線性代數(shù)總復(fù)習(xí)：第四第五章

第四章

向量組的

線性相關(guān)性定義1分量全為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量.分量全為實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量，維向量的概念維向量的表示方法

維向量寫成一行，稱為行向量，也就是行矩陣，通常用等表示，如：

維向量寫成一列，稱為列向量，也就是列矩陣，通常用等表示，如：注意

１．行向量和列向量總被看作是兩個(gè)不同的向量；

２．行向量和列向量都按照矩陣的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算；

３．當(dāng)沒(méi)有明確說(shuō)明是行向量還是列向量時(shí)，都當(dāng)作列向量.注意：定義３線性相關(guān)性的概念則稱向量組是線性相關(guān)的，否則稱它線性無(wú)關(guān)．5.線性無(wú)關(guān)向量組的“延長(zhǎng)向量組”必線性無(wú)關(guān).定理向量組（當(dāng)時(shí)）線性相關(guān)的充分必要條件是中至少有一個(gè)向量可由其余個(gè)向量線性表示．解讀:線性相關(guān)性的判定解例１解例２分析分析證明向量組的一個(gè)部分組構(gòu)成最大線性無(wú)關(guān)組的基本方法就是：分析根據(jù)最大線性無(wú)關(guān)組的定義來(lái)證，它往往還與向量組的秩相聯(lián)系．那末，向量組就稱為向量的一個(gè)基，

稱為向量空間的維數(shù)，并稱為

維向量空間．向量空間的基與維數(shù)定義3

設(shè)是向量空間，如果個(gè)向量，且滿足

（1）只含有零向量的向量空間稱為0維向量空間，因此它沒(méi)有基．說(shuō)明

（3）若向量組是向量空間的一個(gè)基，則可表示為

（2）若把向量空間看作向量組，那末的基就是向量組的最大無(wú)關(guān)組,的維數(shù)就是向量組的秩.定理1例1

求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與通解.解

對(duì)系數(shù)矩陣作初等行變換，變?yōu)樾凶詈?jiǎn)矩陣，有證明１．非齊次線性方程組解的性質(zhì)非齊次線性方程組

解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)證明證畢．其中為對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的通解，為非齊次線性方程組的任意一個(gè)特解.２．非齊次線性方程組的通解非齊次線性方程組Ax=b的通解為３．與方程組有解等價(jià)的命題:線性方程組有解例4

求解方程組解:思考題思考題解答可逆矩陣的特征性質(zhì)

n階矩陣A為可逆矩陣的充分必要條件是

(1)存在n階矩陣B,使得

AB=E.或

(2)存在n階矩陣C,使得

CA=E.或

(3)|A|0.或

(3’)A的轉(zhuǎn)置矩陣A為可逆矩陣.或

(4)|A*|0.或

(4’)A的伴隨矩陣A為可逆矩陣.或

(5)秩(A)=n.或

(5’)A等價(jià)于n階單位矩陣.或

(6)A可經(jīng)有限次行(列)初等變換化為n階單位矩陣.或

(7)A可表示為有限個(gè)初等矩陣的乘積.或者

(8)A的行(列)向量組線性無(wú)關(guān).或者

(9)對(duì)任意的n維列向量β,n元線性方程組

AX=β

都有唯一解.或者

(10)對(duì)任意的n×t

矩陣B,線性矩陣方程

AX=B都有唯一解.或者

(11)n元齊次線性方程組AX=0只有零解.或

(12)線性矩陣方程AX=0只有零解.

第四章測(cè)試題一、填空題(每小題5分，共40分)．二、計(jì)算題(每小題8分，共24分)．三、證明題(每小題8分，共24分)．四、向量組線性無(wú)關(guān),問(wèn)常數(shù)滿足什么條件時(shí),向量組線性無(wú)關(guān)．(12分)第五章

相似矩陣及二次型定義向量?jī)?nèi)積的定義及相關(guān)問(wèn)題定義向量的長(zhǎng)度具有下列性質(zhì)：向量的長(zhǎng)度定義向量的夾角所謂正交向量組，是指一組兩兩正交的非零向量．向量空間的基若是正交向量組，就稱為正交基．定理定義正交向量組的性質(zhì)施密特正交化方法施密特正交化方法：求一單位向量，使它與向量均正交．思考題思考題解答證明有關(guān)特征值的一些結(jié)論定理定理屬于同一個(gè)特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量．注記：(1)矩陣A的任一多項(xiàng)式矩陣g(A)與A有相同的特征向量(2)可逆矩陣A的逆矩陣、伴隨矩陣均與A有相同的特征向量

有關(guān)特征向量的一些結(jié)論思考題:有關(guān)相似矩陣的性質(zhì)若與相似，則與的特征多項(xiàng)式相同，從而與的特征值亦相同．

(4)能對(duì)角化的充分必要條件是有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量．(5)有個(gè)互異的特征值，則與對(duì)角陣相似．思考題實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似問(wèn)題

化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

正定二次型的判定化為標(biāo)準(zhǔn)型，并指出表示何種二次曲面.1.求一正交變換，將二次型思考題：思考題解答可逆矩陣的特征性質(zhì)

n階矩陣A為可逆矩陣的充分必要條件是

(1)存在n階矩陣B,使得

AB=E.或者

(2)存在n階矩陣C,使得

CA=E.或者

(3)|A|0.或者

(3’)A的轉(zhuǎn)置矩陣A為可逆矩陣.或

(4)|A*|0.或者

(4’)A的伴隨矩陣A為可逆矩陣.或

(5)秩(A)=n.或者

(5’)A等價(jià)于n階單位矩陣.或

(6)A可經(jīng)有限次行(列)初等變換化為n階單位矩陣.或

(7)A可表示為有限個(gè)初等矩陣的乘積.或者

(8)A的行(列)向量組線性無(wú)關(guān).或者

(9)對(duì)任意的n維列向量β,n元線性方程組AX=β

都有唯一解.或者

(10)對(duì)任意的n×t

矩陣B,線性矩陣方程AX=B

都有唯一解.或者

(11)n元齊次線性方程組AX=0只有零解.或

(12)線性矩陣方程AX=0只有零解.或者

(13)A的特征多項(xiàng)式的根均不為0.或者

(14)A的特征多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)不為0.或者

(15)A的最小多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)不為0.或者

(16)A相似于可逆的上(下)三角矩陣.或者

(17)線性替換X=AY是非退化的.或者

(18)實(shí)矩陣A可表示為一個(gè)正交矩陣與一個(gè)正對(duì)角線的上三角矩陣的乘積.或者

(19)A是實(shí)矩陣，且AA(或