高考數(shù)學專項復習：概率與統(tǒng)計的綜合運用（13大題型）（練習）

專題21概率與統(tǒng)計的綜合運用

目錄

01求概率及隨機變量的分布列與期望...................................................2

02超幾何分布與二項分布............................................................3

題型03概率與其它知識的交匯問題.........................................................4

題型04期望與方差的實際應(yīng)用.............................................................6

05正態(tài)分布與標準正態(tài)分布...........................................................8

06統(tǒng)計圖表及數(shù)字特征..............................................................11

07線性回歸與非線性回歸分析........................................................13

題908獨立性檢驗......................................................................16

題理1。9與體育比賽規(guī)則有關(guān)的概率問題....................................................18

10決策型問題......................................................................20

11遞推型概率命題..................................................................22

12條件概率、全概率公式、貝葉斯公式................................................24

■^113高等背景下的概統(tǒng)問題26

一題型01求概率及隨機變量的分布列與期望

1.（2022?甲卷）甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0

分，沒有平局.三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學校獲得冠軍.已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分

別為0.5,0.4,0,8,各項目的比賽結(jié)果相互獨立.

（1）求甲學校獲得冠軍的概率;

（2）用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望.

2.（2024?河南?統(tǒng)考模擬預測）盒中有標記數(shù)字1,2,3,4的小球各2個，隨機一次取出3個小球.

（1）求取出的3個小球上的數(shù)字兩兩不同的概率；

（2）記取出的3個小球上的最小數(shù)字為X,求X的分布列及數(shù)學期望“（X）.

3.（2024?全國?模擬預測）某科研所計劃招聘兩名科研人員，共有4人報名應(yīng)聘.科研所組織了專業(yè)能

力、創(chuàng)新意識和寫作水平三場測試，每場測試滿分100分，每名選手在三場測試中的得分分別按50%，3。％

和20%計入總分，按總分排序，若總分相同，則依次按專業(yè)能力、創(chuàng)新意識和寫作水平的得分從高到低排

序，前兩名錄取.下表是4名應(yīng)聘者的三場測試成績：

項目選手1選手2選手3選手4

專業(yè)能力/分85808284

創(chuàng)新意識/分80808582

寫作水平/分86858688

(1)該科研所應(yīng)招聘哪兩名選手？并說明你的理由.

(2)該科研所要求新招聘的兩名科研人員上崗前參加線上培訓.已知專業(yè)能力、創(chuàng)新意識和寫作水平各有兩

個線上報告，培訓者需從每個項目的兩個報告中選擇一個學習，記新招聘的兩名科研人員參加學習的相同

報告的數(shù)目為X,求X的概率分布列和數(shù)學期望.

4.(2024?全國?模擬預測)班會課上，甲、乙兩位同學參加了“心有靈犀”活動：從5個成語中隨機抽取

3個，甲同學負責比劃，乙同學負責猜成語.甲會比劃其中3個，甲會比劃的成語，乙猜對的概率為萬，

甲不會比劃的成語，乙無法猜對.

(1)求甲乙配合猜對2個成語的概率；

(2)設(shè)甲乙配合猜對成語個數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望.

■題型。超幾何分布與二項分布

5.(2024?云南曲靖?高三曲靖一中?？茧A段練習)某興趣小組利用所學統(tǒng)計與概率知識解決實際問題.

(1)現(xiàn)有甲池塘，已知小池塘里有10條鯉魚，其中紅鯉魚有4條.若興趣小組捉取3次，每次從甲池塘中

有放回地捉取一條魚記錄相關(guān)數(shù)據(jù).用X表示其中捉取到紅鯉魚的條數(shù)，請寫出X的分布列，并求出X的

數(shù)學期望￡(x).

⑵現(xiàn)有乙池塘，已知池塘中有形狀大小相同的紅鯉魚與黑鯉魚共10條，其中紅鯉魚有

條，身為興趣小組隊長的駱同學每次從池塘中捉了1條魚，做好記錄后放回池塘，設(shè)事件/為“從池塘中

捉取魚3次，其中恰有2次捉到紅鯉魚".當°時，事件/發(fā)生的概率最大，求°。的值.

6.(2024?云南昆明?高三云南師大附中?？茧A段練習)某校高一年級舉行數(shù)學史知識競賽，每個同學從

10道題中一次性抽出4道作答.小張有7道題能答對，3道不能答對；小王每道答對的概率均為P(°<P<D

,且每道題答對與否互不影響.

(1)分別求小張，小王答對題目數(shù)的分布列；

(2)若預測小張答對題目數(shù)多于小王答對題目數(shù)，求？的取值范圍.

7.（2024?廣東肇慶?統(tǒng)考一模）在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字“0”和“1”組成的序列.現(xiàn)連續(xù)發(fā)射信號〃

次，每次發(fā)射信號“0”和“1”是等可能的.記發(fā)射信號1的次數(shù)為X.

（1）當〃=6時，求尸.42）

（2）已知切比雪夫不等式：對于任一隨機變最y,若其數(shù)學期望“底）和方差均存在，則對任意正實數(shù)

a,有尸（?一￡⑺（“六1—一丁.根據(jù)該不等式可以對事件“，一￡（刈＜"”的概率作出下限估計為了至少

有98%的把握使發(fā)射信號“1”的頻率在0.4與0.6之間，試估計信號發(fā)射次數(shù)〃的最小值.

?題型03概率與其它知識的交匯問題

8.（2024?全國?高三專題練習）如圖，已知三棱錐尸-N2C的三條側(cè)棱P4,PB,尸C兩兩垂直，且

PA=a,PB=b,PC=c,三棱錐尸一/8C的外接球半徑R=2.

（1）求三棱錐尸-N8C的側(cè)面積S的最大值；

（2）若在底面48c上，有一個小球由頂點A處開始隨機沿底邊自由滾動，每次滾動一條底邊，滾向頂點8的

112j_

概率為萬，滾向頂點C的概率為萬；當球在頂點3處時，滾向頂點A的概率為3,滾向頂點C的概率為3

2]_

；當球在頂點C處時，滾向頂點A的概率為3,滾向頂點8的概率為3.若小球滾動3次，記球滾到頂點B

處的次數(shù)為x,求數(shù)學期望“（X）的值.

9.（2024?全國?高三階段練習）如圖所示，一只螞蟻從正方體"BCD-44G2的頂點4出發(fā)沿棱爬

行，記螞蟻從一個頂點到另一個頂點為一次爬行，每次爬行的方向是隨機的，螞蟻沿正方體上、下底面上

]_2

的棱爬行的概率為％,沿正方體的側(cè)棱爬行的概率為H.

（1）若螞蟻爬行〃次，求螞蟻在下底面頂點的概率；

（2）若螞蟻爬行5次，記它在頂點0出現(xiàn)的次數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學期望.

10.（2024?安徽?蚌埠二中校聯(lián)考模擬預測）某從事智能教育技術(shù)研發(fā)的科技公司開發(fā)了一個2/作業(yè)”

項目，并且在甲、乙兩個學校的高一學生中做用戶測試.經(jīng)過一個階段的試用，為了解作業(yè)”對學生學

習的促進情況，該公司隨機抽取了200名學生，對他們“向量數(shù)量積”知識點掌握情況進行調(diào)查，樣本調(diào)查

結(jié)果如下表:

甲校乙校

使用//作業(yè)不使用4作業(yè)使用//作業(yè)不使用4作業(yè)

基本掌握32285030

沒有掌握8141226

用樣本頻率估計概率，并假設(shè)每位學生是否掌據(jù)“向量數(shù)量積”知識點相互獨立.

(1)從兩校高一學生中隨機抽取1人，估計該學生對“向量數(shù)量積”知識點基本掌握的概率；

(2)從樣本中沒有掌握“向量數(shù)量積”知識點的學生中隨機抽取2名學生，以占表示這2人中使用//作業(yè)的人

數(shù)，求彳的分布列和數(shù)學期望；

(3)從甲校高一學生中抽取一名使用“//作業(yè)”的學生和一名不使用“//作業(yè)”的學生，用“X=l，，表示該使用

-AI作業(yè)”的學生基本掌握了“向量數(shù)量積”，用“X=0”表示該使用“//作業(yè)，，的學生沒有掌握“向量數(shù)量

積，，，用“y=i”表示該不使用“//作業(yè)”的學生基本掌握了響量數(shù)量積"，用“卜=?！北硎驹摬皇褂谩?作業(yè)”

的學生沒有掌握“向量數(shù)量積”.直接寫出方差DX和的大小關(guān)系.(結(jié)論不要求證明)

?題型04期望與方差的實際應(yīng)用

11.(2024?北京西城?高三統(tǒng)考期末)生活中人們喜愛用跑步軟件記錄分享自己的運動軌跡.為了解某地

中學生和大學生對跑步軟件的使用情況，從該地隨機抽取了200名中學生和80名大學生，統(tǒng)計他們最喜

愛使用的一款跑步軟件，結(jié)果如下：

跑步軟件一跑步軟件二跑步軟件三跑步軟件四

中學生80604020

大學生30202010

假設(shè)大學生和中學生對跑步軟件的喜愛互不影響.

（1）從該地區(qū)的中學生和大學生中各隨機抽取1人，用頻率估計概率，試估計這2人都最喜愛使用跑步軟件

一的概率；

（2）采用分層抽樣的方式先從樣本中的大學生中隨機抽取8人，再從這8人中隨機抽取3人.記X為這3人中

最喜愛使用跑步軟件二的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；

2

（3）記樣本中的中學生最喜愛使用這四款跑步軟件的頻率依次為多，X”七，“4,其方差為年；樣本中的

大學生最喜愛使用這四款跑步軟件的頻率依次為乂，2%，居，其方差為$；%,4,“4,J1,

%,力，%的方差為1.寫出s：,s；,的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）

12.（2024?廣東東莞?高三統(tǒng)考期末）某區(qū)域中的物種C有/種和2種兩個亞種.為了調(diào)查該區(qū)域中這

兩個亞種的數(shù)目比例（/種數(shù)目比8種數(shù)目少），某生物研究小組設(shè)計了如下實驗方案：①在該區(qū)域中有

放回的捕捉50個物種C,統(tǒng)計其中/種數(shù)目，以此作為一次試驗的結(jié)果；②重復進行這個試驗〃次（其

—x=1—fx,_

中"eN*）,記第7?次試驗中的4種數(shù)目為隨機變量X。=1，2,…,〃）；③記隨機變量"I,利用了

的期望E（X）和方差”（X）進行估算.設(shè)該區(qū)域中N種數(shù)目為8種數(shù)目為N,每一次試驗都相互獨

立.

⑴已知“(x,+5)=￡(x,)+E(Xj),o(x,+xj=z)(x,)+z)(Xj),證明：E(B=E(XJ,

。國=N(XJ.

(2)該小組完成所有試驗后，得到X的實際取值分別為西(i=l,2,…,〃)，并計算了數(shù)據(jù)王(:1,2,…的

210.5

-2S=----

平均值X和方差S,然后部分數(shù)據(jù)丟失，僅剩方差的數(shù)據(jù)〃.

__絲一

⑴請用X和52分別代替￡(')和"(X),估算N和壬

(ii)在(i)的條件下，求區(qū)的分布列中概率值最大的隨機事件｛*=科對應(yīng)的隨機變量的取值.

13.(2024?貴州貴陽?高三校聯(lián)考階段練習)某校為了慶祝建校100周年，舉行校園文化知識競賽.某班

經(jīng)過層層選拔，還有最后一個參賽名額要在甲、乙兩名學生中產(chǎn)生，該班設(shè)計了一個選拔方案：甲，乙兩

名學生各自從6個問題中隨機抽取3個問題作答.已知這6個問題中，學生甲能正確回答其中的4個問題,

而學生乙能正確回答每個問題的概率均為5.甲、乙兩名學生對每個問題回答正確與否都是相互獨立的.

(1)分別求甲、乙兩名學生恰好答對2個問題的概率；

(2)設(shè)甲答對的題數(shù)為X,乙答對的題數(shù)為y,若讓你投票決定參賽選手，你會選擇哪名學生？請說明理

由.

W05正態(tài)分布與標準正態(tài)分布

14.(2024?全國?模擬預測)某市有20000名學生參加了一項知識競賽活動(知識競賽分為初賽和復

賽)，并隨機抽取了100名學生的初賽成績作為樣本，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示.

頻率/組距

0.040—

0.035

0.030--

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

5060708090100成績/分

⑴根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)的估計值和80%分位數(shù).

(2)若所有學生的初賽成績X近似服從正態(tài)分布"(從/)，其中〃為樣本平均數(shù)的估計值，bRl,初賽成

績不低于89分的學生才能參加復賽，試估計能參加復賽的人數(shù).

(3)復賽設(shè)置了三道試題，第一、二題答對得30分，第三題答對得40分，答錯得0分.已知某學生已通過

2j_

初賽，他在復賽中第一題答對的概率為3,后兩題答對的概率均為萬，且每道題回答正確與否互不影響，

記該考生的復賽成績?yōu)檠?，求y的分布列及數(shù)學期望.

附：若隨機變量X服從正態(tài)分布"(〃'/)，則P(〃-卜06827,

尸(〃一2cr<XW〃+2cr)合0.9545尸(〃-3cr<XW〃+3b)”0.9973

15.(2024?海南省直轄縣級單位?高三?？茧A段練習)紅松樹分布在我國東北的小興安嶺到長白山一

帶，耐蔭性強.在一森林公園內(nèi)種有一大批紅松樹，為了研究生長了4年的紅松樹的生長狀況，從中隨機選

取了12棵生長了4年的紅松樹，并測量了它們的樹干直徑可?(單位：厘米)，如下表:

i123456789101112

28.727.231.535.824.333.536.326.728.927.425.234.5

1212

Yx,.=360,y%,2=10992

計算得：日，=i

(1)求這12棵紅松樹的樹干直徑的樣本均值M與樣本方差s'.

(2)假設(shè)生長了4年的紅松樹的樹干直徑近似服從正態(tài)分布.

記事件A：在森林公園內(nèi)再從中隨機選取12棵生長了4年的紅松樹，其樹干直徑都位于區(qū)間122,38].

①用(1)中所求的樣本均值與樣本方差分別作為正態(tài)分布的均值與方差，求尸(")；

②護林員在做數(shù)據(jù)統(tǒng)計時，得出了如下結(jié)論：生長了4年的紅松樹的樹干直徑近似服從正態(tài)分布

N(30,8°).在這個條件下，求尸(㈤，并判斷護林員的結(jié)論是否正確，說明理由.

參考公式：若丫~"(〃,〃)，

川尸-〃KO')a0.6827,P(|y-〃K2b)x0.9545,P(|y-//|<3b)?0.9973

參考數(shù)據(jù).0.682712x0.01,0.954512?0.57,0.997312?0.97

16.已知某高校共有10000名學生，其圖書館閱覽室共有994個座位，假設(shè)學生是否去自習是相互獨立

的，且每個學生在每天的晚自習時間去閱覽室自習的概率均為0.1.

（1）將每天的晚自習時間去閱覽室自習的學生人數(shù)記為X,求X的期望和方差；

（2）18世紀30年代，數(shù)學家棣莫弗發(fā)現(xiàn)，當〃比較大時，二項分布可視為正態(tài)分布.止匕外，如果隨機變

量y?令b,則Z?N（0,l）,當z?N（0,l）時，對于任意實數(shù)a,記①（a）=P（Z<a）

.已知下表為標準正態(tài)分布表（節(jié)選），該表用于查詢標準正態(tài)分布N（°，l）對應(yīng)的概率值.例如當。=016

時，由于016=0.1+0.06,則先在表的最左列找到數(shù)字0」（位于第三行），然后在表的最上行找到數(shù)字

0.06（位于第八列），則表中位于第三行第八列的數(shù)字0.5636便是①（°16）的值.

a0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.09

0.00.50000.50400.50800.51200.51600.51990.52390.52790.53190.5359

0.10.53980.54380.54780.55170.55570.55960.56360.56750.57140.5753

0.20.57930.58320.58710.59100.59480.59870.60260.60640.61030.6141

0.30.61790.62170.62550.62930.63310.63680.64040.64430.64800.6517

0.40.65540.65910.66280.66640.67000.67360.67720.6808,0.68440.6879

0.50.69150.69500.69850.70190.70540.70880.71230.715710.71900.7224

①求在晚自習時間閱覽室座位不夠用的概率；

②若要使在晚自習時間閱覽室座位夠用的概率高于0.7,則至少需要添加多少個座位?

W06統(tǒng)計圖表及數(shù)字特征

17.（2022?北京）在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到9.50%以上（含

9.50加）的同學將獲得優(yōu)秀獎.為預測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績,

并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）:

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙：9.85,9.65,9.20,9.16.

假設(shè)用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立.

（I）估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；

（II）設(shè)X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總?cè)藬?shù)，估計X的數(shù)學期望￡X；

（III）在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結(jié)論不要求證明）

18.（2024?江西?高三校聯(lián)考階段練習）某學校即將迎來建校80周年，為了增進學生愛校、榮校意識,

團委組織學生開展“迎校慶、知校史”的知識競賽活動，共有100名同學參賽.為了解競賽成績的分布情況,

將100名同學的競賽成績按[75,80）,[80,85）,[85,90）,[90,95）,[95,100]分成6組，繪制成如

圖所示的頻率分布直方圖.

頻率

0.05

0.04

0.02

0.01

°“707580859095100芬數(shù)

(1)用樣本估計總體，求圖中a的值及此次知識競賽成績的80%分位數(shù)；

(2)現(xiàn)從競賽成績在B°，95)的學生中以分層抽樣的方式抽取15人進行培訓，經(jīng)過一輪培訓后再選取2人擔

任主持人工作，求在至少1人來自分數(shù)段設(shè)°'95)的條件下，另外1人來自分數(shù)段[8°，85)的概率.

19.在全球抗擊新冠肺炎疫情期間，我國醫(yī)療物資生產(chǎn)企業(yè)加班加點生產(chǎn)口罩、防護服、消毒水等防疫物

品，保障抗疫一線醫(yī)療物資供應(yīng)，在國際社會上贏得一片贊譽.我國某口罩生產(chǎn)企業(yè)在加大生產(chǎn)的同時，狠

抓質(zhì)量管理，不定時抽查口罩質(zhì)量，該企業(yè)質(zhì)檢人員從所生產(chǎn)的口罩中隨機抽取了100個，將其質(zhì)量指標

值分成以下六組：140,50),[50,60),[60,70),…，[90,100],得到如下頻率分布直方圖.

⑴求出直方圖中〃?的值；

(2)利用樣本估計總體的思想，估計該企業(yè)所生產(chǎn)的口罩的質(zhì)量指標值的平均數(shù)和中位數(shù)(中位數(shù)精確到

0.01)；

(3)現(xiàn)規(guī)定：質(zhì)量指標值小于70的口罩為二等品，質(zhì)量指標值不小于70的口罩為一等品.利用分層抽樣的方

法從該企業(yè)所抽取的100個口罩中抽出5個口罩，并從中再隨機抽取2個作進一步的質(zhì)量分析，試求這2

個口罩中恰好有1個口罩為一等品的概率.

20.(2024?全國?高三期末)武漢外國語學校預籌辦“六十周年校慶”慶典活動，需要對參與校慶活動的志

愿者進行選拔性面試.現(xiàn)隨機抽取了100名候選者的面試成績，并分成五組：第一組［45,55),第二組

［55,65),第三組［65,75),第四組［75,85),第五組185,95］,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第三、

四、五組的頻率之和為0.7,第一組和第五組的頻率相同.

(1)求0,6的值;

(2)估計這100名候選者面試成績的第70百分位數(shù)(結(jié)果精確到0.1);

(3)在第二，第五兩組志愿者中，采用分層抽樣的方法從中抽取6人，然后再從這6人中選出2人，以確定

組長人選，求選出的兩人來自同一組的概率.

一題型07線性回歸與非線性回歸分析

21.(2024?吉林?東北師大附中?？寄M預測)2015年7月31日，在吉隆坡舉行的國際奧委會第128次

全會上，北京獲得2022年冬奧會舉辦權(quán).在申冬奧過程中，中國正式向國際社會作出“帶動三億人參與冰雪

運動”的莊嚴承諾.這一承諾，既是我國為國際奧林匹克運動做出重大貢獻的大國擔當展現(xiàn)，也是根據(jù)我國

經(jīng)濟水平和全民健身需求做出的群眾性運動的戰(zhàn)略部署.從北京冬奧會申辦成功到2021年10月，全國參與

冰雪運動人數(shù)累計達到3.46億，實現(xiàn)了“帶動三億人參與冰雪運動”的目標，這是北京冬奧會給予全球冬季

體育運動和奧林匹克運動的最為重要的遺產(chǎn)，可以說是2022年北京冬奧會的第一塊金牌.“冬奧熱”帶動“冰

雪熱”，也帶動了冰雪經(jīng)濟，以冰雪運動為主要內(nèi)容的冰雪旅游近年來發(fā)展迅速，2016至2022六個冰雪季

的旅游人次y（單位億）的數(shù)據(jù)如下表：

年度2016—20172017—20182018—20192019—20202020—20212021—2022

年度代號t123456

旅游人次y1.71.972.240.942.543.15

⑴求〉與f的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）,并回答y與，的線性相關(guān)關(guān)系的強弱；

（2）因受疫情影響，現(xiàn)將2019—2020年度的異常數(shù)據(jù)剔除，用剩下的5個年度數(shù)據(jù)（年度代號不變），求y

關(guān)于/的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）,并推測沒有疫情情況下，2019—2020年度冰雪旅游人次的估

計值.

,16_1666

t=—=3.51=2.09X匹=47-722；=91

附注：參考數(shù)據(jù)：6,7z=lz=l

?7

Z=1Z=1

-（乂一了）￡狐%-〃江

Z=1

S2-2

工4—m人一E

直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:z=ia=y-bt

22.（2024?全國?高三專題練習）數(shù)獨是源自18世紀瑞士的一種數(shù)學游戲，玩家需要根據(jù)9x9盤面上的

已知數(shù)字，推理出所有剩余空格的數(shù)字，并滿足每一行、每一列、每一個粗線宮（3x3）內(nèi)的數(shù)字均含1?

9,且不重復.數(shù)獨愛好者小明打算報名參加“絲路杯”全國數(shù)獨大賽初級組的比賽.

1

t=—

參考數(shù)據(jù)再：

7

7_9

5弘t￡片-7t

Z=11=1

17500.370.55

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（/，"）'（牲，修）…（"”#“），其經(jīng)驗回歸方程v=a+的斜率和截距的最小二乘估

“__

下=0-------------

〉:—n/j,人八人

計分別為I,""即.

（1）賽前小明進行了一段時間的訓練，每天解題的平均速度近秒/題）與訓練天數(shù)x（天）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計得到如下

數(shù)據(jù)：

x（天）1234567

y（秒/題）910800600440300240210

八八b

y=ci—人；

現(xiàn)用‘X作為回歸方程模型，請利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程；（?,6用分數(shù)表示）

（2）小明和小紅玩“對戰(zhàn)賽”，每局兩人同時開始解一道數(shù)獨題，先解出題的人獲勝，不存在平局，兩人約定

2

先勝3局者贏得比賽.若小明每局獲勝的概率為3,且各局之間相互獨立，設(shè)比賽X局后結(jié)束，求隨機變

量X的分布列及均值.

23.（2024?全國?模擬預測）近三年的新冠肺炎疫情對我們的生活產(chǎn)生了很大的影響，當然也影響著我

們的旅游習慣，鄉(xiāng)村游、近郊游、周邊游熱鬧了許多，甚至出現(xiàn)“微度假”的概念.在國家有條不紊的防疫

政策下，旅游又重新回到了老百姓的日常生活中.某鄉(xiāng)村抓住機遇，依托良好的生態(tài)環(huán)境、厚重的民族文

化，開展鄉(xiāng)村旅游.通過文旅度假項目考察，該村推出了多款套票文旅產(chǎn)品，得到消費者的積極回應(yīng).該

村推出了六條鄉(xiāng)村旅游經(jīng)典線路，對應(yīng)六款不同價位的旅游套票，相應(yīng)的價格x與購買人數(shù)y的數(shù)據(jù)如下

表.

旅游線路奇山秀水游古村落游慢生活游親子游采摘游舌尖之旅

套票型號ABCDEF

價格X/元394958677786

經(jīng)數(shù)據(jù)分析、描點繪圖，發(fā)現(xiàn)價格x與購買人數(shù)y近似滿足關(guān)系式）=°力>°）,即

wn

lny=61nx+lna（a>0,6>0）,對上述數(shù)據(jù)進行初步處理，其中匕=足為，,=lX,i=\,2,6.

66.66

2

2匕叱.=75.3￡匕=24.6Z%=18.3vz=101.4

附：①可能用到的數(shù)據(jù)：4，日，日，^

②對于一組數(shù)據(jù)（?叫），（%，嗯），…，（為，%）,其回歸直線舟=亂+&的斜率和截距的最小二乘估計值

n

2匕四-rivw

B=E-------------------------_i=\

n

S(v,.-v)2匕2一S—2

分別為TEz=la="w-bv

（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求了關(guān)于X的回歸方程.

（2）按照相關(guān)部門的指標測定，當套票價格［49,81］時，該套票受消費者的歡迎程度更高，可以被認定為

“熱門套票”.現(xiàn)有三位游客，每人從以上六款套票中購買一款旅游，購買任意一款的可能性相等.若三人

買的套票各不相同，記三人中購買“熱門套票”的人數(shù)為X,求隨機變量X的分布列和期望.

—J008獨立性檢驗

24.(2024?湖北武漢?高三統(tǒng)考期末)數(shù)學運算是數(shù)學學科的核心素養(yǎng)之一，具備較好的數(shù)學運算素養(yǎng)

一般體現(xiàn)為在運算中算法合理、計算準確、過程規(guī)范、細節(jié)到位，為了診斷學情、培養(yǎng)習慣、發(fā)展素養(yǎng),

某老師計劃調(diào)研準確率與運算速度之間是否有關(guān)，他記錄了一段時間的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：

項目速度快速度慢合計

準確率高102232

準確率低111728

合計213960

(1)依據(jù)〃=001°的獨立性檢驗，能否認為數(shù)學考試中準確率與運算速度相關(guān)？

(2)為鼓勵學生全面發(fā)展，現(xiàn)隨機將準確率高且速度快的10名同學分成人數(shù)分別為3,3,4的三個小組進

行小組才藝展示，若甲、乙兩人在這10人中，求甲在3人一組的前提下乙在4人一組的概率.

附：

a0.1000.0500.0250.0100.0050.001

%2.7063.8415.0246.6357.87910.828

2n（ad-bcj

（〃+6）（0+4（4+°）9+4）其中幾=4+6+°+6/

25.(2024?陜西榆林??？寄M預測)由于人類的破壞與棲息地的喪失等因素，地球上瀕臨滅絕生物的

比例正在以驚人的速度增長.在工業(yè)社會以前，鳥類平均每30。年滅絕一種，獸類平均每8000年滅絕一種，

但是自工業(yè)社會以來，地球物種滅絕的速度已經(jīng)超出自然滅絕率的1000倍.所以保護動物刻不容緩，全世

界都在號召保護動物，動物保護的核心內(nèi)容是禁止虐待、殘害任何動物，禁止獵殺和捕食野生動物，某動

物保護機構(gòu)為了調(diào)查研究人們“保護動物意識的強弱與性別是否有關(guān)聯(lián)”，從某市市民中隨機抽取40。名進

行調(diào)查，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：

保護動物意識強保護動物意識弱合計

男性14060200

女性80120200

合計220180400

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值a=0001的獨立性檢驗，能否認為人們保護動物意識的強弱與性別有關(guān)

聯(lián)？

(2)將頻率視為概率，現(xiàn)從該市女性的市民中用隨機抽樣的方法每次抽取1人，共抽取4次.記被抽取的4人

中“保護動物意識強”的人數(shù)為X,若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求X的分布列和數(shù)學期望.

2n(ad-bcY

彳=-----------------------

參考公式：(a+6)(c+d)(a+c"6+d),其中"=a+6+c+d

附:

a0.100.050.0100.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

26.（2024?全國?高三專題練習）為加快推動旅游業(yè)復蘇，進一步增強居民旅游消費意愿，山東省人民

政府規(guī)定自2023年1月21日起至3月31日在全省實施景區(qū)門票減免.據(jù)統(tǒng)計，活動開展以來游客至少

去過兩個及以上景區(qū)的人數(shù)占比為90%.某市旅游局從游客中隨機抽取100人（其中年齡在50周歲及以

下的有60人）了解他們對全省實施景區(qū)門票減免活動的滿意度，并按年齡（50周歲及以下和50周歲以

上）分類統(tǒng)計得到如下不完整的2x2列聯(lián)表：

不滿意滿意總計

50周歲及以下55

50周歲以上15

總計100

（1）根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成以上2x2列聯(lián)表，根據(jù)小概率值&=。-001的獨立性檢驗，能否認為對全省實施景區(qū)門

票減免活動是否滿意與年齡有關(guān)聯(lián)（結(jié)果精確到0.01）?

（2）現(xiàn)從本市游客中隨機抽取3人了解他們的出游情況，設(shè)其中至少去過兩個及以上景區(qū)的人數(shù)為X,若以

本次活動中至少去過兩個及以上景區(qū)的人數(shù)的頻率為概率，求X的分布列和數(shù)學期望.

2n(ad-bcj

參考公式及數(shù)據(jù)：(a+6)(c+4)(a+c)(b+d),其中〃=a+6+c+d.

a0.1000.0500.0100.001

%2.7063.8416.63510.828

?題型09與體育比賽規(guī)則有關(guān)的概率問題

27.（2024?吉林?通化市第一中學校校聯(lián)考模擬預測）2022年12月18日，第二十二屆男足世界杯決賽

在梅西率領(lǐng)的阿根廷隊與姆巴佩率領(lǐng)的法國隊之間展開，法國隊在上半場落后兩球的情況下，下半場連進

兩球，2比2戰(zhàn)平進入加時賽，加時賽兩隊各進一球（比分3：3）再次戰(zhàn)平，在隨后的點球大戰(zhàn)中，阿根廷

隊發(fā)揮出色，最終贏得了比賽的勝利，時隔36年再次成功奪得世界杯冠軍，梅西如愿以償，成功捧起大

力神杯.

（1）法國隊與阿根廷隊實力相當，在比賽前很難預測誰勝誰負.賽前有3人對比賽最終結(jié)果進行了預測，假

設(shè)每人預測正確的概率均為萬，求預測正確的人數(shù)X的分布列和期望；

（2）足球的傳接配合非常重要，傳接球訓練也是平常訓練的重要項目，梅西和其他4名隊友在某次傳接球的

訓練中，假設(shè)球從梅西腳下開始，等可能地隨機傳向另外4人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機

傳向另外4人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接住，記第〃次傳球之前球在梅西腳下的

概率為月，求月.

28.（2024?江蘇?高三統(tǒng)考期末）2022年卡塔爾世界杯決賽于當?shù)貢r間12月18日進行，最終阿根廷通

過點球大戰(zhàn)總比分7:5戰(zhàn)勝法國，奪得冠軍.根據(jù)比賽規(guī)則：淘汰賽階段常規(guī)比賽時間為90分鐘，若在90

分鐘結(jié)束時進球數(shù)持平，需進行30分鐘的加時賽，若加時賽仍是平局，則采用“點球大戰(zhàn)”的方式?jīng)Q定勝

負.“點球大戰(zhàn)”的規(guī)則如下：①兩隊各派5名隊員，雙方輪流踢點球，累計進球個數(shù)多者勝；②如果在踢

滿5輪前，一隊的進球數(shù)已多于另一隊踢滿5輪最多可能射中的球數(shù)，則不需要再踢(例如：第4輪結(jié)束

時，雙方“點球大戰(zhàn)”的進球數(shù)比為2：。，則不需要再踢第5輪)；③若前5輪“點球大戰(zhàn)”中雙方進球數(shù)持

平，則從第6輪起，雙方每輪各派1人踢點球，若均進球或均不進球，則繼續(xù)下一輪，直到出現(xiàn)一方進球

另一方不進球的情況，進球方勝出.

(1)假設(shè)踢點球的球員等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向射門，門將也會等可能地選擇球門的左、

3

中、右三個方向來撲點球，而且門將即使方向判斷正確也只有K的可能性將球撲出.若球員射門均在門內(nèi)，

在一次“點球大戰(zhàn)”中，求門將在前4次撲出點球的個數(shù)X的分布列期望；

(2)現(xiàn)有甲、乙兩隊在決賽中相遇，常規(guī)賽和加時賽后雙方戰(zhàn)平，需要通過“點球大戰(zhàn)”來決定冠軍.設(shè)甲

22

隊每名隊員射進點球的概率均為乙隊每名隊員射進點球的概率均為假設(shè)每輪點球中進球與否互不

影響，各輪結(jié)果也互不影響.

(i)若甲隊先踢點球，求在第3輪結(jié)束時，甲隊踢進了3個球并獲得冠軍的概率；

(ii)求“點球大戰(zhàn)”在第7輪結(jié)束，且乙隊以6：5獲得冠軍的概率.

29.(2024?湖南長沙?高三長沙一中?？茧A段練習)全民健身創(chuàng)精彩，健康成長蜿未來.為此某校每年定

期開展體育藝術(shù)節(jié)活動，活動期間舉辦乒乓球比賽.假設(shè)甲乙兩人進行一場比賽，在每一局比賽中，都不會

出現(xiàn)平局，甲獲勝的概率為。.

(1)若比賽采用五局三勝制，且。=°$,則求甲在第一局失利的情況下，反敗為勝的概率；

1

p>一

（2）若比賽有兩種賽制，五局三勝制和三局兩勝制，且2,試分析哪種賽制下甲獲勝的概率更大？并說

明理由.

?題型10決策型問題

30.（2021?新高考I）某學校組織“一帶一路”知識競賽，有4,3兩類問題.每位參加比賽的同學先在

兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結(jié)束；若回答正確則從另一

類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結(jié)束.N類問題中的每個問題回答正

確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分.

已知小明能正確回答/類問題的概率為0.8,能正確回答8類問題的概率為0.6,且能正確回答問題的概率

與回答次序無關(guān).

（1）若小明先回答/類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；

（2）為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.

31.（2024?全國?模擬預測）己知4只白鼠中有2只患病，患病白鼠的血液檢驗呈陽性，不患病的呈陰

性.

⑴若隨機逐個進行抽檢，直至能確定所有患病白鼠為止，求抽檢次數(shù)X的期望々X）；

（2）若隨機地將白鼠平均分成48兩組，首先對N組2只白鼠的血液進行一次混檢，若呈陰性，則可確定

2組2只白鼠患?。蝗舫赎栃?，再對2組2只白鼠的血液進行一次混檢.若2組混檢呈陰性，則可確定/

組2只白鼠患??；若3組混檢也呈陽性，則只需在/,2兩組中各隨機檢驗1只白鼠的血液，便可分辨出

所有患病白鼠.求檢驗總次數(shù)丫的期望或丫），并比較上述兩種檢測方案哪個更便捷.

32.（2024?云南?高三校聯(lián)考階段練習）新冠疫情暴發(fā)以來，各級人民政府采取有效防控措施，時常采

用10人一組做核酸檢測（俗稱混檢），某地在核酸檢測中發(fā)現(xiàn)某一組中有1人核酸檢測呈陽性，為了能找

出這1例陽性感染者，且確認感染何種病毒，需要通過做血清檢測，血清檢測結(jié)果呈陽性的即為感染人

員，呈陰性的表示沒被感染.擬采用兩種方案檢測：

方案甲：將這10人逐個做血清檢測，直到能確定感染人員為止.

方案乙：將這10人的血清隨機等分成兩組，隨機將其中一組的血清混在一起檢測，若結(jié)果為陽性，則表

示感染人員在該組中，然后再對該組中每份血清逐個檢測，直到能確定感染人員為止；若結(jié)果呈陰性，則

對另一組中每份血清逐個檢測，直到能確定感染人員為止.把采用方案甲，直到能確定感染人員為止，檢測

的次數(shù)記為X

（1）求X的數(shù)學期望“（X）；

（2）如果每次檢測的費用相同，以檢測費用的期望作為決策依據(jù)，應(yīng)選擇方案甲與方案乙哪一種？

33.(2024?上海浦東新?高三上海市進才中學校考階段練習)某學校擬開展了一次趣味運動比賽，比賽

由若干個傳統(tǒng)項目和新增項目組成，每位運動員共需參加3個運動項目.對于每一個傳統(tǒng)項目，若沒有完

成，得0分；若完成了，得30分.對于新增項目，若沒有完成，得0分；若只完成了1個，得40分，若完

成了2個，得90分.最后得分越多者，獲得的獎金越多.現(xiàn)有兩種參賽方案供運動員選擇：

【方案一】只參加3個傳統(tǒng)項目；

【方案二】參加1個傳統(tǒng)項目和2個新增項目；

1.1

假設(shè)運動員能完成每個傳統(tǒng)項目的概率均為2,能完成每個新增項目的概率均為3,且運動員參加的每個

項目是否能完成相互獨立.

(1)若運動員選擇方案一，設(shè)最后得分為X,求X的分布與期望；

(2)若以最后得分的數(shù)學期望為依據(jù)，運動員應(yīng)選擇哪個參賽方案?說明你的理由.

一題型11遞推型概率命題

34.(2024?貴州貴陽?高三統(tǒng)考期末)有〃個編號分別為L2,…，”的盒子，第1個盒子中有2個紅球和1

個白球，其余盒子中均為1個紅球和1個白球，現(xiàn)從第1個盒子中任取一球放入第2個盒子，現(xiàn)從第2個

盒子中任取一球放入第3個盒子，……，依次進行.

(1)求從第2個盒子中取到紅球的概率；

(2)求從第〃個盒子中取到紅球的概率；

3

口“、—<E(X)W2

(3)設(shè)第〃個盒子中紅球的個數(shù)為X,X的期望值為￡(X),求證：2

35.(2024?全國?模擬預測)某中學舉辦了詩詞大會選拔賽，共有兩輪比賽，第一輪是詩詞接龍，第二

輪是飛花令.第一輪給每位選手提供5個詩詞接龍的題目，選手從中抽取2個題目，主持人說出詩詞的上

句，若選手在10秒內(nèi)正確回答出下句可得10分，若不能在10秒內(nèi)正確回答出下句得0分.

(1)已知某位選手會5個詩詞接龍題目中的3個，求該選手在第一輪得分的數(shù)學期望；

(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四個團隊參加飛花令環(huán)節(jié)的比賽，每一次由四個團隊中的一個回答問題，無論

答題對錯，該團隊回答后由其他團隊搶答下一問題，且其他團隊有相同的機會搶答下一問題.記第"次回

答的是甲的概率為月，若4=1.

①求2,2；

\p

②證明：數(shù)列4J為等比數(shù)列，并比較第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小.

36.(2024?山東德州?高三統(tǒng)考期末)某市號召市民盡量減少開車出行，以綠色低碳的出行方式支持節(jié)

能減排.原來天天開車上班的王先生積極響應(yīng)政府號召，準備每天在騎自行車和開車兩種出行方式中隨機

選擇一種方式出行.從即日起出行方式選擇規(guī)則如下：第一天選擇騎自行車方式上班，隨后每天用“一次

性拋擲4枚均勻硬幣”的方法確定出行方式，若得到的正面朝上的枚數(shù)小于3,則該天出行方式與前一天相

同，否則選擇另一種出行方式.

(1)設(shè))表示事件“在第〃天，王先生上班選擇的是騎自行車出行方式”的概率.

①求句

(2)依據(jù)乙值，闡述說明王先生的這種隨機選擇出行方式是否積極響應(yīng)市政府的號召.

37.(2024?全國?模擬預測)網(wǎng)球運動是一項激烈且耗時的運動，對于力量的消耗是很大的，這就需要

網(wǎng)球運動員提高自己的耐力.耐力訓練分為無氧和有氧兩種訓練方式.某網(wǎng)球俱樂部的運動員在某賽事前

展開了一輪為期90天的封閉集訓，在封閉集訓期間每名運動員每天選擇一種方式進行耐力訓練.由訓練

計劃知，在封閉集訓期間，若運動員第"("eN，〃*89)天進行有氧訓練，則第〃+1天進行有氧訓練的概率

54

為5,第"+1天進行無氧訓練的概率為5；若運動員第"天進行無氧訓練，則第〃+1天進行有氧訓練的概

72

率為5,第"+1天進行無氧訓練的概率為5.若運動員封閉集訓的第I天進行有氧訓練與無氧訓練的概率

相等.

(1)封閉集訓期間，記3名運動員中第2天進行有氧訓練的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學期望；

(2)封閉集訓期間，記某運動員第〃天進行有氧訓練的概率為々，求與5.

一題型12條件概率、全概率公式、貝葉斯公式

38.(2024?河北滄州?高三泊頭市第一中學校聯(lián)考階段練習)2023年