《動(dòng)態(tài)規(guī)劃步驟》課件

動(dòng)態(tài)規(guī)劃步驟動(dòng)態(tài)規(guī)劃是一種解決優(yōu)化問題的方法，它通過將問題分解成子問題，并存儲(chǔ)子問題的解來避免重復(fù)計(jì)算。什么是動(dòng)態(tài)規(guī)劃分解問題將復(fù)雜問題分解成多個(gè)子問題。存儲(chǔ)結(jié)果存儲(chǔ)子問題的解，避免重復(fù)計(jì)算。逐步求解通過子問題的解逐步求解原問題。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本原理最優(yōu)子結(jié)構(gòu)問題的最優(yōu)解包含其子問題的最優(yōu)解。問題可分解成更小的子問題，子問題的解可用于構(gòu)建整體問題的解。重疊子問題在解決問題的過程中，會(huì)遇到相同的子問題多次。動(dòng)態(tài)規(guī)劃通過存儲(chǔ)子問題的解來避免重復(fù)計(jì)算，提高效率。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的適用場(chǎng)景最優(yōu)化問題尋找最優(yōu)解，例如最短路徑、最大效益、最小成本等。組合問題從多個(gè)選項(xiàng)中選擇最佳組合，例如背包問題、硬幣找零問題等。決策問題在不同階段做出最佳決策，例如游戲策略、資源分配等。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的核心概念1最優(yōu)子結(jié)構(gòu)問題最優(yōu)解包含其子問題的最優(yōu)解。2重疊子問題多個(gè)子問題重復(fù)計(jì)算，導(dǎo)致效率低下。3動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法通過存儲(chǔ)子問題的解，避免重復(fù)計(jì)算。4遞推關(guān)系子問題的解之間存在遞推關(guān)系。確定問題的狀態(tài)動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題，本質(zhì)上是將問題分解成一系列子問題。子問題的解法可以用于解決更大的問題。1狀態(tài)問題的子問題2狀態(tài)空間所有子問題的集合3狀態(tài)轉(zhuǎn)移子問題之間的關(guān)系要解決一個(gè)動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題，首先需要確定問題的狀態(tài)。狀態(tài)表示的是子問題的定義，它是解決問題的基礎(chǔ)。確定問題的基礎(chǔ)情況1最小的子問題動(dòng)態(tài)規(guī)劃的核心思想是從最小的子問題開始逐步解決整個(gè)問題.2子問題的解對(duì)于最小的子問題，我們可以直接計(jì)算出它們的解.3明確邊界這些基礎(chǔ)情況就像是動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題的起點(diǎn)，為后續(xù)的遞推提供基礎(chǔ).建立遞推公式1狀態(tài)定義明確問題狀態(tài)的定義2邊界條件設(shè)置遞推公式的初始值3遞推關(guān)系描述狀態(tài)之間的關(guān)系遞推公式的關(guān)鍵在于找到當(dāng)前狀態(tài)和先前狀態(tài)之間的關(guān)系。遞推公式可以幫助我們以遞歸的方式計(jì)算每個(gè)狀態(tài)的值。計(jì)算子問題的最優(yōu)解自底向上從最小的子問題開始計(jì)算，逐步向上計(jì)算更大的子問題，直到計(jì)算出最終的解。存儲(chǔ)結(jié)果將每個(gè)子問題的最優(yōu)解存儲(chǔ)在一個(gè)表格或數(shù)組中，避免重復(fù)計(jì)算。遞推關(guān)系利用子問題之間的遞推關(guān)系，通過已知的子問題解來計(jì)算新的子問題解。通過子問題解決原問題合并子問題將所有子問題的最優(yōu)解組合起來，得到原問題的最優(yōu)解。動(dòng)態(tài)規(guī)劃表可以使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃表來存儲(chǔ)所有子問題的解，并根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程逐步計(jì)算得出最終結(jié)果。最終結(jié)果通過合并所有子問題的最優(yōu)解，最終獲得原問題的最優(yōu)解。幾種常見的動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題最長公共子序列問題尋找兩個(gè)字符串中最長的公共子序列，例如"abcde"和"ace"的最長公共子序列為"ace"。最短路徑問題在一個(gè)圖中找到從起點(diǎn)到終點(diǎn)的最短路徑，例如在地圖中尋找兩個(gè)地點(diǎn)之間的最短路線。背包問題給定一些物品，每個(gè)物品有重量和價(jià)值，在背包容量限制下，選擇物品使得總價(jià)值最大化。硬幣找零問題給定一些面值的硬幣和一個(gè)目標(biāo)金額，求最少使用多少個(gè)硬幣來湊成目標(biāo)金額。最長公共子序列問題問題描述給定兩個(gè)字符串，找出它們的最長公共子序列。子序列的定義子序列是指一個(gè)字符串中按照順序排列的字符組成的序列，可以不連續(xù)。應(yīng)用場(chǎng)景例如，DNA序列比對(duì)、文本編輯器中的撤銷操作、文件差異比較等。動(dòng)態(tài)規(guī)劃解法利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃可以有效解決最長公共子序列問題。最短路徑問題1尋找路徑最短路徑問題是找出圖中兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間最短路徑的問題。2應(yīng)用廣泛廣泛應(yīng)用于導(dǎo)航、交通規(guī)劃、網(wǎng)絡(luò)路由等領(lǐng)域。3解決方法常用的解決方法包括Dijkstra算法和A*搜索算法。4示例例如，在導(dǎo)航地圖中，尋找最佳路線就是最短路徑問題。背包問題背包問題概述背包問題是一種經(jīng)典的優(yōu)化問題，旨在找到將一組物品放入容量有限的背包中的最佳方法，以最大化背包中物品的價(jià)值。背包問題分類背包問題主要分為兩種類型:0/1背包問題和分?jǐn)?shù)背包問題。在0/1背包問題中，每件物品只能選擇放入或不放入背包，而在分?jǐn)?shù)背包問題中，可以部分放入物品。硬幣找零問題目標(biāo)找出最少的硬幣數(shù)量來湊成目標(biāo)金額。約束可以使用不同面值的硬幣，但每個(gè)硬幣只能使用一次。策略使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃來找到最優(yōu)解，通過計(jì)算子問題的最優(yōu)解來解決原問題。動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題的一般步驟1分析問題理解問題要求，識(shí)別問題結(jié)構(gòu)。2定義子問題將問題分解為更小的、相互獨(dú)立的子問題。3狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程建立子問題之間關(guān)系的遞推公式。4計(jì)算解的過程從基礎(chǔ)情況開始，逐步計(jì)算子問題的最優(yōu)解。5優(yōu)化解的效率通過備忘錄技術(shù)或其他方法優(yōu)化計(jì)算過程。第一步:分析問題動(dòng)態(tài)規(guī)劃是一種解決問題的方法，將復(fù)雜問題分解成子問題，并利用子問題的解來求解原問題。1理解問題準(zhǔn)確理解問題的目標(biāo)和約束條件。2識(shí)別子問題將原問題分解成更小的、相互關(guān)聯(lián)的子問題。3確定狀態(tài)定義子問題的狀態(tài)，并找出狀態(tài)之間的關(guān)系。通過分析問題，我們可以更好地理解問題的本質(zhì)，并為接下來的步驟打下基礎(chǔ)。第二步:定義子問題1將問題分解將原問題分解成多個(gè)子問題2子問題互不重疊子問題之間互相獨(dú)立3子問題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)原問題的最優(yōu)解由子問題的最優(yōu)解構(gòu)成定義子問題是動(dòng)態(tài)規(guī)劃的核心步驟，它將復(fù)雜問題分解成更小的、更容易解決的子問題。第三步:建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的核心描述了當(dāng)前狀態(tài)的最優(yōu)解是如何基于前一個(gè)狀態(tài)的最優(yōu)解得到的。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的作用明確了子問題之間的依賴關(guān)系，為動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法提供了遞推公式。建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的步驟仔細(xì)分析問題，找到當(dāng)前狀態(tài)和前一個(gè)狀態(tài)之間的關(guān)系，并根據(jù)這種關(guān)系建立遞推公式。第四步:計(jì)算解的過程1初始化初始化狀態(tài)矩陣或數(shù)組。2遞推計(jì)算根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，自底向上逐步計(jì)算每個(gè)子問題的最優(yōu)解。3最終解最終解即為最后一個(gè)子問題的最優(yōu)解。此步驟涉及將子問題的結(jié)果存儲(chǔ)到一個(gè)狀態(tài)矩陣或數(shù)組中，并根據(jù)遞推關(guān)系，通過一系列的計(jì)算，從最小的子問題開始逐步推導(dǎo)出最終問題的最優(yōu)解。第五步:優(yōu)化解的效率1減少重復(fù)計(jì)算動(dòng)態(tài)規(guī)劃中，許多子問題會(huì)被重復(fù)計(jì)算，浪費(fèi)時(shí)間和資源。2空間優(yōu)化可以嘗試使用滾動(dòng)數(shù)組或其他技巧，減少存儲(chǔ)空間。3算法復(fù)雜度最終目標(biāo)是降低算法復(fù)雜度，提升運(yùn)行效率。實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的常用技巧使用數(shù)組存儲(chǔ)子問題的解用數(shù)組保存已經(jīng)計(jì)算過的子問題的解，避免重復(fù)計(jì)算。例如，在計(jì)算斐波那契數(shù)列時(shí)，可以將每個(gè)斐波那契數(shù)保存到數(shù)組中，以便后續(xù)需要時(shí)直接訪問。從小到大地計(jì)算子問題從最小的子問題開始計(jì)算，并逐步遞推到更大的子問題，可以保證在計(jì)算每個(gè)子問題時(shí)，其所依賴的子問題已經(jīng)計(jì)算完成。利用備忘錄技術(shù)備忘錄技術(shù)可以幫助我們有效地減少重復(fù)計(jì)算。它使用一個(gè)字典或哈希表來存儲(chǔ)已經(jīng)計(jì)算過的子問題的解，當(dāng)遇到相同子問題時(shí)，可以直接從備忘錄中獲取結(jié)果。剪枝優(yōu)化計(jì)算過程通過分析問題特點(diǎn)，可以對(duì)搜索空間進(jìn)行剪枝，減少無效計(jì)算。例如，在背包問題中，可以根據(jù)物品的價(jià)值和重量，提前剪枝一些不可能出現(xiàn)在最優(yōu)解中的物品組合。使用數(shù)組存儲(chǔ)子問題的解優(yōu)化性能使用數(shù)組存儲(chǔ)子問題的解可以避免重復(fù)計(jì)算，從而顯著提高動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的效率。高效訪問數(shù)組的隨機(jī)訪問特性允許快速檢索和更新子問題的結(jié)果，簡(jiǎn)化了算法的實(shí)現(xiàn)。代碼組織使用數(shù)組可以清晰地組織和管理子問題的結(jié)果，使代碼更易于理解和維護(hù)。從小到大地計(jì)算子問題遞推關(guān)系動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法通常依賴于子問題的遞推關(guān)系，從最小的子問題開始計(jì)算，逐步解決更大的子問題。避免重復(fù)計(jì)算通過從小到大計(jì)算子問題，可以確保在計(jì)算某個(gè)子問題時(shí)，其所有依賴的子問題都已經(jīng)被計(jì)算過，避免重復(fù)計(jì)算。高效存儲(chǔ)由于從小到大地計(jì)算，可以將子問題的解存儲(chǔ)在一個(gè)數(shù)組或表格中，方便后續(xù)使用。利用備忘錄技術(shù)避免重復(fù)計(jì)算備忘錄技術(shù)使用一個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，例如哈希表或數(shù)組，存儲(chǔ)已計(jì)算過的子問題的解。當(dāng)遇到重復(fù)的子問題時(shí)，直接從備忘錄中讀取結(jié)果，避免重新計(jì)算。提高效率備忘錄技術(shù)可以顯著提高動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的效率，特別是在存在大量重復(fù)子問題的情況下。它可以將算法的時(shí)間復(fù)雜度從指數(shù)級(jí)降低到多項(xiàng)式級(jí)。剪枝優(yōu)化計(jì)算過程避免重復(fù)計(jì)算動(dòng)態(tài)規(guī)劃中，許多子問題可能被重復(fù)計(jì)算多次，剪枝可以避免這種重復(fù)。減少時(shí)間復(fù)雜度剪枝通過消除重復(fù)計(jì)算，有效地降低算法的時(shí)間復(fù)雜度。提高算法效率通過優(yōu)化計(jì)算過程，剪枝可以顯著提升動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的性能。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的典型應(yīng)用案例斐波那契數(shù)列動(dòng)態(tài)規(guī)劃可以有效地計(jì)算斐波那契數(shù)列的第n項(xiàng)，避免重復(fù)計(jì)算。最長上升子序列動(dòng)態(tài)規(guī)劃可以找到給定序列的最長上升子序列，并確定其長度。編輯距離動(dòng)態(tài)規(guī)劃可以計(jì)算兩個(gè)字符串之間的編輯距離，用于文本相似度比較。斐波那契數(shù)列公式定義斐波那契數(shù)列的每個(gè)數(shù)字都是前兩個(gè)數(shù)字的總和，以0和1開始。自然現(xiàn)象斐波那契數(shù)列在自然界中廣泛存在，例如松果的螺旋排列、向日葵的種子排列等。應(yīng)用場(chǎng)景斐波那契數(shù)列在計(jì)算機(jī)科學(xué)、數(shù)學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用，例如算法設(shè)計(jì)、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)等。最長上升子序列1定義在一個(gè)給定的數(shù)字序列中，找出最長的遞增子序列。2應(yīng)用在數(shù)據(jù)分析、生物信息學(xué)、金融建模等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。3例子例如，在序列[1,3,2,4,5]中，最長的上升子序列為[1,2,4,5]。4挑戰(zhàn)找出最長的上升子序列需要考慮所有可能的子序列組合，這可能是一個(gè)很復(fù)雜的計(jì)算過程。編輯距離字符串相似性編輯距離是衡量兩個(gè)字符串之間差異的度