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文檔簡介
廣東省“四校”2025屆高考數(shù)學(xué)倒計(jì)時(shí)模擬卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知實(shí)數(shù)滿足不等式組,則的最小值為()A. B. C. D.2.“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件3.若單位向量,夾角為,,且,則實(shí)數(shù)()A.-1 B.2 C.0或-1 D.2或-14.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+?+n2=n4A.k2+1C.k2+15.已知當(dāng),,時(shí),,則以下判斷正確的是A. B.C. D.與的大小關(guān)系不確定6.已知集合,將集合的所有元素從小到大一次排列構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列,則()A.1194 B.1695 C.311 D.10957.如圖是二次函數(shù)的部分圖象,則函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A. B. C. D.8.已知F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn),過點(diǎn)F且斜率為1的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),則||FA|﹣|FB||的值等于()A. B.8 C. D.49.已知復(fù)數(shù)(1+i)(a+i)為純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位),則實(shí)數(shù)a=()A.-1 B.1 C.0 D.210.在明代程大位所著的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一首歌謠,“放牧人粗心大意,三畜偷偷吃苗青,苗主扣住牛馬羊,要求賠償五斗糧,三畜戶主愿賠償,牛馬羊吃得異樣.馬吃了牛的一半,羊吃了馬的一半.”請(qǐng)問各畜賠多少?它的大意是放牧人放牧?xí)r粗心大意,牛、馬、羊偷吃青苗,青苗主人扣住牛、馬、羊向其主人要求賠償五斗糧食(1斗=10升),三畜的主人同意賠償,但牛、馬、羊吃的青苗量各不相同.馬吃的青苗是牛的一半,羊吃的青苗是馬的一半.問羊、馬、牛的主人應(yīng)該分別向青苗主人賠償多少升糧食?()A. B. C. D.11.定義在上的函數(shù)滿足,則()A.-1 B.0 C.1 D.212.“”是“函數(shù)(為常數(shù))為冪函數(shù)”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知三棱錐,,是邊長為4的正三角形,,分別是、的中點(diǎn),為棱上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)除外),,若異面直線與所成的角為,且,則______.14.已知為橢圓內(nèi)一定點(diǎn),經(jīng)過引一條弦,使此弦被點(diǎn)平分,則此弦所在的直線方程為________________.15.若向量與向量垂直,則______.16.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)在和之間插入個(gè)實(shí)數(shù),使得這個(gè)數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列,設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:.18.(12分)如圖,在四棱錐中,是邊長為的正方形的中心,平面,為的中點(diǎn).(Ⅰ)求證:平面平面;(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.19.(12分)已知矩形中,,E,F(xiàn)分別為,的中點(diǎn).沿將矩形折起,使,如圖所示.設(shè)P、Q分別為線段,的中點(diǎn),連接.(1)求證:平面;(2)求二面角的余弦值.20.(12分)如圖所示,在四棱錐中,∥,,點(diǎn)分別為的中點(diǎn).(1)證明:∥面;(2)若,且,面面,求二面角的余弦值.21.(12分)設(shè)為拋物線的焦點(diǎn),,為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).(Ⅰ)若點(diǎn)在線段上,求的最小值;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍.22.(10分)如圖,四邊形為菱形,為與的交點(diǎn),平面.(1)證明:平面平面;(2)若,,三棱錐的體積為,求菱形的邊長.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
作出約束條件的可行域,在可行域內(nèi)求的最小值即為的最小值,作,平移直線即可求解.【詳解】作出實(shí)數(shù)滿足不等式組的可行域,如圖(陰影部分)令,則,作出,平移直線,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),截距最小,故,即的最小值為.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題,解題的關(guān)鍵是作出可行域、理解目標(biāo)函數(shù)的意義,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】
首先利用二倍角正切公式由,求出,再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可;【詳解】解:∵,∴可解得或,∴“”是“”的充分不必要條件.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,二倍角正切公式的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】
利用向量模的運(yùn)算列方程,結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算,求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由于,所以,即,,即,解得或.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量模的運(yùn)算,考查向量數(shù)量積的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】
首先分析題目求用數(shù)學(xué)歸納法證明1+1+3+…+n1=n4【詳解】當(dāng)n=k時(shí),等式左端=1+1+…+k1,當(dāng)n=k+1時(shí),等式左端=1+1+…+k1+k1+1+k1+1+…+(k+1)1,增加了項(xiàng)(k1+1)+(k1+1)+(k1+3)+…+(k+1)1.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法,屬于中檔題./5、C【解析】
由函數(shù)的增減性及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用得:設(shè),求得可得為增函數(shù),又,,時(shí),根據(jù)條件得,即可得結(jié)果.【詳解】解:設(shè),則,即為增函數(shù),又,,,,即,所以,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的增減性及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,屬中檔題.6、D【解析】
確定中前35項(xiàng)里兩個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù),數(shù)列中第35項(xiàng)為70,這時(shí)可通過比較確定中有多少項(xiàng)可以插入這35項(xiàng)里面即可得,然后可求和.【詳解】時(shí),,所以數(shù)列的前35項(xiàng)和中,有三項(xiàng)3,9,27,有32項(xiàng),所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列分組求和,掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列前項(xiàng)和公式是解題基礎(chǔ).解題關(guān)鍵是確定數(shù)列的前35項(xiàng)中有多少項(xiàng)是中的,又有多少項(xiàng)是中的.7、B【解析】
根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸得出范圍,軸截距,求出的范圍,判斷在區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值正負(fù),即可求出結(jié)論.【詳解】∵,結(jié)合函數(shù)的圖象可知,二次函數(shù)的對(duì)稱軸為,,,∵,所以在上單調(diào)遞增.又因?yàn)?,所以函?shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及函數(shù)的零點(diǎn),屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
將直線方程代入拋物線方程,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和拋物線的定義即可得出的值.【詳解】F(1,0),故直線AB的方程為y=x﹣1,聯(lián)立方程組,可得x2﹣6x+1=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由根與系數(shù)的關(guān)系可知x1+x2=6,x1x2=1.由拋物線的定義可知:|FA|=x1+1,|FB|=x2+1,∴||FA|﹣|FB||=|x1﹣x2|=.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義,直線與拋物線的位置關(guān)系,屬于中檔題.9、B【解析】
化簡得到z=a-1+a+1【詳解】z=1+ia+i=a-1+a+1i為純虛數(shù),故a-1=0故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)復(fù)數(shù)類型求參數(shù),意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.10、D【解析】
設(shè)羊戶賠糧升,馬戶賠糧升,牛戶賠糧升,易知成等比數(shù)列,,結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求出答案.【詳解】設(shè)羊戶賠糧升,馬戶賠糧升,牛戶賠糧升,則成等比數(shù)列,且公比,則,故,,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列與數(shù)學(xué)文化,考查了等比數(shù)列的性質(zhì),考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】
推導(dǎo)出,由此能求出的值.【詳解】∵定義在上的函數(shù)滿足,∴,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)值的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用,屬于中檔題.12、A【解析】
根據(jù)冪函數(shù)定義,求得的值,結(jié)合充分條件與必要條件的概念即可判斷.【詳解】∵當(dāng)函數(shù)為冪函數(shù)時(shí),,解得或,∴“”是“函數(shù)為冪函數(shù)”的充分不必要條件.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了充分必要條件的概念和判斷,冪函數(shù)定義的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
取的中點(diǎn),連接,,取的中點(diǎn),連接,,,直線與所成的角為,計(jì)算,,根據(jù)余弦定理計(jì)算得到答案?!驹斀狻咳〉闹悬c(diǎn),連接,,依題意可得,,所以平面,所以,因?yàn)?,分別、的中點(diǎn),所以,因?yàn)?,所以,所以平面,故,故,故兩兩垂直。取的中點(diǎn),連接,,,因?yàn)?,所以直線與所成的角為,設(shè),則,,所以,化簡得,解得,即.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)異面直線夾角求長度,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.14、【解析】
設(shè)弦所在的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),利用點(diǎn)差法可求得直線的斜率,進(jìn)而可求得直線的點(diǎn)斜式方程,化為一般式即可.【詳解】設(shè)弦所在的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),由于點(diǎn)為弦的中點(diǎn),則,得,由題意得,兩式相減得,所以,直線的斜率為,所以,弦所在的直線方程為,即.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用弦的中點(diǎn)求弦所在直線的方程,一般利用點(diǎn)差法,也可以利用韋達(dá)定理設(shè)而不求法來解答,考查計(jì)算能力,屬于中等題.15、0【解析】
直接根據(jù)向量垂直計(jì)算得到答案.【詳解】向量與向量垂直,則,故.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)向量垂直求參數(shù),意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.16、【解析】
根據(jù)三視圖知該幾何體是三棱柱與半圓錐的組合體,結(jié)合圖中數(shù)據(jù)求出它的體積.【詳解】根據(jù)三視圖知,該幾何體是三棱柱與半圓錐的組合體,如圖所示:結(jié)合圖中數(shù)據(jù),計(jì)算它的體積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)三視圖求簡單組合體的體積應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ);(Ⅱ)詳見解析.【解析】
(Ⅰ),,兩式相減化簡整理利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.(Ⅱ)由題設(shè)可得,可得,利用錯(cuò)位相減法即可得出.【詳解】解:(Ⅰ)因?yàn)?,故,兩式相減可得,,故,因?yàn)槭堑缺葦?shù)列,∴,又,所以,故,所以;(Ⅱ)由題設(shè)可得,所以,所以,①則,②①-②得:,所以,得證.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式、錯(cuò)位相減法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.18、(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)由正方形的性質(zhì)得出,由平面得出,進(jìn)而可推導(dǎo)出平面,再利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論;(Ⅱ)取的中點(diǎn),連接、,以、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法能求出二面角的余弦值.【詳解】(Ⅰ)是正方形,,平面,平面,、平面,且,平面,又平面,平面平面;(Ⅱ)取的中點(diǎn),連接、,是正方形,易知、、兩兩垂直,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,在中,,,,、、、,設(shè)平面的一個(gè)法向量,,,由,得,令,則,,.設(shè)平面的一個(gè)法向量,,,由,得,取,得,,得.,二面角為鈍二面角,二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明,同時(shí)也考查了利用空間向量法求解二面角,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.19、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)取中點(diǎn)R,連接,,可知中,且,由Q是中點(diǎn),可得則有且,即四邊形是平行四邊形,則有,即證得平面.(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求得半平面的法向量:,然后利用空間向量的相關(guān)結(jié)論可求得二面角的余弦值.【詳解】(1)取中點(diǎn)R,連接,,則在中,,且,又Q是中點(diǎn),所以,而且,所以,所以四邊形是平行四邊形,所以,又平面,平面,所以平面.(2)在平面內(nèi)作交于點(diǎn)G,以E為原點(diǎn),,,分別為x,y,x軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則各點(diǎn)坐標(biāo)為,,,所以,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則即,取,得,又平面的一個(gè)法向量為,所以.因此,二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定,考查利用空間向量求解二面角,考查邏輯推理能力及運(yùn)算求解能力,難度一般.20、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)根據(jù)題意,連接交于,連接,利用三角形全等得,進(jìn)而可得結(jié)論;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量求得平面的法向量,進(jìn)而可得二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:連接交于,連接,,≌,且,面面,面,(2)取中點(diǎn),連,.由,面面面,又由,以分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,,,,,,為面的一個(gè)法向量,設(shè)面的法向量為,依題意,即,令,解得,所以,平面的法向量,,又因二面角為銳角,故二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面平行的證明,考查二面角的余弦值的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意中位線和向量法的合理運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題.21、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】
(1)由拋物線的性質(zhì),當(dāng)軸時(shí),最??;(2)設(shè)點(diǎn),,分別代入拋物線方程和得到三個(gè)方程,消去,得到關(guān)于的一元二次方程,利用判別式即可求出的范圍.【詳解】解:(1)由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,,根據(jù)拋物線的性質(zhì),當(dāng)軸時(shí),最小,最小值為,即為4.(2)由題意,設(shè)點(diǎn),,其中,.則,①,②因?yàn)?,,,所?③由①②③,得,由,且,得,解不等式,得點(diǎn)縱坐標(biāo)的范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的方程和性質(zhì)和二次方程的解的問題,考查運(yùn)算能力,此類問題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析
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