甘肅省蘭州某中學(xué)2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)11月期中考試 數(shù)學(xué)試題（含解析）

2024年蘭州市高二級(jí)第一學(xué)期期中學(xué)業(yè)質(zhì)量檢測(cè)卷(3)

、、九

數(shù)學(xué)

(本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘)

第I卷(非選擇題共60分)

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知兩個(gè)非零向量”=(西'%*1),b=(x2,y2,z2^則這兩個(gè)向量在一條直線上的充要條件是

().

C.+%%+Z/2=0D.存在非零實(shí)數(shù)左，使￡=左3

2.已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的焦距為2百，焦點(diǎn)到漸近線的距離為則雙曲線的方程為

A.^-y2=lB.x2-^=lC.y2--=lD.^-x2=l

2-222

3.若直線x+加歹=2+加與圓工2+y2一2%―2天+1=0相交，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為()

A.(—00,+00)B.(—00,0)C.(0,+8)D.(―8,0)U(0,+8)

4.已知圓C:(x—百『+(y—丁=1和兩點(diǎn)幺(乜0),8(7,0川＞0),若圓C上存在點(diǎn)尸，使得

N4PB=90°，則/的最小值為

A.4B.3C.2D.1

5.若圓(x-a)2+(y-。)2=4上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.(-272,0)B.(-272,0)0(0,272)

C(-2V2,-l)o(l,2V2)D.(0,2回

6.如圖所示，在三棱錐尸-/BC中，PAL^ABC,。是棱尸2的中點(diǎn)，已知尸N=3C=2,48=4,

CBVAB,則異面直線PC,所成角的余弦值為

p

V30

5i(r

7.若尸，0分別為直線3x+4y—12=0與6x+8y+5=0上任意一點(diǎn)，則|尸0|的最小值為（）

9182929

A.—B.—C.—D.—

55105

8.阿波羅尼斯（約公元前262-190年）證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)左（左＞0且

左片1）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A、5間的距離為2,動(dòng)點(diǎn)尸與A、B

距離之比為血,當(dāng)尸、A、8不共線時(shí)，△尸48面積的最大值是（）.

A在B.工C.V2D.20

■33

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.

9.若平面內(nèi)兩條平行線小x+（a—1）＞+2=0與小辦+2y+l=0間的距離為迷，則實(shí)數(shù)。=

-5

（）

A.-2B.-1C.1D.2

10.已知￡、馬、1和2為空間中的4個(gè)單位向量，且"+刃+"=6,|a-d\+|b-d\+|c-d\

可能等于（）

A.2B.3C,4D.5

11.下列命題是真命題的是（）

A.若同=|力，則Z］的長(zhǎng)度相等而方向相同或相反

B.空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面

c.若兩個(gè)非零向量罰與函滿足方+函=0,則方〃①

D.若空間向量與，①滿足|益|〉|函|,且在與函同向，則刀〉而

12.如圖所示，棱長(zhǎng)為1的正方體幺BCD-451GA中，尸為線段48上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)

論正確的是（）

U-IULLXUI

A.平面。/|尸，平面44PB.4P-OG不是定值

c三棱錐片—DP。的體積為定值D.尸

第n卷（非選擇題共90分）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知入射光線經(jīng)過點(diǎn)回（-3,4）,被直線/：x-y+3=0反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)N（2,6）,則反射光線

所在直線的方程為.

14.如圖所示，平行六面體45CD—中，AB=AD=AAl=l,ZBAD=ZBAA[=120°,

NDAA]=60。，則線段ZG的長(zhǎng)度是.

II

15.拋物線/=4x的焦點(diǎn)為尸，過尸的直線與拋物線交于42兩點(diǎn)，且滿足二』=4,點(diǎn)。為原點(diǎn),

四I

則AAOF的面積為.

16.如圖所示，在正四棱柱48CD-451GA中，，4=2,AB=BC=1,動(dòng)點(diǎn)P、。分別在線段

AC±,則線段尸。長(zhǎng)度的最小值是

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.

已知平行六面體Z8CD—48C2中，各條棱長(zhǎng)均為機(jī)，底面是正方形，且/4幺。=/428=120°,

設(shè)AB=a,，AD=b，44=c.

(i)用。，b,"表示西及求|M1

(2)求異面直線NC與8A所成的角的余弦值.

18.過點(diǎn)P(4,1)作直線/分別交x軸，y軸正半軸于A,B兩點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)當(dāng)AAOB面積最小時(shí)，求直線/的方程；

⑵當(dāng)10A1+0B］取最小值時(shí)，求直線I的方程.

7T

19.如圖所示，在ZL4BC中，ZABC=~,O為AB邊上一點(diǎn),且308=3OC=2幺8,尸。，平面

4

ABC,2DA=2AO=PO,且DA//PO.

(1)求證：平面尸80,平面COD；

(2)求直線PQ與平面HOC所成角的正弦值.

20.如圖，三棱柱48C—44G中，44c5=90°，AC=BC=CCi=2,A}B1BXC.

(i)證明：4Qiccx-

(II)若45=2jL在棱CG上是否存在點(diǎn)￡，使得二面角的大小為30。，若存在，求CE

的長(zhǎng)，若不存在，說明理由.

21.如圖，在多面體PKN8CD中，底面N5CD是梯形，AD//BC,BC=2AD,ZABC=45°>

尸4,底面Z5CD,PA//DK,Z8=NC=尸幺=2Z)K=2,點(diǎn)E為8c的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段PK

(1)證明：DE，平面PNC；

(2)如果直線ME與平面尸所成的角的正弦值為士，求點(diǎn)M的位置.

15

22

22.已知橢圓E：，+訝=1(。〉6〉0)上的點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離的最大值是最小值的3倍，且點(diǎn)

尸在橢圓E上.

(1)求橢圓E的方程；

(2)過點(diǎn)”(1,1)任作一條直線/,/與橢圓E交于不同于P的A、3兩點(diǎn)，/與直線機(jī)：

kk2k

3x+4y—12=0交于。點(diǎn)，記直線PN、PB、PC的斜率分別為左、左2、々，求證：i+2=3-

2024年蘭州市高二級(jí)第一學(xué)期期中學(xué)業(yè)質(zhì)量檢測(cè)卷（3）

、、九

數(shù)學(xué)

（本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）

第I卷（非選擇題共60分）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知兩個(gè)非零向量"=（西'必'4）,%=（X2，％，Z2）,則這兩個(gè)向量在一條直線上的充要條件是

ab

A.HB.%一=%%=2/2

C.XjX2+y1y2+zlz2=0D,存在非零實(shí)數(shù)左，使￡=左各

【答案】D

【解析】

【分析】

分析各選項(xiàng)中&、B的位置關(guān)系，由此可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】若非零向量a=（X1/I，zj,B=（%2，%，22）在同一條直線上，則G、5共線.

ab

對(duì)于A選項(xiàng)，=產(chǎn)［二萬［,且尸［是與五同向的單位向量，幣是與B同向的單位向量,

ab

所以，萬、5同向，所以，尸［二同是5、5在一條直線卜.的充分不必要條件；

H\b\

對(duì)于B選項(xiàng)，取2=（1,2,3）,3=（6,3,2）,則毛％=%必=z/2,但&、5不共線；

對(duì)于C選項(xiàng)，若西%2+%為+2隆2=0,則小5=0，可知萬_1_5;

對(duì)于D選項(xiàng)，“存在非零實(shí)數(shù)左，使￡=口”0"7/力'.

故選：D.

2.已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的焦距為2百，焦點(diǎn)到漸近線的距離為則雙曲線的方程為

-X=

【答案】B

【解析】

【詳解】c=拒,焦點(diǎn)到漸近線的距離為近，說明b=JI，則。=1,

2

?,?雙曲線的方程為——2=1

2

故選:B

3.若直線x+my=2+機(jī)與圓一+了2-2x—2y+l=0相交，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為()

A.(—co,+8)B.(—co,0)C,(0,+8)D.(一℃,0)U(0,+°0)

【答案】D

【解析】

【分析】

圓心到直線的距離小于半徑解不等式即可.

【詳解】解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—iy+O—lA=1,圓心半徑r=l,

ll+m-2-ml

???直線與圓相交，.?.4=^—.——-1<r=l,解得加>0或加<0,

Vl+m

故選：D.

4.已知圓C:(x—+(y—1『=1和兩點(diǎn)幺(7,0),89,0)(/>0),若圓C上存在點(diǎn)尸，使得

NAPB=90°，貝U/的最小值為

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【解析】

【詳解】試題分析：由N4P8=90°得點(diǎn)P在圓上，因此由兩圓有交點(diǎn)得

\t-]\<OC<t+l^\t-]\<2<t+l^l<t<3,即/的最小值為1.選D.

考點(diǎn)：兩圓位置關(guān)系

5.若圓(x-ap+S-a)?=4上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.(-272,0)B.(-272,0)0(0,272)

C.(-2VI-1)。(1，2衣D.(0,2回

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可得已知圓與圓/+/=4相交，由圓心距和兩圓半徑之間的關(guān)系，列式即可得解.

【詳解】由題意可得：已知圓與圓/+/=4相交,

,1-2-2<Ja~+<2+2，

0<J/+/<4，

解得—2啦<a<2正且。工0,

故選：B.

6.如圖所示，在三棱錐P-4BC中，PAmABC,。是棱必的中點(diǎn)，已知尸/=3C=2,AB=4,

CBLAB,則異面直線PC,AD所成角的余弦值為

【答案】D

【解析】

【詳解】因?yàn)槭?_L平面N2C,所以尸/_L42,PA±BC.過點(diǎn)/作/E〃C2,又CB_LAB,貝U/P,AB,AE

兩兩垂直.如圖，以/為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AE,/尸所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)

系，

則4(0,0,0),P(0,0,2),2(4,0,0),C(4,-2,0).因?yàn)?。為?的中點(diǎn),所以。(2,0,1).

石?麗f

故CP=(-4，2,2),歷=(2,0,1).所以cos〈而，CP)=西H守「司質(zhì)瓦一褊

設(shè)異面直線PC,ND所成的角為仇貝1|cos<9=|cos〈近，麗〉|=呼.

7.若P,。分別為直線3x+4y—12=0與6x+8j+5=0上任意一點(diǎn)，則/。|的最小值為（）

9182929

A.-B.—C.—D.——

55105

【答案】C

【解析】

【分析】

先判定兩直線平行，再求出兩平行線之間的距離即得解.

3412

【詳解】因?yàn)橐?—w—-,所以兩直線平行，

685

將直線3x+4y—12=0化為6x+8y—24=0,

由題意可知|尸。|的最小值為這兩條平行直線間的距離,

即|-力24-旨5|=296所以做I的最小值為29

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行直線的判定和兩平行線之間的距離的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌

握水平.

8.阿波羅尼斯（約公元前262-190年）證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)左（左>0且

左看1）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A、5間的距離為2,動(dòng)點(diǎn)尸與A、B

距離之比為當(dāng)P、A、8不共線時(shí)，△尸48面積的最大值是（）.

A,正B.迪C.V2D.272

33

【答案】D

【解析】

【分析】以經(jīng)過A、2的直線為x軸，線段4B的垂直平分線為了軸建系，利用需j=求出圓的方

程，可得圓的半徑，進(jìn)而可求出三角形面積的最大值.

【詳解】如圖，以經(jīng)過A、2的直線為x軸，線段48的垂直平分線為歹軸建系，如圖：

.V（x+1）12+/6

-.i=7L

7（x-i）2+/

兩邊平方并整理得：/+/一6x+1=0n（x—3）2+j?=8,

所以圓的半徑為2、歷，

:.APAB面積的最大值是一X2x26'=2后.

2

故選：D.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.

9.若平面內(nèi)兩條平行線4：x+伍—1）＞+2=0與小ax+2y+l=0間的距離為壬，則實(shí)數(shù)。=

-5

（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【解析】

【分析】

由兩直線平行求得。，并確定兩直線不重合，然后求出兩平行線的距離即可得.

【詳解】???。?（。-1）=2,解得a=—1或a=2,

2/s

a二—1時(shí)，兩直線方程為x—2y+2=0,—x+2y+1=0即x—2y—1=0,d=----，符合,

5

1q6

當(dāng)a=2時(shí)，兩直線方程x+y+2=0,2x+2y+l=0即x+y+—=0,d=土，不符合，

24

故選：B.

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題考查兩直線平行，考查平行間距離公式，解題時(shí)一是由平行的條件之一求出參數(shù)

值后要檢驗(yàn)兩直線是平行的（不重合），二是求出平行線間的距離，確定滿足題意，否則易出錯(cuò).

10.已知￡、b,1和2為空間中的4個(gè)單位向量，且3+另+"=6,Ia-d\+Ib-d\+|c-d\

可能等于（）

A.2B.3C,4D.5

【答案】CD

【解析】

【分析】根據(jù)"個(gè)向量的和的模不大于n個(gè)向量的模的和可推出結(jié)論.

［詳解］,/|fi!-+-1/|+|c-1/|>-d+b-d+c-d|=|a+Z>+c-3t7|,

又a+否+c=6,

所以卜一回+卜—17|+|c—1/|>|—3<7|=3,

Im|m|m

當(dāng)且僅當(dāng)—共線同向時(shí)等號(hào)成立，

因?yàn)闉閱挝幌蛄?且Z+5+工=6,

.……wa-d=m(b-d

若"d,b_d,c_d共線,則存在實(shí)數(shù)加，〃使得《一一

b-d=n\c-d|

m—11

(l-m]b+c=(-l-m)d?i-i_

即1),、'一，，可得m：w，方程組無解,

b-nc=[l-n)d1=n

、1+mn—1

IuiiUJ?m

所以a-d,5-d,c-d一定不共線.

|<7-17|+|Z>-1/|+|c-1/|>3.

故選：CD.

11.下列命題是真命題的是（）

A.若向=訪|,則"I的長(zhǎng)度相等而方向相同或相反

B.空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面

C.若兩個(gè)非零向量方與函滿足方+函=0,則方〃①

D.若空間向量在，①滿足同〉|麗且在與函同向，則刀〉而

【答案】BC

【解析】

【分析】A中結(jié)合模長(zhǎng)與向量的關(guān)系可判斷錯(cuò)誤；B中結(jié)合向量可平移和共線的概念判斷正確;

C中可判斷益與①為相反向量，正確；D中向量大小不能進(jìn)行比較，錯(cuò)誤

【詳解】4若|￡|=Z|,貝崎,B的長(zhǎng)度相等，它們的方向不一定相同或相反，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

R根據(jù)共線向量的概念，可知空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則與第三個(gè)向量必然共面，則這三

個(gè)向量一定共面，所以該選項(xiàng)正確；

c.若兩個(gè)非零向量刀與函滿足方+函=0,則益=-①，所以方〃麗，所以該選項(xiàng)正確；

D.若空間向量益，麗滿足|加|〉|函且益與函同向，益與函也不能比較大小，所以該選項(xiàng)

錯(cuò)誤.

故選：BC

【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)平面向量及空間向量基本概念的辨析，命題真假的判斷，屬于基礎(chǔ)題

12.如圖所示，棱長(zhǎng)為1的正方體A8C。-451GA中，P為線段48上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)

論正確的是（）

LLU1ULLUI

A.平面_L平面44PB./POG不是定值

C.三棱錐4-QPC的體積為定值D.DC,1DXP

【答案】ACD

【解析】

【分析】A.易證明24,平面AXAP,得到面面垂直；B.轉(zhuǎn)化

石?函=由+乖）?函=五彳?反;+乖?函，再求數(shù)量積；C./_0因=腺.即怔,根據(jù)底面積和

高，判斷體積是否是定值；D.由。平面4〃尸，判斷線線是否垂直.

【詳解】A.因?yàn)槭钦襟w，所以24,平面44P,24u平面。M尸，所以平面24尸，平面44P,

所以A正確;

B.AP-^Q=CM+4P)-^q=Z^-5q+4P-zjq

=Mcos45。+|4P||5C；|COS90O=1XV2X^-=1,故=故B不正確;

CVB「D、PC=Vp-B、D、c，△BQC的面積是定值，45//平面BQC，點(diǎn)尸在線段45上的動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)P

到平面與。。的距離是定值，所以%「“0=腺.與呼是定值，故C正確；

D.DCX±4^1-Da工,4〃口45=4，所以。平面4〃尸，。尸＜=平面4〃尸，所以

DQ1DXP,故D正確.

故選：ACD

【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)，線，面的位置關(guān)系，體積，空間向量數(shù)量積的綜合判斷題型，重點(diǎn)考查垂直關(guān)系，

屬于中檔題型.

第n卷(非選擇題共90分)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知入射光線經(jīng)過點(diǎn)回(-3,4),被直線/：x-y+3=0反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)N(2,6),則反射光線

所在直線的方程為.

【答案】6x-v-6=0

【解析】

【詳解】試題分析：回(-3,4)關(guān)于直線乙x-y+3=0的對(duì)稱點(diǎn)為九T(l,0),所以反射光線所在直線的

方程是直線的方程：y-6=生衛(wèi)(x—2)n6x-y—6=0.

2—1

考點(diǎn)：反射直線

14.如圖所示，平行六面體ABCD-&B￡Di中，A￡=AD=AAl=l,ABAD=ZBAA[=120°,

NDAA[=60°,則線段AC,的長(zhǎng)度是.

【答案】V2

【解析】

【分析】由平行六面體法則可得布=森+而+刀;，利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得線段幺。的長(zhǎng)

度.

【詳解】由題意可得益萬=|方’石卜osl20°=Fx]—

=|A8|-|Z^|cosl20°=1

AB-AA.

=|2o|-|Z^|cos60°=1~x—=一

22

由平行六面體法則可得離=遂+力+存，

所以，AQ=(AB+AD+AAxj

-----?2(-2(-2/>->-(-(->->\

=AB+AD+AAX+2yAB-AD+AB-AAX+AD-AAA

=l+l+l+2x|-|=3-1=2,

I22

故西卜VL

故答案為：JL

15.拋物線/=4x的焦點(diǎn)為尸，過尸的直線與拋物線交于42兩點(diǎn)，且滿足匕；J=4,點(diǎn)。為原點(diǎn),

四I

則"OF的面積為.

【答案】2

【解析】

I4FI

【分析】根據(jù)拋物線定義可得出14nl友口，由匕4得出2+1=4(/+1),再由

I跳I

AACFS&BDF,建立關(guān)系3■二=4,聯(lián)立解出A點(diǎn)坐標(biāo)即可求三角形面積.

1一乙

【詳解】如圖,

y

由題意可知夕=2,F(l,0),

\AF\

由=4得%+1=4(/+1),

\BF\

\CF\\AF\

又根據(jù)ANCESABDE可得，7—^=7—4

四||s

x—107^Ix.—1.1

即A加==4'即亡：=4,解得q=4,沖=7

.■.A點(diǎn)的坐標(biāo)為2(4,4)或/(4,-4),

SAOF=|xlx4=2.

故答案為：2

16.如圖所示，在正四棱柱48CD—451GA中，，4=2,AB=BC=1,動(dòng)點(diǎn)P、0分別在線段

AC±,則線段P。長(zhǎng)度的最小值是.

【答案】|

3

【解析】

【分析】

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、。，所在直線分別為x、歹、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量

法計(jì)算出異面直線G。、NC的公垂線的長(zhǎng)度，即為所求.

【詳解】由題意可知，線段尸。長(zhǎng)度的最小值為異面直線G。、ZC的公垂線的長(zhǎng)度.

如下圖所示，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、所在直線分別為x、卜、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則點(diǎn)4(1,0,0)、C(0,l,0),q(0,1,2),￡>(0,0,0),

所以，^C=(-l,l,0),Dq=(0,1,2),方=(1,0,0),

設(shè)向量〃=(x,y,z)滿足［j_〃，n1DCX,

x=y

n-AC=-x+y=Q

由題意可得＜解得《y,取歹=2,則X=2,z=-l,

n-DC\=y+2z=0z-----

2

可得3=(2,2,—1),

2

因此，|PQ|=

IImin13

—、，2

故答案為：一.

3

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵在于將尸。長(zhǎng)度的最小值轉(zhuǎn)化為異面直線NC、G。的距離，實(shí)際上

就是求出兩條異面直線的公垂線的長(zhǎng)度，利用空間向量法求出兩條異面直線間的距離，首先要求出兩條異

面直線公垂線的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)，再利用距離公式求解即可.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.

已知平行六面體Z5CD—4與。12中，各條棱長(zhǎng)均為機(jī)，底面是正方形，且/4幺。=/428=120°,

設(shè)AB=a，AD=b，=c-

⑴用b,"表示西及求|M|；

(2)求異面直線NC與8A所成的角的余弦值.

【解析】

【分析】⑴在圖形中，利用向量的線性運(yùn)算法則表示西，再由|西|=]1片求|西「

AC-BD,

⑵由cosQcBZ））=可求異面直線AC與BD[所成的角的余弦值.

\AC\\BDX\

【詳解】（1）BD{=BA+AD+~DD}=^AB+AD+^=-3+6+0.

2

|BD1|=a+B+c-2a-b-2a-c+2b-c

=m2+m2+m2-0-2m2cos120°+2m2cos120°

=3m2，

.0.|BD1|=.

（2）AC=AB+AD=a+b^

則次?西=（N+B）?（B+3—））

-a-b+a-c-a+B+b-c-a-b

———2-2——

~a-c-a+b+b?c

=m2cos120°-m2+m2+m2cos120°

=—m2?

又|BDX|=?n，AC=41m，

cos(^C,西)=￡叼=廠-病=—逅

'/\AC^BDy|V2mxV3m6

/.異面直線AC與BDi所成的角的余弦值是旦.

6

【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的運(yùn)算，用空間向量求異面直線的夾角.在不建立坐標(biāo)系的情況下，空間向量的

運(yùn)算與平面向量類似，但表示空間向量需要不共面的三個(gè)向量作為基向量.由空間向量求異面直線的夾角

時(shí)，應(yīng)注意向量夾角和直線夾角的取值范圍的不同，當(dāng)向量的夾角的余弦值為負(fù)數(shù)時(shí)，相應(yīng)異面直線的夾

角應(yīng)為其相反數(shù).

18.過點(diǎn)P(4,1)作直線/分別交x軸，y軸正半軸于A,B兩點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)當(dāng)AAOB面積最小時(shí)，求直線/的方程；

⑵當(dāng)10A|+10B|取最小值時(shí)，求直線I的方程.

【答案】(1)x+4y-8=0；(2)x+2y-6=0

【解析】

【分析】由題意設(shè)4。,0),8(0,6),其中。，b為正數(shù)，可設(shè)直線的截距式為土+斗=1,代點(diǎn)可得

ab

41?

一+―=1,

ab

(1)由基本不等式可得216,由等號(hào)成立的條件可得。和b的值，由此得到直線方程，

41

(2)|0^|+|05|=a+/)=(?+&)(-+-),由基本不等式等號(hào)成立的條件可得直線的方程.

【詳解】由題意設(shè)8(0,6),其中。，b為正數(shù)，可設(shè)直線的截距式為二+°=1,?.?直線過點(diǎn)

ab

P(4,l),.-.1+1=1,

ab

41l~4~41

(1)由基本不等式可得1=二+七22/,，解得:ab>16,當(dāng)且僅當(dāng)一=—,即。=8且6=2時(shí)，上

ab\abab

式取等號(hào)，

IVy

A4O8面積S=—ab28,則當(dāng)。=8,6=2時(shí)，A4O2面積最小，此時(shí)直線/的方程為一+二=1,

282

即x+4y—8=0,

(2)由于|。/+|。間=。+6=(。+頌3+』)=5+竺+@25+2、竺上=9,當(dāng)且僅當(dāng)竺=￡,即

abab\abab

Q=6且b=3時(shí)取等號(hào)，

所以當(dāng)a=6,A=3時(shí)，31+31的值最小，此時(shí)直線/的方程為%==1,即x+2y—6=0.

63

【點(diǎn)睛】本題考查直線的截距式方程，涉及不等式求最值，屬于中檔題.

7T

19.如圖所示，在44BC中，ZABC=-,。為邊上一點(diǎn)，且308=30C=2幺8,尸。，平面

4

ABC,2DA=2AO=PO,&DA//P0.

(1)求證：平面PBD1平面C0D；

(2)求直線PZ)與平面HOC所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)2叵.

11

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意證得COLN8,再由尸。，平面48C,得到POJ_OC,結(jié)合線面垂直的判定定

理，證得CO1平面PBD,進(jìn)而得到平面PBD1平面COD.

(2)以O(shè)C、O5、0P所在射線分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面8OC的一個(gè)法向量

和向量而，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.

【詳解】(1)在V48C中，OB=OC,且NZBC=—,所以=

44

7T

所以N8OC=—,所以

2

又因?yàn)槭?。_L平面NBC,OCu平面Z8C,所以POLOC,

又因?yàn)槭！?8u平面尸48,POcAB=0,

所以C。，平面「4S,即C。，平面

又由COu平面C。。，所以平面尸8。平面COZ).

(2)以O(shè)C、O8、。尸所在射線分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

設(shè)04=1,則PO=O8=OC=2,DA^l,

則C(2,0,0),5(0,2,0),尸(0,0,2),Z)(O,-1,1),

所以麗=(0,—1,—1),5C=(2,-2,0),麗=(0,—3,1),

設(shè)平面BDC的一個(gè)法向量為n=（xj,z），

ri-BC=02x-2y=0一

所以＜即〈c八，令y=l,則x=l,z=3,所以〃=(1,1,3),

n-BD—0-3y+z=0

設(shè)尸。與平面ADC所成的角為e,

nl."麗臼—|lx0+lx(-l)+3x(-l)|_2V22

\PD[\n\而+(_1)2+(_])2XJ『+I2+3211

即直線PD與平面BDC所成角的正弦值為拽2.

11

20.如圖，三棱柱A8C—481G中，4c5=90°，AC=BC=CQ=2,A1B1B1C.

（I）證明：4Qicq；

（II）若48=2百，在棱eq上是否存在點(diǎn)￡,使得二面角的大小為30。，若存在，求CE

的長(zhǎng)，若不存在，說明理由.

【答案】（I）見解析；（II）見解析.

【解析】

【詳解】試題分析：（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明A1G，平面CBBC1從而得到線線垂直，即可證明:

A1CJCG、（2）建立空間坐標(biāo)系，求出兩個(gè)半平面的法向量，利用向量法進(jìn)行求解即可.

解析：

（I）證明：連接3。為平行四邊形，且5C=CG=2

BCCRi為菱形BCA1BXC

又?；1B[C,BC1平面4G8

:.B〔c14G

又?.?4G.?.4GJL平面CB8]G4QiccA

（II）A[B=2G4cl=2BC[=2V2eq1BC

AC.CB、cq兩兩垂直

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，聲的方向?yàn)閄軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz,如圖所示，則

C（0,0,0）,^（2,0,0）,51（0,2,2）,C1（0,0,2）,B（0,2,0）,設(shè)E（0,0,a）

亞=（-2,0,a）,甌=（-2,2,2）,西=（0,-2,2）,

易知，8G，平面481C,%=（0,—2,2）,

則平面/瓦。的一個(gè)法向量沅

設(shè)萬=（x,y,z）是平面的一個(gè)法向量

n-AE=0\-2x+az=0（aa，八

則《—.：.\得萬=—,——i,i

n-AB{=0[-2x+2y+2z=0122J

，解得：a=\

，在棱CG上存在點(diǎn)E，當(dāng)C￡=l時(shí)，得二面角￡-/耳-。的大小為30。.

21.如圖，在多面體尸KN8CD中，底面Z5CD是梯形，ADUBC,BC=2AD,ZABC=45°，

底面4BCD,PA//DK,4B=ZC=P4=2￡)K=2,點(diǎn)￡為3C的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段尸K

（2）如果直線VE與平面P8C所成的角的正弦值為姮，求點(diǎn)M的位置.

15

【答案】（1）證明見解析；（2）點(diǎn)〃與點(diǎn)K重合.

【解析】

【分析】（1）通過證明?！辏?。,?！辏劭勺C。￡，平面「/。；

（2）以A為原點(diǎn)，4B,ZC,4P分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)兩=兄灰（0WXW1）,利用

空間向量求出X即可得解.

【詳解】（1）證明：在梯形/5CQ中，???Z5=ZC,且NZ8C=45°，

???ZACB=ZABC=45°-ABAC=90°，AAB1AC,

:點(diǎn)E為6c的中點(diǎn)，，8。=2幺。，

四邊形是平行四邊形，DEIIAB,：.DE1AC,

又：尸/，底面48C￡）,OEu底面48CD,

又尸Zu平面P/C,NCu平面PNC,02口2。=2,???￡)￡，平面PNC；

（2）以A為原點(diǎn)，48,ZC,4P分別為x）,z軸建立空間直角坐標(biāo)系:

則8(200)、。(0,2,0)、尸(0,0,2)、￡(1,1,0)、K(-1,1,1),

BC=(-2,2,0),而=(2,0,-2),灰=(-1,1,-1),

設(shè)兩=2灰(0W/IW1),則兩=(—九X-2),

則"(一九九2—㈤,施=(1+九1—九2-2),

設(shè)平面P8C的法向量為〃=(x,y,z),由〈一—得七-n,

in-PB~0i2x—2z