高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：解三角形大題綜合歸類（解析版）

專題3-4解三角形大題綜合歸類

目錄

題型01正余弦定理基礎(chǔ)：正余余正求角（第一問）..................................................1

題型02正余弦定理基礎(chǔ)：分式型求角（第一問）....................................................5

題型03正余弦定理基礎(chǔ)：角度關(guān)系證明型（第一問）.................................................8

題型04正余弦定理基礎(chǔ)：正切型求角（第一問）...................................................12

題型05解三角形最值：角與對邊型求面積.........................................................16

題型06解三角形最值：角非對邊型求面積.........................................................18

題型07解三角形最值：周長型最值...............................................................21

題型08解三角形最值：長度型最值...............................................................25

題型09解三角形最值：銳角三角形與邊系數(shù)不等型.................................................27

題型10解三角形最值：四邊形面積最值型..........................................................30

題型11三大線：中線（重心）型..................................................................32

題型12三大線：角平分線（內(nèi)心）型.............................................................35

題型13三大線；高.............................................................................39

題型14輔助線型：雙三角型.....................................................................41

高考練場......................................................................................45

熱點題型歸納

題型01正余弦定理基礎(chǔ)：正余余正求角（第一問）

【解題攻略】

正余弦定理求角基礎(chǔ)：

兩角和與差的正弦、余弦'正切公式

sin(a+1)=sinacosfi+cos(zsinp(S(a+/?))正余余正

sin(a—j^)=sinacos夕一cosasinp正余余正正角減余角

cos(a+)ff)=cosacosfl—sinasinP(C(?+/?))余余正正偶函數(shù)。誰減誰無所謂cos（a-

/J)=cos(fl—a)

cos(a—)ff)=cosacosjff+sinasinp(C(a-/?))

對于Sin（a+/3）與COS（a+p）簡稱為“正余余正，余余正正”

恒等變形和化簡求角中，有如下經(jīng)驗：

1、SinC=Sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB:正用。逆用；見A與B的正余或者余正，不夠，找

sinC拆

2、邊的齊次式，正弦定理轉(zhuǎn)為角的正弦；

3、cosC=-cos（A+B）=-[cosAcosB-sinAsinC]

【典例（2024上?天津西青?高三統(tǒng)考）已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為〃，b,c,且

(2Q-V3c)COSB-y/3bcosC.

⑴求3;

(2)若b=3,sinC=gsinA,求〃；

（3）若b=6a，求sin12A-；J.

【答案】（1）3；（2）。=3;（3）立二2叵.

68

【分析】（1）由正弦邊化角及三角恒等變換可得2sinAcosB=6sinA,結(jié)合三角形內(nèi)角性質(zhì)求B.

（2）由正弦角化邊及余弦定理列方程求。

（3）由題設(shè)及（1）得$由4=孚=1,注意A為銳角，應(yīng)用倍角正余弦、差角正弦公式求目標(biāo)式的值.

V24

【詳解】（1）在AABC中，由正弦定理及（2〃-百c）cos3=V§/7cosC,

（2sinA-A/3sinC）cosB=A/3sinBcosC,

則2sinAcosB=A/3sinCcosB+y/3sinBcosC=\/3sin（B+C）=^3sinA,

而sinA>0,貝!Icos2=@,又8?（。,兀），所以8=^.

26

（2）由sinC=gsinA,得c=6a,由（1）及余弦定理/-2〃ccos5=〃？，

得a2+3a2—2y/3a2?=9，解得a=3,所以a=3.

2

1

（3）由/?=友〃及正弦定理，得sinB=0sinA，則（口,=‘由區(qū)=2=及，

~41—垃—4

顯然b>a,即3>A,則A為銳角，cosA=Vl—sin2A=

于是sin2A=2sinAcosA=2xx，cos2A=2cos2A-l=2x(^^-)2-1=—,

44444

訴I'J.。人兀、-兀兀。713V7-3V3

J7T以sin（2A——）=sm2Acos——cos2Asin—=——x------x——=-------------.

33342428

【典例1?2】（2023?山東濰坊?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知△ABC中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,

A

（acosC+ccosA）cos—=asinB.

（1）求角A；

⑵若。為邊3c上一點，且滿足AD=CD,S.ACD=2S.ABD，證明：融。為直角三角形.

【答案】⑴A=5⑵證明見解析

A

【分析】（1）利用正弦定理邊化角結(jié)合兩角和的正弦公式化簡己知等式，可得sinA=cos,,再利用二倍

A

角公式即可得到sin,的值，即可求得答案；

（2）根據(jù)yAs=241W）得出CJD=2貶>,設(shè)NACD=6,表示出相關(guān)各角，在利用正弦定理即可求

得，，即可證明結(jié)論.

A

【詳解】（1）在中，由正弦定理得（sinAcosC+sinCcosA）cos,=sinAsin3,

AA

所以sin（A+C）cos,=sinAsinb,即sinBcos—=sinAsinB,

A

因為5￡（0,7r）,「.sin3wO,所以sinA=cos—,

2

A（jrAAAA

又因為Ac（0,兀），—G0,—,sinA=2sin—cos—,cos—wO,

2I2J222

所以sing：：，所以A=g；

(2)證明：因為2AC?=2S'B?,所以CD=2&),

設(shè)NACD=，，在AACD中，AD=CD=2BD,則NCAD=，.

jr27r

可得3-e,ZABC=--0,

BDAD

在△ABD中，由正弦定理得,

又因為AD=2BE>,所以2sin

化簡得tanO=3,因為6e[o,g],即6=￡,則NABC=g.

3I3/62

所以△ABC是直角三角形.

【變式1”】（2023上?重慶永川?高三重慶市永川北山中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在融。中，角A、B、C所對

的邊分別為。、b、C,且百acosC=G。-J^gcosA.

（1）求角A的大??；

⑵求cos15-2sin2m的取值范圍.

【答案】⑴A=￡(2)[_^^~2,6_I

6\2

【分析】（1）由正弦定理、兩角和的正弦公式化簡已知式，即可得出答案；

（2）由誘導(dǎo)公式、二倍角的正弦公式、兩角差的余弦公式化簡-Zsin?^,再由三角函數(shù)的性

質(zhì)求解即可.

【詳解】（1）由正弦定理可得，上sinAcosC=2sinBcosA-6sinCcosA,

從而可得6sin（A+C）=2sinBcosA,^3sinB=2sinBcosA,又3為三角形的內(nèi)角,

所以sin^wO,于是cosA=無，又A為三角形的內(nèi)角，因此A=?.

26

(2)cosfj-2sin2=cosfB+^j-2sin2g=sin5+cosC-l=sin3+cosfj-1

=sinB+cos—cosB+sin—sinB-1二一sin8-----cosB-l=J3sin|B--|-1,

6622I6)

由A.可知，力一2[一看母)，從而,

因止匕遭sin(B_F]_lc]一^省一1,

故cos(B-]J-2sin2：的取值范圍為一6；？,6一1.

【變式1-2](2023?重慶沙坪壩?重慶八中?？寄M預(yù)測)已知。，b,c分別為AABC三個內(nèi)角A,B,C的

對邊，_S.bcosC+\/3bsinC-a-c=Q.

⑴求8；

⑵若S3C=W，點。在邊AC上，守絲=@,且8。=5叵，求心

2^ABADC5

【答案】(1)5=1；(2)6=77.

【分析】(1)利用正弦定理化邊為角，結(jié)合恒等變換可求角5的大小.

(2)根據(jù)給定條件，結(jié)合三角形面積公式求出ZAB2NC5。，再利用余弦定理、三角形面積公式計算即得.

【詳解】(1)在AABC中，由正弦定理及bcosC+J§/?sinC-a-c=0,

sinBcosC+y/3sin5sinC-sinA-sinC=0，

即sinBcosC+GsinBsinC=sinA+sinC=sin(B+C)+sinC=sinBcosC+cosBsinC+sinC,

則6sin5sinC=sinC+cos5sinC,而sinCw。，于是651!13-以)53=1,

即sin(5-g)=<，又0<B<71,即有一當(dāng)，則5-￡=￡,所以3=2.

62666663

S—a'BDsinZ.CBD

(2)依題意，-^=-2----------------------貝UsinZABD=sinNCBD,ZABD+ZCBD=-f

SGAD-cBDsinZABDc3

2

干曰/ARD—/「RD—71cc,c160116413百

于1ABD-/CBD—%,SA5C=SACBD+5AABD=-?.^—-+-c-^—,

角軍得a+c=5,X=^acs^n~^=ac=J角星得〃c=6,

由余弦定理得。2=tz2+c2-laccosB=(Q+C)2-3。。=7,解得人=近,

所以Z?=V7.

【變式1?3】(2024上?黑龍江齊齊哈爾?高三統(tǒng)考)在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為

a,b,c,(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC.

⑴求角3的大小；

Q)若b=2后,求AABC周長的最大值.

【答案】⑴84(2)6百

【分析】(1)根據(jù)題意利用三角恒等變換運算求解即可；

(2)法一：利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換以及正弦函數(shù)的有界性分析求解；法二：利用余弦定

理結(jié)合基本不等式運算求解.

【詳解】(1)因為(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,即2sinAcosB=sinBcosC+sinCeos反

可得2sinAcosB=sin(5+C)=sinA

又因為A?0,兀)，則sinAwO,可得cos3=/,

jr

且0<3<兀，可得B=§.

a_b_c_2y/3_

(2)法一■：由正弦定理可得sin^sinBsinC^/3，貝lja=4sinA,c=4sinC,

~2

可得〃+/;+c=4sinA+2^3+4sinC=2百+4sinA+4sin(2兀一A]

=273+4sinA+2sinA+2V3cosA=2^+6sinA+2V3cosA=2^+45/3sin^A+^

因為0<A<2TI,則工<4+烏<2,可得4石<2石+4石sin(A+21w6』，

3666V6J

所以AABC周長的最大值為6G

法二：由余弦定理可得〃之=+c2—2accosB=a2+c2—ac?

可得12=(a+c)2—3acN(a+c)2—3x[^^,當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2有時，等號成立,

解得〃+c<4百，所以AABC周長的最大值為6G.

題型02正余弦定理基礎(chǔ)：分式型求角（第一問）

【解題攻略】

分式型特征：

1.分式中分子分母是邊的齊次式。

2.分式中分子分母是正弦的齊次式

3.如果有余弦，一般情況下不計入次事計算

4.可以通過去分母，轉(zhuǎn)化為無分式型齊次，再用正弦定理轉(zhuǎn)化

【典例1-1］（2023上?湖南長沙?高三長沙市明德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊

八日1、1,sinA-sinCsin（A+C）

分別為。，b,c,----------------=---------L.

sinB+sinCsinA+sinC

⑴求A；

⑵若角A的平分線AD交BC于點。，且AD=2,求44BC面積的最小值.

【答案】（l）A=方-（2）4石

【分析】（1）根據(jù)條件，得到sm.-smf=s：B利用正弦定理角轉(zhuǎn)邊，得到62+02-/=_瓦..

sinB+smCsmA+smC

再利用余弦定理即可求出結(jié)果；

（2）利用條件，結(jié)合2tBe=53。+^^，得到6+c=；歷，再利用基本不等式，得到歷216,從而求出

結(jié)果.

?、斗生、…、.A.sinA-sinCsin（A+C）sinA-sinCsin3

【詳角軍】（1）由已知［-----：—=一^——，得ZR-----------=-----------，

sinB+sinCsinA+sinCsinB+sinCsinA4-sinC

在AASC中，由正弦定理得產(chǎn)=一也，^b2+c2-a2=-bc.

b+ca+c

再由余弦定理得cosA="+ci-be_1

2bc2bc~~2

又A￡（0,7C）,所以A二竽.

jr

(2)因為AD是角A的平分線，則NR4O=NC4O=§,

11w

又Sac=SAAB。+S^ACD=-AB-AD-sinABAD+-ACAD-sinACAD=^(b+c),

又S^c=^-ABACsinA=^-bc,所以避+=—Z?c，得到'+c=gbe,

△24242

又因為6+c22^/^,得至,WW-Jbc>4,BPbc>i6,

當(dāng)且僅當(dāng)b=c時等號成立，所以黑；c=3的也4=手加？4名

即AABC面積的最小值是4石.

【典例12］（2023上?江蘇?高三泰州中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知AABC的三個內(nèi)角4民。所對的邊分別是

7」「bsin2B

a,b,c.已知一=------,-----?

c2sinA+sinB

⑴求角C;

⑵若點。在邊AB上，6=2,8=1,請在下列兩個條件中任選一個，求邊長AB.

①。。為AABC的角平分線；②。。為的中線.

【答案】（l）g（2）2班

【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角，結(jié)合二倍角公式及兩角和的正弦公式求得cosC,即可得答案；

（2）選①，由凡人8+5"8=2—根據(jù)三角形面積公式求得。，由余弦定理得AB.

選②，得麗+方=2②，平方后利用向量的運算可得。，由余弦定理得48.

【詳解】（1）在AABC中，由正弦定理知2=2絲，

csinC

sinBsin2B2sinBcosB

所以

sinC2sinA+sinB2sinA+sinB

12cos5

又3￡（0,兀），所以sin3>0,

sinC2sinA+sinB

2sinA+sinB=2cosBsinC,

又A=TI—(5+C),「.2sin(B+C)+sinB=2cosBsinC,

2sinBcosC+2cosBsinC+sinB=2cosBsinC,

化簡得2sin3cosc+sin3=0,BPcosC=--,

2

2兀

又Ce（。/）,所以。=彳.

（2）選①，CO為AABC的角平分線,

由S&ACD+S^BCD=SAABC得:-CACDsinZACD+-CBCDsinZBCD=-CA-CB-sinZACB,

222

—△baB，所以?+/?=〃/?,又6=2,所以。=2,

222222

2冗

在AABC中，由余弦定理得c~=a~+廳—2abcosC=2~+2~—8cos=12,所以AB=c=Z'v/§'.

選②，8為m1SC的中線，

則百+麗=2①，平方得SV+在2+292?旃2=4力2，

所以〃+/+2abcosC=4xl2,所以片+/-。/=4，乂6=2,所以。=2,

2冗

在△ABC中，由余弦定理得="+從—2Q/?COSC=2?+2?—8cos?~=12,所以43=c=2^/^.

【變式1”】.（2023上?重慶?高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）已知"RC的內(nèi)角A,B,。所對應(yīng)的邊分

nB

別為a,b,c,且滿足片+一b：1.D=l.

b+cbsinA+csmB

⑴求角C的大??；

（2）若。=2,6=4,點、D為AB的中點，求tanZACD的值.

【答案】（1）；（2），

【分析】（1）根據(jù)題意利用正余弦定理邊角轉(zhuǎn)化分析求解;

（2）根據(jù)（1）中關(guān)系可得c=2出，進而可知2=],利用兩角和差公式運算求解.

【詳解】（1）因為號+,....=1,由正弦定理可得，二+―^=—+—竺=1,

b+cpsinA+csinBb+cab+bcb+ca+c

整理得標(biāo)+/一。2=。匕，

由余弦定理可得cosC=""c一=—

lab2ab2

且Ce(O,7r),所以C=[.

(2)由(1)可得：a2+b2-c2^ab,貝Uc?=/+加一"，即c=2g,

可知"=標(biāo)+02,即2=5,可得BD=6,tanZBCD=-=^-,

2BC2

ll-/…八/「八f「八'tanZACB-tanZ-BCD

所以tanZACD=tan(ZACB-NBCD)=--------------------

'71+tanZACBtanZBC￡>1+居日5

sinB+sinCcosB一cosA

【變式1-2]（2023上?江蘇常州?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在“IBC中，a=曬，且

cosB+cosAsinC

(1)求角A;

（2）若點。為5c邊上一點，下不二i且AD_LAC,求AABC的面積.

【答案】（1）1（2）平

【分析】（1）根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系和正弦定理化簡原式，結(jié)合余弦定理求解cosA='一?=-1進而

2bc2

得到答案；

（2）根據(jù)已知條件轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系，通過向量數(shù)量積運算得到2c=38,結(jié)合余弦定理得到19=6?+c?+慶,

兩式聯(lián)立得到b=2,c=j3b=3,結(jié)合三角形面積公式即可得到答案.

sinB+sinCcosB-cosA

【詳解】（1）因為，所以sinBsinC+sin?C=cos?B-cos?A,

cosB+cosAsinC

即sinBsinC+sin2C=^l-sin2B)-^l-sin2=sin2A-sin2B,

在AABC中，由正弦定理得，bc+c2=a2—b2,BPb2+c2—a2=—be,

2

在AABC中，由余弦定理得，cos」+：―，"又因為0<4<兀，所以A=?.

2bc23

（2）如圖所示,

因為殷二3

DC4

所以AD=AB+—BC=AB+—^AC—AB^=—AB+亍AC因為ADJ_AC,所以AD-AC=0，

所以[1通/]/=o，所以g荏*.恁=o，

即即2仍=3必，又因為bwO,所以2c=3b,

在AABC中，由余弦定理得，a2=b2+c2-2Z?ccosA,即19=廿+/+歷，

33

代入。二="解得匕=±2（負值舍去），所以力=2,c==b=3,

22

所以5AABC=；bcsinAX2X3X^^=^^.

【變式>3]（2023下?貴州貴陽?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在△ABC中，角A,B,。所對的邊分別為mb,c,

asinA+0sin5-csinC2^/3.一

-------------------------------=------sinC.

asinB3

⑴求角C；

⑵若AB邊上的中線長為1,求△ABC面積的最大值.

【答案】（嗚（2呼

【分析】（1）由條件利用正弦定理，余弦定理化簡可得tanC,進而求出C；

（2）由題意可得2麗=石+而，利用向量運算可得4=1+>2+必，根據(jù)基本不等式可求得油的最大值,

進而得解.

【詳解】（1）因為“sin.+'sinB-csinC=g^sinc,由正弦定理可得>+"一心=殛二（？,

asinB3ab3

又由余弦定理可得2HcosC=2臣sinC,.■.cosC=^sinC,

ab33

71

tanC='/3,又0<C<7l,C=—.

（2）設(shè)48邊上的中線為CD,由向量關(guān)系可得，

2Ci5=CA+CB，

41CDI2=1C412+1CSI2+21c3|.|CBIcosC,又|CZ）|=1,C=-|,

..4=ci~+b~+cih，

2

.A-ab=Cr+b>2ab,abvg（當(dāng)且僅當(dāng)。=6=型時取等號）

33

/.SAM=L）sinC=*"《走.所以△ABC面積的最大值為^^

△244333

題型03正余弦定理基礎(chǔ)：角度關(guān)系證明型（第一問）

JT

【典例1?1】（2023?全國?模擬預(yù)測）在AABC中，內(nèi)角A,B,。的對邊分別為。，b,c,滿足

2bsinB-2csinC=6a.

jr

⑴求證：B-C=y.

TT

（2）若A=],c=2,求AABC的面積.

【答案】（1）證明見解析（2）2萬

【分析】（1）方法一，由正弦定理得到2sin2B-2sin2c=6sinA>0,b>c,結(jié)合

sinB=sin（A+C）,sinC=sin（A+B）化簡得到sin（B-C）=￥，證明出結(jié)論；

方法二：，由正弦定理得到2sin2B-2sin2c=/sinA>0,b>c,b2-c2=43Ra,結(jié)合余弦定理得到

2bcosC=a+y/3R,因為sinA=sin（B+C）,所以sin（B-C）=#，證明出結(jié)論；

（2）根據(jù)A=?和（1）中結(jié)論得到8=3，C=y,由正弦定理得到a=2百，利用三角形面積公式求出答

326

案._

【詳解】（1）方法一：2Z?sinB-2csinC=V^a,

由正弦定理得2sin2B-2sin2C=gsinA>0,

故sin5>sinC,由正弦定理可知,

又A+5+C=TI,所以2sin_Bsin(A+C)-2sinCsin(A+_B)=百sinA,

所以2sin_B(sinAcosC+cosAsinC)-2sinC(sinAcosB+cosAsinB)=^3sinA,

所以2(sin3sinAcosC-sinCsinAcosB)=\/3sinA.

因為sinAwO,所以sin(B-C)=立.又AN：,所以0<8+(7《=.又b>c,所以

方法二：由2bsinB-2csinC=6a,由正弦定理得2sii?B-Zsin?C=百sinA>0,

故sin3>sinC,由正弦定理可知/?>c,

因為一^―=2R,所以2bsin3-2csinC=23RsinA,

smA

BPbsinB—csinC=5/37?sinA,所以根據(jù)正弦定理，得力一c?=6Ra.

又/+/—c2=〃+屬Q(mào),所以結(jié)合余弦定理，得2abeosC=H+6Ra,

所以2bcosC=a+gH，則2-2RsinB-cosC=2RsinA+6R，

即2sinBcosC=sinA+,由sinA=sin(B+C),可得2sinBcosC=sinBcosC+cosBsinC+^-,

所以sin(B-C)=￥.又AN4,所以0<8+Cv/.又b>c,所以8-C=].

7T

(2)由(1)知B—C=

又4=?,A+B+C=TI,所以5='，C=—.

326

，=上=，=上=4廠

由正弦定理，知sinAsin8sinCsin工'所以1=2石，b=4,

6

故AASC的面積S=LacsinB=Lx26x2xl=2G.

22

【典例1-2】(2023?全國?高三專題練習(xí))AABC的內(nèi)角AB,C的對邊分別為。也c,acosB^bcosA.

(1)證明：A=B；

(2)若c=Jia=6,求AABC的面積.

【答案】⑴證明見解析(2)3瓜

【分析】(1)用正弦定理轉(zhuǎn)化，結(jié)合正弦差角公式即可求解。)結(jié)合第一問的結(jié)論和余弦定理求得。的余弦值,

代入面積公式求解即可.

【詳解】(1)因為優(yōu)os3=Zxx)sA,所以sinAcosB=cosAsinB,

則sin(A_J3)=0.

又A,B￡(0,?),所以一萬<A—5〈萬，

故A—3=0,即A=B.

(2)由(1)可知，a=b.

因為c=\fia=6,所以cosC=61——=——,

2ab2

則sinC=Jl-cos2c=，

2

故MBC的面積S=-absinC=343.

一2

【變式1-1](2023上?重慶?高三西南大學(xué)附中校聯(lián)考階段練習(xí))在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為

a,b,c,滿足匕=Q—2Z?cosC

(1)求證：C=2B；

⑵若AABC為銳角三角形，求2sinC+cosB-sinB的最大值.

17

【答案】(1)證明見解析(2)工

O

【分析】(1)利用正弦定理將邊化角，借助三角恒等變換公式化簡即可.

IT7T

(2)利用△ABC為銳角三角形，求出:<3<:，表示出2sinC+cos3-sinB,并進行換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),

64

進而求得最大值.

【詳解】(1)由題b=a—2Z;cosc,

由正弦定理：sinB=sinA-2sinBcosC=sin(B+C)-2sinBcosC,

所以sing=sinBcosC+cosBsinC—2sinBcosC,

整理sinB=sinCcosB-cosCsinB,

所以sin8=sin(C—B),

:.B=C-B^B+C-B=TI(舍),:.C=2B.

7t

0<7t-3B<—

2

(2)?「△ABC為銳角三角形,，解得：~7<3所以。<:一5<一,

64'412

71

0<2B<-

2

717171717t^6-A/2

且sin——=sin

123434

由(1)問,C=2B,：.2sinC+cosB—sinB=2sin2B+cosB—sinB,

令/二cosB-sinB=^2sinIB,則sin25=l-(cos3-sinB)2,

17

所以2sinC+cosB-sinB二2(1-〃)+/=-2*+t+2=—2

因為力￡0,

【變式12](2023?全國?模擬預(yù)測)在銳角AABC中，內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為〃，b,c,且

6icosB=Z?(l+cosA).

(1)證明：A=2B；

(2)求￡的取值范圍.

A/222/3

【答案】(1)證明見解析(2)

【分析】(1)由正弦定理結(jié)合兩角差的正弦公式化簡已知式，即可得出答案；

(2)由AABC是銳角三角形，可求出進而求出也<cosB<3，由正弦定理結(jié)合兩角和的正

6422

弦定理可得￡=2COSB———,令cosB=f,y=2t--,由y=2--1-的單調(diào)性即可求出答案.

a2cosB2t2t

【詳解】(1)由acos5=b(l+cosA),結(jié)合正弦定理得sinAcos5=sin5(l+cosA),

BPsinAcosB—cosAsin5=sinB,

所以sin(A-B)=sin5,

所以A—6=3或(A—3)+5=7i(舍去)，所以A=25.

(2)在銳角AA6C中，0<8<e，0<A=2B<-,0<C=n-3B<~,

222

目n兀n71匚616八6csinCsin3Bsin2BcosB+cos2BsinB一八1

即/所以｝<8SB(千?廠嬴大,---------------------------------=2cosB--------

sinIB2cosB

令cosB=￡,y=2t——,te,因為>=2/一；在上單調(diào)遞增，

2tk22JI227

t-r-pjpr^2A/2后^32^/3而|、]￡二2A/^

所以y>j2—3=可，y<v3---=^—，所以?

【變式13](2023上?安徽?高三校聯(lián)考階段練習(xí))在銳角AABC中，內(nèi)角AB,C所對的邊分別為〃也c,且

a2=b2be.

(1)證明：A=2B；

(2)若c=2,求AABC的周長的取值范圍.

【答案】⑴證明見解析⑵(石+3,20+4)

【分析】(1)根據(jù)已知結(jié)合余弦定理可推得6+26cosA=c.進而根據(jù)正弦定理邊化角以及三角恒等變換,

化簡可得sinB=sin(A-B).結(jié)合銳角三角形，即可得出證明；

(2)先根據(jù)已知得出聿<8<：根據(jù)三角恒等變換化簡得出sinC=sinB(4cos28T),然后根據(jù)正弦定理化

簡得出6進而根據(jù)余弦函數(shù)的取值范圍，即可得出答案.

2cosB-l

【詳解】(1)由余弦定理可得，4=萬2+02-2》CCOSA.又/=/+慶，

所以有b1+Z?c=〃2+c2-2bccosA,

整理可得h+2Z?cosA=c.

由正弦定理邊化角可得，sinB+2sinBcosA=sinC.

又sinC=sin(A+8)=sinAcosB+cosAsinB,

所以，sinB+sinBcosA=sinAcosB+cosAsin3,

整理可得，sin5=sinAcos5-cosAsin5=sin(A—5).因為△ABC為銳角三角形，

jrIT

所以，。<4<5，O<3<5，所以，B=A—B,A=2B.

(2)由(1)知，A=2B，則C=TT—(A+3)=7I—38.

71

0<A=25<—

2

，解得已<：

因為AA6C為銳角三角形，所以，0<B<-5<.

2

71

0<C=TI-3B<-

2

根據(jù)正弦定理號=芻=’不可得，烏挈csinA

6=a-

sinAsmBsinCsmCsinC

因為sinC=sin(兀-33)=sin3B=sin(B+2B)

=sinBcosIB+cos8sinIB=sinB(cos2B-sin2B)+2sinBcos2B=sinB(4cos2B-l),

csinB_csinB_c_csinA_csin2B

所以，sinCsinB(4cos2B-l)4cos2B-l'sinCsin3(4cos?5-1)

=2csinBcos5=2ccos5c2ccos5_c

sinB(4cos2B-l)4cos2B-l'1''a+~4cos2B-l+4cos2B-l2cosB-l'

因為所以也<c°sB〈昱,V2-l<2cosB-l<^-l,

6422

1V3+111(后+

<-------------<~/==A/2+1,所以,6+1<Q+Z?<21),

A/3-122cosB-1v2-1

所以，g+3<a+b+c<20+4.所以，AABC的周長的取值范圍為(6+3,2立+4).

題型04正余弦定理基礎(chǔ)：正切型求角(第一問)

【解題攻略】

分式型與正切型

1.若式子含有d4c的2次齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊?

2.面積和凡瓦C2次齊次式，可構(gòu)造余弦定理

3.正切型，可以“切化弦”，轉(zhuǎn)化為分式型，在進行化簡求角

【典例1-1](2023上?湖北?高三隨州市曾都區(qū)第一中學(xué)校聯(lián)考)AABC中，內(nèi)角所對的邊分別為。力,c,

h

滿足Z7tanA+btanB=-.

cosA

⑴求角人

⑵若。是AC邊上的一點，且8=2,BD=AD=6,求tanA.

【答案】(l)g(2)也

32

【分析】(1)根據(jù)題意，利用正弦定理和兩角和的正弦，化簡得到sinBsinC=V^sinCcosB,進而得到

sin8=6cosB，即可求得B的大??；

62

(2)根據(jù)題意，在△BCD中，利用正弦定理得.‘人兀、一.，71—二，進而化簡得到gcosA=2sinA,

即可求解.

【詳解】⑴解：由6tanA+btan3=①，可得6型冬+分甄2=且￡,

cosAcosAcosBcosA

sinBsinAsin2BA^sinC

又由正弦定理得---------1-----

cosAcosBcosA

整理得sinB(cos5sinA+sinBcosA)=百sinCcosB,

可得sin5sinC=百sinCcosB,

因為C￡(。,兀)，可得sinC>0,所以sin3=cosB，即tan3=6,

又因為6e(0,7i),所以B=

BDCD

(2)解：在△BCD中，由正弦定理得

sinZBCDsinZCBD

因為BQ=AD=6,且3=可得/A,

33

(人62

又因為sinC=sin(A+8)=sinb+*所以,2+3sin,A),

整理得退cosA=2sinA,所以tanA