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文檔簡介
甘肅省定西市通渭縣2025屆高三第三次模擬考試數(shù)學試卷注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.拋物線y2=ax(a>0)的準線與雙曲線C:x28A.8 B.6 C.4 D.22.如圖,在圓錐SO中,AB,CD為底面圓的兩條直徑,AB∩CD=O,且AB⊥CD,SO=OB=3,SE.,異面直線SC與OE所成角的正切值為()A. B. C. D.3.已知函,,則的最小值為()A. B.1 C.0 D.4.如圖是國家統(tǒng)計局公布的年入境游客(單位:萬人次)的變化情況,則下列結(jié)論錯誤的是()A.2014年我國入境游客萬人次最少B.后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢C.這6年我國入境游客萬人次的中位數(shù)大于13340萬人次D.前3年我國入境游客萬人次數(shù)據(jù)的方差小于后3年我國入境游客萬人次數(shù)據(jù)的方差5.設函數(shù)(,為自然對數(shù)的底數(shù)),定義在上的函數(shù)滿足,且當時,.若存在,且為函數(shù)的一個零點,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.6.使得的展開式中含有常數(shù)項的最小的n為()A. B. C. D.7.已知函數(shù),要得到函數(shù)的圖象,只需將的圖象()A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度8.已知數(shù)列的通項公式為,將這個數(shù)列中的項擺放成如圖所示的數(shù)陣.記為數(shù)陣從左至右的列,從上到下的行共個數(shù)的和,則數(shù)列的前2020項和為()A. B. C. D.9.如圖所示,已知某幾何體的三視圖及其尺寸(單位:),則該幾何體的表面積為()A. B.C. D.10.已知集合,,則()A. B.C.或 D.11.執(zhí)行如圖所示的程序框圖后,輸出的值為5,則的取值范圍是().A. B. C. D.12.已知是兩條不重合的直線,是兩個不重合的平面,下列命題正確的是()A.若,,,,則B.若,,,則C.若,,,則D.若,,,則二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在的二項展開式中,所有項的系數(shù)之和為1024,則展開式常數(shù)項的值等于_______.14.已知的展開式中項的系數(shù)與項的系數(shù)分別為135與,則展開式所有項系數(shù)之和為______.15.如圖,在△ABC中,AB=4,D是AB的中點,E在邊AC上,AE=2EC,CD與BE交于點O,若OB=OC,則△ABC面積的最大值為_______.16.已知實數(shù),滿足約束條件,則的最大值是__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)每年3月20日是國際幸福日,某電視臺隨機調(diào)查某一社區(qū)人們的幸福度.現(xiàn)從該社區(qū)群中隨機抽取18名,用“10分制”記錄了他們的幸福度指數(shù),結(jié)果見如圖所示莖葉圖,其中以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖,小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉.若幸福度不低于8.5分,則稱該人的幸福度為“很幸福”.(Ⅰ)求從這18人中隨機選取3人,至少有1人是“很幸?!钡母怕?;(Ⅱ)以這18人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù),若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人,記表示抽到“很幸?!钡娜藬?shù),求的分布列及.18.(12分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若滿足,,,求.19.(12分)已知函數(shù),設的最小值為m.(1)求m的值;(2)是否存在實數(shù)a,b,使得,?并說明理由.20.(12分)某生物硏究小組準備探究某地區(qū)蜻蜓的翼長分布規(guī)律,據(jù)統(tǒng)計該地區(qū)蜻蜓有兩種,且這兩種的個體數(shù)量大致相等,記種蜻蜓和種蜻蜓的翼長(單位:)分別為隨機變量,其中服從正態(tài)分布,服從正態(tài)分布.(Ⅰ)從該地區(qū)的蜻蜓中隨機捕捉一只,求這只蜻蜓的翼長在區(qū)間的概率;(Ⅱ)記該地區(qū)蜻蜓的翼長為隨機變量,若用正態(tài)分布來近似描述的分布,請你根據(jù)(Ⅰ)中的結(jié)果,求參數(shù)和的值(精確到0.1);(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,從該地區(qū)的蜻蜓中隨機捕捉3只,記這3只中翼長在區(qū)間的個數(shù)為,求的分布列及數(shù)學期望(分布列寫出計算表達式即可).注:若,則,,.21.(12分)在直角坐標系中,橢圓的左、右焦點分別為,點在橢圓上且軸,直線交軸于點,,橢圓的離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)過的直線交橢圓于兩點,且滿足,求的面積.22.(10分)已知函數(shù).(1)當時,不等式恒成立,求的最小值;(2)設數(shù)列,其前項和為,證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
求得拋物線的準線方程和雙曲線的漸近線方程,解得兩交點,由三角形的面積公式,計算即可得到所求值.【詳解】拋物線y2=ax(a>0)的準線為x=-a4,雙曲線C:x28-y24【點睛】本題考查三角形的面積的求法,注意運用拋物線的準線方程和雙曲線的漸近線方程,考查運算能力,屬于基礎題.2、D【解析】
可過點S作SF∥OE,交AB于點F,并連接CF,從而可得出∠CSF(或補角)為異面直線SC與OE所成的角,根據(jù)條件即可求出,這樣即可得出tan∠CSF的值.【詳解】如圖,過點S作SF∥OE,交AB于點F,連接CF,則∠CSF(或補角)即為異面直線SC與OE所成的角,∵,∴,又OB=3,∴,SO⊥OC,SO=OC=3,∴;SO⊥OF,SO=3,OF=1,∴;OC⊥OF,OC=3,OF=1,∴,∴等腰△SCF中,.故選:D.【點睛】本題考查了異面直線所成角的定義及求法,直角三角形的邊角的關系,平行線分線段成比例的定理,考查了計算能力,屬于基礎題.3、B【解析】
,利用整體換元法求最小值.【詳解】由已知,又,,故當,即時,.故選:B.【點睛】本題考查整體換元法求正弦型函數(shù)的最值,涉及到二倍角公式的應用,是一道中檔題.4、D【解析】
ABD可通過統(tǒng)計圖直接分析得出結(jié)論,C可通過計算中位數(shù)判斷選項是否正確.【詳解】A.由統(tǒng)計圖可知:2014年入境游客萬人次最少,故正確;B.由統(tǒng)計圖可知:后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢,故正確;C.入境游客萬人次的中位數(shù)應為與的平均數(shù),大于萬次,故正確;D.由統(tǒng)計圖可知:前年的入境游客萬人次相比于后年的波動更大,所以對應的方差更大,故錯誤.故選:D.【點睛】本題考查統(tǒng)計圖表信息的讀取以及對中位數(shù)和方差的理解,難度較易.處理問題的關鍵是能通過所給統(tǒng)計圖,分析出對應的信息,對學生分析問題的能力有一定要求.5、D【解析】
先構(gòu)造函數(shù),由題意判斷出函數(shù)的奇偶性,再對函數(shù)求導,判斷其單調(diào)性,進而可求出結(jié)果.【詳解】構(gòu)造函數(shù),因為,所以,所以為奇函數(shù),當時,,所以在上單調(diào)遞減,所以在R上單調(diào)遞減.因為存在,所以,所以,化簡得,所以,即令,因為為函數(shù)的一個零點,所以在時有一個零點因為當時,,所以函數(shù)在時單調(diào)遞減,由選項知,,又因為,所以要使在時有一個零點,只需使,解得,所以a的取值范圍為,故選D.【點睛】本題主要考查函數(shù)與方程的綜合問題,難度較大.6、B【解析】二項式展開式的通項公式為,若展開式中有常數(shù)項,則,解得,當r取2時,n的最小值為5,故選B【考點定位】本題考查二項式定理的應用.7、A【解析】
根據(jù)函數(shù)圖像平移原則,即可容易求得結(jié)果.【詳解】因為,故要得到,只需將向左平移個單位長度.故選:A.【點睛】本題考查函數(shù)圖像平移前后解析式的變化,屬基礎題.8、D【解析】
由題意,設每一行的和為,可得,繼而可求解,表示,裂項相消即可求解.【詳解】由題意,設每一行的和為故因此:故故選:D【點睛】本題考查了等差數(shù)列型數(shù)陣的求和,考查了學生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.9、C【解析】
由三視圖知,該幾何體是一個圓錐,其母線長是5,底面直徑是6,據(jù)此可計算出答案.【詳解】由三視圖知,該幾何體是一個圓錐,其母線長是5,底面直徑是6,該幾何體的表面積.故選:C【點睛】本題主要考查了三視圖的知識,幾何體的表面積的計算.由三視圖正確恢復幾何體是解題的關鍵.10、D【解析】
首先求出集合,再根據(jù)補集的定義計算可得;【詳解】解:∵,解得∴,∴.故選:D【點睛】本題考查補集的概念及運算,一元二次不等式的解法,屬于基礎題.11、C【解析】
框圖的功能是求等比數(shù)列的和,直到和不滿足給定的值時,退出循環(huán),輸出n.【詳解】第一次循環(huán):;第二次循環(huán):;第三次循環(huán):;第四次循環(huán):;此時滿足輸出結(jié)果,故.故選:C.【點睛】本題考查程序框圖的應用,建議數(shù)據(jù)比較小時,可以一步一步的書寫,防止錯誤,是一道容易題.12、B【解析】
根據(jù)空間中線線、線面位置關系,逐項判斷即可得出結(jié)果.【詳解】A選項,若,,,,則或與相交;故A錯;B選項,若,,則,又,是兩個不重合的平面,則,故B正確;C選項,若,,則或或與相交,又,是兩個不重合的平面,則或與相交;故C錯;D選項,若,,則或或與相交,又,是兩個不重合的平面,則或與相交;故D錯;故選B【點睛】本題主要考查與線面、線線相關的命題,熟記線線、線面位置關系,即可求解,屬于??碱}型.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
利用展開式所有項系數(shù)的和得n=5,再利用二項式展開式的通項公式,求得展開式中的常數(shù)項.【詳解】因為的二項展開式中,所有項的系數(shù)之和為4n=1024,n=5,故的展開式的通項公式為Tr+1=C·35-r,令,解得r=4,可得常數(shù)項為T5=C·3=15,故填15.【點睛】本題主要考查了二項式定理的應用、二項式系數(shù)的性質(zhì),二項式展開式的通項公式,屬于中檔題.14、64【解析】
由題意先求得的值,再令求出展開式中所有項的系數(shù)和.【詳解】的展開式中項的系數(shù)與項的系數(shù)分別為135與,,,由兩式可組成方程組,解得或,令,求得展開式中所有的系數(shù)之和為.故答案為:64【點睛】本題考查了二項式定理,考查了賦值法求多項式展開式的系數(shù)和,屬于基礎題.15、【解析】
先根據(jù)點共線得到,從而得到O的軌跡為阿氏圓,結(jié)合三角形和三角形的面積關系可求.【詳解】設B,O,E共線,則,解得,從而O為CD中點,故.在△BOD中,BD=2,,易知O的軌跡為阿氏圓,其半徑,故.故答案為:.【點睛】本題主要考查三角形的面積問題,把所求面積進行轉(zhuǎn)化是求解的關鍵,側(cè)重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).16、【解析】
令,所求問題的最大值為,只需求出即可,作出可行域,利用幾何意義即可解決.【詳解】作出可行域,如圖令,則,顯然當直線經(jīng)過時,最大,且,故的最大值為.故答案為:.【點睛】本題考查線性規(guī)劃中非線性目標函數(shù)的最值問題,要做好此類題,前提是正確畫出可行域,本題是一道基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ).(Ⅱ)見解析.【解析】
(Ⅰ)人中很幸福的有人,可以先計算其逆事件,即人都認為不很幸福的概率,再用減去人都認為不很幸福的概率即可;(Ⅱ)根據(jù)題意,隨機變量,列出分布列,根據(jù)公式求出期望即可.【詳解】(Ⅰ)設事件抽出的人至少有人是“很幸?!钡模瑒t表示人都認為不很幸福(Ⅱ)根據(jù)題意,隨機變量,的可能的取值為;;;所以隨機變量的分布列為:所以的期望【點睛】本題考查了離散型隨機變量的概率分布列,數(shù)學期望的求解,概率分布中的二項分布問題,屬于常規(guī)題型.18、(1);(2)【解析】
(1)化簡得到,取,解得答案.(2),解得,根據(jù)余弦定理得到,再用一次余弦定理解得答案.【詳解】(1).取,解得.(2),因為,故,.根據(jù)余弦定理:,..【點睛】本題考查了三角恒等變換,三角函數(shù)單調(diào)性,余弦定理,意在考查學生對于三角函數(shù)知識的綜合應用.19、(1)(2)不存在;詳見解析【解析】
(1)將函數(shù)去絕對值化為分段函數(shù)的形式,從而可求得函數(shù)的最小值,進而可得m.(2)由,利用基本不等式即可求出.【詳解】(1);(2),若,同號,,不成立;或,異號,,不成立;故不存在實數(shù),,使得,.【點睛】本題考查了分段函數(shù)的最值、基本不等式的應用,屬于基礎題.20、(Ⅰ);(Ⅱ),;(Ⅲ)詳見解析.【解析】
(Ⅰ)由題知這只蜻蜓是種還是種的可能性是相等的,所以,代入數(shù)值運算即可;(Ⅱ)可判斷均值應為,再結(jié)合(1)和題干備注信息可得,進而求解;(Ⅲ)求得,該分布符合二項分布,故,列出分布列,計算出對應概率,結(jié)合即可求解;【詳解】(Ⅰ)記這只蜻蜓的翼長為.因為種蜻蜓和種蜻蜓的個體數(shù)量大致相等,所以這只蜻蜓是種還是種的可能性是相等的.所以.(Ⅱ)由于兩種蜻蜓的個體數(shù)量相等,的方差也相等,根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性,可知由(Ⅰ)可知,得.(Ⅲ)設蜻蜓的翼長為,則.由題有,所以.因此的分布列為.【點睛】本題考查正態(tài)分布基本量的求解,二項分布求解離散型隨機變量分布列和期望,屬于中檔題21、(1);(2).【解析】
(1)根據(jù)離心率以及,即可列方程求得,則問題得解;(2)設直線方程為,聯(lián)立橢圓方程,結(jié)合韋達定理,根據(jù)題意中轉(zhuǎn)化出的,即可求得參數(shù),則三角形面積得解.【詳解】(1)設,由題意可得.因為是的中位線,且,所以,即,因為進而得,所以橢圓方程為(2)由已知得兩邊平方整理可得.當直線斜率為時,顯然不成立.直線斜率不為時,設直線的方程為,聯(lián)立消去,得,所以,由得將代入整理得,展開得,整理得,所以.即為所求.【點睛】本題考查由離心率求橢圓的方程,以及橢圓三角形面積的求解,屬綜合中檔題.22、(1);(2)證明見解析.【解析】
(1),分,,三種情況推理即可;(2)由(1)可得,即,利用累加
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