高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：概率與統(tǒng)計(jì)的綜合運(yùn)用（13大題型）（練習(xí)）

專題21概率與統(tǒng)計(jì)的綜合運(yùn)用

目錄

01求概率及隨機(jī)變量的分布列與期望...................................................2

02超幾何分布與二項(xiàng)分布............................................................3

題型03概率與其它知識(shí)的交匯問(wèn)題.........................................................4

題型04期望與方差的實(shí)際應(yīng)用.............................................................6

05正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布...........................................................8

06統(tǒng)計(jì)圖表及數(shù)字特征..............................................................11

07線性回歸與非線性回歸分析........................................................13

題908獨(dú)立性檢驗(yàn)......................................................................16

題理1。9與體育比賽規(guī)則有關(guān)的概率問(wèn)題....................................................18

10決策型問(wèn)題......................................................................20

11遞推型概率命題..................................................................22

12條件概率、全概率公式、貝葉斯公式................................................24

■^113高等背景下的概統(tǒng)問(wèn)題26

一題型01求概率及隨機(jī)變量的分布列與期望

1.（2022?甲卷）甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0

分，沒(méi)有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分

別為0.5,0.4,0,8,各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率;

（2）用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望.

2.（2024?河南?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）盒中有標(biāo)記數(shù)字1,2,3,4的小球各2個(gè)，隨機(jī)一次取出3個(gè)小球.

（1）求取出的3個(gè)小球上的數(shù)字兩兩不同的概率；

（2）記取出的3個(gè)小球上的最小數(shù)字為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望“（X）.

3.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）某科研所計(jì)劃招聘兩名科研人員，共有4人報(bào)名應(yīng)聘.科研所組織了專業(yè)能

力、創(chuàng)新意識(shí)和寫(xiě)作水平三場(chǎng)測(cè)試，每場(chǎng)測(cè)試滿分100分，每名選手在三場(chǎng)測(cè)試中的得分分別按50%，3。％

和20%計(jì)入總分，按總分排序，若總分相同，則依次按專業(yè)能力、創(chuàng)新意識(shí)和寫(xiě)作水平的得分從高到低排

序，前兩名錄取.下表是4名應(yīng)聘者的三場(chǎng)測(cè)試成績(jī)：

項(xiàng)目選手1選手2選手3選手4

專業(yè)能力/分85808284

創(chuàng)新意識(shí)/分80808582

寫(xiě)作水平/分86858688

(1)該科研所應(yīng)招聘哪兩名選手？并說(shuō)明你的理由.

(2)該科研所要求新招聘的兩名科研人員上崗前參加線上培訓(xùn).已知專業(yè)能力、創(chuàng)新意識(shí)和寫(xiě)作水平各有兩

個(gè)線上報(bào)告，培訓(xùn)者需從每個(gè)項(xiàng)目的兩個(gè)報(bào)告中選擇一個(gè)學(xué)習(xí)，記新招聘的兩名科研人員參加學(xué)習(xí)的相同

報(bào)告的數(shù)目為X,求X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.

4.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))班會(huì)課上，甲、乙兩位同學(xué)參加了“心有靈犀”活動(dòng)：從5個(gè)成語(yǔ)中隨機(jī)抽取

3個(gè)，甲同學(xué)負(fù)責(zé)比劃，乙同學(xué)負(fù)責(zé)猜成語(yǔ).甲會(huì)比劃其中3個(gè)，甲會(huì)比劃的成語(yǔ)，乙猜對(duì)的概率為萬(wàn)，

甲不會(huì)比劃的成語(yǔ)，乙無(wú)法猜對(duì).

(1)求甲乙配合猜對(duì)2個(gè)成語(yǔ)的概率；

(2)設(shè)甲乙配合猜對(duì)成語(yǔ)個(gè)數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

■題型。超幾何分布與二項(xiàng)分布

5.(2024?云南曲靖?高三曲靖一中?？茧A段練習(xí))某興趣小組利用所學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題.

(1)現(xiàn)有甲池塘，已知小池塘里有10條鯉魚(yú)，其中紅鯉魚(yú)有4條.若興趣小組捉取3次，每次從甲池塘中

有放回地捉取一條魚(yú)記錄相關(guān)數(shù)據(jù).用X表示其中捉取到紅鯉魚(yú)的條數(shù)，請(qǐng)寫(xiě)出X的分布列，并求出X的

數(shù)學(xué)期望￡(x).

⑵現(xiàn)有乙池塘，已知池塘中有形狀大小相同的紅鯉魚(yú)與黑鯉魚(yú)共10條，其中紅鯉魚(yú)有

條，身為興趣小組隊(duì)長(zhǎng)的駱同學(xué)每次從池塘中捉了1條魚(yú)，做好記錄后放回池塘，設(shè)事件/為“從池塘中

捉取魚(yú)3次，其中恰有2次捉到紅鯉魚(yú)".當(dāng)°時(shí)，事件/發(fā)生的概率最大，求°。的值.

6.(2024?云南昆明?高三云南師大附中?？茧A段練習(xí))某校高一年級(jí)舉行數(shù)學(xué)史知識(shí)競(jìng)賽，每個(gè)同學(xué)從

10道題中一次性抽出4道作答.小張有7道題能答對(duì)，3道不能答對(duì)；小王每道答對(duì)的概率均為P(°<P<D

,且每道題答對(duì)與否互不影響.

(1)分別求小張，小王答對(duì)題目數(shù)的分布列；

(2)若預(yù)測(cè)小張答對(duì)題目數(shù)多于小王答對(duì)題目數(shù)，求？的取值范圍.

7.（2024?廣東肇慶?統(tǒng)考一模）在數(shù)字通信中，信號(hào)是由數(shù)字“0”和“1”組成的序列.現(xiàn)連續(xù)發(fā)射信號(hào)〃

次，每次發(fā)射信號(hào)“0”和“1”是等可能的.記發(fā)射信號(hào)1的次數(shù)為X.

（1）當(dāng)〃=6時(shí)，求尸.42）

（2）已知切比雪夫不等式：對(duì)于任一隨機(jī)變最y,若其數(shù)學(xué)期望“底）和方差均存在，則對(duì)任意正實(shí)數(shù)

a,有尸（?一￡⑺（“六1—一丁.根據(jù)該不等式可以對(duì)事件“，一￡（刈＜"”的概率作出下限估計(jì)為了至少

有98%的把握使發(fā)射信號(hào)“1”的頻率在0.4與0.6之間，試估計(jì)信號(hào)發(fā)射次數(shù)〃的最小值.

?題型03概率與其它知識(shí)的交匯問(wèn)題

8.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，已知三棱錐尸-N2C的三條側(cè)棱P4,PB,尸C兩兩垂直，且

PA=a,PB=b,PC=c,三棱錐尸一/8C的外接球半徑R=2.

（1）求三棱錐尸-N8C的側(cè)面積S的最大值；

（2）若在底面48c上，有一個(gè)小球由頂點(diǎn)A處開(kāi)始隨機(jī)沿底邊自由滾動(dòng)，每次滾動(dòng)一條底邊，滾向頂點(diǎn)8的

112j_

概率為萬(wàn)，滾向頂點(diǎn)C的概率為萬(wàn)；當(dāng)球在頂點(diǎn)3處時(shí)，滾向頂點(diǎn)A的概率為3,滾向頂點(diǎn)C的概率為3

2]_

；當(dāng)球在頂點(diǎn)C處時(shí)，滾向頂點(diǎn)A的概率為3,滾向頂點(diǎn)8的概率為3.若小球滾動(dòng)3次，記球滾到頂點(diǎn)B

處的次數(shù)為x,求數(shù)學(xué)期望“（X）的值.

9.（2024?全國(guó)?高三階段練習(xí)）如圖所示，一只螞蟻從正方體"BCD-44G2的頂點(diǎn)4出發(fā)沿棱爬

行，記螞蟻從一個(gè)頂點(diǎn)到另一個(gè)頂點(diǎn)為一次爬行，每次爬行的方向是隨機(jī)的，螞蟻沿正方體上、下底面上

]_2

的棱爬行的概率為％,沿正方體的側(cè)棱爬行的概率為H.

（1）若螞蟻爬行〃次，求螞蟻在下底面頂點(diǎn)的概率；

（2）若螞蟻爬行5次，記它在頂點(diǎn)0出現(xiàn)的次數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

10.（2024?安徽?蚌埠二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某從事智能教育技術(shù)研發(fā)的科技公司開(kāi)發(fā)了一個(gè)2/作業(yè)”

項(xiàng)目，并且在甲、乙兩個(gè)學(xué)校的高一學(xué)生中做用戶測(cè)試.經(jīng)過(guò)一個(gè)階段的試用，為了解作業(yè)”對(duì)學(xué)生學(xué)

習(xí)的促進(jìn)情況，該公司隨機(jī)抽取了200名學(xué)生，對(duì)他們“向量數(shù)量積”知識(shí)點(diǎn)掌握情況進(jìn)行調(diào)查，樣本調(diào)查

結(jié)果如下表:

甲校乙校

使用//作業(yè)不使用4作業(yè)使用//作業(yè)不使用4作業(yè)

基本掌握32285030

沒(méi)有掌握8141226

用樣本頻率估計(jì)概率，并假設(shè)每位學(xué)生是否掌據(jù)“向量數(shù)量積”知識(shí)點(diǎn)相互獨(dú)立.

(1)從兩校高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生對(duì)“向量數(shù)量積”知識(shí)點(diǎn)基本掌握的概率；

(2)從樣本中沒(méi)有掌握“向量數(shù)量積”知識(shí)點(diǎn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，以占表示這2人中使用//作業(yè)的人

數(shù)，求彳的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)從甲校高一學(xué)生中抽取一名使用“//作業(yè)”的學(xué)生和一名不使用“//作業(yè)”的學(xué)生，用“X=l，，表示該使用

-AI作業(yè)”的學(xué)生基本掌握了“向量數(shù)量積”，用“X=0”表示該使用“//作業(yè)，，的學(xué)生沒(méi)有掌握“向量數(shù)量

積，，，用“y=i”表示該不使用“//作業(yè)”的學(xué)生基本掌握了響量數(shù)量積"，用“卜=?！北硎驹摬皇褂谩?作業(yè)”

的學(xué)生沒(méi)有掌握“向量數(shù)量積”.直接寫(xiě)出方差DX和的大小關(guān)系.(結(jié)論不要求證明)

?題型04期望與方差的實(shí)際應(yīng)用

11.(2024?北京西城?高三統(tǒng)考期末)生活中人們喜愛(ài)用跑步軟件記錄分享自己的運(yùn)動(dòng)軌跡.為了解某地

中學(xué)生和大學(xué)生對(duì)跑步軟件的使用情況，從該地隨機(jī)抽取了200名中學(xué)生和80名大學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們最喜

愛(ài)使用的一款跑步軟件，結(jié)果如下：

跑步軟件一跑步軟件二跑步軟件三跑步軟件四

中學(xué)生80604020

大學(xué)生30202010

假設(shè)大學(xué)生和中學(xué)生對(duì)跑步軟件的喜愛(ài)互不影響.

（1）從該地區(qū)的中學(xué)生和大學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，用頻率估計(jì)概率，試估計(jì)這2人都最喜愛(ài)使用跑步軟件

一的概率；

（2）采用分層抽樣的方式先從樣本中的大學(xué)生中隨機(jī)抽取8人，再?gòu)倪@8人中隨機(jī)抽取3人.記X為這3人中

最喜愛(ài)使用跑步軟件二的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

2

（3）記樣本中的中學(xué)生最喜愛(ài)使用這四款跑步軟件的頻率依次為多，X”七，“4,其方差為年；樣本中的

大學(xué)生最喜愛(ài)使用這四款跑步軟件的頻率依次為乂，2%，居，其方差為$；%,4,“4,J1,

%,力，%的方差為1.寫(xiě)出s：,s；,的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）

12.（2024?廣東東莞?高三統(tǒng)考期末）某區(qū)域中的物種C有/種和2種兩個(gè)亞種.為了調(diào)查該區(qū)域中這

兩個(gè)亞種的數(shù)目比例（/種數(shù)目比8種數(shù)目少），某生物研究小組設(shè)計(jì)了如下實(shí)驗(yàn)方案：①在該區(qū)域中有

放回的捕捉50個(gè)物種C,統(tǒng)計(jì)其中/種數(shù)目，以此作為一次試驗(yàn)的結(jié)果；②重復(fù)進(jìn)行這個(gè)試驗(yàn)〃次（其

—x=1—fx,_

中"eN*）,記第7?次試驗(yàn)中的4種數(shù)目為隨機(jī)變量X。=1，2,…,〃）；③記隨機(jī)變量"I,利用了

的期望E（X）和方差”（X）進(jìn)行估算.設(shè)該區(qū)域中N種數(shù)目為8種數(shù)目為N,每一次試驗(yàn)都相互獨(dú)

立.

⑴已知“(x,+5)=￡(x,)+E(Xj),o(x,+xj=z)(x,)+z)(Xj),證明：E(B=E(XJ,

。國(guó)=N(XJ.

(2)該小組完成所有試驗(yàn)后，得到X的實(shí)際取值分別為西(i=l,2,…,〃)，并計(jì)算了數(shù)據(jù)王(:1,2,…的

210.5

-2S=----

平均值X和方差S,然后部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，僅剩方差的數(shù)據(jù)〃.

__絲一

⑴請(qǐng)用X和52分別代替￡(')和"(X),估算N和壬

(ii)在(i)的條件下，求區(qū)的分布列中概率值最大的隨機(jī)事件｛*=科對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量的取值.

13.(2024?貴州貴陽(yáng)?高三校聯(lián)考階段練習(xí))某校為了慶祝建校100周年，舉行校園文化知識(shí)競(jìng)賽.某班

經(jīng)過(guò)層層選拔，還有最后一個(gè)參賽名額要在甲、乙兩名學(xué)生中產(chǎn)生，該班設(shè)計(jì)了一個(gè)選拔方案：甲，乙兩

名學(xué)生各自從6個(gè)問(wèn)題中隨機(jī)抽取3個(gè)問(wèn)題作答.已知這6個(gè)問(wèn)題中，學(xué)生甲能正確回答其中的4個(gè)問(wèn)題,

而學(xué)生乙能正確回答每個(gè)問(wèn)題的概率均為5.甲、乙兩名學(xué)生對(duì)每個(gè)問(wèn)題回答正確與否都是相互獨(dú)立的.

(1)分別求甲、乙兩名學(xué)生恰好答對(duì)2個(gè)問(wèn)題的概率；

(2)設(shè)甲答對(duì)的題數(shù)為X,乙答對(duì)的題數(shù)為y,若讓你投票決定參賽選手，你會(huì)選擇哪名學(xué)生？請(qǐng)說(shuō)明理

由.

W05正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

14.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))某市有20000名學(xué)生參加了一項(xiàng)知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)(知識(shí)競(jìng)賽分為初賽和復(fù)

賽)，并隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的初賽成績(jī)作為樣本，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示.

頻率/組距

0.040—

0.035

0.030--

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

5060708090100成績(jī)/分

⑴根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)的估計(jì)值和80%分位數(shù).

(2)若所有學(xué)生的初賽成績(jī)X近似服從正態(tài)分布"(從/)，其中〃為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，bRl,初賽成

績(jī)不低于89分的學(xué)生才能參加復(fù)賽，試估計(jì)能參加復(fù)賽的人數(shù).

(3)復(fù)賽設(shè)置了三道試題，第一、二題答對(duì)得30分，第三題答對(duì)得40分，答錯(cuò)得0分.已知某學(xué)生已通過(guò)

2j_

初賽，他在復(fù)賽中第一題答對(duì)的概率為3,后兩題答對(duì)的概率均為萬(wàn)，且每道題回答正確與否互不影響，

記該考生的復(fù)賽成績(jī)?yōu)檠?，求y的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布"(〃'/)，則P(〃-卜06827,

尸(〃一2cr<XW〃+2cr)合0.9545尸(〃-3cr<XW〃+3b)”0.9973

15.(2024?海南省直轄縣級(jí)單位?高三?？茧A段練習(xí))紅松樹(shù)分布在我國(guó)東北的小興安嶺到長(zhǎng)白山一

帶，耐蔭性強(qiáng).在一森林公園內(nèi)種有一大批紅松樹(shù)，為了研究生長(zhǎng)了4年的紅松樹(shù)的生長(zhǎng)狀況，從中隨機(jī)選

取了12棵生長(zhǎng)了4年的紅松樹(shù)，并測(cè)量了它們的樹(shù)干直徑可?(單位：厘米)，如下表:

i123456789101112

28.727.231.535.824.333.536.326.728.927.425.234.5

1212

Yx,.=360,y%,2=10992

計(jì)算得：日，=i

(1)求這12棵紅松樹(shù)的樹(shù)干直徑的樣本均值M與樣本方差s'.

(2)假設(shè)生長(zhǎng)了4年的紅松樹(shù)的樹(shù)干直徑近似服從正態(tài)分布.

記事件A：在森林公園內(nèi)再?gòu)闹须S機(jī)選取12棵生長(zhǎng)了4年的紅松樹(shù)，其樹(shù)干直徑都位于區(qū)間122,38].

①用(1)中所求的樣本均值與樣本方差分別作為正態(tài)分布的均值與方差，求尸(")；

②護(hù)林員在做數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)時(shí)，得出了如下結(jié)論：生長(zhǎng)了4年的紅松樹(shù)的樹(shù)干直徑近似服從正態(tài)分布

N(30,8°).在這個(gè)條件下，求尸(㈤，并判斷護(hù)林員的結(jié)論是否正確，說(shuō)明理由.

參考公式：若丫~"(〃,〃)，

川尸-〃KO')a0.6827,P(|y-〃K2b)x0.9545,P(|y-//|<3b)?0.9973

參考數(shù)據(jù).0.682712x0.01,0.954512?0.57,0.997312?0.97

16.已知某高校共有10000名學(xué)生，其圖書(shū)館閱覽室共有994個(gè)座位，假設(shè)學(xué)生是否去自習(xí)是相互獨(dú)立

的，且每個(gè)學(xué)生在每天的晚自習(xí)時(shí)間去閱覽室自習(xí)的概率均為0.1.

（1）將每天的晚自習(xí)時(shí)間去閱覽室自習(xí)的學(xué)生人數(shù)記為X,求X的期望和方差；

（2）18世紀(jì)30年代，數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)，當(dāng)〃比較大時(shí)，二項(xiàng)分布可視為正態(tài)分布.止匕外，如果隨機(jī)變

量y?令b,則Z?N（0,l）,當(dāng)z?N（0,l）時(shí)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,記①（a）=P（Z<a）

.已知下表為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表（節(jié)選），該表用于查詢標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（°，l）對(duì)應(yīng)的概率值.例如當(dāng)。=016

時(shí)，由于016=0.1+0.06,則先在表的最左列找到數(shù)字0」（位于第三行），然后在表的最上行找到數(shù)字

0.06（位于第八列），則表中位于第三行第八列的數(shù)字0.5636便是①（°16）的值.

a0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.09

0.00.50000.50400.50800.51200.51600.51990.52390.52790.53190.5359

0.10.53980.54380.54780.55170.55570.55960.56360.56750.57140.5753

0.20.57930.58320.58710.59100.59480.59870.60260.60640.61030.6141

0.30.61790.62170.62550.62930.63310.63680.64040.64430.64800.6517

0.40.65540.65910.66280.66640.67000.67360.67720.6808,0.68440.6879

0.50.69150.69500.69850.70190.70540.70880.71230.715710.71900.7224

①求在晚自習(xí)時(shí)間閱覽室座位不夠用的概率；

②若要使在晚自習(xí)時(shí)間閱覽室座位夠用的概率高于0.7,則至少需要添加多少個(gè)座位?

W06統(tǒng)計(jì)圖表及數(shù)字特征

17.（2022?北京）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到9.50%以上（含

9.50加）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng).為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī),

并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）:

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙：9.85,9.65,9.20,9.16.

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立.

（I）估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；

（II）設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望￡X；

（III）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰(shuí)獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）

18.（2024?江西?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某學(xué)校即將迎來(lái)建校80周年，為了增進(jìn)學(xué)生愛(ài)校、榮校意識(shí),

團(tuán)委組織學(xué)生開(kāi)展“迎校慶、知校史”的知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，共有100名同學(xué)參賽.為了解競(jìng)賽成績(jī)的分布情況,

將100名同學(xué)的競(jìng)賽成績(jī)按[75,80）,[80,85）,[85,90）,[90,95）,[95,100]分成6組，繪制成如

圖所示的頻率分布直方圖.

頻率

0.05

0.04

0.02

0.01

°“707580859095100芬數(shù)

(1)用樣本估計(jì)總體，求圖中a的值及此次知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的80%分位數(shù)；

(2)現(xiàn)從競(jìng)賽成績(jī)?cè)贐°，95)的學(xué)生中以分層抽樣的方式抽取15人進(jìn)行培訓(xùn)，經(jīng)過(guò)一輪培訓(xùn)后再選取2人擔(dān)

任主持人工作，求在至少1人來(lái)自分?jǐn)?shù)段設(shè)°'95)的條件下，另外1人來(lái)自分?jǐn)?shù)段[8°，85)的概率.

19.在全球抗擊新冠肺炎疫情期間，我國(guó)醫(yī)療物資生產(chǎn)企業(yè)加班加點(diǎn)生產(chǎn)口罩、防護(hù)服、消毒水等防疫物

品，保障抗疫一線醫(yī)療物資供應(yīng)，在國(guó)際社會(huì)上贏得一片贊譽(yù).我國(guó)某口罩生產(chǎn)企業(yè)在加大生產(chǎn)的同時(shí)，狠

抓質(zhì)量管理，不定時(shí)抽查口罩質(zhì)量，該企業(yè)質(zhì)檢人員從所生產(chǎn)的口罩中隨機(jī)抽取了100個(gè)，將其質(zhì)量指標(biāo)

值分成以下六組：140,50),[50,60),[60,70),…，[90,100],得到如下頻率分布直方圖.

⑴求出直方圖中〃?的值；

(2)利用樣本估計(jì)總體的思想，估計(jì)該企業(yè)所生產(chǎn)的口罩的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和中位數(shù)(中位數(shù)精確到

0.01)；

(3)現(xiàn)規(guī)定：質(zhì)量指標(biāo)值小于70的口罩為二等品，質(zhì)量指標(biāo)值不小于70的口罩為一等品.利用分層抽樣的方

法從該企業(yè)所抽取的100個(gè)口罩中抽出5個(gè)口罩，并從中再隨機(jī)抽取2個(gè)作進(jìn)一步的質(zhì)量分析，試求這2

個(gè)口罩中恰好有1個(gè)口罩為一等品的概率.

20.(2024?全國(guó)?高三期末)武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校預(yù)籌辦“六十周年校慶”慶典活動(dòng)，需要對(duì)參與校慶活動(dòng)的志

愿者進(jìn)行選拔性面試.現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績(jī)，并分成五組：第一組［45,55),第二組

［55,65),第三組［65,75),第四組［75,85),第五組185,95］,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第三、

四、五組的頻率之和為0.7,第一組和第五組的頻率相同.

(1)求0,6的值;

(2)估計(jì)這100名候選者面試成績(jī)的第70百分位數(shù)(結(jié)果精確到0.1);

(3)在第二，第五兩組志愿者中，采用分層抽樣的方法從中抽取6人，然后再?gòu)倪@6人中選出2人，以確定

組長(zhǎng)人選，求選出的兩人來(lái)自同一組的概率.

一題型07線性回歸與非線性回歸分析

21.(2024?吉林?東北師大附中校考模擬預(yù)測(cè))2015年7月31日，在吉隆坡舉行的國(guó)際奧委會(huì)第128次

全會(huì)上，北京獲得2022年冬奧會(huì)舉辦權(quán).在申冬奧過(guò)程中，中國(guó)正式向國(guó)際社會(huì)作出“帶動(dòng)三億人參與冰雪

運(yùn)動(dòng)”的莊嚴(yán)承諾.這一承諾，既是我國(guó)為國(guó)際奧林匹克運(yùn)動(dòng)做出重大貢獻(xiàn)的大國(guó)擔(dān)當(dāng)展現(xiàn)，也是根據(jù)我國(guó)

經(jīng)濟(jì)水平和全民健身需求做出的群眾性運(yùn)動(dòng)的戰(zhàn)略部署.從北京冬奧會(huì)申辦成功到2021年10月，全國(guó)參與

冰雪運(yùn)動(dòng)人數(shù)累計(jì)達(dá)到3.46億，實(shí)現(xiàn)了“帶動(dòng)三億人參與冰雪運(yùn)動(dòng)”的目標(biāo)，這是北京冬奧會(huì)給予全球冬季

體育運(yùn)動(dòng)和奧林匹克運(yùn)動(dòng)的最為重要的遺產(chǎn)，可以說(shuō)是2022年北京冬奧會(huì)的第一塊金牌.“冬奧熱”帶動(dòng)“冰

雪熱”，也帶動(dòng)了冰雪經(jīng)濟(jì)，以冰雪運(yùn)動(dòng)為主要內(nèi)容的冰雪旅游近年來(lái)發(fā)展迅速，2016至2022六個(gè)冰雪季

的旅游人次y（單位億）的數(shù)據(jù)如下表：

年度2016—20172017—20182018—20192019—20202020—20212021—2022

年度代號(hào)t123456

旅游人次y1.71.972.240.942.543.15

⑴求〉與f的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）,并回答y與，的線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱；

（2）因受疫情影響，現(xiàn)將2019—2020年度的異常數(shù)據(jù)剔除，用剩下的5個(gè)年度數(shù)據(jù)（年度代號(hào)不變），求y

關(guān)于/的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）,并推測(cè)沒(méi)有疫情情況下，2019—2020年度冰雪旅游人次的估

計(jì)值.

,16_1666

t=—=3.51=2.09X匹=47-722；=91

附注：參考數(shù)據(jù)：6,7z=lz=l

?7

Z=1Z=1

-（乂一了）￡狐%-〃江

Z=1

S2-2

工4—m人一E

直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:z=ia=y-bt

22.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）數(shù)獨(dú)是源自18世紀(jì)瑞士的一種數(shù)學(xué)游戲，玩家需要根據(jù)9x9盤(pán)面上的

已知數(shù)字，推理出所有剩余空格的數(shù)字，并滿足每一行、每一列、每一個(gè)粗線宮（3x3）內(nèi)的數(shù)字均含1?

9,且不重復(fù).數(shù)獨(dú)愛(ài)好者小明打算報(bào)名參加“絲路杯”全國(guó)數(shù)獨(dú)大賽初級(jí)組的比賽.

1

t=—

參考數(shù)據(jù)再：

7

7_9

5弘t￡片-7t

Z=11=1

17500.370.55

參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（/，"）'（牲，修）…（"”#“），其經(jīng)驗(yàn)回歸方程v=a+的斜率和截距的最小二乘估

“__

下=0-------------

〉:—n/j,人八人

計(jì)分別為I,""即.

（1）賽前小明進(jìn)行了一段時(shí)間的訓(xùn)練，每天解題的平均速度近秒/題）與訓(xùn)練天數(shù)x（天）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下

數(shù)據(jù)：

x（天）1234567

y（秒/題）910800600440300240210

八八b

y=ci—人；

現(xiàn)用‘X作為回歸方程模型，請(qǐng)利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程；（?,6用分?jǐn)?shù)表示）

（2）小明和小紅玩“對(duì)戰(zhàn)賽”，每局兩人同時(shí)開(kāi)始解一道數(shù)獨(dú)題，先解出題的人獲勝，不存在平局，兩人約定

2

先勝3局者贏得比賽.若小明每局獲勝的概率為3,且各局之間相互獨(dú)立，設(shè)比賽X局后結(jié)束，求隨機(jī)變

量X的分布列及均值.

23.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）近三年的新冠肺炎疫情對(duì)我們的生活產(chǎn)生了很大的影響，當(dāng)然也影響著我

們的旅游習(xí)慣，鄉(xiāng)村游、近郊游、周邊游熱鬧了許多，甚至出現(xiàn)“微度假”的概念.在國(guó)家有條不紊的防疫

政策下，旅游又重新回到了老百姓的日常生活中.某鄉(xiāng)村抓住機(jī)遇，依托良好的生態(tài)環(huán)境、厚重的民族文

化，開(kāi)展鄉(xiāng)村旅游.通過(guò)文旅度假項(xiàng)目考察，該村推出了多款套票文旅產(chǎn)品，得到消費(fèi)者的積極回應(yīng).該

村推出了六條鄉(xiāng)村旅游經(jīng)典線路，對(duì)應(yīng)六款不同價(jià)位的旅游套票，相應(yīng)的價(jià)格x與購(gòu)買人數(shù)y的數(shù)據(jù)如下

表.

旅游線路奇山秀水游古村落游慢生活游親子游采摘游舌尖之旅

套票型號(hào)ABCDEF

價(jià)格X/元394958677786

經(jīng)數(shù)據(jù)分析、描點(diǎn)繪圖，發(fā)現(xiàn)價(jià)格x與購(gòu)買人數(shù)y近似滿足關(guān)系式）=°力>°）,即

wn

lny=61nx+lna（a>0,6>0）,對(duì)上述數(shù)據(jù)進(jìn)行初步處理，其中匕=足為，,=lX,i=\,2,6.

66.66

2

2匕叱.=75.3￡匕=24.6Z%=18.3vz=101.4

附：①可能用到的數(shù)據(jù)：4，日，日，^

②對(duì)于一組數(shù)據(jù)（?叫），（%，嗯），…，（為，%）,其回歸直線舟=亂+&的斜率和截距的最小二乘估計(jì)值

n

2匕四-rivw

B=E-------------------------_i=\

n

S(v,.-v)2匕2一S—2

分別為T(mén)Ez=la="w-bv

（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求了關(guān)于X的回歸方程.

（2）按照相關(guān)部門(mén)的指標(biāo)測(cè)定，當(dāng)套票價(jià)格［49,81］時(shí)，該套票受消費(fèi)者的歡迎程度更高，可以被認(rèn)定為

“熱門(mén)套票”.現(xiàn)有三位游客，每人從以上六款套票中購(gòu)買一款旅游，購(gòu)買任意一款的可能性相等.若三人

買的套票各不相同，記三人中購(gòu)買“熱門(mén)套票”的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和期望.

—J008獨(dú)立性檢驗(yàn)

24.(2024?湖北武漢?高三統(tǒng)考期末)數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)之一，具備較好的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

一般體現(xiàn)為在運(yùn)算中算法合理、計(jì)算準(zhǔn)確、過(guò)程規(guī)范、細(xì)節(jié)到位，為了診斷學(xué)情、培養(yǎng)習(xí)慣、發(fā)展素養(yǎng),

某老師計(jì)劃調(diào)研準(zhǔn)確率與運(yùn)算速度之間是否有關(guān)，他記錄了一段時(shí)間的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：

項(xiàng)目速度快速度慢合計(jì)

準(zhǔn)確率高102232

準(zhǔn)確率低111728

合計(jì)213960

(1)依據(jù)〃=001°的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為數(shù)學(xué)考試中準(zhǔn)確率與運(yùn)算速度相關(guān)？

(2)為鼓勵(lì)學(xué)生全面發(fā)展，現(xiàn)隨機(jī)將準(zhǔn)確率高且速度快的10名同學(xué)分成人數(shù)分別為3,3,4的三個(gè)小組進(jìn)

行小組才藝展示，若甲、乙兩人在這10人中，求甲在3人一組的前提下乙在4人一組的概率.

附：

a0.1000.0500.0250.0100.0050.001

%2.7063.8415.0246.6357.87910.828

2n（ad-bcj

（〃+6）（0+4（4+°）9+4）其中幾=4+6+°+6/

25.(2024?陜西榆林?校考模擬預(yù)測(cè))由于人類的破壞與棲息地的喪失等因素，地球上瀕臨滅絕生物的

比例正在以驚人的速度增長(zhǎng).在工業(yè)社會(huì)以前，鳥(niǎo)類平均每30。年滅絕一種，獸類平均每8000年滅絕一種，

但是自工業(yè)社會(huì)以來(lái)，地球物種滅絕的速度已經(jīng)超出自然滅絕率的1000倍.所以保護(hù)動(dòng)物刻不容緩，全世

界都在號(hào)召保護(hù)動(dòng)物，動(dòng)物保護(hù)的核心內(nèi)容是禁止虐待、殘害任何動(dòng)物，禁止獵殺和捕食野生動(dòng)物，某動(dòng)

物保護(hù)機(jī)構(gòu)為了調(diào)查研究人們“保護(hù)動(dòng)物意識(shí)的強(qiáng)弱與性別是否有關(guān)聯(lián)”，從某市市民中隨機(jī)抽取40。名進(jìn)

行調(diào)查，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：

保護(hù)動(dòng)物意識(shí)強(qiáng)保護(hù)動(dòng)物意識(shí)弱合計(jì)

男性14060200

女性80120200

合計(jì)220180400

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值a=0001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為人們保護(hù)動(dòng)物意識(shí)的強(qiáng)弱與性別有關(guān)

聯(lián)？

(2)將頻率視為概率，現(xiàn)從該市女性的市民中用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1人，共抽取4次.記被抽取的4人

中“保護(hù)動(dòng)物意識(shí)強(qiáng)”的人數(shù)為X,若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

2n(ad-bcY

彳=-----------------------

參考公式：(a+6)(c+d)(a+c"6+d),其中"=a+6+c+d

附:

a0.100.050.0100.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

26.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）為加快推動(dòng)旅游業(yè)復(fù)蘇，進(jìn)一步增強(qiáng)居民旅游消費(fèi)意愿，山東省人民

政府規(guī)定自2023年1月21日起至3月31日在全省實(shí)施景區(qū)門(mén)票減免.據(jù)統(tǒng)計(jì)，活動(dòng)開(kāi)展以來(lái)游客至少

去過(guò)兩個(gè)及以上景區(qū)的人數(shù)占比為90%.某市旅游局從游客中隨機(jī)抽取100人（其中年齡在50周歲及以

下的有60人）了解他們對(duì)全省實(shí)施景區(qū)門(mén)票減免活動(dòng)的滿意度，并按年齡（50周歲及以下和50周歲以

上）分類統(tǒng)計(jì)得到如下不完整的2x2列聯(lián)表：

不滿意滿意總計(jì)

50周歲及以下55

50周歲以上15

總計(jì)100

（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成以上2x2列聯(lián)表，根據(jù)小概率值&=。-001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為對(duì)全省實(shí)施景區(qū)門(mén)

票減免活動(dòng)是否滿意與年齡有關(guān)聯(lián)（結(jié)果精確到0.01）?

（2）現(xiàn)從本市游客中隨機(jī)抽取3人了解他們的出游情況，設(shè)其中至少去過(guò)兩個(gè)及以上景區(qū)的人數(shù)為X,若以

本次活動(dòng)中至少去過(guò)兩個(gè)及以上景區(qū)的人數(shù)的頻率為概率，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

2n(ad-bcj

參考公式及數(shù)據(jù)：(a+6)(c+4)(a+c)(b+d),其中〃=a+6+c+d.

a0.1000.0500.0100.001

%2.7063.8416.63510.828

?題型09與體育比賽規(guī)則有關(guān)的概率問(wèn)題

27.（2024?吉林?通化市第一中學(xué)校校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）2022年12月18日，第二十二屆男足世界杯決賽

在梅西率領(lǐng)的阿根廷隊(duì)與姆巴佩率領(lǐng)的法國(guó)隊(duì)之間展開(kāi)，法國(guó)隊(duì)在上半場(chǎng)落后兩球的情況下，下半場(chǎng)連進(jìn)

兩球，2比2戰(zhàn)平進(jìn)入加時(shí)賽，加時(shí)賽兩隊(duì)各進(jìn)一球（比分3：3）再次戰(zhàn)平，在隨后的點(diǎn)球大戰(zhàn)中，阿根廷

隊(duì)發(fā)揮出色，最終贏得了比賽的勝利，時(shí)隔36年再次成功奪得世界杯冠軍，梅西如愿以償，成功捧起大

力神杯.

（1）法國(guó)隊(duì)與阿根廷隊(duì)實(shí)力相當(dāng)，在比賽前很難預(yù)測(cè)誰(shuí)勝誰(shuí)負(fù).賽前有3人對(duì)比賽最終結(jié)果進(jìn)行了預(yù)測(cè)，假

設(shè)每人預(yù)測(cè)正確的概率均為萬(wàn)，求預(yù)測(cè)正確的人數(shù)X的分布列和期望；

（2）足球的傳接配合非常重要，傳接球訓(xùn)練也是平常訓(xùn)練的重要項(xiàng)目，梅西和其他4名隊(duì)友在某次傳接球的

訓(xùn)練中，假設(shè)球從梅西腳下開(kāi)始，等可能地隨機(jī)傳向另外4人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)

傳向另外4人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接住，記第〃次傳球之前球在梅西腳下的

概率為月，求月.

28.（2024?江蘇?高三統(tǒng)考期末）2022年卡塔爾世界杯決賽于當(dāng)?shù)貢r(shí)間12月18日進(jìn)行，最終阿根廷通

過(guò)點(diǎn)球大戰(zhàn)總比分7:5戰(zhàn)勝法國(guó)，奪得冠軍.根據(jù)比賽規(guī)則：淘汰賽階段常規(guī)比賽時(shí)間為90分鐘，若在90

分鐘結(jié)束時(shí)進(jìn)球數(shù)持平，需進(jìn)行30分鐘的加時(shí)賽，若加時(shí)賽仍是平局，則采用“點(diǎn)球大戰(zhàn)”的方式?jīng)Q定勝

負(fù).“點(diǎn)球大戰(zhàn)”的規(guī)則如下：①兩隊(duì)各派5名隊(duì)員，雙方輪流踢點(diǎn)球，累計(jì)進(jìn)球個(gè)數(shù)多者勝；②如果在踢

滿5輪前，一隊(duì)的進(jìn)球數(shù)已多于另一隊(duì)踢滿5輪最多可能射中的球數(shù)，則不需要再踢(例如：第4輪結(jié)束

時(shí)，雙方“點(diǎn)球大戰(zhàn)”的進(jìn)球數(shù)比為2：。，則不需要再踢第5輪)；③若前5輪“點(diǎn)球大戰(zhàn)”中雙方進(jìn)球數(shù)持

平，則從第6輪起，雙方每輪各派1人踢點(diǎn)球，若均進(jìn)球或均不進(jìn)球，則繼續(xù)下一輪，直到出現(xiàn)一方進(jìn)球

另一方不進(jìn)球的情況，進(jìn)球方勝出.

(1)假設(shè)踢點(diǎn)球的球員等可能地隨機(jī)選擇球門(mén)的左、中、右三個(gè)方向射門(mén)，門(mén)將也會(huì)等可能地選擇球門(mén)的左、

3

中、右三個(gè)方向來(lái)?yè)潼c(diǎn)球，而且門(mén)將即使方向判斷正確也只有K的可能性將球撲出.若球員射門(mén)均在門(mén)內(nèi)，

在一次“點(diǎn)球大戰(zhàn)”中，求門(mén)將在前4次撲出點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X的分布列期望；

(2)現(xiàn)有甲、乙兩隊(duì)在決賽中相遇，常規(guī)賽和加時(shí)賽后雙方戰(zhàn)平，需要通過(guò)“點(diǎn)球大戰(zhàn)”來(lái)決定冠軍.設(shè)甲

22

隊(duì)每名隊(duì)員射進(jìn)點(diǎn)球的概率均為乙隊(duì)每名隊(duì)員射進(jìn)點(diǎn)球的概率均為假設(shè)每輪點(diǎn)球中進(jìn)球與否互不

影響，各輪結(jié)果也互不影響.

(i)若甲隊(duì)先踢點(diǎn)球，求在第3輪結(jié)束時(shí)，甲隊(duì)踢進(jìn)了3個(gè)球并獲得冠軍的概率；

(ii)求“點(diǎn)球大戰(zhàn)”在第7輪結(jié)束，且乙隊(duì)以6：5獲得冠軍的概率.

29.(2024?湖南長(zhǎng)沙?高三長(zhǎng)沙一中校考階段練習(xí))全民健身創(chuàng)精彩，健康成長(zhǎng)蜿未來(lái).為此某校每年定

期開(kāi)展體育藝術(shù)節(jié)活動(dòng)，活動(dòng)期間舉辦乒乓球比賽.假設(shè)甲乙兩人進(jìn)行一場(chǎng)比賽，在每一局比賽中，都不會(huì)

出現(xiàn)平局，甲獲勝的概率為。.

(1)若比賽采用五局三勝制，且。=°$,則求甲在第一局失利的情況下，反敗為勝的概率；

1

p>一

（2）若比賽有兩種賽制，五局三勝制和三局兩勝制，且2,試分析哪種賽制下甲獲勝的概率更大？并說(shuō)

明理由.

?題型10決策型問(wèn)題

30.（2021?新高考I）某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有4,3兩類問(wèn)題.每位參加比賽的同學(xué)先在

兩類問(wèn)題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一

類問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.N類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正

確得20分，否則得0分；B類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分.

已知小明能正確回答/類問(wèn)題的概率為0.8,能正確回答8類問(wèn)題的概率為0.6,且能正確回答問(wèn)題的概率

與回答次序無(wú)關(guān).

（1）若小明先回答/類問(wèn)題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；

（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題？并說(shuō)明理由.

31.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）己知4只白鼠中有2只患病，患病白鼠的血液檢驗(yàn)呈陽(yáng)性，不患病的呈陰

性.

⑴若隨機(jī)逐個(gè)進(jìn)行抽檢，直至能確定所有患病白鼠為止，求抽檢次數(shù)X的期望々X）；

（2）若隨機(jī)地將白鼠平均分成48兩組，首先對(duì)N組2只白鼠的血液進(jìn)行一次混檢，若呈陰性，則可確定

2組2只白鼠患?。蝗舫赎?yáng)性，再對(duì)2組2只白鼠的血液進(jìn)行一次混檢.若2組混檢呈陰性，則可確定/

組2只白鼠患病；若3組混檢也呈陽(yáng)性，則只需在/,2兩組中各隨機(jī)檢驗(yàn)1只白鼠的血液，便可分辨出

所有患病白鼠.求檢驗(yàn)總次數(shù)丫的期望或丫），并比較上述兩種檢測(cè)方案哪個(gè)更便捷.

32.（2024?云南?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）新冠疫情暴發(fā)以來(lái)，各級(jí)人民政府采取有效防控措施，時(shí)常采

用10人一組做核酸檢測(cè)（俗稱混檢），某地在核酸檢測(cè)中發(fā)現(xiàn)某一組中有1人核酸檢測(cè)呈陽(yáng)性，為了能找

出這1例陽(yáng)性感染者，且確認(rèn)感染何種病毒，需要通過(guò)做血清檢測(cè)，血清檢測(cè)結(jié)果呈陽(yáng)性的即為感染人

員，呈陰性的表示沒(méi)被感染.擬采用兩種方案檢測(cè)：

方案甲：將這10人逐個(gè)做血清檢測(cè)，直到能確定感染人員為止.

方案乙：將這10人的血清隨機(jī)等分成兩組，隨機(jī)將其中一組的血清混在一起檢測(cè)，若結(jié)果為陽(yáng)性，則表

示感染人員在該組中，然后再對(duì)該組中每份血清逐個(gè)檢測(cè)，直到能確定感染人員為止；若結(jié)果呈陰性，則

對(duì)另一組中每份血清逐個(gè)檢測(cè)，直到能確定感染人員為止.把采用方案甲，直到能確定感染人員為止，檢測(cè)

的次數(shù)記為X

（1）求X的數(shù)學(xué)期望“（X）；

（2）如果每次檢測(cè)的費(fèi)用相同，以檢測(cè)費(fèi)用的期望作為決策依據(jù)，應(yīng)選擇方案甲與方案乙哪一種？

33.(2024?上海浦東新?高三上海市進(jìn)才中學(xué)?？茧A段練習(xí))某學(xué)校擬開(kāi)展了一次趣味運(yùn)動(dòng)比賽，比賽

由若干個(gè)傳統(tǒng)項(xiàng)目和新增項(xiàng)目組成，每位運(yùn)動(dòng)員共需參加3個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目.對(duì)于每一個(gè)傳統(tǒng)項(xiàng)目，若沒(méi)有完

成，得0分；若完成了，得30分.對(duì)于新增項(xiàng)目，若沒(méi)有完成，得0分；若只完成了1個(gè)，得40分，若完

成了2個(gè)，得90分.最后得分越多者，獲得的獎(jiǎng)金越多.現(xiàn)有兩種參賽方案供運(yùn)動(dòng)員選擇：

【方案一】只參加3個(gè)傳統(tǒng)項(xiàng)目；

【方案二】參加1個(gè)傳統(tǒng)項(xiàng)目和2個(gè)新增項(xiàng)目；

1.1

假設(shè)運(yùn)動(dòng)員能完成每個(gè)傳統(tǒng)項(xiàng)目的概率均為2,能完成每個(gè)新增項(xiàng)目的概率均為3,且運(yùn)動(dòng)員參加的每個(gè)

項(xiàng)目是否能完成相互獨(dú)立.

(1)若運(yùn)動(dòng)員選擇方案一，設(shè)最后得分為X,求X的分布與期望；

(2)若以最后得分的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)，運(yùn)動(dòng)員應(yīng)選擇哪個(gè)參賽方案?說(shuō)明你的理由.

一題型11遞推型概率命題

34.(2024?貴州貴陽(yáng)?高三統(tǒng)考期末)有〃個(gè)編號(hào)分別為L(zhǎng)2,…，”的盒子，第1個(gè)盒子中有2個(gè)紅球和1

個(gè)白球，其余盒子中均為1個(gè)紅球和1個(gè)白球，現(xiàn)從第1個(gè)盒子中任取一球放入第2個(gè)盒子，現(xiàn)從第2個(gè)

盒子中任取一球放入第3個(gè)盒子，……，依次進(jìn)行.

(1)求從第2個(gè)盒子中取到紅球的概率；

(2)求從第〃個(gè)盒子中取到紅球的概率；

3

口“、—<E(X)W2

(3)設(shè)第〃個(gè)盒子中紅球的個(gè)數(shù)為X,X的期望值為￡(X),求證：2

35.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))某中學(xué)舉辦了詩(shī)詞大會(huì)選拔賽，共有兩輪比賽，第一輪是詩(shī)詞接龍，第二

輪是飛花令.第一輪給每位選手提供5個(gè)詩(shī)詞接龍的題目，選手從中抽取2個(gè)題目，主持人說(shuō)出詩(shī)詞的上

句，若選手在10秒內(nèi)正確回答出下句可得10分，若不能在10秒內(nèi)正確回答出下句得0分.

(1)已知某位選手會(huì)5個(gè)詩(shī)詞接龍題目中的3個(gè)，求該選手在第一輪得分的數(shù)學(xué)期望；

(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四個(gè)團(tuán)隊(duì)參加飛花令環(huán)節(jié)的比賽，每一次由四個(gè)團(tuán)隊(duì)中的一個(gè)回答問(wèn)題，無(wú)論

答題對(duì)錯(cuò)，該團(tuán)隊(duì)回答后由其他團(tuán)隊(duì)搶答下一問(wèn)題，且其他團(tuán)隊(duì)有相同的機(jī)會(huì)搶答下一問(wèn)題.記第"次回

答的是甲的概率為月，若4=1.

①求2,2；

\p

②證明：數(shù)列4J為等比數(shù)列，并比較第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小.

36.(2024?山東德州?高三統(tǒng)考期末)某市號(hào)召市民盡量減少開(kāi)車出行，以綠色低碳的出行方式支持節(jié)

能減排.原來(lái)天天開(kāi)車上班的王先生積極響應(yīng)政府號(hào)召，準(zhǔn)備每天在騎自行車和開(kāi)車兩種出行方式中隨機(jī)

選擇一種方式出行.從即日起出行方式選擇規(guī)則如下：第一天選擇騎自行車方式上班，隨后每天用“一次

性拋擲4枚均勻硬幣”的方法確定出行方式，若得到的正面朝上的枚數(shù)小于3,則該天出行方式與前一天相

同，否則選擇另一種出行方式.

(1)設(shè))表示事件“在第〃天，王先生上班選擇的是騎自行車出行方式”的概率.

①求句

(2)依據(jù)乙值，闡述說(shuō)明王先生的這種隨機(jī)選擇出行方式是否積極響應(yīng)市政府的號(hào)召.

37.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))網(wǎng)球運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)激烈且耗時(shí)的運(yùn)動(dòng)，對(duì)于力量的消耗是很大的，這就需要

網(wǎng)球運(yùn)動(dòng)員提高自己的耐力.耐力訓(xùn)練分為無(wú)氧和有氧兩種訓(xùn)練方式.某網(wǎng)球俱樂(lè)部的運(yùn)動(dòng)員在某賽事前

展開(kāi)了一輪為期90天的封閉集訓(xùn)，在封閉集訓(xùn)期間每名運(yùn)動(dòng)員每天選擇一種方式進(jìn)行耐力訓(xùn)練.由訓(xùn)練

計(jì)劃知，在封閉集訓(xùn)期間，若運(yùn)動(dòng)員第"("eN，〃*89)天進(jìn)行有氧訓(xùn)練，則第〃+1天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的概率

54

為5,第"+1天進(jìn)行無(wú)氧訓(xùn)練的概率為5；若運(yùn)動(dòng)員第"天進(jìn)行無(wú)氧訓(xùn)練，則第〃+1天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的概

72

率為5,第"+1天進(jìn)行無(wú)氧訓(xùn)練的概率為5.若運(yùn)動(dòng)員封閉集訓(xùn)的第I天進(jìn)行有氧訓(xùn)練與無(wú)氧訓(xùn)練的概率

相等.

(1)封閉集訓(xùn)期間，記3名運(yùn)動(dòng)員中第2天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(2)封閉集訓(xùn)期間，記某運(yùn)動(dòng)員第〃天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的概率為々，求與5.

一題型12條件概率、全概率公式、貝葉斯公式

38.(2024?河北滄州?高三泊頭市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))2023年