高考數(shù)學(xué)解答題提高第一輪復(fù)習(xí)：利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題（典型題型歸類訓(xùn)練）（學(xué)生版+解析）

專題07利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題

(典型題型歸類訓(xùn)練)

目錄

一、必備秘籍........................................................1

二、典型題型........................................................2

題型一：判斷(討論)零點(diǎn)(根)個(gè)數(shù)問(wèn)題...........................2

題型二：證明唯一零點(diǎn)問(wèn)題.........................................3

題型三：根據(jù)零點(diǎn)(根)的個(gè)數(shù)求參數(shù)...............................4

三、專項(xiàng)訓(xùn)練........................................................5

一、必備秘籍

1、函數(shù)的零點(diǎn)

(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義：對(duì)于函數(shù)y=/O),把使/(%)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn).

(2)三個(gè)等價(jià)關(guān)系

方程/(%)=0有實(shí)數(shù)根。函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)o函數(shù)y=/(%)有零點(diǎn).

2、函數(shù)零點(diǎn)的判定

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間句上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有/3>/3)<0,那么函數(shù)

y=/(x)在區(qū)間(。力)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在ce(a,3,使得/(c)=0,這個(gè)c也就是/(%)=0的根.我們把

這一結(jié)論稱為函數(shù)零點(diǎn)存在性定理.

注意：?jiǎn)握{(diào)性+存在零點(diǎn)=唯一零點(diǎn)

3、利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)零點(diǎn)的常用方法

(1)圖象法：根據(jù)題目要求畫(huà)出函數(shù)的圖象，標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置，借助數(shù)形結(jié)合的思想分析問(wèn)題(畫(huà)草

圖時(shí)注意有時(shí)候需使用極限).

(2)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理：先用該定理判定函數(shù)在某區(qū)間上有零點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極

值(最值)及區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)，進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

4、利用函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)范圍的方法

(1)分離參數(shù)(a=g(x))后，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=g(x)的值域(最值)問(wèn)題或轉(zhuǎn)化為直線V=。與y=g(x)的

圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題（優(yōu)選分離、次選分類）求解;

（2）利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理構(gòu)建不等式求解;

（3）轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式求解.

二、典型題型

題型一：判斷（討論）零點(diǎn)（根）個(gè)數(shù)問(wèn)題

1.（2023?河北邯鄲?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)F（x）=lnx+（?！?）x+a.

Q）若°=1，求曲線y=〃x）在點(diǎn)（e，〃e））處的切線方程；

⑵討論函數(shù)〃尤）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

2.（2023?陜西渭南??？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/。）=二-辦-1,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）求的單調(diào)區(qū)間：

（2）討論函數(shù)/（X）在區(qū)間［0,1］上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

3.（2023上,廣東中山?高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)=g（x）=x2-（m+l）x,m>0.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

⑵當(dāng)機(jī)“時(shí)，討論”X）與g（x）圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

4.(2023上,上海虹口,高三?？计谥?函數(shù)/O)=sinx+cos尤，g(x)=ln尤

⑴求函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)(0,1)的切線方程；

(2)函數(shù)y=2+2g。)，(meR,777^0),是否存在極值點(diǎn)，若存在求出極值點(diǎn)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由;

⑶若meR,請(qǐng)討論關(guān)于尤的方程劭=Y-2ex+加解的個(gè)數(shù)情況.

X

5.(2023上?廣東揭陽(yáng)?高三統(tǒng)考期中)給定函數(shù)〃x)=(x+2)e，.

(1)討論函數(shù)〃尤)的單調(diào)性，并求出的極值；

⑵討論方程/(x)=a(aeR)解的個(gè)數(shù).

題型二：證明唯一零點(diǎn)問(wèn)題

1.(2023上?廣東珠海?高三?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=2sin尤-xcosx-x,y=/'(x)為y=的導(dǎo)

數(shù).

⑴求曲線y=〃x)在處的切線方程：

⑵證明：y=尸(x)在區(qū)間(o,兀)存在唯一零點(diǎn)；

2.(2023上?黑龍江?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=x+lnx,g(x)=e'lnx+o,且函數(shù)〃尤)的零

點(diǎn)是函數(shù)g(x)的零點(diǎn).

⑴求實(shí)數(shù)a的值；

(2)證明:y=g(x)有唯一零點(diǎn).

3.(2023下?河南?高三校聯(lián)考階段練習(xí))己知函數(shù)f(x)=a尤-Inx,oeR.

(1)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作f(x)的切線，求該切線的方程；

⑵證明：當(dāng)。＜0時(shí)，/(?+依2=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.

題型三：根據(jù)零點(diǎn)(根)的個(gè)數(shù)求參數(shù)

1.(2023上?北京?高三景山學(xué)校?？计谥?已知函數(shù)〃x)=ln(ax)-g無(wú)3(4片0).

⑴當(dāng)。=2時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)二,出"處的切線方程；

⑵討論函數(shù)的單調(diào)性；

⑶當(dāng)。=1時(shí)，設(shè)g(x)=/(x)+r,若g(?有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求參數(shù)r的取值范圍.

三、專項(xiàng)訓(xùn)練

一、單選題

1.（2024上?廣東江門(mén)?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）直線尤+y=0與函數(shù)y=lnx-Y的圖象公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

2.（2023上?河北?高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)/（x）=eAa-lnx-a有兩個(gè)零點(diǎn)，貝"的取值范圍為（）

A.（l,+oo）B.（e,+co）C.[1,+℃）D.[e,+oo）

3.（2023下廣東陽(yáng)江,高二?？计谥校┤艉瘮?shù)/（尤）=尤3-3x-左在R上只有一個(gè)零點(diǎn)，則常數(shù)k的取值范圍

是（）

A.（YO,T）B.（2,+co）

C.（^?,-l）u（l,+oo）D.（―,-2）U（2,+a3）

二、填空題

Inx

4.（2023上?江蘇常州?高三統(tǒng)考期中）若關(guān)于x的方程一=f有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)f的取值范

x-2

圍是.

￡±1x<0

5.（2023?貴州遵義?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃x）=e，'-，若關(guān)于x的不等式/（%）+4（耳<0恰

x2-x,x>0

有一個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

6.（2023下?重慶江北?高二重慶十八中?？计谥校┮阎瘮?shù)=的圖象與函數(shù)g（x）=ar+alnx的圖

象有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

三、問(wèn)答題

7.（2023上?山東?高三濟(jì)南一中校聯(lián)考期中）已知函數(shù)〃工）=二+2召—依+2（aeR）.

⑴若函數(shù)y=在xe[l,+e）上單調(diào)遞增，求。的取值范圍；

⑵若函數(shù)y=/（x）的圖象與y=4。-元）有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求〃的取值范圍.

8.(2023上?吉林長(zhǎng)春?高一吉林省實(shí)驗(yàn)?？计谥?已知函數(shù)/(x)=V—(a+2)x+aln尤，(aeR)

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn)；

(2)若。=4,方程7。)-機(jī)=0有三個(gè)不同的根，求機(jī)的取值范圍.

9.(2023上■江蘇■圖二校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=-尤,sinx-cosx.

⑴若曲線y=在點(diǎn)(%"(x。))處的切線與x軸平行，求該切線方程；

⑵討論曲線y=〃尤)與直線y=。的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

10.(2023下?山東荷澤?高二?？茧A段練習(xí))給定函數(shù)〃x)=(x+3)e，

(1)判斷的單調(diào)性并求極值；

⑵討論/(x)=7〃(nieR)解的個(gè)數(shù).

專題07利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題

(典型題型歸類訓(xùn)練)

目錄

一、必備秘籍........................................................1

二、典型題型........................................................2

題型一：判斷(討論)零點(diǎn)(根)個(gè)數(shù)問(wèn)題...........................2

題型二：證明唯一零點(diǎn)問(wèn)題.........................................3

題型三：根據(jù)零點(diǎn)(根)的個(gè)數(shù)求參數(shù)...............................4

三、專項(xiàng)訓(xùn)練........................................................5

一、必備秘籍

1、函數(shù)的零點(diǎn)

(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義：對(duì)于函數(shù)y=/O),把使/(%)=0的實(shí)數(shù)》叫做函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn).

(2)三個(gè)等價(jià)關(guān)系

方程/(%)=0有實(shí)數(shù)根。函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)o函數(shù)y=/(x)有零點(diǎn).

2、函數(shù)零點(diǎn)的判定

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間句上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有/3>/3)<0,那么函數(shù)

y=/(x)在區(qū)間(。力)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在ce(a,b),使得/(c)=0,這個(gè)。也就是/(x)=0的根.我們把

這一結(jié)論稱為函數(shù)零點(diǎn)存在性定理.

注意：?jiǎn)握{(diào)性+存在零點(diǎn)=唯一零點(diǎn)

3、利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)零點(diǎn)的常用方法

(1)圖象法：根據(jù)題目要求畫(huà)出函數(shù)的圖象，標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置，借助數(shù)形結(jié)合的思想分析問(wèn)題(畫(huà)草

圖時(shí)注意有時(shí)候需使用極限).

(2)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理：先用該定理判定函數(shù)在某區(qū)間上有零點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極

值(最值)及區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)，進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

4、利用函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)范圍的方法

(1)分離參數(shù)(a=g(x))后，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=g。)的值域(最值)問(wèn)題或轉(zhuǎn)化為直線V=。與y=g(x)的

圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題(優(yōu)選分離、次選分類)求解；

(2)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理構(gòu)建不等式求解；

(3)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式求解.

二、典型題型

題型一：判斷(討論)零點(diǎn)(根)個(gè)數(shù)問(wèn)題

1.(2023?河北邯鄲?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=lnx+(a—2)x+a.

⑴若a=l,求曲線y=/(x)在點(diǎn)(ej(e))處的切線方程；

(2)討論函數(shù)/(X)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【答案】①]：一1卜一y+l=0

⑵答案見(jiàn)解析

【詳解】(1)當(dāng)a=l時(shí)/(x)=lnx—x+l,貝ij/(e)=lne—e+l=2—e,

r(x)=--l,所以尸(e)」一1,

xe

所以曲線y=〃x)在點(diǎn)(e"(e))處的切線方程為y-(2-e)=g-"(x-e),即1-1卜-y+1=0.

(2)函數(shù)〃x)=lnx+(a-2)x+a定義域?yàn)?0,+8),

=—+a-2,

當(dāng)a-220,即a?2時(shí)外")>°恒成立，所以〃尤)在(。，+“)上單調(diào)遞增，

又當(dāng)x趨向于。時(shí)〃x)<0,/(l)=2a-2>0,所以函數(shù)〃力有一個(gè)零點(diǎn);

當(dāng)a-2<0,即a<2時(shí)令/'(x)=0,解得x=—，

所以當(dāng)0<%〈七時(shí)方(無(wú))>。，當(dāng)尤>心時(shí)r(尤)<。，

所以/(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,

當(dāng)X趨向于0時(shí)/(尤)<0,當(dāng)X趨向于正無(wú)窮時(shí)〃x)<0,又，4]=ln(不匚]-1+”,

—CL)[2—CL)

1

令"(a)=In—1+〃(a<2),

2—ci

貝U〃(a)=4+l>0,所以〃(a)在(—,2)上單調(diào)遞增，且可1)=0,

若=1"六)T+“>°'即1<"<2時(shí)函數(shù)〃x)有兩個(gè)零點(diǎn)；

若/［一［=1"占卜1+"=°'即。=1時(shí)函數(shù)A”有一個(gè)零點(diǎn)；

若/(￡］=ln［六］T+"。，即。<1時(shí)函數(shù)/(X)沒(méi)有零點(diǎn)；

綜上，當(dāng)a<1時(shí)函數(shù)〃x)沒(méi)有零點(diǎn)，當(dāng)。=1或時(shí)函數(shù)〃x)有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)1<。<2時(shí)函數(shù)〃x)有兩

個(gè)零點(diǎn).

2.(2023?陜西渭南?校考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=e，-"-1,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)求/⑴的單調(diào)區(qū)間：

⑵討論函數(shù)/(X)在區(qū)間［。山上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【答案】(1)答案見(jiàn)解析

⑵答案見(jiàn)解析

【詳解】C1)因?yàn)?(x)=e*-or-l,所以f(x)=e*-a,

當(dāng)a40時(shí)，/(幻>0恒成立，

所以的單調(diào)增區(qū)間為(-?,+?),無(wú)單調(diào)減區(qū)間.

當(dāng)a>0時(shí)，令f\x)<0,得x<Ina,

令TOO,得x>lna,

所以/“)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-jIna),單調(diào)遞增區(qū)間為(Ina,+8).

(2)由(1)知,f'(x)=ex-a.

①當(dāng)a41時(shí)，/(x)在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞增且f(0)=0,

所以/")在區(qū)間［0,1］上有一個(gè)零點(diǎn).

②當(dāng)a2e時(shí)，/(%)在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞減且/(0)=0,

所以,⑴在區(qū)間［0,1］上有一個(gè)零點(diǎn).

③當(dāng)l<a<e時(shí)，/(x)在區(qū)間［0,Ina］上單調(diào)遞減，在(Ina,1］上單調(diào)遞增,

而/(l)=e-a-l.

當(dāng)e-a-120,即l<aVe-1時(shí)，/(元)在區(qū)間［0,1］上有兩個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)e—a—1<0,即e-l<a<e時(shí),/*)在區(qū)間［0,1］上有一個(gè)零點(diǎn).

綜上可知，當(dāng)aVl或a>e-l時(shí)，/⑺在［0,1］上有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)l<aWe-l時(shí)，/(x)在區(qū)間［。,1］上有兩個(gè)零點(diǎn).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)零點(diǎn)常用方法

(1)構(gòu)造新函數(shù)g(x),利用導(dǎo)數(shù)研究g@)的性質(zhì)，結(jié)合g(x)的圖象，判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

(2)利用零點(diǎn)存在定理，先判斷函數(shù)在某區(qū)間有零點(diǎn)，再結(jié)合圖象與性質(zhì)確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).

3.(2023上?廣東中山?高三校考階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(尤)="1尤2-g(x^x2~(m+r)x,m>0.

⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)機(jī)“時(shí)，討論/(x)與g(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是(而,”)，單調(diào)遞減區(qū)間是(0,而)

(2)函數(shù)“X)與g(無(wú))的圖象總有一個(gè)交點(diǎn)

【詳解】(1)函數(shù)“X)的定義域?yàn)?0,+“)，尸⑺」犬+冊(cè))6刊.

當(dāng)0<尤<而時(shí)，/，(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)尤〉而時(shí)，f^)>0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞增.

綜上，函數(shù)/(無(wú))的單調(diào)遞增區(qū)間是(赤，+8),單調(diào)遞減區(qū)間是(。，市).

⑵令尸(x)=/(x)-g(x)=+(m+l)x-mlnx,x>0,

題中問(wèn)題等價(jià)于求函數(shù)尸(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

〃⑺=T+(m+l)-『-生牛⑹，

當(dāng)相=1時(shí)，F(xiàn)(x)<0,函數(shù)尸(x)為減函數(shù)，

因?yàn)镕⑴=]>(),F(4)=-ln4<0,所以網(wǎng)尤)有唯一零點(diǎn)；

當(dāng)加>1時(shí)，0<x<l或時(shí)，F(xiàn),(x)<0；1cx時(shí)，F(xiàn)z(x)>0,

所以函數(shù)歹(X)在(0,1)和(m,+30)上單調(diào)遞減，在(1,m)上單調(diào)遞增，

因?yàn)槭?1)=根+(>。，

F(2m+2)=—?71n(2o7+2)<0,

所以*x)有唯一零點(diǎn).

綜上，函數(shù)“尤)有唯一零點(diǎn)，即函數(shù)〃尤)與g(x)的圖象總有一個(gè)交點(diǎn).

4.(2023上?上海虹口?高三?？计谥?函數(shù)/'(x)=sinx+cosx,g(x)=lnx

(1)求函數(shù)y=/(尤)在點(diǎn)(0,1)的切線方程;

(2)函數(shù)y=§+2gQ),(meR,777^0),是否存在極值點(diǎn)，若存在求出極值點(diǎn)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由;

⑶若小eR,請(qǐng)討論關(guān)于X的方程小?=/-2eX+相解的個(gè)數(shù)情況.

［答案］⑴％_y+i=o；

⑵m<0時(shí)無(wú)極值點(diǎn)；m>0時(shí)有極小值點(diǎn)X=而，無(wú)極大值點(diǎn).

⑶答案見(jiàn)解析.

【詳解】(1)由題設(shè)/'(X)=cos尤-sinx,則/'(0)=1,而洋0)=1,

所以，切線方為y-i=x,即x-y+i=o.

2A77

(2)由題設(shè)y=—rn+21nx,則y=—(1—1),且x￡(0,+(x)),

XXX

當(dāng)機(jī)v。時(shí)，y'>0恒成立，故〉=二+21nx在(0,+s)上遞增，無(wú)極值；

x

當(dāng)機(jī)>0時(shí)，xG(0,Vm)<0,%￡(V^?,+8)時(shí)y'>0,

貝！Jy=2+21nx在%￡(0,詬)上遞減，在%￡(標(biāo),+8)上遞增；

此時(shí)有極小值點(diǎn)為尤=而，無(wú)極大值點(diǎn).

Inx

(3)由題意，只需討論根=——/+2前在%￡(0,+s)上根的情況，

x

令/z(x)=+2ex,貝=~^^+2(e-x),而〃(e)=0,

xx

當(dāng)?！?0,e)時(shí)/(尤)>0,/z(x)遞增；當(dāng)無(wú)￡(e,+8)時(shí)〃(%)<0,/?(%)遞減；

且x趨向0或+8時(shí)%(%)趨向-，極大值為人(e)='+e2,

e

綜上，當(dāng)根〉，+e2,原方程有無(wú)解；當(dāng)機(jī)=工+匕2,原方程有一個(gè)解；當(dāng)加<1+。2,原方程有兩個(gè)解;

eee

5.(2023上?廣東揭陽(yáng)?高三統(tǒng)考期中)給定函數(shù)〃x)=(x+2)e\

⑴討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性，并求出/(%)的極值；

(2)討論方程/⑺=。(。eR)解的個(gè)數(shù).

【答案】⑴〃尤)在區(qū)間(―,-3)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(-3,內(nèi))上單調(diào)遞增；極小值為-《，無(wú)極大值

(2)答案見(jiàn)解析

【詳解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)閤eR.

r(x)=(x+2)&+(x+2乂e*)'

=e，+(x+2)e，=(x+3)e\

令/'(x)=0,解得x=-3,

f\x),“X)的變化情況如表所示.

X-3(-3,+co)

/(x)-0+

“X)單調(diào)遞減單調(diào)遞增

e3

所以，“X)在區(qū)間(為,-3)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(-3,—)上單調(diào)遞增.

當(dāng)尤=一3時(shí)，〃力有極小值〃-3)=-，，/(X)無(wú)極大值

(2)方程/(x)=a(aeR)的解的個(gè)數(shù)為函數(shù)y=的圖象與直線y=。的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

令〃x)=0,解得x=—2.

當(dāng)尤＜一2時(shí)，/(x)＜0；當(dāng)x＞-2時(shí),/(x)＞0.

又由(1)可知，"X)在尤=-3時(shí)有唯一極小值，也是最小值-

所以，的圖象經(jīng)過(guò)特殊點(diǎn)1-3,(-2,0),(0,2).

且當(dāng)x＞0時(shí),有〃x)=(x+2)eje，；

當(dāng)尤＜一2時(shí)，有"x)=(x+2)e，＜0.

如圖，作出函數(shù)的圖象

由圖象可得，

當(dāng)時(shí)，y=f(x)與的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，所以方程〃x)=a的解為。個(gè)；

當(dāng)。=-5或。20時(shí)，y=/(x)與y="的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，所以方程=a的解為1個(gè);

當(dāng)-4＜。＜0時(shí)，y=〃x)與y=。的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以方程〃力=。的解為2個(gè).

題型二：證明唯一零點(diǎn)問(wèn)題

1.(2023上廣東珠海?高三?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=2sinx-xcosx-x,y=尸(力為y=的導(dǎo)

數(shù).

⑴求曲線y=〃x)在[jg,處的切線方程：

(2)證明:丫=/(無(wú))在區(qū)間(0㈤存在唯一零點(diǎn)；

【答案】(1)，=(，-小+2-?；

⑵證明見(jiàn)解析.

【詳解】(1)f[^)=2sm2~2C°S2~2=2~2,所以切點(diǎn)為[32-刃|,

又/'（九）=2cosx-cosx+xsinx-l=cosx+xsinx-1，

所以左=/15j=cos5+Tsin5—l=5-l,

所以切線方程為y_（2---]]，即y=^|T）X+2_5;

(2)由(1)矢口/'(x)=cos犬+xsinx-1,令g(x)=/'(x)=cosx+xsinx-l

貝！Jg'(%)=一sinx+sinx+xcosx=xcosx,

令g[x)>0,解得XJo,此時(shí)g(x)單調(diào)遞增，

令g[x)<0,解得此時(shí)g(x)單調(diào)遞減，

所以g(x)max=&0=/1>。,

又g⑼=1-1=0,所以在區(qū)間]。,￡|上g(x)>0恒成立，

g(7i)=-l-l=-2<0,所以存在％eg,。使得g(x())=0,

所以g(x)在(0,兀)上存在唯一的零點(diǎn)七,

即y=/(力在區(qū)間(o,兀)存在唯一零點(diǎn),得證.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)問(wèn)題一般可以先通過(guò)求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性判斷函數(shù)的圖像，根據(jù)

圖像解決相關(guān)問(wèn)題.

2.(2023上?黑龍江?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)/'(x)=x+lnx,g(x)=e'lnx+a,且函數(shù)的零

點(diǎn)是函數(shù)g(x)的零點(diǎn).

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

(2)證明：y=g(x)有唯一零點(diǎn).

【答案】(1)1

⑵證明見(jiàn)詳解

【詳解】(1)由，(x)=x+lnx易判斷〃尤)在(0,+功單調(diào)遞增，

且/臼」+1/」一1<0,f(l)=l+lnl=l>0,

VeJeee

所以可令/(%o)=Xo+ln/=0,

得%=Tn%,所以Xo+ln/=111(%0匕與)=。=%0匕%=1,

由題意g(%o)=0,即e%In%+〃=-e^Xo+a=-l+a=O9

所以Q=1；

(2)g(x)=e"lnx+l,則g<x)=e(lnx+1,

令p(x)=lnx+，，貝|//(尤)=1y=,

XXXJC

所以當(dāng)xw(O,l)時(shí)，p(x)<0,P(尤)單調(diào)遞減，當(dāng)xw(l,+°o)時(shí)，0(尤)>0,P(x)單調(diào)遞增，所以

p(x)2p⑴=1>0,

所以，(尤)=e(ln尤+：)>0,

結(jié)合(1)可得存在唯一使得g(%)=0,即函數(shù)y=g(x)有唯一零點(diǎn).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題(D的關(guān)鍵是通過(guò)同構(gòu)得出％e'。=1；(2)的關(guān)鍵是二次求導(dǎo)確定函數(shù)的

單調(diào)性.

3.(2023下?河南?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)f(x)=ox-lnx,?eR.

⑴過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作〃x)的切線，求該切線的方程；

⑵證明：當(dāng)好0時(shí)，/。)+以2=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.

【答案】(i)y=,T]x

(2)證明見(jiàn)解析

【詳解】(1)函數(shù)〃尤)的定義域?yàn)?0,+動(dòng)，設(shè)切點(diǎn)為(如/-皿)，

f'[x)=a--,則((%0)=。-工，

X玉)

故切線方程為丁-(硒)-1叫))=a(x-x0),

Ixo)

由切線過(guò)原點(diǎn)。一(o%—1叫))=A-----^(O-XQ),得/=e,

所以所求切線方程為y=jx；

（2）要證明a<0時(shí)，/（力+依2=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，

即證+=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，

令/2（犬）=辦一101：+加（%>0）,

l7，/\］clax2+ax-1?

貝17n?。?）=a---F2ax=----------<0，

xx

即〃（%）單調(diào)遞減，

當(dāng)x=時(shí)，=ae"—3a+ae，">a—3a+a=—a>0,

又力⑴=2av0,

由此可知，〃（%）的圖象在（O,+。）上有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，

從而。<0時(shí)，/（九）+依2=。只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)解題思路是構(gòu)造函數(shù)令人（同=改-lnx+辦2@>0）,結(jié)合零點(diǎn)存在性定理求

解.

題型三：根據(jù)零點(diǎn)（根）的個(gè)數(shù)求參數(shù)

1.（2023上?北京?高三景山學(xué)校?？计谥校┮阎瘮?shù)/（x）=ln（ax）-；尤3mH0）.

⑴當(dāng)。=2時(shí)，求曲線y=/（x）在點(diǎn)g，U處的切線方程；

⑵討論函數(shù)/（X）的單調(diào)性；

（3）當(dāng)。=1時(shí)，設(shè)g（元）=/（元）+/,若g（尤）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求參數(shù)f的取值范圍.

【答案】（l）2U2y-ll=0；

（2）答案見(jiàn)解析；

⑶，>；.

【詳解】（1）由題設(shè)/（元）=ln（2x）尤3,則廣⑴△一爐,故/（3=一上，

3x22424

所以在點(diǎn)［I，/］；1］處的切線方程為>+：=］（無(wú)一；），Bp21x-12y-ll=0.

\1_3

（2）由尸（無(wú)）=上一無(wú)2=￡^rL,

xx

當(dāng)。<0,定義域?yàn)閤e（』,0）,此時(shí)l-d>o,故尸（無(wú)）<0,即?。┰冢?8,0）上遞減;

當(dāng)。>0,定義域?yàn)楣ぁ?0,+oo),

若工￡(0,1),則八%)>0,/(%)在(0,1)上遞增;

若工￡(1,+8),則r(x)<0,/(x)在(1,+00)上遞減；

(3)由題設(shè)，f(x)=lnx--x,故g(x)=lnx-§d+/在無(wú)￡(0,+8)有兩個(gè)不同零點(diǎn),

所以t=gx3-inx在在尤40,+8)有兩個(gè)不同根，

1丫3_］

令人>)=一%3一1口工，則/(%)=----,

3x

在無(wú)￡(0,1),則〃(x)<0,力(X)在(0,1)上遞減，

在%￡(1,+8),則%尤)>0,/z(x)在(1,+00)上遞增，且人⑴=g,

X趨向于?；?8時(shí)人(尤)都趨向于+8,故只需滿足題設(shè).

2.(2023?陜西咸陽(yáng)??？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃%)=疣二履2歡￡R.

⑴當(dāng)k=0時(shí)，求函數(shù)/⑺在［-2,2］上的值域；

⑵若函數(shù)/(力在(0,+")上僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

1J

【答案】⑴—，2e2

e

(2)(e,+oo)

【詳解】(1)當(dāng)％=0時(shí)，/(x)=x-e"(xeR),所以解(x)=(l+x>e",

令廣(力=。，則X=T.

(-2,-1)-1(T2)

-0+

“X)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

12

所以〃尤)min="T)=一『=一一，又〃一2)=-三,"2)=2d,

ee

所以“X)在［-2,2］上的值域?yàn)?。2片.

(2)函數(shù)/(天上m'-小=x(e'-Ax)在(0,+s)上僅有兩個(gè)零點(diǎn),

令g(x)=e“-kx,則問(wèn)題等價(jià)于g(x)在(0,+8)上僅有兩個(gè)零點(diǎn),

易求g《x)=e、J左，因?yàn)閤e(0,4w),所以e*>L

①當(dāng)左時(shí)，8'(尤)>0在(0,+8)上恒成立，所以g(無(wú))在(0,+功上單調(diào)遞增，

所以g(x)>g(O)=l,所以g(x)在(O,+e)上沒(méi)有零點(diǎn)，不符合題意；

②當(dāng)左e(l,+oo)時(shí),令g[x)=O,得x=ln3

所以在(0,如左)上g'(%)<0,在(1M,+8)上g'(x)>0,

所以g(元)在(0/")上單調(diào)遞減，在0成,+動(dòng)上單調(diào)遞增，

所以g(x)的最小值為g(lnF)=左-左?1水,

因?yàn)間(x)在(0,+8)上有兩個(gè)零點(diǎn)，

所以g(ln&)=左一左JM<0,所以左>e.

因?yàn)間(0)=l>0,g(ln左2)=左2—左.]n左2=左(左_21n左)，

7Y-?

令/z(x)=尤-21nx,/7'(元)=1-二=---,

所以在(0,2)上〃(x)<0,在(2,+8)上,〃(x)>0,所以無(wú)⑴在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增;

所以;/(尤)上2—21n2=lne2—ln4>0,所以g(l加=左(左一2皿)>0,

所以當(dāng)k>e時(shí)，g(x)在(0,1加)和(in匕+8)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，即當(dāng)“e時(shí)，g(無(wú))在(0,+<?)上僅有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上，實(shí)數(shù)上的取值范圍是(e,+8).

3.(2023上■重慶涪陵?高三重慶市涪陵高級(jí)中學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)=gx3+?x,g(x)=-x2-a(aeK).

(1)若函數(shù)/。)=〃幻-8。)在工€[1,+8)上單調(diào)遞增，求。的最小值；

(2)若函數(shù)G(x)=/(x)+g(x)的圖象與>=依有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求〃的取值范圍.

【答案】⑴-3

4

(2)u(0,?)

【詳解】(1)F(x)=f(x)-g(x)=^x3+ax+x2+a,F'(x)=x2+2x+a,

因函數(shù)/。)=/(尤)-g(x)在無(wú)e[1,+8)上單調(diào)遞增，

所以尸'(x)=V+2》+。之0在無(wú)e[l,+oo)T亙成立，gpa>(-x2-2x),a>-3,

???〃的最小值為-3.

(2)G(x)=/(x)+g(%)=93—公+?”與丁=辦有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

即^x3-x2+ax-a=ax只有一個(gè)根，

-x2-〃=0只有一個(gè)根，

令〃⑺=；/一一,所以〃⑺的圖象與y=a的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，

/?,（x）=x2-2x,令〃（x）＞0,解得x＜0或x＞2,

令〃（無(wú)）＜0,解得0＜x＜2,所以萬(wàn)⑺在（一嗎0）,（2,+8）上單調(diào)遞增,（0,2）上單調(diào)遞減，〃（x）的圖象如

下所示：

??力⑺極大值=人⑼=°皿"極小值=〃⑵=一g，

又的圖象與y=a的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，

4

a€（-co,--）u（0,oo）.

2

4.（2023下?湖南衡陽(yáng)?高二校考階段練習(xí)）己知函數(shù)/（x）=§尤3-信+1）尤2+2履，g⑺=2履+1（其中keR）.

⑴討論函數(shù)〃尤）的單調(diào)性；

⑵若方程f（x）=g（x）有三個(gè)根，求左的取值范圍.

【答案】⑴答案見(jiàn)解析

（2）（9,_珍-1）.

【詳解】（1）解：由題意得函數(shù)〃元）的定義域?yàn)镽,

/'（尤）=2尤2-2（左+l）x+2左=2（%—1）（了一女）,

①當(dāng)左=1時(shí)，/'（%）＞0,即/（尤）在R上單調(diào)遞增；

②當(dāng)左＞1時(shí)，由/''（x）＞0,得x＜l或無(wú)〉上，由/得l＜x＜左，

\〃勾在（1，無(wú)）上單調(diào)遞減,在（＜，1）和（k+8）上單調(diào)遞增;

③當(dāng)左＜1時(shí)，由/''（x）＞0得了＜兀或x＞l,由/'（x）＜0得k＜x＜l,

\〃尤）在（晨1）上單調(diào)遞減，在（―，左）和（1，+8）上單調(diào)遞增，

綜上所述，當(dāng)左=1時(shí)，“X）在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)上＞1時(shí)，“X）在（1,左）上單調(diào)遞減，在（-8,1）和伏,+00）上單調(diào)遞增；

當(dāng)左＜1時(shí),“尤）在（k1）上單調(diào)遞減，在（-?，外和（1，+8）上單調(diào)遞增；

(2)方程〃x)=g("有三個(gè)根，即-依+1)/+2履=2辰+1有三個(gè)根，

.?yd-伏+1)/_1=0有三個(gè)根，顯然x=0不是方程的根，

則％=9(x1-有三個(gè)根，即>=上與函數(shù)〃(x)=：9x-十1-1的圖象有三個(gè)交點(diǎn),

h'(x)=-+^,令〃(x)=0,可得x=_%，

由〃(x)>0,可得x<—旨或x>0,由〃'(x)<0,可得一跖<尤<0,

則h(x)在~,-汨和(0,+8)上單調(diào)遞增，在卜班,0)上單調(diào)遞減，

r./z(x)在％=-^3處取得極大值為h：一回1,

當(dāng)Xf-8時(shí)，/z(x)->YO,當(dāng)x->0-時(shí)，/z(x)->ro,

當(dāng)尤.0+時(shí)，〃(無(wú))-當(dāng)xf+oo時(shí)，/?(x)f+co,

如圖所示：

,、D1

，要使y=左與函數(shù)〃(x)=三無(wú)--T-1的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，

3x

只需左〈-為-1,.”的取值范圍是卜8,-3-1).

5.(2023下?浙江衢州?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(x)=F

⑴若過(guò)點(diǎn)(0,〃z)作函數(shù)/(尤)的切線有且僅有兩條，求〃?的值；

(2)若對(duì)于任意左e(3,0),直線廣質(zhì)+》與曲線y=/(x)(xe(O,+8))都有唯一交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

4

【答案】(1)m=下

e

4

⑵?

【詳解】(1)設(shè)過(guò)點(diǎn)(。,〃2)作函數(shù)〃尤)切線的切點(diǎn)為［.A),

因?yàn)閞(x)=±3,所以切線方程為y-==F(x-。)，BPy=—x+—,

eeeee

2

又因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)(0,加)，所以機(jī)=3

令g(x)=9,則8，(司=哼立，

ce

所以xe(-oo,0),g1尤)<0,g(x)遞減;

xe(O,2),g，(x)>0,g(x)遞增;

xe(2,-H?),g[x)<0,g(x)遞減.

當(dāng)尤=0時(shí)，g(x)取極小值g(0)=0；當(dāng)x=2時(shí)，g(x)取極小值g⑵=，,

g(o)=o,尤<0時(shí)g(x)>0；尤>0時(shí)g(x)>0,

根據(jù)以上信息作出g(x)的大致圖象，

由題意，直線y=加與g(元)的圖象有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，

4

所以機(jī)=g⑵=下.

e

Y11~)

(2)由題可得日+人==有唯一解，即左==-一出>。有唯一解.

eex

i卜

令/z(x)=——,%>0,

ex

若bwo,貝1」了一一>0與題設(shè)左￡(—,0),矛盾，故b>0.

ex

又因?yàn)閤f0,/2(%)一—8;%f+8,/z(x)^O,

1h

結(jié)合題意可得"(X)=《在(0,+8)上單調(diào)遞增，

ex

結(jié)合⑴可得用=。所以》q.

三、專項(xiàng)訓(xùn)練

一、單選題

1.(2024上?廣東江門(mén)?高三統(tǒng)考階段練習(xí))直線x+y=O與函數(shù)y=lnx-/的圖象公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

[詳解]聯(lián)立x+y=0與y=]nx—尤2,消去y得，/一元_inx=0,

令/(無(wú))=x2-x-lnx,xe(0,+<?),求導(dǎo)得f'(x)=2x-l--=+~,

xx

當(dāng)xe(0,l)時(shí)，尸(x)<0J(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xe(l,+s)時(shí)，r(x)>0,〃x)單調(diào)遞增，

因此/(X)mm=/⑴=0，函數(shù)F3有唯一零點(diǎn)1,

所以直線無(wú)+丁=0與函數(shù)y=lnx-尤2的圖象公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為L(zhǎng)

故選：B

2.(2023上?河北?高三校聯(lián)考期末)已知函數(shù)/(%)=/-“-Inr-。有兩個(gè)零點(diǎn)，貝的取值范圍為()

A.(1,+(?)B.(e,+co)C.[1,+℃)D.[e,-H?)

【答案】A

【詳解】令/3=。,則ei=lwc+a,

注意函數(shù)/=6>。與函數(shù)y=hu:+a互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，

則要使函數(shù)/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，只需y=hu+。與直線y=x有兩個(gè)交點(diǎn)即可，

即關(guān)于X的方程lnx+a=x有兩個(gè)根，即。=x-hu在(0,+8)上有兩個(gè)根，

設(shè)g(x)=x-lnx,貝i]g[x)=l-L

X

易知當(dāng)0<x<l時(shí)，gr(x)<0,g(無(wú))單調(diào)遞減，

當(dāng)x>l時(shí)，g'(x)>。，g(x)單調(diào)遞增，

則g(X)min=g(D=l，且X-。時(shí)，g(X)T"+<?,當(dāng)X-+8時(shí)，g(x)—+co，

故4>1,

故選：A.

3.(2023下?廣東陽(yáng)江?高二?？计谥?若函數(shù)，(x)=V-3x-人在R上只有一個(gè)零點(diǎn)，則常數(shù)k的取值范圍

是()

A.(-<x>,-l)B.(2,+8)

C.(^?,-l)u(l,+oo)D.(f,-2)U(2,+s)

【答案】D

【詳解】令/(x)=d-3x-左=0,貝1]/-3%=上，

構(gòu)建g(力=爐-3了，原題意等價(jià)于y=g(力與”上有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，

因?yàn)間，(x)=3/-3,

令g'(x)>0，解得x>l或無(wú)<T;令g'(x)<0,解得一

則y=g(x)在(—,T),(i，y)上單調(diào)遞增，在(Tl)上單調(diào)遞減，

可得y=g(x)在X=-1處取到極大值g(T)=2,在x=1處取到極小值g⑴=-2,

且當(dāng)x趨近于時(shí)，y=g(x)趨近于一°°,當(dāng)x趨近于+8時(shí)，y=g(x)趨近于+℃,

結(jié)合y=g(x)的圖象可知：若y=g(尤)與丫=上有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則上<—2或左>2,

所以常數(shù)k的取值范圍是(-8,-2)U(2,y).

故選：D.

二、填空題

InX

4.(2023上?江蘇常州?高三統(tǒng)考期中)若關(guān)于x的方程一=f有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)7的取值范

x-2

圍是.

【答案】(0,+8)

121

1nx一(x—2)—InxI----Inx

【詳解】令y=〃x)=—^且xw(0,2)U(2,”),則_x__________二%

x—2一(x-2)2.(%—2產(chǎn)

令g(無(wú))=l_2_lnx,則g'(無(wú))=於一，=^~^,

%XXX

當(dāng)xe(O,2)時(shí)g'(x)>0,即g(x)遞增；當(dāng)XW(2,4?)時(shí)g'(x)<0,即g(x)遞減；

所以g(x)1mx=g(2)=—ln2<。，故以(x)<0恒成立,即在(0,2)、(2,+8)上遞減,

而Ovxcl時(shí)/(x)>0；1cx<2時(shí)/'(x)<0；x>2時(shí)/(x)>0；

所以y=F(x)的圖象如下圖示，故〃尤)=，有兩個(gè)根0te(0,+s).

故答案為：(0,+8)

----%<0

5.(2023?貴州遵義?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=e*'-，若關(guān)于x的不等式產(chǎn)(力+療(x)<0恰

x2-x,x>0

有一個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為.

【答案】[-2,—l)u(e2,2e3]

r，(、(x+l^ier-(%+l)er-x

【詳解】當(dāng)x<0時(shí)，fW=rj=―鬲—=/上。，

即函數(shù)/(X)在(F,0]上單調(diào)遞增

/(-3)=-2e3,/(-2)=-e2,/(-l)=O,/(O)=l,/(l)=O,/(2)=2

函數(shù)〃尤)的圖像如下圖所示:

由f(x)+4(x)<0得出f(x)(f(x)+o)<0,

當(dāng)。=0時(shí)，顯然不成立.

但a>0時(shí)，解得-a</(x)<。，使得不等式只有唯一整數(shù)解，Itm-2e3<-a<-e2.

即e2<aW2e3時(shí)，唯一整數(shù)解是x=-2,

當(dāng)a<0時(shí)，0</(x)<-a,使得不等式只有唯一整數(shù)解，此時(shí)

即—24。<—1時(shí)，唯一整數(shù)解是x=0.

綜上，ae[-2,-l)o(e2,2e3].

故答案為：卜2,-l)u(e2,2e3]

6.(2023下?重慶江北?高二重慶十八中?？计谥?已知函數(shù)=的圖象與函數(shù)g(x)=or+alnr的圖

象有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】(e,+8)

【詳解】因?yàn)椤▁)=xe*=e"111”,g(x)=izx+alnx=a(x+ln尤),

且、=x,y=ln尤在(0,+8)上單調(diào)遞增，可知f=x+lnx在(0,+(?)上單調(diào)遞增，

由題意可知：函數(shù)y=e,的圖象與函數(shù)y=〃的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

又因?yàn)閥'=e',

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(根,加)，則切線斜率左=e“，切線方程為>-泌=曖(/-根)，

若切線過(guò)原點(diǎn)，貝！J-e"'=-加e"',解得"z=l,A=e,

結(jié)合圖象可知：若函數(shù)y=e'的圖象與函數(shù)y=a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則a>e,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是(e,+00).

故答案為：(e,+8).

三、問(wèn)答題

7.(2023上,山東,高三濟(jì)南一中校聯(lián)考期中)已知函數(shù)"xb三+Zd-分+2(aw

⑴若函數(shù)y=〃x)在xe[l,+8)上單調(diào)遞增，求。的取值范圍；

(2)若函數(shù)y=的圖象與y=a(l-尤)有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍.

【答案】⑴(-8,7]

(2)ae(-℃,2)U^—

【詳解】(1)由/'(元)=爐+2x?—ar+2,貝(x)=3f+4x—a,

因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x)在xe[l,+e)上單調(diào)遞增，

所以/''(x)=3d+4x-a20在xe[1,+動(dòng)恒成立，

gp^<(3x2+4x),

1V/min

而y=3/+4%在％￡11,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)x=l時(shí)，(3f+4m.=7,

所以“的取值范圍

(2)/(x)=x3+2/-依+2與y=a(l—x)有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

即/+2/_改+2=。(1一%)只有一個(gè)根，尤3+2尤2+2=a只有一個(gè)根，

令網(wǎng)力=三+2/+2,所以h(x)的圖像與>=。的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，

/Z,(X)=3X2+4X,令〃(X)>0,解得?或X>0,

令〃(x)<0,解得—|<x<0,

所以"(x)在，巴-2,(。,+s)上單調(diào)遞增，1*。]上單調(diào)遞減，

所以g)極大值=〃1￡|=||，蛆)極小值=力(0)=2,

又因?yàn)?z(x)的圖像與y=a的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，所以ae(-s,2)u|||,+，|.

8.(2023上?吉林長(zhǎng)春?高一吉林省實(shí)驗(yàn)?？计谥?已知函數(shù)/(力=尤2—(a+2)x+aln尤，(aeR)

(1)