高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（練重難）

專題二函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(練重難)——高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)全程專題訓(xùn)練

學(xué)校：___________姓名：班級：___________考號：

一'選擇題

1.已知函數(shù)(x)=(3加-2)廿+2(meR)是①函數(shù),則函數(shù)g(x)=loga(x-〃z)+l(a〉0,

且awl)的圖象所過定點的坐標是()

A.(2,l)B.(0,2)C.(l,2)D.(-l,2)

1.答案：A

解析：因為函數(shù)/(x)=(3根-2)x'"+2(meR)是募函數(shù)，所以3加-2=1,所以機=1,所

以g(x)=k>ga(x-l)+l.令=得尤=2,此時g(2)=l,所以函數(shù)g(x)的圖象過定

點(2,1).

2.已知函數(shù)y=g-1|的定義域為［a,可，值域為0,1,則b-a的最大值為()

42

A.log3—B.log32C.log3—D.2

2.答案：B

解析：由題意得，y="-l卜?二Lx"。，作出函數(shù)的圖象，如圖所示令

—3*+1,x<0,3

4?4?

解得X=log3,或X=log3§'則當(dāng)b=log3§，〃=log3§時,取得最大值,此時

2

3.[2024年全國高考真題]已知函數(shù)/(x)=f?-a，x<。在R上單調(diào)遞增，則。

e""+ln(x+!),%>0

的取值范圍是()

A.(-oo,0]B.[-l,0]C.[-l,l]D.[0,+oo)

3.答案：B

解析：因為函數(shù)/(%)在R上單調(diào)遞增，且當(dāng)x<0時，/(x)=-x2-2ax-a,所以

/(x)=—2依一。在(―oo,0)上單調(diào)遞增，所以—aNO,即aWO；當(dāng)x?0時，

/(x)=e"+ln(x+l),所以函數(shù)/(x)在［0,+oo)上單調(diào)遞增.若函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞

增，貝U-aW/(O)=l,即1.綜上，實數(shù)a的取值范圍是［-1,0］.故選B.

4.設(shè)正實數(shù)a,b,c分另U滿足a?e"=Z?-nZ?=c"gc=l,則()

A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.a>c>b

4.答案：C

解析：由a-e"=Z?」n6=c」gc=l,得工=e",-=lnZ?,-=1gc,分別作函數(shù)y=e”,

abc

y=lnx,y=lgx,y=」的圖象，如圖所示，它們與函數(shù)y=工圖象交點的橫坐標分

xx

5*—a—4,x<0,

5.[2023秋?高一?廣東汕尾?期末]若函數(shù)〃x)=-、恰有3個

lg(x2-4x+l-tz),x>0

零點，則實數(shù)a的取值范圍為()

A.(-3,-2]B.(-3,-2)C.(-4,-3]D.(-4,-3)

5.答案：D

’5'-4r<0-4r<0

解析：由/(x)=0,得a=,''令g(x)=\作出函數(shù)g(x)及y=a

x-4x,x>0,[x-4x,x>0,

的圖象，如圖所示.

由圖可知，當(dāng)ae(-4,-3]時，直線y=a與函數(shù)g(x)的圖象有3個交點，從而函數(shù)

/(%)有3個零點.又無2-4x+l-a>0對x>0恒成立，即a<x?-4x+l對％>0恒成立，

而x~—4x+1=(x-2)~-32—3,所以a<—3,所以ae(—4,—3).

6.若函數(shù)/(x)和g(x)的圖象上恰好有兩對關(guān)于x軸對稱的點，則函數(shù)/(x)和g(x)為

“對偶函數(shù)”.已知/(x)=l-e*,g(x)=ar+xlnx是“對偶函數(shù)”，則實數(shù)。的取值范

圍為()

A.(e-1,+co)C.,+00]D.(-co,e-l)

6.答案：A

解析：因為/(x)=l-e*,g(x)=ar+xlnx是"對偶函數(shù)"，故函數(shù)/(x)與g(x)的圖

象上恰好有兩對關(guān)于x軸對稱的點，所以-/(x)=g(x),即1-1=依+%1!1%有兩解，

則a=e'-JinJ-1有兩解.令力⑴=4-Inx-1,貝jj〃(刈=(1一1)二，所以當(dāng)

XXV7X

xe(O,l)時，h'(x)<0,當(dāng)xe(l,+oo)時，h'(x)>0,所以函數(shù)力(x)在(0,1)上單調(diào)遞

減，在(1,y)上單調(diào)遞增，所以/z(x)在x=l處取得極小值，且x30,/z(x)f+oo,

又無⑴=e-l,所以a>e-l,即a的取值范圍為(e-l,+8).

7.[2023春?高二?馬鞍山市第二中學(xué)?期中]若存在使得不等式

_e

2xlnx+d一3+320成立，則實數(shù)機的最大值為()

31

A.4B.2+e+-C.e29-1D.-+3e-2

ee

7.答案：D

11

解析：存在九￡一,e,不等式2%ln%+%2一儂；+320。存在九￡一,e

ee

331

m<21nx+x+—,令/(%)=21nx+x+—,XG-,e,則

xxe

/'(x)=2+］—三=5+3)產(chǎn)―1).當(dāng)/<x<i時,尸(了)<0,當(dāng)l<%<e時，f'(x)>0,

xxxe

因此函數(shù)在，,1］上單調(diào)遞減，在［l,e］上單調(diào)遞增，/f-L-+3e-2,

Le」9e

〃e)=2+e+j,/|-/(e)=2e-4-|>0,

即/("ax=f=-+3e-2.

ie

依題意，得%V，+3e-2,所以實數(shù)機的最大值為工+3e-2.故選D.

ee

—光>0

8.已知/Xx)=卜’若關(guān)于x的方程2/2(x)—1=0有5個不同的實

3x-x3,x<0,

根，則實數(shù)上的取值范圍為()

人「72、^<72

A.——,——eB.——，——e

I2e)I2e_

C〔一00'一一e,+°°］D］一叫一(J一e,+81

8.答案：A

解析：當(dāng)xNO時，/(%)=—,r(x)=±M,令r(x)=0,得x=l,所以當(dāng)xe(0,l)

ee

時，f\x)>0,/(x)單調(diào)遞增，當(dāng)xe(l,+oo)時，f'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，且

/(0)=0,/(I)=-,當(dāng)x-4<o時，0.當(dāng)x<0時，/(x)-3x-x3,

e

/(x)=3—3d,令尸(x)=0,得l=—1,所以當(dāng)xe(—1,0)時，f(x)>Q,/(x)單調(diào)遞

增，當(dāng)xe(—8,—1)時，/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，且/(—1)=—2,當(dāng)8時，

/(x)f+8.作出/(x)在R上的圖象，如圖所示.

令以x)=t,則關(guān)于X的方程2/2(x)-左"(x)-1=0有5個不同的實根，可轉(zhuǎn)化為

I-2<4<0,

2產(chǎn)—燈—1=0有兩個不同的實根小。,，且能=-一<0.不妨設(shè)乙<小則1

20<?<-.

、2e

g(—2)=8+2左一1〉0,

72

令g(%)=2t2—kt—\f則<g(0)=—1<0,解得—<左<—e.

/、2e

二、多項選擇題

9.已知/(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),且/(x)+g(x)=e",則下

列說法中正確的有()

A.g(0)=l8./(勸-2(刈=1

C.f(2x)-2f(x)-g(x)D.若/(〃z+2)+/(m)>0,則加>一1

9.答案：ACD

解析：由函數(shù)/(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且滿足

/(x)+g(x)=eX①，可得/(—x)+g(—x)=e—x,即一/(x)+g(x)=②，由①②可得

x,-xx_0,09

g(x)=T^，/(%)=三已超(0)=匕色=；=1,A正確；

2

9+b、2_O_?「2%_-2x

f2(x)-g2(x)==4-B錯誤；八2加二

<2J、2,

2/(x).g(x)=2x.e/=￡￡,則/②)=2/(x).g(x),C正確；函數(shù)

x_-x

ee是定義在R上的奇函數(shù)，且是增函數(shù)，所以由/(〃z+2)+/(⑺>0,得

f(jn+2)>,Wm+2>—m,所以D正確.

10.已知函數(shù)/(%)=疑*+。*.則()

A.當(dāng)a=0時，f(x)^=—

e

B.當(dāng)a=l時，直線y=2x與函數(shù)/(x)的圖象相切

C.若函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,+oo)上單調(diào)遞增，貝伊之0

D.若在區(qū)間［0,1］上/(x)<%2恒成立，則aW1—e

10.答案：ABD

解析：

當(dāng)a=0時，/(x)=xe、，貝I]

尸(x)=e*+xex=(1+x)e”,令

/'(x)=0,得l=—1,所以當(dāng)x<—1

時，f'(x)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，當(dāng)

AV

x>—1時，/'(x)>0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞

增，所以/(x)2/(—1)=—eT=—‘，所

e

以/(的血=---

e

當(dāng)Q=1時，/(X)=XCX+X,則

/r(x)=ex+xex+l,設(shè)切點為

Xn

(xo,xoe+xo),則過切點的切線方程為

+/)=(e與+x()e陽+1)(*_尤0),

BV因為切線過原點，所以

x

0-(/6%+尤o)=(e與+xoe°+1)(0-%),

解得力=0，此時

f,(0)=e°+0xe°+l=2,所以直線

y=2x與函數(shù)/(%)的圖象相切.

CX由函數(shù)/(x)=xe*+ax,得

r(x)=(I+x)e*+a,因為函數(shù)/(x)在

區(qū)間［0,+oo)上單調(diào)遞增，所以

r(x)=(1+x)ex+a20在區(qū)間［0,+oo)上

恒成立，即a2(-l-x)］在區(qū)間［0,+oo)

上恒成立.令g(x)=(-1-x)e",則

g'(x)=—(x+2)e*,又xe［0,+oo),所以

g'(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，所以

g(x)<g(0)=-l,所以1.

在區(qū)間［0,1］上/(%)<必恒成立，等價于

xe*+ar<Y在區(qū)間［0,1］上恒成立,當(dāng)

%=0時，不等式恒成立；當(dāng)0<xWl

時，a<x-e”恒成立，令"(x)=x-e",

DV

則〃(x)=l—e，，令〃(x)=0,得

尤=0,因為0<xWl,所以/i'(x)<0,

函數(shù)/z(x)單調(diào)遞減，所以

7z(x)>7z(l)=1-e1=l-e,所以aWl-e.

三、填空題

11.已知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)光20時，f(x-)=\x-a2\-a2,若

f(x-1)</(x)對任意xeR恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為.

11.答案:

解析：當(dāng)記0時，由/(%)是奇函數(shù)，可作出/⑴的圖象又

x-2a,x>a.

/(x-l)</(x)對任意xeR恒成立，所以/(x-1)的圖象恒在/(x)的圖象的下方，即將

/(x)的圖象向右平移1個單位長度后得到的圖象恒在/(x)的圖象的下方，如圖所示，

所以一2/+1>2/,解得

y

12.已知函數(shù)/'（X）=（蘇-機-1）》‘"""7是募函數(shù)，對任意的看,尤2G（0,+8）,且

石/々，滿足""J~""）>0,若a,/?GR,且+則a+Z?0

（填“>”"=，，或“<”）.

12.答案：<

解析：因為函數(shù)/（同為基函數(shù)，所以療-1=1,即后—m—2=0,解得m=一1或

m=2.

當(dāng)加=一1時，〃x）=4；當(dāng)》t=2時，/（x）=x3.

因為函數(shù)〃力對任意的占，%2G（0,+oo）,且X產(chǎn)馬，滿足

所以函數(shù)八%）在（o,y）上單調(diào)遞增，

所以/（X）=%3,

又/（-無）=（-%）3=-/,

所以函數(shù)"%）=%3是奇函數(shù)，且為增函數(shù)，

因為/（“）+/。）<0,

所以/（a）<-?=f（-5），

所以QV-Z?,即a+Z?<0.

故答案為：<.

13.已知Q>1,若對于任意的L+QO],不等式，-x+ln3%V」一+lna恒成立,

_3）3xaex

則實數(shù)a的最小值為.

3

13.答案：-

e

解析：因為ln〃+x=ln〃+lne"=ln(ae"),所以，-x+ln(3元)<」一+lna可化為

')3xaex

-+ln(3x)<-^―+\na+x=-^―+In/(%)=—+Inx(x>1),貝U

3xaexaex')x

ii—i

廣⑴二—與+L=r20且等號不恒成立，所以/⑴在工“0)上單調(diào)遞增.因為

XXX

1

g,+co],所以3xNl,>

a>l,xee'>e°=1,aex>1,所以

(+1口(3%)41~^+111(。爐)可化為/(3%)4/(小"),則3x?Qe”,即〃2與在g，+°°

上恒成立，即.

Ie/max

令g(x)，則g，(x)=3(1,x),令g，(x)>0，貝令g，(x)<0，則

X>1,所以g(x)在D上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，所以g(x)max=g6=3,

L3)e

所以即實數(shù)。的最小值為之.

ee

四、解答題

14.[2023屆?四川?模擬考試]已知函數(shù)f(x)=xe'-(m+3)x-In%-1.

_2,

(1)若X=Xo是/(x)的極小值點，且飛+1>—,求實數(shù)機的取值范圍;

%

(2)若有且僅有兩個零點，求實數(shù)機的取值范圍.

14.答案：(1)(2e-4,+oo)

(2)(-2,+oo)

2

解析：(1)/(x)的定義域為(0,+Q0),由天+1〉一，可得修〉1.

%

令h(x)=f'(x)=(x+l)ex--

x

則〃(%)=(X+2貯+二>0,

X

則廣(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，函數(shù)/(X)在(0,%)上單調(diào)遞減，在(/，+°°)上單調(diào)遞

增，滿足X=%是/(X)的極小值點，

因為毛〉1，所以/'(Dv/'aojnO,可得2e-加一4<0,

則加〉2e-4,即實數(shù)m的取值范圍是(2e-4,+oo).

(2)令g(x)=△*=e，-叱口-3,/(x)有且僅有兩個零點，

XX

故g(x)有且僅有兩個零點.

，/、1-lnx-lx2ex+Inx、幾?、2%1/八、

g(%)=ex----------=---------,設(shè)G(%)=%e+Inx(x>0),

xx

則G'(x)=(%2+2x)ex+->0,貝IG(x)為增函數(shù).

當(dāng)x趨近0時，G(x)趨近-00,又G(l)=e>0,

所以G(x)在(0,1)內(nèi)存在唯一的零點t,且「以=-hw>0,

則ln，2e)=In(-lnf),即21nt+。=ln(-lnt),

則In。+/=ln(—Int)+(—Int).

函數(shù)p(x)=lnx+x為增函數(shù)，所以f則e'=L

t

當(dāng)0<x</時，g'(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>/時，g'(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)

遞增.

當(dāng)X趨近0時，g(x)趨近+8,當(dāng)X趨近+00時，g(x)趨近+8,

m”/、口n/、/In+1c1ln%+l「

因止匕g(x)min即g(/)=e---------m-3=----------m-3

=—m—3=1—m—3=—m—2,

t

因此只需滿足-加-2<0,得m>-2,

故實數(shù)m的取值范圍為(-2,+8).

15.［2024春?高一?重慶?月考］已知函數(shù)/(x)=(x-l)2\x-a\.

(1)若a=0,討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若a?0,求/(x)在［2,3］上的最小值83),并判斷方程g(a)=；q3的實數(shù)根個數(shù).

15.答案：(1)/(x)在(-s,0)和上單調(diào)遞減，在［o,；］和(1,內(nèi))上單調(diào)遞增

(2)方程g(a)=gq3只有1個實數(shù)根

解析：⑴若a=0,則/(x)=(x—l)2|x|.

當(dāng)尤>0時，/(x)=(x-l)2x=%3-2x2+x,

貝|Jf\x)=3——4x+1=(x—l)(3x-1),

所以當(dāng)時，f'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)和xe(l,+s)