高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：平面向量（新高考專用）含答案及解析

專題07平面向量

-易錯點(diǎn)：注意零向量書寫及三角形

題型一：平面向量線性運(yùn)算工與平行四邊形適用醴___________

遜二：平面向量的邱定理

式易錯點(diǎn)：忽略基底選取原則

及坐標(biāo)表示

題型三：平面向量的數(shù)量積及

0、易錯點(diǎn)：忽視數(shù)量積不滿足結(jié)合律

易錯點(diǎn)一：注意零向量書寫及三角形與平行四邊形適用前提（平面向量線

性運(yùn)算）

i.向量的有關(guān)概念

（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度（或模）.

（2）向量的模：向量AB的大小，也就是向量AB的長度，記作|A5].

（3）特殊向量：

①零向量：長度為0的向量，其方向是任意的.

②單位向量：長度等于1個單位的向量.

③平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共線向量.規(guī)定：0與任一向量平行.

④相等向量：長度相等且方向相同的向量.

⑤相反向量：長度相等且方向相反的向量.

2.向量的線性運(yùn)算和向量共線定理

（1）向量的線性運(yùn)算

運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律

①交換律

求兩個向量a+b=b+a

加法

和的運(yùn)算a②結(jié)合律

三角形法則平行四邊形法則(a+b)+c=〃+(Z?+c)

求〃與Z?的

相反向量-。的

減法a—b—tz+(—Z?)

和的運(yùn)算叫做Qa

與b的差三角形法則

(1)|初=|刈初

求實數(shù)彳與

(2)當(dāng)之＞0時，4a與Q的方向相同；

數(shù)乘向量。的積的運(yùn)(2+]Li)d=Aa+fda

當(dāng)之vO時，4a與〃的方向相同；

算4(。+b)=Aa+Ab

當(dāng)4=0時，Aa=O

共線向量定理

向量a(a/O)與6共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一的一個實數(shù)幾，使得6=

共線向量定理的主要應(yīng)用：

(1)證明向量共線：對于非零向量d,b，若存在實數(shù)4,使4=%＞，則。與6共線.

(2)證明三點(diǎn)共線：若存在實數(shù)九使AB=2AC，則A，B,C三點(diǎn)共線.

(3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值.

平面向量線性運(yùn)算問題的求解策略：

(1)進(jìn)行向量運(yùn)算時，要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量，

三角形的中位線及相似三角形對應(yīng)邊成比例等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來.

(2)向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項式的運(yùn)算，實數(shù)運(yùn)算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式

等變形手段在線性運(yùn)算中同樣適用.

(3)用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧：

①觀察各向量的位置；

②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；

③運(yùn)用法則找關(guān)系；

④化簡結(jié)果.

解決向量的概念問題應(yīng)關(guān)注以下七點(diǎn)：

(1)正確理解向量的相關(guān)概念及其含義是解題的關(guān)鍵.

(2)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.

(3)共線向量即平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān).

(4)相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向

量.

(5)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解題時，不要把它與函數(shù)圖象移動混為一談.

(6)非零向量4與三的關(guān)系：工是4方向上的單位向量.

l?I\a\

(7)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負(fù)實數(shù)，故可以比較大小

易錯提醒：(1)向量表達(dá)式中的零向量寫成0,而不能寫成0.

(2)兩個向量共線要區(qū)別與兩條直線共線，兩個向量共線滿足的條件是：兩個向量所在直線平行或重

合，而在直線中，兩條直線重合與平行是兩種不同的關(guān)系.

(3)要注意二角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運(yùn)用平行四邊形法則時兩個向量的起點(diǎn)必須重

合，和向量與差向量分別是平行四邊形的兩條對角線所對應(yīng)的向量；運(yùn)用三角形法則時兩個向量必須首尾

相接，否則就要把向量進(jìn)行平移，使之符合條件.

(4)向量加法和減法幾何運(yùn)算應(yīng)該更廣泛、靈活如：OA-OB=BA，AM-AN=NM，

OA=OB+CA<^OA-OB=CA<^>BA-CA=BA+AC=BC.

苣9

例.如圖，在平行四邊形ABC。中，下列計算正確的是()

A.AB+AD^ACB.AB+CD+DO=OA

UL1UUUJUUUUlUUIU

c.AB+AD+CD=ADD.AC+BA+DA=0

變式1：給出下列命題，其中正確的命題為()

A.若A8=C。，則必有A與C重合，2與。重合，與CD為同一線段

12

B.^AD=-AC+-ABf則可知=

ULK1ULT1ULT1uun

C.若Q為的重心，則尸。0PA+gPB+gPC

D.非零向量0,b,c滿足a與6，b與c,c與a都是共面向量，則a，bc必共面

,9I

變式2：如圖所示，在平行四邊形ABC。中，AB=a,AD=b,BM=-BC,AN=-AB.

34

⑴試用向量￡,6來表示。MAM;

（2）AM交OV于。點(diǎn)，求AO:OM的值.

變式3：如圖所示，在矩形A3CD中，|叫=46，網(wǎng)=8,設(shè)8c=b,AB=a,BD=c＞求卜-6-4

uinn/T

1.已知a、6為不共線的向量，AB=a+5b，BC=-2a+Sb，CD=3（a-b）,則（）

A.AB,C三點(diǎn)共線B.AC,D三點(diǎn)共線

C.AB,。三點(diǎn)共線D.B,C,。三點(diǎn)共線

2.如圖，在平行四邊形ABC。中，E是BC的中點(diǎn)，尸是線段AE上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，則￡）戶等于（）

B.-AB--AD

33

13

C.-AB--ADD.-AB--AD

3634

3.在四邊形A3CO中，AC=AB+AD，貝I()

A.四邊形ABCD是平行四邊形B.四邊形ABCD是矩形

C.四邊形ABC。是菱形D.四邊形ABCD是正方形

4.已知A28E分別為ABC的邊AC上的中線，設(shè)AD=a，BE=〃J1IJBC)

A

2424

C?-a~~bD.~~a+~b

。DJ3

5.如果4*2是平面a內(nèi)兩個不共線的向量，那么下列說法中不正確的是（）

①。=幾4+〃02（/1,〃€1i）可以表示平面a內(nèi)的所有向量；

②對于平面a內(nèi)任一向量a，使a=Xe]+〃e2（2,〃eR）的實數(shù)對（Z〃）有無窮多個；

③若向量4弓與4弓+生/共線，則2=/"

④若實數(shù)入〃使得雞+〃=0,貝1]4=〃=0.

A.①②B.②③C.③④D.②

6.給出下歹U各式：?AB+CA+BC，②AB-CD+BD-AC，?AD-OD+OA，@NQ-MP+QP+MN,

對這些式子進(jìn)行化簡，則其化簡結(jié)果為0的式子的個數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

7.已知平面向量a,b，c，下列結(jié)論中正確的是（）

A.若?！ㄞk，則°=6B.若忖=忖，則°=b

C.若aUb,b〃c,則a〃cD.若卜+4=,|+忖，則a〃b

8.設(shè)q與e?是兩個不共線的向量，AB=3^+2e2,CB=kex+e2,CD3^-2ke2,若A,B,。三點(diǎn)共線，則

左的值為（）

4938

A.——B.——C.——D.一—

9483

9.在.Q4B中，已知|。耳=2,|。4卜4,尸是45的垂直平分線/上的任一點(diǎn)，則0PA2=（）

A.6B.-6C.12D.-12

10.已知拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線為/,點(diǎn)Ac/,線段A廠交拋物線C于點(diǎn)8,過點(diǎn)B作/的垂

線，垂足為"，若E4=3F2，貝!1（）

A.網(wǎng)=|B.|AF|=4

c.|AF|=3|BH|D.網(wǎng)=4網(wǎng)

11.下列各式中結(jié)果為零向量的為（）

A.AB+MB+BO+OMB.AB+BC+CA

C.AB-AC+BD-CDD.OA+OC+BO+CO

易錯點(diǎn)二：忽略基底選取原則（平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示）

1.平面向量基本定理和性質(zhì)

（1）共線向量基本定理

如果。=則a//6；反之，如果人且。wO，則一定存在唯一的實數(shù)X,使。=肪.（口

訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘）.

（2）平面向量基本定理

如果6和g是同一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于該平面內(nèi)的任一向量。，都存在唯一的一對

實數(shù)4,4,使得。=4q+4e2,我們把不共線向量e「與叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為

｛《,4｝,+4%叫做向量&關(guān)于基底｛。勺｝的分解式.

注意：由平面向量基本定理可知：只要向量q與e?不共線，平面內(nèi)的任一向量。都可以分解成形如

a=4q+4e2的形式，并且這樣的分解是唯一的.4q+4e?叫做e/4的一個線性組合.平面向量基本

定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ).

推論1：若。=+Ze2=,則4=4,4=，4.

推論2：若0=46+402=0,則4=4=0.

（3）線段定比分點(diǎn)的向量表達(dá)式

如圖所示，在“BC中，若點(diǎn)。是邊上的點(diǎn)，S.BD=ADC（幾力―1）,則向量A￡>=在

1+A

向量線性表示（運(yùn)算）有關(guān)的問題中，若能熟練利用此結(jié)論，往往能有“化腐朽為神奇”之功效，建議熟練掌

握.

(4)三點(diǎn)共線定理

平面內(nèi)三點(diǎn)A,B,C央線的充要條件是：存在實數(shù)尢〃，使OC=2OA+〃OB,其中幾+〃=1,。為

平面內(nèi)一點(diǎn).此定理在向量問題中經(jīng)常用到，應(yīng)熟練掌握.

A、B、C三點(diǎn)共線

o存在唯一的實數(shù)彳，使得AC=4AB;

o存在唯一的實數(shù)2,使得OC=OA+/L4B;

o存在唯一的實數(shù)2,使得OC=(1-/1)04+203；

o存在X+〃=1,使得0c=%OA+〃OB.

(5)中線向量定理

如圖所示，在△ABC中，若點(diǎn)。上邊8C的中點(diǎn)，則中線向量AD=g(AB+AC),反之亦正確.

2.平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算

(1)平面向量的坐標(biāo)表示.

在平面直角坐標(biāo)中，分別取與x軸，y軸正半軸方向相同的兩個單位向量作為基底，那么由平面向

量基本定理可知，對于平面內(nèi)的一個向量。，有且只有一對實數(shù)工。使。="+歷，我們把有序?qū)崝?shù)對(尤,y)

叫做向量。的坐標(biāo)，記作。=(無,y).

(2)向量的坐標(biāo)表示和以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對應(yīng)的，即有

向量(尤,y).一對應(yīng).向量.一對應(yīng)一點(diǎn)A(x,y).

(3)設(shè)。=(占,％),b=(x2,y2),貝lja+6=(玉+超,%+%),a-b=(xl-x2,yt-y2),即兩個向量的和

與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.

若。=(尤,y),2為實數(shù)，則=U尤"y),即實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用該實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)

坐標(biāo).

(4)設(shè)4(占,乂)，3(%,%),則A8=OB-OA=(XI-X2,%-%)，即一個向量的坐標(biāo)等于該向量的有向

線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo).

3.平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算

—=

①已知點(diǎn)A(占>%)，B(x?)%)，則AB=(x2—?_y2Ji),IA?lJ(x,-x1y+(%—%)?

②已知。=(占,%),b=(x2,y2),則a±6=(±±%，％土%)，然=(2占，2%),

a-b=x^+y^,|ab&+y：.

a〃6=占%一%%=°，a_L6o±％+X%=0

向量共線(平行)的坐標(biāo)表示

1.利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo).一般地，在求與一個已知向量4共線的向量時，可設(shè)所求向量

為Xa(2eR),然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于式的方程，求出4的值后代入彳。即可得到所求的向量.

2.利用兩向量共線求參數(shù).如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，則利用“若。=(4%),

b=(x2,y2'),則&〃匕的充要條件是占%=無2%”解題比較方便.

3.三點(diǎn)共線問題.A,B,C三點(diǎn)共線等價于AS與AC共線.

4.利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求三角函數(shù)值：利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為三角方程，再利用三角恒

等變換求解.

用平面向量基本定理解決問題的一般思路

(1)先選擇一組基底，并運(yùn)用平面向量基本定理將條件和結(jié)論表示成該基底的線性組合，再進(jìn)行

向量的運(yùn)算.

(2)在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便，另外，要熟練運(yùn)用線段中點(diǎn)的

向量表達(dá)式.

向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對位置有關(guān)系.

兩個相等的向量，無論起點(diǎn)在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的.

易錯提醒：(1)平面向量基本定理中的基底必須是兩個不共線的向量.

(2)選定基底后，通過向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件，把相關(guān)向量用這一組基底表示

出來.

（3）強(qiáng)調(diào)幾何性質(zhì)在向量運(yùn)算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的幾何性質(zhì)，如平行、相

似等。

三

例.已知向量〃=（2,1）,Z?=（-3,l）,則（）

A.若。=絡(luò)，-2g，則q_LcB.向量〃在向量人上的投影向量為一;匕

C.〃與的夾角余弦值為手D.（a+b]Ha

變式1.下列說法中錯誤的為（）

A.己知:=（1,2）,力=。,1）且°與a+勸的夾角為銳角，則實數(shù)4的取值范圍是，|,+s]

B.向量q=（2,-3）,ez=g，-j不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底

C.非零向量0,b,滿足口＜卜|且a與b同向，貝必＞b

D.非零向量a和b，滿足卜卜慟=卜-0,則a與a+b的夾角為30

變式2.（多選）下列說法中正確的是（）

A.若a=（為,％）,〃=（%,%），且；與]共線,則F=U

B.若a=（玉,％）,》=（九2,%），且玉內(nèi)工工2%，則Q與]不共線

C.若A,B,C三點(diǎn)共線.則向量凝,病,&都是共線向量

D.若向量〃二（1,2）,0=（-2,〃），且W〃W，則〃=一4

變式3.已知與』是平面內(nèi)的一組基底，則下列說法中正確的是（）

A.若實數(shù)m，nme[+ne2=0,貝!]相=〃=0

B.平面內(nèi)任意一個向量〃都可以表示成0+〃弓，其中小，〃為實數(shù)

C.對于m，HGR,不一定在該平面內(nèi)

D.對平面內(nèi)的某一個向量〃，存在兩對以上實數(shù)如n,使。

三9

1.在梯形ABCD中，AB//CD,AB^2CD,E,歹分別是AB,CO的中點(diǎn)，AC與5。交于M,設(shè)AB=a,

AO=6,則下列結(jié)論正確的是（）

A.AC=—a+bB.BC=—a+b

22

-12

C.BM=——a+—bD.EF=——a+b

334

2.已知點(diǎn)A(l,2),8(3,x),向量a=(2-x,-l),AB〃a,則()

A.x=2+0時AB與&方向相同

B.尤=2-忘時，AB與a方向相同

C.x=2-0時4?與。方向相反

D.x=2+應(yīng)時，AB與a方向相反

3.已知點(diǎn)4(1,2),8(3,*),向量。=(2-％-1),48〃a,則()

A.x=3時AB與a方向相同

B.x=2-應(yīng)，時AB與0方向相同

C.x=3時AB與°方向相反

D.x=2+應(yīng)，時AB與“方向相反

4.如果q,02是平面a內(nèi)兩個不共線的向量，那么下列說法中正確的是（）

A.彳6+〃e2（Z〃eR）可以表示平面a內(nèi)的所有向量

B.對于平面。內(nèi)任一向量a,使a=2q+〃々的實數(shù)對（兒〃）有無窮個

c.若向量4G+〃?與+〃必共線，則有且只有一個實數(shù)x,使得=4（44+462）

D.若存在實數(shù)使得彳。+〃&2=0,則4=〃=0

5.已知平面內(nèi)平行四邊形的三個頂點(diǎn)4（-2,1）,3（-1,3）,c（3,4）,則第四個頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為（）

A.（-2,2）B.（4,6）

C.（—6,0）D.（2,-2）

6.己知橢圓屈［+產(chǎn)=1的左、右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)2,過下頂點(diǎn)A和右焦點(diǎn)B的直線與E交于另一點(diǎn)8,

B片與y軸交于點(diǎn)尸，則（）

B.忸馬。

A.AFlYAF2

c.4AB4的內(nèi)切圓半徑為正

D.4耳尸一3尸5=0

2

7.設(shè)0<6<兀，非零向量a=（sin29,cos。），b=（cos。/），則（）.

兀

A.若tan<9=；,則〃〃bB.若，=?3，則f

4

若，則；

C,存在。，使2a=bD.a"btan?=

8.已知向量Z=（2,-l）1=的2）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若“〃匕，則%=-4B.若qj_b，則根=1

C.若12a—6|=|a+》|,則〃z=lD.若卜+6卜卜貝!|〃z=T

9.如圖，在，ASC中，夕7=12,￡>,后是8。的三等分點(diǎn)，則（）

A.AE=-AB+-AC

33

2

B.^AB-AC=0,則AE在Afi上的投影向量為耳AB

C.若AB-AC=9，則A?AE=40

D.^AD-AE=4,AB2+AC=88

10.已知a=（l,2）,6=（4j）,則下列敘述正確的是（）

A.若。b,貝i"=8B.若。］匕，貝卜=2

C.卜-囚的最小值為5D.若向量d與向量6的夾角為鈍角，貝卜<-2

11.已知空間向量。=（1,-1,2）,則下列說法正確的是（）

A.|o|=A/6

B.向量a與向量b=（2,2,-4）共線

C.向量a關(guān)于x軸對稱的向量為（1,1,-2）

D.向量〃關(guān)于yOz平面對稱的向量為（一1,1,-2）

易錯點(diǎn)三：忽視數(shù)量積不滿足結(jié)合律（平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用）

1.平面向量的數(shù)量積。

（1）平面向量數(shù)量積的定義

已知兩個非零向量與力，我們把數(shù)量個1sleOS夕叫做a與1的數(shù)量積（或內(nèi)積），

記作。小，即e力=|a|S|cos6,規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義

①向量的投影：lalcos。叫做向量。在》方向上的投影數(shù)量，當(dāng)。為銳角時，它是正數(shù)；當(dāng)。為鈍角時,

它是負(fù)數(shù)；當(dāng)。為直角時，它是0.

②。力的幾何意義：數(shù)量積a,等于。的長度1。1與》在。方向上射影SIcosS的乘積.

2.數(shù)量積的運(yùn)算律

已知向量。、b、c和實數(shù)式，貝1|：

①a，b=b-a；

②（2a）-b=X（a?））=a?（幾））；

③（a+b）c=ac+bc.

3.數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè)〃、〃都是非零向量，e是與〃方向相同的單位向量，。是〃與。的夾角，則

（l）e-a=a-e=\a\cos0.②〃?力=0.

③當(dāng)a與力同向時，a-b^a\\b\；當(dāng)。與萬反向時，a-b=-\a\\b\.

特別地，Q?a二|Q/或|a|=1act.

d?h

@COS0=——（Ia|傳快0）.⑤Ia?川曰a|傳I.

IaIS|

4.數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算

已知非零向量。=（占，%）,b=（x2,y2）,6為向量。、。的夾角.

結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示

模Ia|=\a\=^x2+y2

數(shù)量積a'b=\a\\b\cos0a-b=xix2+y]y2

c°sd=4

夾角

\a\\b\A2+y"?"后+￡

。，方的充要

ab=O卒2+%為=0

條件

?！ㄈ氲某湟?/p>

a-w0)%%2+y%=。

條件

1。同與

\a-b\<\a\\b\（當(dāng)且1占3+M%W

\a\\b\

僅當(dāng)。〃〃時等號成立）河+—?"￥+￡

的關(guān)系

1.平面向量數(shù)量積的類型及求法：

（1）平面向量數(shù)量積有兩種計算公式：一是夾角公式=I"II"cos。；二是坐標(biāo)公式ab=xlx2+%%.

（2）求較復(fù)雜的平面向量數(shù)量積的運(yùn)算時，可先利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡.

2.平面向量數(shù)量積主要有兩個應(yīng)用：

（1）求夾角的大?。喝?。為非零向量，則由平面向量的數(shù)量積公式得cos。=胃公（夾角公式），

所以平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關(guān)角度的問題.

（2）確定夾角的范圍：數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明不共線的

兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時兩向量的夾角為鈍角.

3.向量與平面幾何綜合問題的解法與步驟：

（1）向量與平面幾何綜合問題的解法

①坐標(biāo)法

把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算

和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決.

②基向量法

適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程來進(jìn)行求解.

（2）用向量解決平面幾何問題的步驟

①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；

②通過向量運(yùn)算研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題;

③把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.

4.利用向量求解三角函數(shù)問題的一般思路：

(1)求三角函數(shù)值，一般利用已知條件將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)關(guān)系式.利用同角三角函數(shù)關(guān)系式

及三角函數(shù)中常用公式求解.

(2)求角時通常由向量轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，先求值再求角.

(3)解決與向量有關(guān)的三角函數(shù)問題的思想方法是轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，即通過向量的相關(guān)運(yùn)算把

問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題.

(4)解三角形.利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把向量垂直或共線轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的方程，在三角形中利用內(nèi)角和

定理或正、余弦定理解決問題.

5.用向量法解決實際問題的步驟如下：

第一步：抽象出實際問題中的向量，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；

第二步：建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型；

第三步：利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積運(yùn)算，求解數(shù)學(xué)模型；

第四步：用數(shù)學(xué)模型中的數(shù)據(jù)求解問題.

6.常見的向量表示形式：

(1)重心.若點(diǎn)G是ZVRC的重心，貝|G4+G8+GC=O或PG=g(上4+PB+PC)(其中尸為平面內(nèi)任

意一點(diǎn)).反之，若GA+G8+GC=0，則點(diǎn)G是△ABC的重心.

(2)垂心.若“是△ABC的垂心，則HA-HB=HB-HC=HC-HA.反之，若HA-HB=HB-HC=HC-HA

，則點(diǎn)》是ARC的垂心.

(3)內(nèi)心.若點(diǎn)/是“BC的內(nèi)心，則15cHA+|CA"B+|A8"C=0.反之，若18cHA+|CA|-

IB+\AB\IC=O,則點(diǎn)/是"BC的內(nèi)心.

(4)外心.若點(diǎn)。是AABC的外心，貝?。?04+。3)-&4=(。8+0。?6'3=(6^+04)-/^'=0或

I0A\=\OB|=|OC\.反之，若|1=|OB\=\OC\,則點(diǎn)。是AABC的外心.

題型：平面向量的模及其應(yīng)用的類型與解題策略：

(1)求向量的模.解決此類問題應(yīng)注意模的計算公式|°|="=皿，或坐標(biāo)公式|a|=+y的應(yīng)用,

另外也可以運(yùn)用向量數(shù)量積的運(yùn)算公式列方程求解.

(2)求模的最值或取值范圍.解決此類問題通常有以下兩種方法：

①幾何法：利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則，結(jié)合模的幾何意義求模的最值或取值范圍；

②代數(shù)法：利用向量的數(shù)量積及運(yùn)算法則轉(zhuǎn)化為不等式或函數(shù)求模的最值或取值范圍.

(3)由向量的模求夾角.對于此類問題的求解，其實質(zhì)是求向量模方法的逆運(yùn)用.

易錯提醒：(1)平面向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，可正、可負(fù)、可為零，且|e6|4|a||b|.

(2)當(dāng)a/0時，由°.6=0不能推出b一定是零向量，這是因為任一與。垂直的非零向量B都有”力=0.

當(dāng)a/0時，且時，也不能推出一定有6=c,當(dāng)6是與。垂直的非零向量，c是另一與。垂直的

非零向量時，有a-6=a-c=0,但c.

(3)數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即(a-b)cw(b-c)a,這是因為(a—b)c是一個與1共線的向量，而(64)”是一個

與。共線的向量，而4與c不一定共線，所以(。力)。不一定等于S-c)a,即凡有數(shù)量積的結(jié)合律形式的選

項，一般都是錯誤選項.

(4)非零向量夾角為銳角(或鈍角).當(dāng)且僅當(dāng)°年>0且助(2>0)(或°巧<0,且(彳<0)).

例.下列說法中錯誤的是()

A.單位向量都相等

B.向量AB與C。是共線向量，則點(diǎn)A、B、C、。必在同一條直線上

C.兩個非零向量a,b,若|a+6|=|a|-|6||,則4與匕共線且反向

D.己知向量a=(4,3-〃z),b=，若a與方的夾角為銳角，則一1<〃2<4

變式1.給出下列命題，其中正確的有()

A.已知向量。_1_6,則a?伍+c)+c?6-a)=6，c

B.若向量共線,則向量a,6所在直線平行或重合

C.已知向量。則向量與任何向量都不構(gòu)成空間的一個基底

D.A,B,M,N為空間四點(diǎn)，若BA,BM,BN構(gòu)成空間的一個基底，則A,B,M,N共面

變式2.設(shè)e；高均為單位向量，對任意的實數(shù)r有何+ge2|V|e|+/|恒成立，則()

A.G與e2的夾角為60B.\el+^e2\=^-

..1.1

C.巴-的|的最小值為萬D.匕+/（4-02）|的最小值為K

變式3.己知拋物線V=4y的焦點(diǎn)為/，“（4,%）在拋物線上，延長M尸交拋物線于點(diǎn)N,拋物線準(zhǔn)線與＞

軸交于點(diǎn)。，則下列敘述正確的是（）

A.|MF|=6B.點(diǎn)N的坐標(biāo)為

9

C.QMQN=-D.在無軸上存在點(diǎn)R,使得為鈍角

1.如圖，在三棱柱ABC-A4G中，M,N分別是48,4G上的點(diǎn)，且創(chuàng)1=244，C、N=2B、N.設(shè)AB=a

NBAA=ZCA^=60,AB=AC=AA=l,則(

AC=b，AAi=c,^ZBAC=90,l

__112

A.MN=—a+—b+—cB.\MN\=與

333

C.ABX±BC1D.=—

2.設(shè)是任意的非零向量，則下列結(jié)論不正確的是（）

A.0.〃=0B.(°?方)?c=a?(J?c)

C.Q-b=0=>〃J_bD.(Q+Z?>(Q-0)=|a『一??！?/p>

3.（多選）下列各命題中，正確的命題為（）

A.yja-a=|a\B.m(Aa)?b=(mA)a-b(m,AGR)

C.a-(b+c)=(b+c)-aD.a2b=b2a

4.給出下列命題，其中正確的命題是（）

A.若直線/的方向向量為e=(l,0,3),平面。的法向量為〃=1-2,0,gj,則直線///0

B.若對空間中任意一點(diǎn)0,^OP=\OA+\OB+\OC,則P、A、B、C四點(diǎn)共面

442

C.兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則這兩個向量共線

D.已知向量a=(9,4,T),=(1,2,2),則a在b上的投影向量為(1,2,2)

5.設(shè)向量d=&2),^=(1,-1),則下列敘述錯誤的是()

A.若左＜-2時，則。與》的夾角為鈍角B.同的最小值為2

.,“(近拒、、L

C.與人共線的單位向量只有一個為---D.若|a|=2|b|,則左=20或-2亞

I22)

6.設(shè)方為拋物線CV=3x的焦點(diǎn)，過/且傾斜角為30。的直線交。于A,5兩點(diǎn)，貝!J()

27

A.|AB|=12B.OAOB=~—

C.yAyB=-3D.xAxB=3

7.已知向量￡=(2,l),b=(l,-l),c=(2,f),其中“4〃均為正數(shù)，且(a-6)〃c,下列說法正確的是(

A.a與6的夾角為鈍角

B.向量a在b方向上的投影為。

C.2m+n=4

D.機(jī)〃的最大值為2

8.已知ABC所在平面內(nèi)有三點(diǎn)。，N,P,則下列說法正確的是()

A.若|。4卜|。@=|OC],則點(diǎn)O是ABC的外心

B.若NA+NB+NC=0，則點(diǎn)N是."1BC的重心

C.PAPB=PBPC=PCPA,則點(diǎn)尸是,ABC的垂心

/\

ABACABAC1

D.若「+1~?BC=0,且W6=5,貝IABC為直角三角形

〔網(wǎng)“U\AB\lACl

9.如圖，在平行六面體A8CD-AB|G。中，AC與80交于。點(diǎn)，M^BAD=ZBA^=ZDAAt=60°,

AB=AD=4?=5.則下列結(jié)論正確的有()

DiG

A.AC,1BD

B.BClA[C=9

D.OB,=^AB-^AD-AA,

C.BDX

10.(多選)下列說法中正確的是()

A.若非零向量2,6滿足“=什=卜一.,則。與a+6的夾角為30。

B.若。2>0，則的夾角為銳角

C.若ABAB=ABAC+BABC+CACB，貝IA8C一定是直角三角形

D.ABC的外接圓的圓心為。，半徑為1,若A2+AC=2AO,且|04|=|011，則向量BA在向量8C方

向上的投影數(shù)量為3:

2

11.下列說法中正確的是()

A.若。是ABC內(nèi)一點(diǎn)，S.OAOB=OAOC=OCOB,則。為,ABC的垂心

B.若。是ABC內(nèi)一點(diǎn)，^.BC(OB+OC)=AC(OA+OC)=AB(OA+OB)=0,則。為，ABC的外心

C.在四邊形ABGD中，^AB+CD=0,ACBD=0,則四邊形為菱形

D.若。是,ABC內(nèi)一點(diǎn)，&OA+OB+OC=0,則。為4ABe的內(nèi)心

專題07平面向量

c易錯點(diǎn)：注意零向量書寫及三角形

題型一：平面向量線性運(yùn)算\與平行四邊形適用前提___________

題型二：平面向量的基本定理

易錯點(diǎn)：忽略基底選取原則

及坐標(biāo)表示

題型三：平面向量的數(shù)量積及

0易錯點(diǎn)：忽視數(shù)量積不滿足結(jié)合律

易錯點(diǎn)一：注意零向量書寫及三角形與平行四邊形適用前提（平面向量線

性運(yùn)算）

1.向量的有關(guān)概念

（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度（或模）.

（2）向量的模：向量AB的大小，也就是向量AB的長度，記作|AB|.

（3）特殊向量:

①零向量：長度為0的向量，其方向是任意的.

②單位向量：長度等于1個單位的向量.

③平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共線向量.規(guī)定：。與任一向量平行.

④相等向量：長度相等且方向相同的向量.

⑤相反向量：長度相等且方向相反的向量.

2.向量的線性運(yùn)算和向量共線定理

（1）向量的線性運(yùn)算

運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律

①交換律

求兩個向量a+b=b+a

加法

和的運(yùn)算a②結(jié)合律

三角形法則平行四邊形法則(a+b)+c=〃+S+c)

求〃與Z?的

相反向量-。的

減法a—b—tz+(—Z?)

和的運(yùn)算叫做Qa

與b的差三角形法則

(1)|初=|刈初

求實數(shù)彳與

(2)當(dāng)之＞0時，4a與Q的方向相同；

數(shù)乘向量。的積的運(yùn)(2+]Li)d=Aa+fda

當(dāng)之vO時，4a與〃的方向相同；

算4(。+b)=Aa+Ab

當(dāng)4=0時，Aa=O

共線向量定理

向量a(a/O)與6共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一的一個實數(shù)幾，使得6=

共線向量定理的主要應(yīng)用：

(1)證明向量共線：對于非零向量d,b，若存在實數(shù)4,使4=%＞，則。與6共線.

(2)證明三點(diǎn)共線：若存在實數(shù)九使AB=2AC，則A，B,C三點(diǎn)共線.

(3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值.

平面向量線性運(yùn)算問題的求解策略：

(1)進(jìn)行向量運(yùn)算時，要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量，

三角形的中位線及相似三角形對應(yīng)邊成比例等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來.

(2)向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項式的運(yùn)算，實數(shù)運(yùn)算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式

等變形手段在線性運(yùn)算中同樣適用.

(3)用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧：

①觀察各向量的位置；

②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；

③運(yùn)用法則找關(guān)系；

④化簡結(jié)果.

解決向量的概念問題應(yīng)關(guān)注以下七點(diǎn)：

(1)正確理解向量的相關(guān)概念及其含義是解題的關(guān)鍵.

(2)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.

(3)共線向量即平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān).

(4)相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向

量.

(5)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解題時，不要把它與函數(shù)圖象移動混為一談.

(6)非零向量4與三的關(guān)系：工是4方向上的單位向量.

l?I\a\

(7)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負(fù)實數(shù)，故可以比較大小

易錯提醒：(1)向量表達(dá)式中的零向量寫成0,而不能寫成0.

(2)兩個向量共線要區(qū)別與兩條直線共線，兩個向量共線滿足的條件是：兩個向量所在直線平行或重

合，而在直線中，兩條直線重合與平行是兩種不同的關(guān)系.

(3)要注意二角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運(yùn)用平行四邊形法則時兩個向量的起點(diǎn)必須重

合，和向量與差向量分別是平行四邊形的兩條對角線所對應(yīng)的向量；運(yùn)用三角形法則時兩個向量必須首尾

相接，否則就要把向量進(jìn)行平移，使之符合條件.

(4)向量加法和減法幾何運(yùn)算應(yīng)該更廣泛、靈活如：OA-OB=BA，AM-AN=NM，

OA=OB+CA<^OA-OB=CA<^>BA-CA=BA+AC=BC.

苣9

例.如圖，在平行四邊形ABC。中，下列計算正確的是(