0C.a5>bsD.\a3\>\b3\

2.（2024?山東濱州?二模）下列命題中，真命題的是（

A.若a>b,則ac>beB.若a>b,則小>

C.若Ge?之旅2,則aNbD.若a+2b=2,則2°+4b24

即時檢測

1.（22-23高三上?甘肅定西?階段練習）已知a>6>0,c<0,則下列正確的是（）

A.ac>beB.ac>bcC.芻>三D.ab—be>0

c2c2

2.（2024?安徽淮北?二模）已知a"ER,下列命題正確的是（）

A.若ab=1,則a+Z）>2

B.若工<則a>b

ab

C.若a>b,則ln（a—b）>0

D.若a>b>0,則ad——

ba

3.（2024?天津?一模）已知a,6eR,則“b>|a|"是“a2<爐”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.（2023?山西臨汾?模擬預測）若a,beR,則“a<b”是“。3_。2b<0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

考點二、比較大小

典例引領(lǐng)

1.(22-23高三上?天津河東?期中)若a=巴2b=11121n3,c="則a,b,c的大小關(guān)系是()

44

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>a>c

2.(2024?四川成都?模擬預測)已知a,b為實數(shù)，則使得((a>b>0”成立的一個必要不充分條件為

()

11

A.->mB.ln(a+1)>ln(b+1)

C.a3>b3>0D.Va—1>y/b—1

1.（22-23高三上?天津河西?期末）若a,b,ceR,a>b,則下列不等式成立的是（

A.—<C-B.a2<b?C.——>—D.ct\c\>b\c\

abc2+lc2+l1111

2.(2023?天津?一模)設(shè)a>0,h>0,則“a>b”是“工<的()

ab

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（232高三上?天津和平?開學考試）已知a是實數(shù)，貝La>l”是“0+"2”的（).

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.（2024?北京西城?一模）設(shè)a—t--,b—tc=t(2+t),其中一lVtVO,貝1J()

A.b<a<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

考點三、最值與取值范圍問題

1.（2024高三?全國?專題練習）已知12<a<60,15<6<36,則a-b的取值范圍是,藍的取

值范圍是.

2.（2024?全國?模擬預測）已知實數(shù)％,y滿足一lV%<yVl,貝!J%+y的取值范圍是.

即時檢測

I_________L__________

1.（2024高三?全國?專題練習）若實數(shù)x,y滿足lWxy2W4,3Wx2y《5,則xy5的取值范圍是.

2.（2024?河北石家莊?二模）若實數(shù)x,y,z>0,且x+y+z=4,2%—y+z=5,則M=4x+3y+5z的

取值范圍是.

3.（23-24高三下?重慶渝北?階段練習）已知三個實數(shù)a、b、c,其中c>0,bW2a+3c且be=a2,則*

b

的最大值為.

4.（2024?浙江?模擬預測）已知正數(shù)a,b,c滿足a?+c?=16,b2+c2-2S,則k=a?+b?的取值范圍

為_____

5.（2024?廣東?三模）設(shè)實數(shù)x、y、z、t滿足不等式1W久WyWzWtW100,貝仁+三的最小值為.

yt--------

考點四、一元二次不等式

1.（2024?上海?高考真題）已知x6R,則不等式/-2x-3<0的解集為

2.(23-24高三上?河北石家莊?階段練習)不等式然<0的解集是()

A.^x|—|<x<jjB.{x|一|<久<|}

C.{x|x<一|或x>|}D.{幻％<一［或%>|}

??口叫螂L

1.(23-24高三下?陜西安康?階段練習)在區(qū)間［。，5］內(nèi)隨機取一個實數(shù)a,則關(guān)于x的不等式/+

(2-a)x-2a<0僅有2個整數(shù)解的概率為()

2311

A-sB-wC-sD-IF

2.(2024高三?全國?專題練習)已知a,beR且ab*0,若(x—a)(x—6)(尤—2a—b')>0在；c>0上恒

成立，貝U()

A.a〈0B.a>0C.b<0D.b>0

3.(23-24高三下?上海?階段練習)設(shè)。>0,若關(guān)于久的不等式/一a%<0的解集是區(qū)間(0,1)的真子集，

貝b的取值范圍是.

4.(2023?全國?模擬預測)定義：若集合4B滿足力CBH0,存在a€4且aWB,且存在6€B且6任4

則稱集合4B為嵌套集合.已知集合4=\x\2x-x2<0且xGR+},B={x\x2-(3a+l)x+2a2+2a<0},

若集合4B為嵌套集合，則實數(shù)a的取值范圍為()

A.(2,3)B.(-oo,1)C.(1,3)D.(1,2)

考點五、一元二次方程跟的分布

典蝸網(wǎng)

1.(23-24高三上?四川?階段練習)若關(guān)于x的方程/一2a久+a+2=0在區(qū)間(一2,1)上有兩個不相等的

實數(shù)解，貝b的取值范圍是()

A(-?-1)B.

C.(一8,一q)U(—1,+8)D.(—8,一§U(1,+8)

2.(21-22高三上?江蘇南通,期中)已知關(guān)于x的不等式a/+2bx+4<0的解集為(zn,其中zn<0,

則9+：的最小值為()

4ab

A.-2B.1C.2D.8

1.(2024高三?全國?專題練習)關(guān)于％的方程a/+(a+2)x+9a=0有兩個不相等的實數(shù)根且久1<

1V%2，那么。的取值范圍是（）

222

A.—<a<—B.。>一

755

C.a<—2D.---2<a<0

711

2.（2023?北京海淀?模擬預測）已知關(guān)于x的不等式%2+ax+b>0（a>0）的解集是{用久Hd},,則下列

四個結(jié)論中錯誤的是（）

A.a2=4b

B.a?-]—>4

b

C.若關(guān)于x的不等式%2+一6<o的解集為（久1，外），則％i%2>0

D.若關(guān)于x的不等式％2+a%+力<。的解集為（％],上），且|%1-％21=4,貝！Jc=4

3.（21-22高三上?上海浦東新?階段練習）如果二次方程%2一。％一9=03?6"）的正根小于3,那么這

樣的二次方程有一個.

考點六、一元二次不等式恒成立

典例引領(lǐng)

1.（2024高三?全國?專題練習）若不等式（a-2）/+2（a-2）x-4<0對一切xGR恒成立，則實數(shù)a的

取值范圍是（）

A.（-co,2]B.[-2,2]

C.（-2,2]D.（—8,—2）

2.（2024?陜西西安?模擬預測）當時，不等式％2一a%+1工o恒成立，則實數(shù)a的取值范圍

是.

即時檢測

1.（2024高三?全國?專題練習）已知b>0,若對任意的％G（0,+oo）,不等式4a%3+8/—尤%—2b<0

恒成立，則小+2a+4b+ab的最小值為.

2.（22-23高三上?河北衡水-階段練習）已知對任意實數(shù)久>0,不等式（2--ax-10）ln->0恒成立，

a

則實數(shù)a的值為.

3.（2024?陜西榆林?三模）已知aE（0,2兀），若當久E[0,1]時，關(guān)于％的不等式（$1,11/+。0$/+1）%2—

（2sina+1）%+sina>0恒成立，則a的取值范圍為（）

A-心箸）B.（7-V）C-（看片）D.

4.（2024?湖北?二模）已知等差數(shù)列的前n項和為%,且％=n2+m,nEN*,若對于任意的aG[0,1],

不等式&<x2-（l+a）x-2a2-a+2恒成立，則實數(shù)x可能為（）

n

A.—2B.0C.1D.2

IN.好題沖關(guān)

A基礎(chǔ)過關(guān)

1.（2021?天津和平?一模）設(shè)aeR,貝U"2<a<3”是“(a+l)(a—6)<0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2024?河北唐山?一模）已知x6R,p：“式2—%>0",q."%>1",則p是q的(

A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（23-24高三上?天津北辰?期中）設(shè)xeR,則>1”是，，工<J成立的（)

X

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.（2022?天津?二模）設(shè)xeR,則“xW3”是“一<3久”的（)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.（2024?天津-一模）設(shè)則“x<0”是“久2—無>o”的（)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.（2024高三下?全國?專題練習）已知2<aV3,-2<6<-1,則Q+2b的取值范圍為

7.（2024高三下?全國?專題練習）若關(guān)于x的不等式（加一3）%2一2血%—8>0的解集是一個開區(qū)間，且

區(qū)間的長度L滿足Le[L2],求實數(shù)m的取值范圍（注：開區(qū)間（a,b）的長度L=b-a）.

B能力提升

1.（2024?福建寧德?三模）函數(shù)/（%）=已，若關(guān)于x的不等式?。ū龋2-af（x）<0（aGR）有且僅有三個整

數(shù)解，則a的取值范圍是（）

A.B-（高哥

C.島，舟D.

2.（2022?河南南陽?模擬預測）己知命題p：Vx6/?,/+4x-m20恒成立；命題q：/（x）=-x2+

（根-1）%在[-3,+8）上單調(diào)遞減.若2八（/為假命題，pvq為真命題，則實數(shù)血的取值范圍是（

A.[-4,-3]B.(—5,—4]

C.（-00,-5）U（—4,4-oo）D.（-oo,-6）U（—4,+oo）

3.（2024?甘肅張掖?模擬預測）不等式|一一3%|<2-2%的解集是（）

4.（2024高三?全國?專題練習）已知函數(shù)/'（x）=/+a久+6（a,beR）的最小值為0,若關(guān)于久的不等式

/0）<?的解集為（>1,6+4）,則實數(shù)（:的值為（）

A.9B.8C.6D.4

5.（23-24高三下?山東荷澤?階段練習）已知條件q：“不等式（a2-4）x2+（a+2）%-1>0的解集是空

集”，則條件p：“—2Wa<1”是條件q的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.（2024?廣東?一模）已知a,b,cER且a豐0,貝?。荨癮/+bx