函數(shù)與方程（4題型分類(lèi)）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

專(zhuān)題09函數(shù)與方程4題型分類(lèi)

彩題生江總

題型4：二分法題型1：求函數(shù)的零點(diǎn)或零點(diǎn)所在區(qū)間

專(zhuān)題09函數(shù)與方程4題型

分*

題型3：嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題------------------------------J題型2：利用函數(shù)的零點(diǎn)(個(gè)數(shù))確定參數(shù)的取值范圍

彩先正寶庫(kù)

一、函數(shù)的零點(diǎn)

對(duì)于函數(shù)y=/(%),我們把使〃x)=0的實(shí)數(shù)尤叫做函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn).

二、方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系

方程〃x)=0有實(shí)數(shù)根O函數(shù)y=/(力的圖像與x軸有公共點(diǎn)O函數(shù)y=〃x)有零點(diǎn).

三、零點(diǎn)存在性定理

如果函數(shù)y=在區(qū)間［。,目上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有〃力/。)<。，那么函數(shù)y=

在區(qū)間(4力)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在ce(a,b),使得"c)=0,c也就是方程〃x)=0的根.

四、二分法

對(duì)于區(qū)間0上連續(xù)不斷且/■(力〃3<0的函數(shù)〃元)，通過(guò)不斷地把函數(shù)〃尤)的零點(diǎn)

所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值的方法叫做二分法.求方程

〃力=0的近似解就是求函數(shù)f(x)零點(diǎn)的近似值.

五、用二分法求函數(shù)/(x)零點(diǎn)近似值的步驟

(1)確定區(qū)間可，驗(yàn)證給定精度￡.

(2)求區(qū)間(。力)的中點(diǎn)耳.

(3)計(jì)算).若〃占)=0,則看就是函數(shù)〃尤)的零點(diǎn)；若/(")"&)<0,則令6=%(此時(shí)零點(diǎn)/e(心占)).

若〃辦〃再)<0,則令。=玉(此時(shí)零點(diǎn)X。e(X1,6))

(4)判斷是否達(dá)到精確度€,即若可<￡,則函數(shù)零點(diǎn)的近似值為。(或匕)；否則重復(fù)第(2)-(4)

步.

用二分法求方程近似解的計(jì)算量較大，因此往往借助計(jì)算完成.

彩他題海籍

(_)

求函數(shù)的零點(diǎn)或零點(diǎn)所在區(qū)間

求函數(shù)/(無(wú))零點(diǎn)的方法：

(1)代數(shù)法，即求方程/(x)=0的實(shí)根，適合于宜因式分解的多項(xiàng)式；(2)幾何法，即利用函數(shù)y=/(x)

的圖像和性質(zhì)找出零點(diǎn)，適合于宜作圖的基本初等函數(shù).

題型1:求函數(shù)的零點(diǎn)或零點(diǎn)所在區(qū)間

(21—5x>0

1-1.(2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=2工;<o，〃/(T))=——，函數(shù)g(x)=/(x)-3的

零點(diǎn)為.

【答案】-44

【分析】第一空：利用代入法直接求解即可；第二空，令g(x)=0,分類(lèi)討論即可得解.

【詳解】因?yàn)椤ㄓ?=[2，,x〈o，

所以一1)=2一=；,貝iJ/(/(T))=/]g]=2x；_5=_4；

令g(x)=0,則/(x)-3=0,即〃x)=3,

當(dāng)x>0時(shí)，2x-5=3,解得x=4；

當(dāng)x40時(shí)，2^=3，解得x=log23>。(舍去)；

綜上：函數(shù)g(x)=/(x)-3的零點(diǎn)為4.

故答案為：—4；4.

所以方程2T+必=3的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為2.

1-5.（2024?北京）已知函數(shù)/（x）=g-log2無(wú)，在下列區(qū)間中，包含/（X）零點(diǎn)的區(qū)間是

X

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,4）D.（4,-KO）

【答案】C

3

【詳解】因?yàn)椤?）=3-1>0,/（4）=|-2<0,所以由根的存在性定理可知：選C.

考點(diǎn)：本小題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)知識(shí)，正確理解零點(diǎn)定義及根的存在性定理是解答好本類(lèi)題目的關(guān)鍵.

1-6.（2024高三上?陜西渭南?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=lnx+3x-7的零點(diǎn)位于區(qū)間5，〃+l）（“eN）內(nèi)，則

n=.

【答案】2

【分析】利用函數(shù)單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理可知，函數(shù)/（X）在區(qū)間（2,3）內(nèi)存在零點(diǎn)即可得出結(jié)果.

【詳解】由題意可知函數(shù)/（x）=lnx+3尤-7在定義域（0,+“）內(nèi)單調(diào)遞增，

易知〃2)=ln2+3x2_7=ln2_l<0,

ffij/(3)=ln3+3x3-7=ln3+2>0,所以/(2)?八3)<0,

根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在區(qū)間（2,3）內(nèi)存在零點(diǎn),

所以可得“=2.

故答案為：2

1-7.（2024高一上?北京?期中）設(shè)函數(shù)f與尸仕）的圖象的交點(diǎn)為的，％）,則X。所在的區(qū)間是（）

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【解析】函數(shù)y=x3與的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為g（尤）=d的零點(diǎn)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為確定函

數(shù)g（x）=x3-［；J2的零點(diǎn)所在區(qū)間的問(wèn)題，再由函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理可得到答案.

【詳解】設(shè)g（X）=%3，則g（x）是增函數(shù)，又

g(0)=-4<0,g(l)=-l<0,g(2)=7>0.

所以g⑴g(2)<0,

所以xo所在的區(qū)間是(1,2)

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的交點(diǎn)，考查函數(shù)的零點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建函數(shù)，正確運(yùn)用函數(shù)零點(diǎn)存在定

理，屬于中檔題.

(二)

利用函數(shù)的零點(diǎn)確定參數(shù)的取值范圍

本類(lèi)問(wèn)題應(yīng)細(xì)致觀察、分析圖像，利用函數(shù)的零點(diǎn)及其他相關(guān)性質(zhì)，建立參數(shù)關(guān)系，列關(guān)于參數(shù)的不等式,

解不等式，從而獲解.

題型2:利用函數(shù)的零點(diǎn)(個(gè)數(shù))確定參數(shù)的取值范圍

2-1.(2024?天津北辰?三模)設(shè)aeR,對(duì)任意實(shí)數(shù)x,記=min1*-ae'+4+24}.若〃尤)有三

個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】(12,28)

【分析】分析函數(shù)g(x)=e，-2/(x)=e2=ae，+a+24的零點(diǎn)，由條件列不等式求a的取值范圍.

［詳解］令g(x)=e*-2,//(尤)=e2x-aex+a+24,

因?yàn)楹瘮?shù)g(無(wú))有一個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)M》)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，

又/(x)有三個(gè)零點(diǎn)，

所以Mx)必須有兩個(gè)零點(diǎn)，且其零點(diǎn)與函數(shù)g⑺的零點(diǎn)不相等，

且函數(shù)無(wú)⑺與函數(shù)g(元)的零點(diǎn)均為函數(shù)〃尤)的零點(diǎn)，

由g(x)=0可得，e*-2=0，所以x=ln2,

所以x=ln2為函數(shù)的零點(diǎn)，

gp/z(ln2)=e21n2-aeln2+a+24=4-2o+a+24=28-a>0,

所以a<28,

令〃（x）=0,可得e?，-ae*+a+24=0,

由已知e2v-ae*+a+24=0有兩個(gè)根，

設(shè)e，=f,則產(chǎn)-成+a+24=0有兩個(gè)正根，

所以a2T（a+24）>0,a>0,a+24>0,

所以。>12,故12<a<28,

當(dāng)12<a<28時(shí)，/-m+a+24=o有兩個(gè)根，

設(shè)其根為％，，2,4<，則芍>/，

設(shè)F（7）=產(chǎn)一af+a+24,則/（2）=4—2a+a+24=28—a>0,尸]]]<0，

所以%>2,

1

令e*=,e*=t2,則玉=InA,無(wú)2=Int2,

則〃a）=o,/?（%2）=0,

1nta，2

且g（xj=e"_2=4-2>0,g（x2）=e-2=t2-2>0,

所以當(dāng)12<a<28時(shí)，/&）=/優(yōu)）=0,

所以當(dāng)12<a<28時(shí)，和三為函數(shù)〃尤）的零點(diǎn)，又x=ln2也為函數(shù)外”的零點(diǎn)，

且芭,三與In2互不相等，

所以當(dāng)12<a<28時(shí)，函數(shù)/'（X）有三個(gè)零點(diǎn).

故答案為：（12,28）.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：

⑴直接求零點(diǎn)：令〃H=0,如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).

⑵零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a,加上是連續(xù)不斷的曲線，且/（。）-/他）<0,還必須結(jié)

合函數(shù)的圖象與性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性）才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).

⑶利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫(huà)兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同

的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).

3

2-2.(2024高一上,江西?階段練習(xí))函數(shù)"x)=2'-。的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,3)內(nèi)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

()

A.(7,-Foo)B.(-co,-l)C.(^?,-1)U(7,-H?)D.(-1,7)

【答案】D

3

【分析】先判斷出/(%)=2、-士-〃在(0,+8)上是增函數(shù)，利用零點(diǎn)存在定理列不等式，即可求〃的范圍.

x

3

【詳解】團(tuán)>=2'和'=二在(0,+8)上是增函數(shù)，

x

3

團(tuán)/(%)=2X----。在(。,+8)上是增函數(shù)，

X

團(tuán)只需/⑴"⑶<0即可，即(―1一。>(7—a)<0,解得一1<°<7.

故選：D.

2-3.(2024高三下?上海浦東新,階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=sino￥-osin尤在(0,2兀)上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值

范圍_________.

【答案】一;卜g,+^U{o}

【分析】通過(guò)討論。的范圍，利用函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)存在定理判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而確定。的范圍.

【詳解】當(dāng)時(shí)，0〈巴<兀，/f—^sinftz--Vd!sin—=-tzsin—<0,/f—1+>0,

a\a)\a)aa<2y

故由零點(diǎn)存在性定理知：/(X)在區(qū)間上至少有1個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)4=1時(shí)，/(%)=0,符合題意；

、1,11Q7171__

=I—<。<1時(shí)*,7t<—<271,—<ait<Tt,Tt<2〃兀)<2兀,

2a2

(Tl\71

/—=sin—>0,f(7i)=sina7i>0,/(2TI)=sin2an<0,

\a)a

由零點(diǎn)存在性定理知，〃幻在區(qū)間(兀,2兀)至少有1個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)0<。41時(shí)，

2

/'(%)=acosax—acosx=tz(cosax—cosx)

ax+xax—x.ax+x.ax—x(ax+xax-x.ax+x.ax—x\

—acos--------cos----------sin--------sin----------cos----------cos---------1-sin--------sin--------

2222(2222

c.(a+V)x.(a-l)x

=-2asm------sm-------,

22

因?yàn)閤G(0,2TC),所以一兀――<0,sin―—―<0,

222

當(dāng)xe(0,2t)時(shí)，0<婦如<7i,sin絲土巫>0,/(x)>0"(x)遞增，

a+122

W/2兀_.,(〃+l)x3K.(4Z+l)xc

當(dāng)xw(----,2兀)時(shí)n，兀<------<一,sin-------<0,/(%)<0,7(x)遞減,

Q+1222

故/⑺在(0,多971)上遞增，在(2兀二,2兀)上遞減，

a+1a+1

又/(0)=0,/(27i)=sin2a7t2。，即在(&2兀)上，/(%)>0,

故/(尤)在區(qū)間(0,27r)匕沒(méi)有零點(diǎn).

所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)/(x)=sinax-asinx在(0,2兀)上有零點(diǎn).

2

令(p(a)—sinax,—asinx,°(一a)=sin(—ar)+asinx=—sinax+asinx=—(p(a),

可知夕(。)=$指依-°$山工為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

從而，當(dāng)時(shí)，函數(shù)/(無(wú))=sinar-asinx在(0,2兀)上有零點(diǎn).

又當(dāng)。=0時(shí)，/(%)=0,符合題意，

綜上，實(shí)數(shù)0的取值范圍,吃-；卜■，+fu{。}.

故答案為：f-oo,--'juf—,+oo^U{0}.

2-4.(2024?浙江紹興?二模)已知函數(shù)〃x)=lnx+ax2+6,若在區(qū)間［2,3］上有零點(diǎn)，則他的最大值

為.

【答案】*

【分析】設(shè)/(xo)=O,/G［2,3］，即可求出b,繼而求出ab的表達(dá)式，將?？醋髦髟?配方得gS)作

記久x)=/,即可求解最大值.

【詳解】設(shè)/(%0)=。，％0?2,3］,則hu：o+QX：+O=O,

1

止匕時(shí)b=-lnx0-ax^,貝|a,二-a\nxQ-ax1,

t己h(x)=宇,貝！Jh'(x)=1吁，

2x2x

所以"⑴在［2,e)上遞增，在［e,3］上遞減，

故心)2=〃⑹=W，所以gSL=［劈］=*,

所以油的最大值為*.

故答案為：'

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題是雙參數(shù)函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，

第一步消參：通過(guò)設(shè)零點(diǎn)，代入方程，得到其中一個(gè)參數(shù)的表達(dá)式，

第二步主元法求最值：將所求表達(dá)式通過(guò)主元法(關(guān)于另一個(gè)參數(shù))構(gòu)造函數(shù)求出最值，即可求解.

2-5.(2024?天津)設(shè)awR屈數(shù)〃司=62-2》-,+小若〃尤)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍

為.

【答案】(一,0)50,1)51,+8)

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的意義，去掉絕對(duì)值，求出零點(diǎn)，再根據(jù)根存在的條件即可判斷。的取值范圍.

【詳解】(1)當(dāng)％2一辦+1之0時(shí)，/(x)=0o(a—1)犬？+(“—2)犬—1=。，

即［(〃=0,

若a=l時(shí)，x=-l,此時(shí)％之一6a+120成立；

若awl時(shí)，x一或％=-1,

a-1

若方程有一根為尤=—1,則l+a+120,即此―2且"1；

若方程有一根為了=’7,貝d'［-“x'+120,解得：aW2且°工1；

a-1a-1

若x=」一=-1時(shí)，a=0,此時(shí)l+a+120成立.

a-1

(2)當(dāng)％之一依+i<o時(shí)，/(%)=0o一(a+2卜+1=。,

即+=0,

若〃=一1時(shí)，X=1,顯然X2一6+1<0不成立;

若QW-1時(shí)，％=1或%=」一，

Q+1

若方程有一根為x=l,貝心―〃+1<0,即。>2；

若方程有一根為x=-^,貝一oxJ-+l<0,解得：?<-2；

。+1<0+1)a+1

若x=」"7=l時(shí)，a-Q,顯然--or+l<0不成立；

<7+1

綜上，

當(dāng)。<-2時(shí)，零點(diǎn)為」一

a+1a—1

當(dāng)一2<。<0時(shí)，零點(diǎn)為,-1；

a-1

當(dāng)。=0時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)T；

當(dāng)0<。<1時(shí)，零點(diǎn)為,-1；

a—1

當(dāng)4=1時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)-1；

當(dāng)1<。<2時(shí)，零點(diǎn)為--,-1；

a—1

當(dāng)a>2時(shí)，零點(diǎn)為1,-1.

所以，當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，且awl.

故答案為：0)"0,+8).

【點(diǎn)睛】本題的解題關(guān)鍵是根據(jù)定義去掉絕對(duì)值，求出方程的根，再根據(jù)根存在的條件求出對(duì)應(yīng)的范圍,

然后根據(jù)范圍討論根(或零點(diǎn))的個(gè)數(shù)，從而解出.

2-6.(2024?天津)設(shè)aeR,對(duì)任意實(shí)數(shù)x,記"尤)=min{國(guó)-2,尤②-ar+3a-5}.若〃x)至少有3個(gè)零點(diǎn)，

則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

【答案】a>10

【分析】設(shè)g(x)=f—依+3。-5,/z(x)=|x|-2,分析可知函數(shù)g(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)，可得出A知,求出。

的取值范圍，然后對(duì)實(shí)數(shù)。的取值范圍進(jìn)行分類(lèi)討論，根據(jù)題意可得出關(guān)于實(shí)數(shù)。的不等式，綜合可求得實(shí)

數(shù)。的取值范圍.

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍是

故答案為：［1。,+°°).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，

利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

逢他題祕(mì)籍(二)

嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

1、涉及幾個(gè)根的取值范圍問(wèn)題，需要構(gòu)造新的函數(shù)來(lái)確定取值范圍.

2、二次函數(shù)作為外函數(shù)可以通過(guò)參變分離減少運(yùn)算，但是前提就是函數(shù)的基本功要扎實(shí).

題型3：嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

3-L(2024高三上?浙江紹興?期中)已知函數(shù)/(x)=(x/)2+(a_lXxe，)+l-a有三個(gè)不同的零點(diǎn)占,馬，不淇

中玉＜馬＜退，則(1-西一)(1-々*)(1一三，產(chǎn)的值為()

A.1B.((7—1)~C.—1D.1—ci

【答案】A

【分析】令/=加1求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性，畫(huà)出圖象，從而考慮產(chǎn)+(。-3+1-。=0有兩個(gè)不同的根，從而可得

x,

。＜-3或結(jié)合圖象可得Xg"=",x2e^=fj,x3e=t2,結(jié)合韋達(dá)定理即可得到所求值.

【詳解】解：令t=xe*,則1=(x+l)/,

故當(dāng)尤e(T,+°°)時(shí)，t'＞0,r=是增函數(shù)，

當(dāng)xw(-00,—1)時(shí)，/＜(),f=是減函數(shù)，

可得x=-1處f=%/取得最小值-L

e

x-一0°,Z-?0,畫(huà)出，=xe*的圖象，

由f(%)=。為*+(。-1)/+1-。=o,

故結(jié)合題意可知，/+(。-1?+1-〃=。有兩個(gè)不同的根，

故A=(a-l)2_4(l_a)>0,故a<—3或a>l,

不妨設(shè)方程的兩個(gè)根分別為4,h，

①若a<—3,f1+/,=l-a>4,

2

與-一<4+/,<0相矛盾，故不成立；

e

②若々>1,則方程的兩個(gè)根％,才2一正一負(fù)；

X2

不妨設(shè)結(jié)合r=xe"的性質(zhì)可得，平*=%,x2e=tx,x3e^=t2,

X22

故(1一百)(i-x2e)(1-/井)

=(1-%)(1-%)(1-2尸

=(1-(%+12)+不2>

又?.,印2=i-a,%+q=1-Q,

,(1—九傳國(guó))(1—%20&)(1一巧)2=(1—1+〃+1一。)2=1?

故選：A.

V

~~~~~~_____X

【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，同時(shí)考查了分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，屬于難題.

1

■X2—%XW0

3-2.(2024?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)='2'一，若關(guān)于x的方程

—|2x—1|+1,x>0

產(chǎn)(元)-化+l)_^(x)+丘2=0有且只有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則正實(shí)數(shù)％的取值范圍為()

A.B.；,11口(1,2)C.(O,1)U(1,2)D.(2,+8)

【答案】B

【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，分析可知關(guān)于無(wú)的方程〃力=無(wú)、/("=履共有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，利用代數(shù)法

可知方程/(x)=x有兩個(gè)根，分析可得出關(guān)于實(shí)數(shù)%的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)上的取值范圍.

21

x+—x,<0

【詳解】因?yàn)椤╔)=＜2x,0<x<—,

2

2—2x,x>一

2

由產(chǎn)(x)—(左+1)獷(%)+"2=0可得"(尤)一元］(尤)一爪］=0,

所以，關(guān)于％的方程/(力=冗、/(力=區(qū)共有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.

①先討論方程/(力=%的解的個(gè)數(shù).

當(dāng)％W0時(shí)，由/(%)=+:%=%,可得了=0,

當(dāng)時(shí)，由/(x)=2x=x,可得％￡0,

I2

當(dāng)%＞5時(shí)，由/(x)=2—2x=x,可得x=§,

2

所以，方程/'(0=彳只有兩解x=0和x=§;

②下面討論方程/(力="的解的個(gè)數(shù).

當(dāng)x40時(shí)，由/(x)=x2+；x=fcr可得x(x+；_k］=0,可得X=0或尤=/_1,

當(dāng)0＜xV；時(shí)，由/(x)=2x=阮，可得左=2,此時(shí)方程/(力=履有無(wú)數(shù)個(gè)解，不合乎題意,

12

當(dāng)％〉一時(shí)，由/(尤)=2—2x=區(qū)可得兀=----,

2左+2

人」＞0

<0<0

222

21…2221

因?yàn)樽螅?,由題意可得＜K或<7CC或,

人+22Z+23%+22

k>0k>a22

W

、〔左+23

解得:《發(fā)＜1或1(后＜2.

因此，實(shí)數(shù)上的取值范圍是川31,2).

故選：B.

3-3.(2024?河南安陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃同=|泗-2/1,則關(guān)于x的方程r(%)+時(shí)⑺+〃=0有7個(gè)不

同實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)〃2,“滿(mǎn)足()

A.機(jī)>0且〃>0B.機(jī)<0且〃>0

C.0<m<1且〃=0D.—lvmvO且〃=0

【答案】C

【分析】令“=〃力，利用換元法可得小+mu+n=Q,由一元二次方程的定義知該方程至多有兩個(gè)實(shí)根小、

%，作出函數(shù)〃無(wú)）的圖象，結(jié)合題意和圖象可得%=。、STH,進(jìn)而得出結(jié)果.

【詳解】令”=〃x）,作出函數(shù)“=的圖象如下圖所示：

由于方程"2++〃=0至多兩個(gè)實(shí)根,設(shè)為“=%和”=%，

由圖象可知，直線瓦=%與函數(shù)"=/（X）圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為0、2、3、4,

由于關(guān)于尤的方程/（力+〃礦（x）+〃=0有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解，

則關(guān)于U的二次方程u2+mu+n=0的一根為%=0,則〃=0,

則方程"2+mu=0的另一根為%=~m,

直線a=%與函數(shù)〃=/（x）圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)必為4,則-1<-根<0,解得0<m<1.

所以0<機(jī)<1且〃=0.

故選：C.

3-4.（2024?四川廣安一模）已知函數(shù)/。）=（尤2-了-1修，設(shè)關(guān)于x的方程尸（?_〃礦（x）=9（〃zeE）有幾個(gè)

e

不同的實(shí)數(shù)解，則”的所有可能的值為

A.3B.1或3C.4或6D.3或4或6

【答案】A

【詳解】尸（力="—1）（3+2）/,二〃力在（一8,-2）和（1,+8）上單增，（—2,1）上單減，又當(dāng)xf-8時(shí),

/（尤）f0,xf+co時(shí)，/（x）->+co故〃尤）的圖象大致為:

令〃力=7,則方程--加-3=0必有兩個(gè)根，（應(yīng)且也=-'，不仿設(shè)4<。氣，當(dāng)”-e時(shí)，恰有4=51，

ee

此時(shí)〃X）=%,有1個(gè)根，"x）=G，有2個(gè)根，當(dāng)：<-e時(shí)必有。<馬<5］，此時(shí)="無(wú)根，/（x）=r2

有3個(gè)根，當(dāng)-e<4<0時(shí)必有^>5/2,此時(shí)“犬卜4有2個(gè)根，”力=12,有1個(gè)根，綜上，對(duì)任意meR，

方程均有3個(gè)根，故選A.

【方法點(diǎn)睛】已知函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)，求參數(shù)取值范圍的三種常用的方法：⑴直接法，直接根據(jù)題設(shè)

條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法，先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函

數(shù)值域問(wèn)題加以解決；⑶數(shù)形結(jié)合法，先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然

后數(shù)形結(jié)合求解.一是轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)y=g（x）,y=〃（x）的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，

其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，二是轉(zhuǎn)化為y=〃,y=g（x）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.

（四）

二分法

所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值的方法叫做二分法.求方程

〃同=0的近似解就是求函數(shù)零點(diǎn)的近似值.

題型4:二分法

4-1.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）用二分法求函數(shù)/（x）=ln（x+l）+x-1在區(qū)間（0,1）上的零點(diǎn)，要求精確度

為0.01時(shí)，所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】c

【分析】由于長(zhǎng)度等于1區(qū)間，每經(jīng)這一次操作，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，那么經(jīng)過(guò)〃(〃eN*)次操作后,

區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)樯?，若要求精確度為0.01時(shí)則解不等式即可求出所需二分區(qū)間的最少次數(shù).

【詳解】因?yàn)殚_(kāi)區(qū)間(0,1)的長(zhǎng)度等于1,每經(jīng)這一次操作，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，

所以經(jīng)過(guò)次操作后，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)椤叮?/p>

令g<0.01,解得“27,且〃eN*,

故所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為7.

故選：C.

4-2.(2024高一上?遼寧?期中)用二分法求方程ln(x+l)=、的近似解時(shí)，可以取的一個(gè)區(qū)間是()

A.(1,2)B.(2,e)C.(3,4)D.(0,1)

【答案】A

【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在定理進(jìn)行判斷.

【詳解】設(shè)f(x)=ln(x+l)—：,易知為增函數(shù)，m/(l)=ln2-2<0,/(2)=Zn3-1>0,

回函數(shù)在區(qū)間(L2)內(nèi)有零點(diǎn)，

即用二分法求方程In(x+l)=：的近似解時(shí)，可以取的一個(gè)區(qū)間是(1,2).

故選：A.

4-3.(2024高一上?四川廣安?期中)函數(shù)/(元)的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算，參考數(shù)據(jù)如

下：

/(I)=-2/(1.5)=0.625/(1.25)=-0.984

f(1.375)=-0.260/(1.438)=0.165"1.4065)=-0.052

那么方程的一個(gè)近似解(精確度為0.1)為()

A.1.5B.1.25C.1.41D.1.44

【答案】C

【分析】根據(jù)二分法的定義和精確度的要求分析判斷即可

【詳解】由所給數(shù)據(jù)可知，函數(shù)”X)在區(qū)間(1,1.5)內(nèi)有一個(gè)根，

因?yàn)?1.5)=0.625>0,/(1.25)=-0.984<0,

所以根在(1.25,1.5)內(nèi)，

因?yàn)閨1.5-1.25]=0.25>0.1,所以不滿(mǎn)足精確度，

繼續(xù)取區(qū)間中點(diǎn)L375,

因?yàn)?(1.375)=-0.260<0,7(1,5)=0.625>0,

所以根在區(qū)間(1.375,1.5),

因?yàn)閨1.5-1.375|=0.125>0.1,所以不滿(mǎn)足精確度，

繼續(xù)取區(qū)間中點(diǎn)1.438,

因?yàn)椤?.438)=0.165>0,/(1,375)=-0.260<0,

所以根在區(qū)間(1.375,1.438)內(nèi),

因?yàn)閨1.438-1.375|=0.063<0.1滿(mǎn)足精確度，

因?yàn)?(1.4065)=-0.052<0,所以根在(1.4065,1.438)內(nèi)，

所以方程的一個(gè)近似解為141,

故選:C

4-4.(2024高一上?貴州遵義?期末)利用二分法求方程log3》=3-x的近似解，可以取的一個(gè)區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】C

【分析】設(shè)/5)=1鳴》-3+》，根據(jù)當(dāng)連續(xù)函數(shù)/(尤)滿(mǎn)足/3-/⑹<0時(shí)，/⑺在區(qū)間(。1)上有零

點(diǎn)，即方程1型3了=3-x在區(qū)間(0,圻上有解，進(jìn)而得到答案.

【詳解】解：設(shè)/(幻=1暇彳-3+o,

,當(dāng)連續(xù)函數(shù)/(X)滿(mǎn)足/(a)?/⑹<0時(shí)，/(X)在區(qū)間(。，6)上有零點(diǎn)，

即方程logs尤=3-了在區(qū)間(。力)上有解，

又???/(2)=log32-l<0,f(3)=log33-3+3=l>0,

故/(2)?/(3)<0,

故方程log3x=3-x在區(qū)間(2,3)上有解，

即利用二分法求方程log3x=3-x的近似解，可以取的一個(gè)區(qū)間是(2,3).

故選：c.

4-5.（2024高三上?寧夏?期末）用二分法求函數(shù)〃x）=lgx+*-2的一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)參考數(shù)據(jù)，可得函數(shù)/⑺

的一個(gè)零點(diǎn)的近似解（精確到0，）為（）（參考數(shù)據(jù)：坨1.5。0.176,lgl.625-1,31.75。0.243,

1g1.875?0.273,lgl.9375?0.287）

A.1.6B.1.7C.1.8D.1.9

【答案】C

【解析】根據(jù)函數(shù)特點(diǎn)及所給數(shù)據(jù)計(jì)算相關(guān)函數(shù)值，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可獲得解答.

【詳解】由題意可知：

/（1.75）=lg1.75+1.75-2?0.243+1.75-2=-0.007<0,

/（1.875）=1g1.875+1.875-2q0.273+1.875-2=-0.148>0,

又因?yàn)楹瘮?shù)在（。,”）上連續(xù)，所以函數(shù)在區(qū)間。75,1.875）上有零點(diǎn)，

小二1.75+1.875,?

約為---------?1-8

故選：C.

【點(diǎn)睛】函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：

⑴直接求零點(diǎn)：令/（x）=0,如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).

（2）零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間。，b］上是連續(xù)不斷的曲線，且還必須結(jié)合函

數(shù)的圖象與性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性）才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).

⑶利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫(huà)兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同

的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).

4-6.（2024高三上?湖南長(zhǎng)沙?期中）用二分法求函數(shù)4%）=M（犬+1）+龍-1在區(qū)間［0,1］上的零點(diǎn)，要求精確

度為0.01時(shí)，所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【分析】由題可得經(jīng)過(guò)”次操作后，區(qū)間的長(zhǎng)度為3,令0.01即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，原來(lái)區(qū)間［0』的長(zhǎng)度等于工，每經(jīng)過(guò)二分法的一次操作，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，

則經(jīng)過(guò)"次操作后，區(qū)間的長(zhǎng)度為？，若:<0.01,即“27.

故選：B.

法習(xí)與置升

一、單選題

1.(2024?湖北)已知了(無(wú))是定義在火上的奇函數(shù)，當(dāng)xNO時(shí)，f(x)=x2-3x,則函數(shù)g(x)=/Q)-無(wú)+3的

零點(diǎn)的集合為()

A.{1,3}B.{-3,-1,1,3}C.{2-e,1,3}D.{-2-77,1,3)

【答案】D

2

【詳解】因?yàn)榱?九)是定義在H上的奇函數(shù)，當(dāng)了之0時(shí)，f(x)=x-3xf

X2-3x,x>0

所以/(%)=

-x2-3x,x<0

x2-4x+3,x>0

所以g(%)=

-x2-4x+3,x<0

x>0

由解得x=1或％=3；

尤2-4X+3=0'

x<0

由解得x=-2-或尤=-2+近(舍去),

-x2-4x+3=0

所以函數(shù)g(x)=/(x)-x+3的零點(diǎn)的集合為卜2-4,1,3}.

故選：D.

考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性的運(yùn)用，分段函數(shù)，函數(shù)的零點(diǎn)，一元二次方程的解法，難度中等.

2.(2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))己知指數(shù)函數(shù)為〃x)=4,,則函數(shù)y=〃x)-2川的零點(diǎn)為()

A.-1B.0

C.1D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，解指數(shù)方程即可作答.

【詳解】函數(shù)〃x)=4',由/(%)—2㈤=0,即4-2田=0,整理得2,(2'-2)=0,解得x=l,

所以函數(shù),=〃力-2前的零點(diǎn)為1.

故選：C

3.(2024高三上?江西鷹潭?階段練習(xí))函數(shù)“*)=(3工-27)111(*-1)的零點(diǎn)為()

A.2,3B.2C.(2,0)D.(2,0),(3,0)

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，解方程求出函數(shù)零點(diǎn)作答.

【詳解】由〃x)=0,得(3工-27)ln(x-l)=0,即3-27=0或皿1)=0,解得x=3或x=2,

所以函數(shù)〃元)=(3127)ln(x-l)的零點(diǎn)為2,3.

故選：A

4.(2024?山東)已知當(dāng)xe[0,l]時(shí)，函數(shù)>=(〃a-1y的圖象與y=&+根的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則

正實(shí)數(shù)m的取值范圍是

A.(0,1]U[2A/3,+OO)B.(0,l]u[3,+co)

C.(0,夜]u[2^,+oo)D.(0,V2]u[3,+oo)

【答案】B

【詳解】當(dāng)時(shí)，—>1,y=(mx-l)2單調(diào)遞減，JLy=(nix-1)2e[(?/J-1)2,1],y=&+根單

m

調(diào)遞增，且y=?+me[m,l+Mt|,此時(shí)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)力>1時(shí)，0<—<1,y=(mx-l)2

m

在己,1]上單調(diào)遞增，所以要有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，需(m-選B.

m

【名師點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路

⑴直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；

⑵分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；

⑶數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合

求解.

5.(2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))若a<b<c,貝I]函數(shù)/(x)=(尤-。)(尤-6)+(x-8)(無(wú)一c)+(x-c)(x-a)的兩個(gè)

零點(diǎn)分別位于區(qū)間

A.(。力)和(瓦。)內(nèi)B.(-00,。)和(。力)內(nèi)

C.S,c)和(c,+8)內(nèi)D.(-co,a)和(c,+00)內(nèi)

【答案】A

【詳解】試題分析：〃6)=(b-c)修-G(0"(c)=(c-a)(c-b))0,所以(b,c)有零點(diǎn)，排除B,D選項(xiàng).當(dāng)x>c

時(shí)，〃力>0恒成立，沒(méi)有零點(diǎn)，排除C,故選A.另外〃a)=(a-?(a-。)>。，也可知(。㈤內(nèi)有零點(diǎn).

考點(diǎn)：零點(diǎn)與二分法.

【思路點(diǎn)晴】如果函數(shù)普=庚:蹴在區(qū)間[a刃上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有f(a>f(b)<0,那

么，函數(shù)J=/(X)在區(qū)間(。，與內(nèi)有零點(diǎn)，即存在ce(a,6)使得f(c)=O,這個(gè)C也就是方程f(x)=0的

根.注意以下幾點(diǎn)：①滿(mǎn)足條件的零點(diǎn)可能不唯一；②不滿(mǎn)足條件時(shí)，也可能有零點(diǎn).③由函數(shù)J=/(X)在

閉區(qū)間可上有零點(diǎn)不一定能推出0,如圖所示.所以f(a)/(b)<0是普=用磷在閉區(qū)間

[a,b\上有零點(diǎn)的充分不必要條件.

6.(2024?全國(guó))在下列區(qū)間中，函數(shù)/(x)=e'+4x-3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()

￡3

A.B.C.D.

4'°254

【答案】C

<0

【分析】先判斷函數(shù)/(X)在R上單調(diào)遞增，由，，利用零點(diǎn)存在定理可得結(jié)果.

>0

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=e'+4x-3在R上連續(xù)單調(diào)遞增,

1

〃一2<0

丁一1>0

所以函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題.應(yīng)用零點(diǎn)存在定理解題時(shí)，要注意兩點(diǎn)：(1)函

數(shù)是否為單調(diào)函數(shù)；(2)函數(shù)是否連續(xù).

2-\x\,x<2

7.(2024高三上?寧夏?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)="342,函數(shù)g⑴=3T（2T）,則函數(shù)

y=/(x)-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】求得g(x)的解析式，畫(huà)出〃x)和g(尤)的圖象，根據(jù)兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，判斷出函數(shù)

y=/(%)-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

2+尤,x<0

2-|x|,x<2

【詳解】依題意〃%）=<=<2-x,0<x<2,

(x-2)2,x>2

(x-2)2,x>2

2-x<0=>x>2,

0<2-x<2^>0<%<2,

2-x>2=>x<0,

3-[2+(2-x)],x>2

g(%)=3-/(2-x)=]3-[2-(2-%)],0<x<2,

3-(2-x-2)\x<0

x—l,x>2

gpg(x)=<3-x,0<x<2,

3-X2,X<0

畫(huà)出和g（x）的圖象如下圖所示，由圖可知，兩個(gè)函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn).

所以函數(shù)丁=/（力-8（力有2個(gè)零點(diǎn).

【點(diǎn)睛】求解函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)研究.

8.（2024高三上?江蘇淮安?期中）已知函數(shù)〃力=r—3彳，貝|函數(shù)為（%）=4〃尤）］一c,。?—2,2）的零點(diǎn)個(gè)

數(shù)（）

A.3個(gè)B.5個(gè)C.10個(gè)D.9個(gè)

【答案】D

【分析】設(shè)/（力=心利用導(dǎo)數(shù)研究〃尤）圖象的性質(zhì)，將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)的問(wèn)題求解.

【詳解】令可同=/"（切-。=0,則/［〃x）］=c,

令〃X）=I，即/（f）=c.

/曲)=3--3,令用x)>0得x>l或x<-l,令/''(x)<0得-1<X<1,

所以函數(shù)/(尤)在區(qū)間和(L+s)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(-M)上單調(diào)遞減,

因?yàn)椤?-2,2),所以方程〃/)=。有/"2/三個(gè)解，

當(dāng)0<c<2時(shí)，—2<(<_],—1<?2<0,1<?3<2,

當(dāng)c=0時(shí)，_2<：<_1,f2=0,1<?3<2,

當(dāng)—2<c<0時(shí)，-2<%<-1,0<t2<1,1<t3<2,

當(dāng)-時(shí)，方程〃x)=t有3個(gè)根，當(dāng)0<弓<1時(shí)，方程〃力=/有3個(gè)根，當(dāng)

1<J<2時(shí)，方程“X)丸有3個(gè)根，故函數(shù)可力零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為9個(gè)；

同理可得當(dāng)-2<c<0時(shí)和c=0時(shí)均可得到函數(shù)/z(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為9個(gè).

故選：D.

【點(diǎn)睛】嵌套函數(shù)〃(x)=/[f(x)]-c的零點(diǎn)問(wèn)題，通常采用換元法求解，即令/(x)=f,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)/⑺

和y=c圖象交點(diǎn)的問(wèn)題，接著不斷分析，層層遞進(jìn)即可求解.

9.(2024高三上糊北武漢?階段練習(xí))/(幻=21/%5中1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】由題得|"0.5乂=。5”,在同一坐標(biāo)系下，作出函數(shù)丫41。80.5"〉=0.5”的圖象，即得解.

x

【詳解】令/(x)=2|/og05x|-l=0,:.\log05^=0.5",

在同一坐標(biāo)系下，作出函數(shù)丁=|1。80,5訃丫=(。5)工的圖象，如圖所示,

所以/(%)=2］儂05乂T的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2,

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定,考查指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的作法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解

掌握水平和數(shù)形結(jié)合分析推理能力.

10.(2024?天津)已知函數(shù)/(%)=若函數(shù)g(x)=f⑺-網(wǎng)-2x|加R)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則左的

取值范圍是()

A.^-CO,-^|J(2A/2,+co)B.1-co,-；1u(0,2&)

C.(-o),0)U(0,272)